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2022-2023 学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 11 相似三角形的判定和性质
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022·衢州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于 的
长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，
交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）（2022八下·莱芜期末）如图，在 中，AD是BC边上的高，在 的内部，作一个正
方形PQRS，若 ， ，则正方形PQRS的边长为（ ）A． B． C．1 D．
3．（2分）（2022八下·东营期末）如图，点A在x轴正半轴上，点B在第二象限内，直线AB交y轴于点
F， 轴，垂足是C，反比例函数 的图象分别交BC，AB于点 ，E，若 ，
则△ABC的面积为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
4．（2分）（2022八下·莱芜期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，其
中对应点C和F的坐标分别为 ， ，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）（2022八下·泰安期末）如图， ， ， ，D为 上一点，且 ，
在 上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与 相似，则 等于（ ）A． 或 B．10或
C． 或10 D．以上答案都不对
6．（2分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y
轴上，AB交x轴于点E， 轴，垂足为F．若 ， ．以下结论正确的个数是（ ）
① ；②AE平分 ；③点C的坐标为 ；④ ；⑤矩形ABCD的面积
为 ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2分）（2022八下·济宁期末）如图，在菱形 中， ， 交BC的延长
线于点E．连接AE交BD于点F，交CD于点G、 于点H，连接CF．有下列结论：① ；
② ；③ ；④ ．其中正确结论个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2分）（2022·东营）如图，已知菱形 的边长为2，对角线 相交于点O，点M，N分
别是边 上的动点， ，连接 .以下四个结论正确的是（ ）
① 是等边三角形；② 的最小值是 ；③当 最小时 ；④当
时， .
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．（2分）（2022·龙东）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，
交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：① ；② ；
③ ；④若 ，则 ；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面
积的 ．其中正确的结论是（ ）A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
10．（2分）（2022·绥化）如图，在矩形 中，P是边 上的一个动点，连接 ， ，过点B
作射线，交线段 的延长线于点E，交边 于点M，且使得 ，如果 ，
， ， ，其中 ．则下列结论中，正确的个数为（ ）
⑴y与x的关系式为 ；（2）当 时， ；（3）当 时，
．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
评卷人 得 分
二．填空题（共10小题，每题2分，满分20分）
11．（2分）（2022八下·本溪期末）如图，在 中， ， ， ，点P
为斜边 上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作 ， ，垂足分别为点D
和点E，连接 ， 交于点Q，连接 ，当 为直角三角形时， 的长是 ．12．（2分）（2022八下·宁安期末）如图，将长8cm，宽4cm的矩形ABCD纸片折叠，使点A与C重合，
则折痕EF的长为 cm．
13．（2分）（2022八下·环翠期末）如图，在平面直角坐标系中，等边 与等边 是以原点为
位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A、B、D在x轴上，若等边 的边长为12，则点C的坐标为
．
14．（2分）（2022·安顺）已知正方形 的边长为4， 为 上一点，连接 并延长交 的
延长线于点 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ， 为 的中点， 为 上
一动点，分别连接 ， ．若 ，则 的最小值为 ．15．（2分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中， 与 位似，位似中心是坐标原点
O．若点 ，点 ，则 与 周长的比值是 ．
16．（2分）（2022八下·建昌期末）如图，在矩形 中， 为 中点， 经过点 且
，交 于点 ，交 于点 ，点 为 的中点， ．则以下结论中：①
；② ；③ 是等边三角形；④ ，其中正确结论的序号为
．
17．（2分）（2022八下·合阳期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交
于点G．若 ，则CG的长是 ．18．（2分）（2022八下·惠山期末）如图，四边形OACB是平行四边形，OB在x轴上，反比例函数
（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F.若点F为BC的中点，△AOF的面积为6，则 k的值
为 .
19．（2分）（2022·河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边
形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝ BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，
作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ .
20．（2分）（2022·贵阳）如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，
， .若 ，则 的面积是 ，
度.评卷人 得 分
三．解答题（共8题，满分60分）
21．（7分）（2022八下·东营期末）如图，在 中， ， ，
，动点M从点B出发，在 边上以每秒 的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出
发，在 边上以每秒 的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（ ），连接 ．
（1）（3分）若 ，求t的值；
（2）（4分）若△NBM∽△ABC，求t的值．
22．（10分）（2022八下·钢城期末）如图，已知在 中， ， 平分 ，交边于点D，E是 边上一点，且 ，过点A作 ，分别交 ， 于点F，G，连接
．
（1）（3分）求证： ；
（2）（3分）求证：四边形 是菱形；
（3）（4分）若 ， ，求 的长．
23．（5分）（2021·嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩
形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存
在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
24．（6分）（2020九上·路南期末）如图（图形不全），等边三角形 中， ，点 在
直线 上，点 在直线 上，且 ，当 时，求 的长．几位同学通过探究得出结论：此题有多种结果．有同学已经得出两个符合题意结论：①当点 在边
上、点 在边 上时， ；②当点 在边 上、点 在 的延长线上
时， ．
要求：请针对其它情况，继续求出 的长，并写出总的正确结论．
25．（6分）（2021九上·肥城期末）附加题：
如图，在 中， ， ，垂足为 ， 、 分别为 、
的中点， ，垂足为 ，求证： ．
26．（10分）（2022·南通）如图，矩形 中， ，点E在折线 上运动，将
绕点A顺时针旋转得到 ，旋转角等于 ，连接 ．（1）（3分）当点E在 上时，作 ，垂足为M，求证 ；
（2）（3分）当 时，求 的长；
（3）（4分）连接 ，点E从点B运动到点D的过程中，试探究 的最小值．
27．（7分）（2020·天津）在 中，弦 与直径 相交于点P， ．
（1）（3分）如图①，若 ，求 和 的大小；
（2）（4分）如图②，若 ，过点D作 的切线，与 的延长线相交于点E，求
的大小．
28．（9分）（2022八下·莱芜期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：（1）（1分）问题发现：如图1， 中， ， ．点P是底边BC上一点，连接
AP，以AP为腰作等腰 ，且 ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是 ；
（2）（4分）变式探究：如图2， 中， ， ．点P是腰AB上一点，连接
CP，以CP为底边作等腰 ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
（3）（4分）问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，
点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 ， ，求正方形
ABCD的边长．
