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七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
8.3 实际问题与二元一次方程组
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
知识点一
◆1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起
来，找出题中的等量关系，列出方程组.
◆2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系．
（4）列：根据等量关系，列出方程组．
（5）解：解方程组，求出未知数的值．
（6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答．
实际问题中的基本数量关系：
知识点二
◆◆行程问题：路程=速度×时间；
◆◆工程问题：
①工作量＝人均效率×人数×时间；
②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量；
◆◆销售问题：
利润
①利润＝售价﹣进价，利润率= ×100%
进价
②售价=进价+利润=进价×（1+利润率）=标价×折扣题型一 和、差、倍分问题【例题1】（2022春•南岗区期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5
辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货 吨．
【分析】设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车
一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨”，即可得出关于x，y的二元一次方
程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（3x+5y）中即可求出结论．
【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
{2x+3 y=15.5
依题意得： ，
5x+6 y=35
{ x=4
解得： ，
y=2.5
∴3x+5y＝3×4+5×2.5＝24.5，
∴3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨．
故答案为：24.5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
解题技巧提炼
设未知数时，一般是求什么设什么，并且所列方程的两个数与未知数的个数相
等，解这类应用题，要抓住题中反映数量关系的关键字﹣﹣﹣和、差、倍、分、
几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少……明确各种反映数量关系的关键
字的含义．
【变式1-1】（2022春•沭阳县期末）现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元．则其中面
额100元的人民币有（ ）
A．12张 B．14张 C．20张 D．21张
【分析】根据“有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元”可得相应的方程组．
【解答】解：设100元的人民币为x张，20元的人民币y张，根据题意得：
{ x+ y=33
，
100x+20 y=1620
{x=12
解得： ，
y=21
即面额100的人民币有12张．故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列式计算是解题的关
键．
【变式1-2】（2022秋•朝阳区校级期末）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作
用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知1片银杏树叶1年
的平均滞尘量比1片国槐树叶1年的平均滞尘量的2倍少4mg，若2片国槐树叶与1片银杏树叶一年的
平均滞尘总量为84mg．请分别求出1片国槐树叶和1片银杏树叶一年的平均滞尘量．
【分析】首先，设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y毫克，
结合已知条件可列一元一次方程组即可完成解答．
【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y毫克，
{y=2x−4
由题意得 ，
2x+ y=84
{x=22
解得 ．
y=40
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40毫克．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系列出方程是解题关键．
【变式1-3】（2021秋•广平县期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的水桶中，在桶中加入水，一根
1 1
露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 ，两根铁棒的长度之和为55，求两根铁棒
3 5
的长度．
【分析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为55cm，故可得方程：
2 4
x+y＝55，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程 x= y，把两个方程联立，组成方程组，解方程
3 5
组即可求解．
【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm，{x+ y=55
由题意得： 2 4 ，
x= y
3 5
{x=30
解得： ，
y=25
答：较长铁棒的长度为30cm，较短铁棒的长度为25cm．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关
系，列出方程组．
【变式1-4】（2022春•新昌县期末）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳
帽．如果每位男孩看到的蓝色游泳帽是红色游泳帽的两倍，而每位女孩看到的蓝色游泳帽比红色游泳
帽多12顶，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
【分析】根据每位男孩看到蓝色游泳帽是红色游泳帽的2倍，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色游泳帽多
12顶，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得游泳池里男孩和女孩各几人，本题得以解决．
【解答】解：设游泳池里男孩x人，女孩y人，根据题意得：
{ x−1=2y
，
x−(y−1)=12
{x=20
解得， ，
y=9
答：游泳池里男孩20人，女孩9人．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
【变式1-5】（2022•成武县校级开学）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大
楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当
同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4
分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？
【分析】设平均每分钟1道正门可通过x名学生，1道侧门可通过y名学生，根据“当同时开启1道正门
和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学
生”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设平均每分钟1道正门可通过x名学生，1道侧门可通过y名学生，
{2(x+2y)=560
依题意得： ，
4(x+ y)=800
{x=120
解得： ．
y=80答：平均每分钟1道正门可通过120名学生，1道侧门可通过80名学生．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
题型二 配套问题
【例题2】（2022春•和平区校级期末）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24
个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓
和生产螺帽的人数分别为（ ）
A．50人，40人 B．30人，60人 C．40人，50人 D．60人，30人
【分析】设分配x人生产螺栓，y人生产螺帽刚好配套，根据等量关系：生产螺栓的工人数+生产螺帽的
工人数＝90；螺栓总数×2＝螺帽总数，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设分配x人生产螺栓，y人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套，
{ x+ y=90
根据题意，得： ，
2×15x=24 y
{x=40
解得： ，
y=50
即分配40人生产的螺栓，50人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
解题技巧提炼
生产中的配套问题很多，如螺钉与螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿
的配套衣身与衣袖的配套等，各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数
可把它们之间的数量关系以及所需材料的总和表示出来，从而得到方程组，使问
题得以解决.
【变式2-1】（2022秋•甘井子区校级期末）某工厂生产茶具，每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，生
产这套茶具的主要材料是紫砂泥、用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作
这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯、恰好配成这种茶具多少套？【分析】设应用x千克紫砂泥做茶壶，y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具．由题意：每套茶具有1
个茶壶和4只茶杯组成，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，
列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设应用x千克紫砂泥做茶壶，y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具．
{ x+ y=6
由题意得： ，
2x⋅4=8 y
{x=3
解得： ，
y=3
则2×3＝6（套）．
答：应用3千克紫砂泥做茶壶，3千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具6套．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式2-2】（2022春•南关区校级月考）一套仪器由2个A部件和5个B部件构成．用1m3钢材可做40
个A部件或200个B部件，现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部
件，恰好能使这种仪器刚好配套？
【分析】设应用xm3钢材做A部件，ym3钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套，根据用6m3钢材制
作的部件刚好配套，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设应用xm3钢材做A部件，ym3钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套，
{
x+ y=6
根据题意得： 40x 200 y，
=
2 5
{x=4
解得： ．
y=2
答：应用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式2-3】（2021秋•梁河县期末）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套
茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶
具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少个千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套？
【分析】设应用x千克紫砂泥做茶壶，则用（6﹣x）千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具．由题意：每
套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作
这些茶具，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设应用x千克紫砂泥做茶壶，则用（6﹣x）千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具．由题意得：4×2x＝8（6﹣x），
解得x＝3，
，则6﹣x＝3（千克），
2×3＝6（套）．
答：应用3千克紫砂泥做茶壶，3千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具6套．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式2-4】一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300
条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌
腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
【分析】问题中有两个条件：①做桌面用的木料+做桌腿用的木料＝10；②4×桌面个数＝桌腿个数．据
此可列方程组求解．
【解答】解：设用xm3木料做桌面，ym3木料做桌腿．
{ x+ y=10
由题意得
4×50x=300 y
{x=6
解得 ．
y=4
6×50＝300（张）．
答：用6m3木料做桌面，4m3木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成300张方桌．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式2-5】（2021秋•全椒县期末）在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．
全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪
筒身40个或剪筒底120个．
（1）求这个班男生、女生各有多少人？
（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身
与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？
【分析】（1）由题意列出方程组，解方程组解可；
（2）分别计算出24名男生和6名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y
人，根据制作筒底的数量＝筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，再解即可．
{x+ y=50
【解答】解：（1）由题意得： ，
x= y−2{x=24
解得： ，
y=26
答：这个班有男生有24人，女生有26人；
（2）男生剪筒底的数量：24×120＝2880（个），
女生剪筒身的数量：26×40＝1040（个），
因为一个筒身配两个筒底，2880：1040≠2：1，
所以原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套，
设男生应向女生支援a人，
由题意得：120（24﹣a）＝（26+a）×40×2，
解得：a＝4，
答：原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套；男生应向女生支援4
人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出
题目中的等量关系，列出方程或方程组．
题型三 数字问题
【例题3】（2022秋•中宁县期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和是 8，个位数字与十位数字互
换后所成的新数比原数小18，则原数是（ ）
A．26 B．62 C．35 D．53
【分析】设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和是8，个位数字与
十位数字互换后所成的新数比原数小18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的
值，再将其代入（10x+y）中，即可得出结论．
【解答】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，
{ x+ y=8
根据题意得： ，
10x+ y−(10 y+x)=18
{x=5
解得： ，
y=3
∴10x+y＝10×5+3＝53，
∴原两位数为53．故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
解题技巧提炼
对于数字问题，一般设某位上的数字，而不是直接设某数是多少，用到的是间接
设未知数的方法，同时要注意两位（或三位）数的表示方法.
【变式3-1】（2022秋•榆次区校级期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的
数与个位上的数对换，得到的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是（ ）
A．43 B．34 C．25 D．52
【分析】设原来的两位数个位上的数是 x，十位上的数是 y，根据“十位上的数与个位上的数的和是
7”，“得到的两位数与原来的两位数的差是9”作为相等关系列方程，解方程即可求解．
【解答】解：设原来的两位数个位上的数是x，十位上的数是y，
根据题意得，10x+y﹣（10y+x）＝9，
解得：x＝4，y＝3，
答案为43，
故选：A．
【点评】主要考查了利用二元一次方程组的模型解决实际问题的能力．本题中要注意用数位上的数字表
示两位数的方法：10×十位数字+个位数字＝两位数．
【变式3-2】（2022春•淄博期末）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到
的里程碑上的数如下：
时刻 9：00 10：00 11：30
里程碑上的数 是一个两位数，它的 是一个两位数，它的 是一个三位数，它比
两个数字之和是6 十位与个位数字与 9：00时看到的两位
9：00所看到的正好 数中间多了个0
互换了
则10：00时看到里程碑上的数是（ ）
A．15 B．24 C．42 D．51【分析】设小明9：00时看到的两位数十位数字为x，个位数字为y，根据小明连续三次看到的结果，列
出二元一次方程组，解之得出x，y的值，再代入（10y+x）中即可．
【解答】解：设小明9：00时看到的两位数十位数字为x，个位数字为y，即两位数为为10x+y；
则10：00时看到的两位数为x+10y，9：00﹣10：00时行驶的里程数为：（10y+x）﹣（10x+y），
11：30时看到的数为100x+y，11：30时﹣10：00时行驶的里程数为：（100x+y）﹣（10y+x）；
{
x+ y=6
依题意，得： 100x+ y−(10 y+x) ，
=10 y+x−(10x+ y)
1.5
{x=1
解得： ，
y=5
∴10：00时小明看到的两位数是10y+x＝51．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关
键．
【变式3-3】（2022秋•嘉峪关校级期末）一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数
减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ）
A．26 B．62 C．71 D．53
【分析】设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则两位数可表示为10y+x，对调后的两位数为
10x+y，根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组，求解即可．
【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得：
{ x+ y=8
，
10 y+x−36=10x+ y
{x=2
解得： ，
y=6
则这个两位数为6×10+2＝62．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适
的等量关系，列出方程组，再求解．
【变式3-4】（2022春•肇源县期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是7，如果把这个两位
数加上9，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，求这
个两位数是多少？
【分析】设个位数为x，十位数为y，根据十位上的数与个位上的数之和是7，新的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，据此列方程组求解．
【解答】解：设个位数为x，十位数为y，
{ x+ y=7
由题意得， ，
10 y+x+9=10x+ y
{x=4
解得： ，
y=3
答：这个两位数是为34．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组求解．
【变式3-5】一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到
新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．
【分析】可设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据对调前与对调后可得到两个方程，求方程组
的解即可．
【解答】解：设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为10y+x，根据题意得：
{ x+ y=8
，
10x+ y=2(10 y+x)+10
{x=6
解得： ，
y=2
则原两位数为26．
答：原来的两位数为26．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
题型四 行程问题---相遇、追击问题
【例题4】（2021秋•平桂区 期末）甲、乙二人相距6千米，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向
而行，1小时相遇，则甲、乙二人的平均速度各是（ ）
A．3千米/时，4千米/时 B．4千米/时，2千米/时
C．2千米/时，4千米/时 D．4千米/时，3千米/时
【分析】设甲的平均速度为x千米/小时，乙的平均速度为y千米/小时，根据“甲、乙二人相距6千米，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解
之即可得出结论．
【解答】解：设甲的平均速度为x千米/小时，乙的平均速度为y千米/小时，
{3x−3 y=6
依题意得： ，
x+ y=6
{x=4
解得： ，
y=2
∴甲的平均速度为4千米/小时，乙的平均速度为2千米/小时．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
解题技巧提炼
行程问题中的基本关系式是：路程＝速度×时间.
相遇问题常用到的等量关系：甲行的路程+乙行的路程=两地间的路程.
追及问题常用到的等量关系：快者路程－慢者行程=追及的路程.
【变式4-1】（2021秋•金台区期末）甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先走2h，那
么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇，甲、乙两人的速度
分别是多少？
【分析】设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，根据“如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后
相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之
即可得出甲、乙两人的速度．
【解答】解：设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，
{(2+2.5)x+2.5 y=36
依题意得： ，
3x+(2+3)y=36
{ x=6
解得： ．
y=3.6
答：甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式4-2】一列火车从A站开往B站，若火车以90千米/时的速度行驶，能准时到达B站，现火车以
80千米/时的速度行驶了2小时后把速度提高到120千米/时，也能准时到达B站，求A、B两站之间的
距离．
【分析】根据题目中的等量关系列方程组解答，题目中存在的等量关系为：①以90千米/时×时间＝A站
到B站的路程；②速度为80千米/时行驶的路程+速度为120千米/时行驶的路程＝A站到B站的路程．
【解答】解：设从A站到B站的行驶时间为x，A、B两站之间的距离为y千米，
{ 90x= y
由题意得 ．
80×2+120(x−2)= y
{ 8
x=
解得， 3 ．
y=240
答：A、B两站之间的距离为240千米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意找出等量关系是解题的关键．
【变式4-3】甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行．如果乙先走 20km，那么甲用1
小时就能追上乙；如果乙先走1小时，那么甲只用15分钟就能追上乙，求甲、乙二人的速度．
【分析】设甲的速度是x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据如果乙先走20km，那么甲1小时就能追上
乙可以列出方程 x＝20+y，根据乙先走 1 小时，甲只用 15 分钟就能追上乙可以列出方程 0.25x＝
（1+0.25）y，联立列方程组求解即可．
【解答】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度为y千米/时，
{ x=20+ y
由题意得， ，
0.25x=(1+0.25)y
{x=25
解得： ，
y=5
答：甲的速度是25千米/时，乙的速度为5千米/时．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，此题是一个行程问题，主要考查的是追及问题，根据路程
＝速度×时间即可列出方程组．
【变式4-4】甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点
出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．
【分析】设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据：相向而行时甲的路程+乙的路程＝400，同向而行
时甲的路程＝乙的路程，列方程组求解即可．
【解答】解：设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据题意列方程为：{40x+40 y=400
，
210x=180 y
60
{x=
13
解得： ，
70
y=
13
60 70
答：甲的速度分别为 m/s，乙的速度分别为 m/s．
13 13
【点评】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据相向而行路程之和等于两地间距离、同向而行
俩人路程相等列方程是关键．
【变式4-5】（2022春•新乐市校级月考）小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路公
交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．已知每辆8路公交车的行驶速度相同，且每相邻的两
辆8路公交车相距1200米，则8路公交车的行驶速度为（ ）
A．100m/分钟． B．200m/分钟 C．300m/分钟 D．400m/分钟
【分析】设8路公交车的速度是a米/分，小王沿街匀速行走的速度是b米/分，每隔t分钟发一班车，则两
辆车之间的距离为at米，由题意：每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆
8路公交车．列出方程组，求出t的值，即可解决问题．
【解答】解：设8路公交车的速度是a米/分，小王沿街匀速行走的速度是b米/分，发车间隔的时间为t分
钟，
则两辆车之间的距离为at米，
{12(a−b)=at
由题意得： ，
4(a+b)=at
解得：t＝6，
即发车间隔的时间是6分钟，
∴8路公交车的行驶速度为1200÷6＝200（m/分钟），
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
题型五 行程问题---航行问题
【例题5】（2023•市北区校级开学）若一艘轮船沿江水顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为xkm/h，江水的流速为ykm/h，则根据题意可列方程
组为（ ）
{3x−y=60 {3(x+ y)=120
A． B．
3x+ y=120 3(x−y)=60
{3(x−y)=120 {3x+ y=60
C． D．
3(x+ y)=60 3x−y=120
【分析】根据“顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时”建立方程，即可得
出答案．
{3(x+ y)=120
【解答】解：根据题意，得 ．
3(x−y)=60
故选：B．
【点评】此题是由实际问题抽象出二元一次方程组，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题的关
键．
解题技巧提炼
航行问题：
顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度.
顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速.
往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程
【变式5-1】（2022秋•铜仁市期末）解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，
试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时
逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度为 ．
【分析】设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000里及逆风4分钟走了
600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可．
【解答】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
{4(x+ y)=1000
依题意，得 ，
4(x−y)=600
{x=200
解得 ．
y=50答：风的速度为50里/分钟．
故答案为：50里/分钟．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式5-2】（2022春•蓬江区校级月考）已知A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B
市，需要2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速．
【分析】根据题意找到等量关系：（飞机的速度+风速）×顺风飞行的时间＝1200km，（飞机的速度﹣
风速）×逆风飞行的时间＝1200km，设飞机的速度为xkm/h，风速为ykm/h，根据提示2中的等量关系列
出方程组求解即可．
【解答】解：设飞机的速度为xkm/h，风的速度为ykm/h．
1
{2 (x+ y)=1200
2
可列方程组 ，
1
3 (x−y)=1200
3
{x+ y=800
化简得 ，
x+ y=360
{x=420
解得 ，
y=60
答：飞机的速度为420km/h，风速为60km/h．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
【变式5-3】A市至B市的航线长9750km，一架飞机从A市顺风飞往B市需12.5h，它逆风飞行同样的
航线需13h，求飞机的平均速度与风速？
【分析】飞机的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，根据航行问题的数量关系建立方程组求出其解
即可．
【解答】解：设飞机的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，
{12.5x+12.5 y=9750
由题意，得 ，
13x−13 y=9750
{x=765
解得 ．
y=15
答：飞机的平均速度为765千米/时，风速为15千米/时．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际运用，掌握行程问题的顺风速度＝静风速度+风速和逆风速度＝静风速度﹣风速，由此建立方程组是关键．
【变式5-4】已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由
甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以
及此江水流的速度．
【分析】本题中的等量关系有2个：顺流时间×顺流速度＝总路程；逆流时间×逆流速度＝总路程，据此
可列方程组求解．
【解答】解：设船在静水中的速度为x，水流速度为y．
{18(x+ y)=360 {x+ y=20
化简得 ，
24(x−y)=360 x−y=15
{x=17.5
解得： ．
y=2.5
答：此轮船在静水中的速度为17.5千米/小时，此江水流的速度为2.5千米/小时．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，此类行程问题找等量关系是关键，但“静水速度+水流速度＝顺
水速度，静水速度﹣水流速度＝逆流速度”这一关系式也必须掌握．
【变式5-5】（2021春•安居区月考）一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要 48小时，顺
流而下需要32小时，若水流速度为8千米/时，则两码头之间的距离是多少千米？
【分析】设两码头之间的距离为x千米，货轮的速度为y千米/小时，根据逆流而上需要48小时，顺流而
下需要32小时，列方程组求解．
【解答】解：设两码头之间的距离为x千米，货轮的速度为y千米/小时，
{48(y−8)=x
由题意得， ，
32(y+8)=x
{x=1536
解得： ．
y=40
答：两码头之间的距离为1536千米．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，此类行程问题找等量关系是关键，但“静水速度+水流速度＝顺
水速度，静水速度﹣水流速度＝逆流速度”这一关系式也必须掌握．
题型六 行程问题---环形跑道问题【例题6】（2021•重庆模拟）某体育场的环形跑道长400米，甲、乙同时从同一起点分别以一定的速度
练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次；如果同向而行，那么每隔80秒
乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？设甲的速度是 x米/秒，乙的速度是y米/秒，则列出的方
程组是（ ）
{30(x+ y)=400 {30(y−x)=400
A． B．
80(y−x)=400 80(x+ y)=400
{30(x+ y)=400 {30(x−y)=400
C． D．
80(x−y)=400 80(x+ y)=400
【分析】此题中的等量关系有：
①反向而行，则两人30秒共走400米；
②同向而行，则80秒乙比甲多跑400米．
【解答】解：①根据反向而行，得方程为30（x+y）＝400；
②根据同向而行，得方程为80（y﹣x）＝400．
{30(x+ y)=400
那么列方程组 ．
80(y−x)=400
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题的关键．
解题技巧提炼
环形跑道问题：
同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；
背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长.
【变式6-1】（2021春•昆明期末）甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出
3 9
发，反向而行，每隔 分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔 分钟快的追上慢的一
2 2
次．已知甲比乙跑得快，求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈？3
【分析】设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，由题意：如果同时同地出发，反向而行，每隔 分钟相遇
2
9
一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔 分钟快的追上慢的一次．已知甲比乙跑得快，列出方程组，
2
解方程组即可．
【解答】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，
3
{ (x+ y)=1
2
依题意，得： ，
9
(x−y)=1
2
4
{x=
9
解得： ，
2
y=
9
4 2
答：甲每分钟跑 圈，乙每分钟跑 圈．
9 9
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式6-2】甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2min相
遇一次，如果同时同地出发，同向而行，每隔10min相遇一次，已知甲比乙跑得快，环形跑道每圈400
米，甲、乙二人每分钟各跑多少米？
【分析】设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，根据“如果同时同地出发，反向而行，每隔2min相遇一
次，如果同时同地出发，同向而行，每隔10min相遇一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解
之即可得出结论．
【解答】解：设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，
{2(x+ y)=400
依题意，得： ，
10(x−y)=400
{x=120
解得： ．
y=80
答：甲每分钟跑120米，乙每分钟跑80米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式6-3】甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人
首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．【分析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量
关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程﹣慢者走的路程＝环形周长建立方程求出其解即
可．
【解答】解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，由题意，得
{2.5x×4−4x= y
，
4x+300= y
{x=150
解得： ，
y=900
乙的速度为：150米/分，
甲的速度为：2.5×150＝375米/分；
答：乙的速度为150米/分，甲的速度为375米/分，环形场地的周长为900米．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时运用
环形问题的数量关系建立方程是关键．
【变式6-4】在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒
后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙．
（1）你能求出甲、乙两人的速度吗？
（2）若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出
发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？
【分析】（1）设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒；根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，根据题意列方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒；
{ 40(x+ y)=400
根据题意得， ，
200(x−y)=400
{x=6
解得： ，
y=4
答：甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒；
（2）设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，
{20(6−m)=a
根据题意得， ，
100(4−m)=a{m=3.5
解得： ，
a=50
答：丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．
【变式6-5】小亮和小莹练习赛跑，如果小亮先让小莹跑3秒，那么小亮跑6秒就能追上小莹；如果小
亮让小莹先跑20米，那么小亮跑10秒就追上小莹．
（1）两人每秒各跑多少米；
（2）在400米环形跑道上，两人从同一起点相向跑，第一次相遇时，用是多少秒．
【分析】（1）设小莹每秒跑x米，小亮每秒跑y米，根据题意可得，小亮10秒比小莹多跑20米，小莹
跑9秒跟小亮跑6秒的路程相等，据此列方程组求解；
（2）利用在400米环形跑道上，两人从同一起点相向跑，得出两人跑的距离差为400进而得出答案．
【解答】解：（1）设小莹每秒跑x米，小亮每秒跑y米，
{10x+20=10 y
由题意得， ，
9x=6 y
{x=4
解得： ，
y=6
答：小莹每秒跑4米，小亮每秒跑6米；
（2）设a秒时两人第一次相遇，根据题意可得：
6a﹣4a＝400，
解得：a＝200．
答：200秒时两人第一次相遇．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题
意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
题型七 工程问题
【例题7】一件工作，甲，乙合作20天后乙再单独做8天才完成，如果甲的效率提高10%，乙的效率提
高20%，合作20天就可完成全部工作，则甲独做这件工作多少天可以完成（ ）
A．28天 B．34天 C．48天 D．58天
【分析】设总工程为1，甲每天完成总工程的x，乙每天完成总工程的y，根据工作总量＝工作效率×工作时间，结合“甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作20天就可完成全
1
部工作”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出 x的值，再将其代入 中即可求出结
x
论．
【解答】解：设总工程为1，甲每天完成总工程的x，乙每天完成总工程的y，
{ 20x+(20+8)y=1
依题意得： ，
20×(1+10%)x+20×(1+20%)y=1
1
{x=
34
解得： ，
1
y=
68
1
∴ = 34，
x
∴甲独做这件工作34天可以完成．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
解题技巧提炼
工程问题：
①工作量＝人均效率×人数×时间；
②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量；
【变式7-1】（2021•泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工
时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两
工程队原计划平均每月分别修建多长？
【分析】设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，则两队原计划平均每
月修建（x+y）km，技术创新后两队原计划平均每月修建[（1+50%）x+y]km，根据原计划30个月完工，
通过技术创新提前5个月完工为等量关系即可列出二元一次方程组，求解即可求出结果．
【解答】解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，{ 150=30(x+ y)
根据题意得， ，
150=(30−5)[(1+50%)x+ y]
{x=2
解得 ，
y=3
答：甲工程队原计划平均每月修建2 km，乙工程队原计划平均每月修建3 km．
【变式7-2】某小区计划对外墙进行装饰维护．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要 6天完成，
小区总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司还需要8天来完成剩下的装
饰工作，小区总共需要支付9.2万元．问：甲、乙两个装饰公司每天分别收取多少费用？
【分析】设甲装饰公司平均每天收取的费用为x万元，乙装饰公司平均每天收取的费用为y万元，根据
“甲、乙两个公司各做6天，费用9.6万元；甲公司单独做2天，乙公司单独做8天，付费用9.2万
元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲装饰公司平均每天收取x万元，乙装饰公司平均每天收取y万元．根据题意得，
{6x+6 y=9.6
，
2x+8 y=9.2
{x=0.6
解得 ，
y=1
答：甲装饰公司平均每天收取0.6万元，乙装饰公司平均每天收取1万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式7-3】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共
3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问：
（1）甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？
（2）已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，单独请哪组，商店所付费用较少？
【分析】（1）设甲单独工作一天需要x元，乙单独工作一天商店需付y元，根据两组合作8天需付3520
元，甲组单独做6天，乙组单独做12天，需付费用共3480元，据此列方程组求解；
（2）求出两组的总费用，然后选择较少的一组．
【解答】解：（1）设甲单独工作一天需要x元，乙单独工作一天商店需付y元，
{8(x+ y)=3520
由题意得， ，
6x+12y=3480
{x=300
解得： ．
y=140
答：甲单独工作一天需要300元，乙单独工作一天商店需付140元；（2）甲单独完成需付：300×12＝3600（元），
乙单独完成需付：140×24＝3360（元）．
答：选择乙组商店所付费用较少．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组求解．
【变式7-4】（2023•定安县一模）阅读理解：
为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为 360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工
程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天．
（1）根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
{
x+ y=()
{ x+ y=()
甲： ，乙： x y ．
24x+16 y=() + =()
24 16
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所
列的方程组：
甲：x表示 ，y表示 ；
乙：x表示 ，y表示 ；
（2）求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？
【分析】（1）甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；
乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可；
（2）根据二元一次方程组的解法求解方程组甲．
{ x+ y=20
【解答】解：（1）甲： ，
24x+16 y=360
{
x+ y=360
乙： x y ；
+ =20
24 36
甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量；
故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量．
{ x+ y=20①
（2） ，
24x+16 y=360②
①×16﹣②得：﹣8x＝﹣40，
解得：x＝5，
把x＝5代入①得：5+y＝20，解得：y＝15，
{ x=5
∴方程组的解为： ，
y=15
则24x＝120，16y＝240，
答：A队整治河道120米，B队整治河道240米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目
中的相等关系，列方程组求解．
【变式7-5】（2022春•杭州月考）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完
成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用
3480元．
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完
后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．
【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“甲、乙两个装修组同
时施工8天，需付两组费用共3520元；甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480
元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，根据“请甲、乙两个装修组同时施
工，8天可以完成；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成”，即可得出关于m，n的二
元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可求出甲、乙两个装修组单独施工所需时间，利用总费用
＝（每天需付装修费+200）×装修时间，可求出三个方案所需装修费用及耽误营业损失的费用之和，比较
后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，
{8x+8 y=3520
依题意得： ，
6x+12y=3480
{x=300
解得： ．
y=140
答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．
（2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，
{8m+8n=1
依题意得： ，
6m+12n=11
{m=
12
解得： ，
1
n=
24
1
∴甲组单独完成装修所需时间为1÷ =12（天），
12
1
乙组单独完成装修所需时间为1÷ =24（天）．
24
施工方案①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+200）×12＝6000（元）；
施工方案②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（140+200）×24＝8160（元）；
施工方案③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，
∴方案③请甲，乙两组合做最有利于商店经营．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
题型八 商品销售问题
【例题8】（2022•义乌市模拟）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售
该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（ ）
A．95元，180元 B．155元，200元
C．100元，120元 D．150元，125元
【分析】设每件商品定价x元，进价y元，由题意表示出销售8件和销售12件的利润，进而列出方程
组，求出方程组的解即可．
【解答】解：设每件商品定价x元，进价y元，
{ x= y+45
根据题意得： ，
8(0.85x−y)=12×(45−35)
{x=200
解得： ，
y=155
即该商品每件进价155元，定价每件200元，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找出正确等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．解题技巧提炼
销售问题基本的数量关系式：
利润
①利润＝售价﹣进价，利润率= ×100% .
进价
②售价=进价+利润=进价×（1+利润率）=标价×折扣.
【变式8-1】（2022秋•西安期末）直播带货已经成为年轻人购物的新时尚．某网红为回馈粉丝，在直
播间为某品牌带货促销：凡购买该品牌产品均享受13%的补贴（凭付款截屏到线上客服处返现）．某
粉丝购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600
元．
（1）该粉丝可以到线上客服处返多少元现金？
（2）该粉丝所买的空调与电视的单价各是多少元？
【分析】（1）利用返的现金＝付款金额×13%，即可求出结论；
（2）设该粉丝所买的空调的单价是x元，电视的单价是y元，根据“购买该品牌电视和空调各一台共花
去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程
组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）6000×13%＝780（元）．
答：该粉丝可以到线上客服处返780元现金．
（2）设该粉丝所买的空调的单价是x元，电视的单价是y元，
{x+ y=6000
根据题意得： ，
x−2y=600
{x=4200
解得： ．
y=1800
答：该粉丝所买的空调的单价是4200元，电视的单价是1800元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-2】（2022•甘井子区校级模拟）某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八
折，乙种商品打七五折，已知打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲
种商品和40件乙种商品需5200元．
（1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？（2）某人购买甲种商品80件，乙种商品100件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？
【分析】（1）设打折前甲种商品每件x元，乙种商品每件y元，根据“打折前，买6件甲种商品和3件
乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元”，即可得出关于x，y的二元
一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省的钱数＝打折前购买所需费用﹣打折后购买所需费用，即可求出结论．
【解答】解：（1）设打折前甲种商品每件x元，乙种商品每件y元，
{ 6x+3 y=600
依题意，得： ，
50×0.8x+40×0.75 y=5200
{x=40
解得： ．
y=120
答：打折前甲种商品每件40元，乙种商品每件120元．
（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120＝3640（元）．
答：打折后购买这些商品比不打折可节省3640元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-3】（2022秋•和平区期末）（列二元一次方程组求解）
水果经营户老李用520元从水果批发市场批发苹果和橙子共50千克，然后到水果市场去卖，已知苹果和
橙子当天的批发价和零售价如表所示：
品名 苹果 橙子
批发价（元/千克） 8 12
零售价（元/千克） 10 15
（1）求老李购进的苹果和橙子各多少千克？
（2）如果苹果和橙子全部卖完，请直接写出老李能赚 元．
【分析】（1）设老李购进苹果x千克，橙子y千克，根据老李用520元从水果批发市场批发苹果和橙子
共50千克，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论．
【解答】解：（1）设老李购进苹果x千克，橙子y千克，
{ x+ y=50
根据题意得： ，
8x+12y=520
{x=20
解得： ．
y=30
答：老李购进苹果20千克，橙子30千克；（2）（10﹣8）×20+（15﹣12）×30
＝2×20+3×30
＝40+90
＝130（元），
∴苹果和橙子全部卖完，老李能赚130元．
故答案为：130．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次
方程组是解题的关键．
【变式8-4】（2022秋•南山区校级期末）某商场第1次用390000元购进A、B两种商品，销售完后获得
利润60000元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量）
商品价格 进价（元/件） 售价（元/件）
A 1000 1200
B 1200 1350
（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进A、B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次的
2倍，B商品按原售价销售，而A商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润
等于18000元，则A种商品是打几折销售的？
【分析】（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件，列出方程组可求解；
（2）设A商品打m折销售，由（1）得A、B商品购进的数量，结合（2）中数量的变化，再根据第2次
经营活动获得利润等于18000元，得出方程即可．
【解答】解：（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件，
{ 100x+1200 y=390000
根据题意得： ，
(1200−1000)x+(1350−1200)y=60000
{x=150
解得： ，
y=200
答：商场第1次购进A商品150件，B商品200件；
（2）设A商品打m折销售，
根据题意得：购进A商品的件数为：150×2＝300（件），
m
则：300×(1200× −1000)+200×(1350−1200)=18000，
10
解得：m＝8，
答：A商品打8折销售．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正
确列出二元一次方程组和一元一次方程．
【变式8-5】（2022秋•渠县期末）正值春夏换季的时节，某商场用 12000元分别以每件120元和60元
的价格购进了某品牌衬衫和短袖共140件．
（1）商场本次购进了衬衫和短袖各多少件？
（2）若该商场以每件180元的价格销售了衬衫总进货量的25%，将短袖在成本的基础上提价20%销售，
在销售过程中，有5件衬衫因损坏无法销售，为了减少库存积压，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基
础上降价销售，每件衬衫降价多少元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到利润25.5%的预期目标．
【分析】（1）设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合商场用
12000元购进某品牌衬衫和短袖共140件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设每件衬衫降价m元，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可得出关于m的一元一次
方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件，
{ x+ y=140
依题意得： ，
120x+60 y=12000
{x=60
解得： ．
y=80
答：商场本次购进了衬衫60件，短袖80件．
（2）设每件衬衫降价m元，
依题意得：180×60×25%+（180﹣m）[60×（1﹣25%）﹣5]+60×（1+20%）×80﹣12000＝12000×25.5%，
解得：m＝15．
答：每件衬衫降价15元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
题型九 解决分类问题
【例题9】（2021春•奉化区校级期末）某公园的门票价格规定如表：
购票人数 1～50人 51～100人 100以上
票价 10元/人 8元/人 5元/人（1）某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如
果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515
元．问：甲、乙两班分别有多少人？
（2）若有A、B两个团队共160人，以各自团队为单位分别买票，共用950元，问A、B两个团队各有多
少人？
【分析】（1）本题等量关系有：甲班人数×8+乙班人数×10＝920；（甲班人数+乙班人数）×5＝515，据
此可列方程组求解；
（2）A团队a人，B团队（160﹣a）人，根据收费标准进行分类讨论，并列出方程进行解答．
【解答】解：（1）设甲班有x人，乙班有y人．
{8x+10 y=920
由题意得： ，
5(x+ y)=515
{x=55
解得： ．
y=48
答：甲班55人，乙班48人；
（2）设A团队a人，B团队（160﹣a）人，
①当1≤a≤50时，由题意得：10a+5（160﹣a）＝950，
解得a＝30，
则160﹣a＝130．
即A团队30人，B团队130人；
②当51≤a＜60时，由题意得：8a+5（160﹣a）＝950，
解得a＝50，不合题意，舍去．
③当60≤a＜100时，由题意得：8a+8（160﹣a）＝950，明显该等式不成立．
④当100≤a＜110时，5a+8（160﹣a）＝950．
解得a＝110，不合题意，舍去；
⑤当a≥110时，5a+10（160﹣a）＝950．
解得a＝130，则160﹣a＝30．
即A团队130人，B团队30人；
综上所述，A团队30人，B团队130人或A团队130人，B团队30人．解题技巧提炼
本题运用了分类讨论思想，找到两个基本的等量关系式后，应根据不同范围的
重量找到相应的价格作答，在进行分类讨论时，要做到标准统一，既不重复，也
不遗漏。
【变式9-1】（2022秋•迎泽区校级月考）利用二元一次方程组解决问题：
心理学中，一个人的新习惯或理念的形成，至少需要坚持不懈的努力 31天．老师准备为同学们购买自律
打卡本，共同促进大家自律习惯的养成．临近双12，天猫活动规则：满500减20，满800减40，满800
同时还可以叠加20元的店铺券．某款打卡本价格如下表：
购买数量/本 1～50 51～100 100以上
每本价格/元 12 10 8
某校八年级（1）（2）两个班共102人，其中（1）班人数较少，有40多人，不到50人，（2）班人数较
多，有50多人，不到60人．如果两班都以班级为单位分别购买，则一共应付 1078元；如果两班联合起
来一起购买，则可以节省不少钱．
（1）两班各有多少名学生；
（2）联合起来购买还能省多少钱．
【分析】（1）设八年级（1）（2）班分别有x、y人，先确定x、y的范围，然后根据题意列出二元一次
{ x+ y=102
方程组 ，求解方程组即可得解；
12x+10 y−40=1078
（2）将1078元减去联合起来购票应付款756元，即可得解．
【解答】（1）解：设八年级（1）（2）班分别有x、y人，
当x＝41或42时与y＝51或52时，均不符合题意；
∴42＜x＜50，52＜y＜60，
∴504＜12x＜600，520＜10y＜600，
{ x+ y=102
∴根据题意， ，
12x+10 y−40=1078
{ x+ y=102①
整理得： ，
6x+5 y=559②
由②﹣①×5，得x＝49，将x＝49代入①得y＝53；
答：两班各有49名、53名学生；
（2）解：∵102×8＝816＞800，
∴联合起来购票应付：816﹣40﹣20＝756，1078﹣756＝322元，
答：联合起来购买还能省钱322元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找出题目中的等量关系列出方程组是解答
此题的关键．
【变式9-2】某水果批发市场苹果的价格如下表：
购买苹果（千克） 不超过20千克的部 20千克以上但不超过40千克的部分 40千克以上的部
分 分
每千克的价格 6元 5元 4元
（1）①若小明第一次购买15千克需付费 元；
②若小明第二次购买26千克需付费 元．
（2）若小强分两次共购买100千克，第一次购买a千克，且第二次购买的重量超过第一次购买的重量，
小强两次购买苹果共付费多少元？（用含a的代数式表示）
【分析】该题目是分段收费的问题；要注意购买的千克数在哪个段，就按哪个段的价格算总费用；
总费用＝单价×数量；
（1）根据苹果的价格表计算；
（2）“小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量”可以知道第一次购买的
数量要小于50千克；由于a的取值范围不确定，需要用分类讨论的思想进行解答，
当a≤20时，分别算第一次和第二次的总费用；
当20＜a≤40时，注意第一次购买有2段费用，第二次购买有3段费用，然后再相加；
当40＜a＜50时，注意第一次购买有3段费用，第二次购买也有3段费用，然后再相加；记得最后结果要
化为最简的形式．
【解答】解：（1）①由题意得15×6＝90（元）．
故答案为：90；
②由题意得20×6+（26﹣20）×5＝150（元）．
故答案为：150；
（2）∵再次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，
∴a＜50，
当a≤20时，需要付费为：6a+20×6+20×5+4×（100﹣a﹣40）
＝6a+120+100+400﹣4a﹣160
＝（2a+460）（元）；
当20＜a≤40时，需要付费为：
6×20+5×（a﹣20）+20×6+20×5+4×（100﹣a﹣40）
＝120+5a﹣100+120+100+400﹣4a﹣160
＝（a+480）（元）；
当40＜a＜50时，需要付费为：
6×20+5×20+4×（a﹣40）+20×6+20×5+4×（100﹣a﹣40）
＝120+100+4a﹣160+120+100+400﹣4a﹣160
＝520（元）．
【变式9-3】（2022•南京模拟）为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共
92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出．下面
是某服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1～45套 46～90套 91套及以上
每套服装的价格（元/套） 60 50 40
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付款5000元．
（1）如果甲、乙两校联合购买服装一共需要付款 元；
（2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（列方程组解应用题）
（3）如果甲校有10名同学因故不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案．
【分析】（1）直接将人数乘以对应单价即可；
（2）先确定两校人数，得到购买单价，再列出方程组计算即可；
（3）先求出按照82人购买的金额，再计算按照91人购买的金额，进行比较即可．
【解答】解：（1）92×40＝3680（元），
∴甲、乙两校联合购买服装一共需要付款3680元，
故答案为：3680；
（2）∵甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人），
∴46＜甲校需要购买服装的套数＜90，2＜乙校需要购买服装的套数＜46，
设甲校有x名学生准备参加演出，乙校有y名学生准备参加演出，{ x+ y=92
根据题意可得： ，
50x+60 y=5000
{x=52
解得 ，
y=40
答：甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出．
（3）由题意得，甲乙两校一共能参加的学生为82人，
两校联合购买82套服装需要的费用为：50×82＝4100（元），
两校联合购买91套服装需要的费用为：40×91＝3640（元），
∵3640＜4100．∴两校联合购买91套服装最省钱．
【点评】本题考查了方案选择问题，涉及到了二元一次方程组的应用，解题关键是正确理解与分析题
意，列出方程组．
