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专题 11 用公式法求解一元二次方程(重难题型)
1．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，得一元二次方程的根的判别式大于零，建立不等式求解即可．
【详解】
∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ＝ ＞0，
△
∴ ＞0，
∴ ，
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系，并能
灵活选择计算是解题的关键．
2．关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【答案】A
【分析】
由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令△＞0，即可求出m的取值范围，要注
意，m2﹣1≠0．再令方程为一元一次方程，进行解答．
【详解】
解：当方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1=0为一元二次方程时，m2﹣1≠0，即m≠±1．
∵关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1=0有实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣1）＝﹣8m+8≥0，解得m≤1；∴m＜1，
当方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0为一元一次方程时，m2﹣1＝0且2（m﹣1）≠0，
则m＝﹣1，
综上，m＜1时方程有实数根．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的判别式，掌握△≥0等价于一元二次方程有两个实数根，△
＜0等价于一元二次方程没有实数根，是解题的关键．
3．定义：当关于 的一元二次方程 满足 时，称此方程为
“合理”方程．若“合理”方程 有两个相等的实数根，则下列等式正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据一元二次方程有两个相等的根得 =n2-4mp=0，再由“合理”方程得4m-2n+p=0，再
对两式进行恒等变换和代入即可．
【详解】
解：
∵“合理”方程有两个相等的实数根
∴ 4m-2n+p=0 ①
=n2-4mp=0 ②
则有 p=2n-4m代入②得：
n2-4m (2n-4m) =0
16m2-8mn=- n2
16m2-8mn+n2=-n2+n2
∴(4m-n)2=0
∴4m=n，代入①得
n-2n+p=0
∴n=p∴ 4m=n=p
故选：D
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，灵活对等式进行恒等变换是关键．整体代入是常用的方
法．
4．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，下列结论正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据根的判别式建立不等式求解即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ＞0，
△
∴ ＞0，
∴ ＞0，
∴ ＞0，
∴ ，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况，熟练建立不等式是解的关键．
5．对于实数 a，b，定义运算“#”如下：a#b＝a2－ab，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x
＋1）#3＝2的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题根据题目所给新定义将方程（x＋1）#3＝2变形为一元二次方程的一般形式，即
的形式，再根据根的判别式 的值来判断根的情况即可．
【详解】
解：根据题意得（x＋1）#3＝2可以变形为：
，
提公因式可得：
，
化简得：
，
，
，
根据根的判别式 可知该方程有两个不等的实数根．
故选D．
【点睛】
本题主要考查新定义运算，将新定义方程化为一元二次方程的一般形式，根的判别式，根
据题目所给的定义对方程进行变形后依据 的值来判断根的情况，注意 时有两个不
相等的实数根； 时有一个实数根或两个相等的实数根； 时没有实数根．
6．当 时，关于 的一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】
计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．【详解】
解：∵在一元二次方程 中a=1，b=4，c=-k，
∴ ，
∵当 时， ，
∴方程有两个不等的实数根，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
7．已知关于x的方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＞ C．k＜ 且k≠0 D．k＞ 且k≠0
【答案】C
【分析】
由方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和△的意义得到
k≠0，且△＞0，即22﹣4•k•3＞0，然后解不等式求出它们的公共部分即可．
【详解】
解：∵x的方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0，且△＞0，即22﹣4•k•3＞0，解得k＜ ，
∴k的取值范围为：k＜ 且k≠0．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac，解题关键是明确
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方
程没有实数根，列出不等式，注意：二次项系数不为0．
8．若方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（ ）
A．c=10 B．c=5 C．c=-5 D．c=4【答案】D
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根得出△＝c 2﹣4×1×4＞0，代入判断即可．
【详解】
解：根据题意，得：△＝c 2﹣4×1×4＞0，即c 2﹣16＞0，
当c=10时，c 2﹣16＞0，方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，不符合题意；
当c=5时，c 2﹣16＞0，方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，不符合题意；
当c=-5时，c 2﹣16＞0，方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，不符合题意；
当c=4时，c 2﹣16=0，方程x2-cx+4=0有两个相等的实数根，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式确定字母的范围．
9．若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2+m-1=0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．以上都不对
【答案】C
【分析】
根据判别式的意义得到△＝（﹣2m）2﹣4（m2+m-1）＝0，然后解关于m的方程即可．
【详解】
解：根据题意得△＝（﹣2m）2﹣4（m2+m-1）＝0，
解得m＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜
0时，方程无实数根，解题关键是根据题意列出方程．
10．一元二次方程（x-1）（x+5）=3x+1的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】
把方程整理成一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式△的符号，即可判断根的情况．【详解】
解：∵（x-1）（x+5）=3x+1
∴原方程可化为x2+x-6=0，
∵a=1，b=1，c=-6，
∴△=b2-4ac=12-4×1×（-6）=25＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当
△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△
＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
11．定义一种新运算“ ”，对于任意实数 ， ， ，如
，若 （ 为实数）是关于 的方程，则它的根的情
况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
利用新定义得到x2＋2kx−k2−1＝0，然后利用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△
＝b2−4ac的关系可得△＞0，即可判断方程根的情况．
【详解】
解：由新定义得x2＋2kx−k2−1＝0，
∵△＝（2k）2−4×1×（−k2−1）＝8k2＋4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
12．小明把分式方程 去分母后得到整式方程 ，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）
A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解
C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解
【答案】C
【分析】
解分式方程 去分母后得到整式方程 ，由于 ，
得到方程 无实数根，于是得到结论．
【详解】
解：∵分式方程 去分母后得到整式方程 ，
，
∴方程 无实数根，
∴方程 无解，
故整式方程不正确，分式方程无解，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判别式,熟练将分式方程转化为一元二次方程
是解题的关键．
13．小刚在解关于 的方程 时，只抄对了 ， ，解出其中
一个根是 ．他核对时发现所抄的 比原方程的 值小1，则原方程的根的情况是（
）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根
【答案】A【分析】
直接把已知数据代入，进而得出 的值，再根据根的判别式判别即可．
【详解】
解： 小刚在解关于 的方程 时，只抄对了 ， ，解出其
中一个根是 ，
代入 得： ，
解得： ，
∵核对时发现所抄的 比原方程的 值小1，
故原方程中 ，
原方程为 ，
∴
∴原方程的根的情况是不存在实数根，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，正确得出 的值是解题关键．
14．若关于x的一元二次方程 x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣
2）2＋2k（1﹣k）的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【答案】D
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式求出 的值，再代入求值即可得．
【详解】解：由题意得：方程 根的判别式 ，
整理得： ，即 ，
则 ，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是
解题关键．
15．关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ， ，且以 ， ，
6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则 的值为（ ）
A．24 B．25 C．24或25 D．无法确定
【答案】C
【分析】
分类讨论6为底边和6为腰两种情况，结合一元二次方程的根与其根的判别式的情况即可
确定 的值．
【详解】
解：①当6为底边时，则 ，
∴ ，∴ ，
∴方程为 ，
解得： ，
∵ ，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
②当6为腰时，则设 ，
∴ ，
∴ ，
∴方程为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述： 或25．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形三边关系以及一元二次方程的根与根的判别式．利用分类讨论的思想是解
答本题的关键．
16．对于函数 ，我们定义 （ ， 为常数）．例如：
，则 ．已知： ，若方程 有两
个相等的实数根，则 的值为（ ）A．0 B． C． D．1
【答案】D
【分析】
先求出 ，再利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】
解：由题意得： ，即 ，
方程 有两个相等的实数根，
此方程根的判别式 ，
解得 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据新定义求出 是解题关键．
17．定义；如果一元二次方程 (a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为
“蜻蜓”方程．已知关于x的方程 (a≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的
实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．a=c≠b B．a=b≠c C．b=c≠a D．a=b=c
【答案】A
【分析】
由条件可知a+b+c=0，再根据方程根的判别式得到到b2-4ac=0，整理可得出结论．
【详解】
解：由条件可知a+b+c=0，
所以-b=a+c，
又因为方程有两个相等的实数根，
所以△=0，即b2-4ac=0，所以（a+c）2-4ac=0，
整理可得（a-c）2=0，
所以a=c，
所以，a=c≠b
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到到知a+b+c=0和b2-4ac=0
是解题的关键．
18．关于x的一元二次方程 （a，b是常数，且 ）（ ）
A．若 ，则方程可能有两个相等的实数根 B．若 ，则方程可能没有实数根
C．若 ，则方程可能有两个相等的实数根D．若 ，则方程没有实数根
【答案】C
【分析】
先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△=b2+36a，则a＞0时，△＞0，则根据判别
式的意义可对A进行判断；当a＜0时，可能△＞0或△=0或△＜0，则根据判别式的意义可
对B、C、D进行判断．
【详解】
解：ax2+bx-9=0，
△=b2-4×a×（-9）=b2+36a
当a＞0时，△＞0，方程有两个不相等的实数根
当a＜0时，△＞0或△=0或△＜0，方程可能有两个不相等的实数根或方程有两个相等的实
数根或没有实数解
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当
△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，
方程无实数根．
19．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】D
【分析】
根据根的判别式判断 ．
【详解】
解：∵△＝4﹣20＝﹣16＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根的情况，熟练掌握根判别式的计算方法及应用是解题关键．
20．若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k≥5 B．k≥5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k≤5
【答案】D
【分析】
分类讨论：该方程是一元二次方程和一元一次方程．一元二次方程的二次项系数不等于零
且根的判别式大于零．
【详解】
解：①当该方程是关于x的一元一次方程时，k﹣1＝0即k＝1，此时x＝﹣ ，符合题意；
②当该方程是关于x的一元二次方程时，k﹣1≠0即k≠1，此时△＝16﹣4（k﹣1）≥0．
解得k≤5；
综上所述，k的取值范围是k≤5．
故选：D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，解题时需要注意：已知方程没有指明是关于x的一元二次
方程，需要分类讨论．
21．如果 和 是非零实数，使得 和 ，那么 的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合2个式子可得 ，分 与 两种情况讨论，求出
的值，由 ，求出 的值，相加即可得答案．
【详解】
解：根据题意， 则 ，
又由 ，
则有 ，
因为x和y是非零实数，分2种情况讨论：
①当 时，由 得到： ，
变形可得： ，无解；
②当 时，由 得到 ，
变形可得： ，
解可得： 或 ，（舍）
综合可得： ，则 ，
；
故选择：D．
【点睛】
本题考查超越方程组解法，因式分解的应用，一元二次方程解法，掌握超越方程组解法，
因式分解的应用，一元二次方程的解法，关键是消y后分类讨论．
22．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，那么a的值应在（ ）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
【答案】C【分析】
先求出方程的解，再求出较大的实数根a的范围，最后即可得出答案．
【详解】
解：解方程2x2﹣2x﹣1＝0得 ，
∵a是方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根，
∴a＝ ，
∵1＜ ＜2，
∴2＜ ＜3，
即1＜a＜ ．
故选：C
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是
解题的关键．
23．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（
）
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥ 且k≠1
【答案】D
【分析】
根据二次项系数不为0和△≥0列不等式组即可．
【详解】
解：根据关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
列不等式组得， ，解得，k≥ 且k≠1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式列不等式，注意：
一元二次方程二次项系数不为0．
24．已知关于x的一元二次方程标 有两个不相等的实数根，则
实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
【答案】C
【分析】
由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，
解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】
解：由题可得： ,
解得： 且 ；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关
键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式
（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
25．若关于x的一元二次方程 有实数根，则字母k的取值范围是（ ）A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，然后求出
两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，
解得 且k≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当
△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0
时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
26．已知关于x的一元二次方程2x2－kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为_____；
【答案】
【分析】
由方程根的个数，结合根的判别式，即可得出k的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：∵一元二次方程2x2－kx+4=0有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是找出关于k的一元二次方程．
本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程
（不等式或不等式组）是关键．27．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为_____．
【答案】-1
【分析】
利用一元二次方程的定义及根的判别式计算求出m、n的值，再代入计算．
【详解】
解：由题意得m-1=2，16+4n=0，
解得m=3，n=-4，
∴ =3-4=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义及利用根的情况求未知数的值，熟记一元二次方程的定义及
根的三种情况是解题的关键．
28．解一元二次方程 ．
（1）请把方程左边变形，利用直接开方法求解；
（2）请利用公式法求解．
【答案】（1） ；（2）
【详解】
解：（1）原方程可变形为 ，
直接开平方，得 或 ，
即 ．（4分）
（2）原方程化为一般形式，得 ，
．
；
即 ．（4分）29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，
求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k=3
【分析】
（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答
案；
（2）根据△ABC的两边AC、BC的长是这个方程的两个实数根，则3是方程的一个根，代
入方程即可求出k的值．
【详解】
解：（1）∵△=[﹣(k+1)]2﹣4×1×(2k﹣3)
=k2+2k+1﹣8k+12
=(k-3)2+4，
∵无论k为何实数，(k-3)2≥0，
∴(k-3)2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵AC、BC为方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的两个实数根，
由（1）可得，AC≠BC，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AC=AB=3或BC=AB=3，
∴方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3＝0必有一根为x=3，
∴32﹣3(k+1)+2k﹣3=0，
解得k=3．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1）△＞
0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方
程没有实数根．
30．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；（2）若方程的两根都为整数，求正整数 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）直接运用一元二次方程根的判别式列不等式解答即可；
（2）先运用求根公式求解，然后根据根为整数以及二次根式有意义的条件列式解答即可．
【详解】
解：（1）∵关于 的方程 有两个实数根，
∴ ，解得， ；
（2）由题意得，
，
∵ 为整数，且 为正整数，
∴ 或 ，
又∵
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式、运用公式法解一元二次方程等知识点，灵活运
用相关知识点成为解答本题的关键．
31．已知关于x的方程 有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
【答案】（1） 且 ；（2）
【分析】
(1)因为一元二次方程有两个实数根,所以必须满足下列条件:二次项系数不为零且判别式
，列出不等式求解即可确定k的取值范围．(2）在k的取值范围内确定最大整数，代入原方程，再运解方程即可．
【详解】
解：（1）∵关于x的方程 有两个实数根，
∴ 且 ．
．
∴ 且 ．
∴ 且 ．
（2）当k取最大整数时， ，
此时，方程为 ，
解得 ．
∴当 时，方程的根为 ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，解一元二次方程、熟练并正确解方程是重点，熟知一元
二次方程根的情况是关键
32．已知x ，x 是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．
1 2
（1）求a的取值范围；
（2）求使代数式（x +1）（x +1）值为负整数的实数a的整数值；
1 2
（3）如果实数a，b满足b＝ +50，试求代数式x 3+10x 2+5x ﹣b的值．
1 2 2
【答案】（1）a≥0且a≠6；（2）a＝7，8，9，12；（3）1100
【分析】
（1）由二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之
即可得出a的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x +x ＝﹣ ，x x ＝ ，结合（x +1）（x +1）的
1 2 1 2 1 2值为负整数可得出 为负整数，解之即可得出a的值；
（3）由被开方数非零及b＝ 可得出a，b的值，将a的值代入原一
元二次方程，利用根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x +x ＝10，x x ＝﹣5，x 2＝
1 2 1 2 1
10x +5，将其代入x 3+10x 2+5x ﹣b中即可求出结论.
1 1 2 2
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：a≥0且a≠6.
（2）∵x ，x 是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
∵（x +1）（x +1）＝x +x +x x +1＝﹣ + +1＝ 为负整数，
1 2 1 2 1 2
∴6﹣a＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，
∴a＝7，8，9，12.
（3）∵b＝ ，
∴a＝5，b＝50，
∴方程﹣x2+10x+5＝0，
∴x +x ＝10，x x ＝﹣5，x 2＝10x +5，
1 2 1 2 1 1
∴原式＝x 2•x +10x 2+5x ﹣b，
1 1 2 2
＝（10x +5）•x +10x 2+5x ﹣50，
1 1 2 2
＝10（x 2+x 2）+5（ x +x ）﹣50，
1 2 1 2
＝10（x +x ）2﹣20x x +5（ x +x ）﹣50，
1 2 1 2 1 2
＝10×102﹣20×（﹣5）+5×10﹣50，
＝1100．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、根的判别式，准确计算是解题的
关键．
33．已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）总有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即
可得出k的取值范围；
（2）由方程有两个相等的实数根，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值，将
k的值代入原方程中，再利用配方法解一元二次方程即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵方程总有实数根，
，
解得： ；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
，
解得： ，代入方程得：
，
解得： .
【点睛】
本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0
时，方程有实数根”；（2）牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”．
34．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．
【答案】（1）m≥ 且m≠1，（2）k＝3
【分析】
（1）根据判别式即可求出答案．
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】
解：（1）化为一般式：（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0，
∴ ，
解得：m≥ 且m≠1
（2）由（1）可知：m是最小整数，
∴m＝2，
∴（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2化为x2﹣4x＝0，
解得：x＝0或x＝4，
∵（k+1）x2+x+k﹣3＝0与（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，
∴当x＝0时，此时k﹣3＝0，
k＝3，
当x＝4时，16（k+1）+4+k-3＝0，
∴k＝﹣1，
∵k+1≠0，
∴k＝﹣1舍去，
综上所述，k＝3．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义，准确计算是解题的关键．
35．关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．【答案】（1）见详解；（2）k＜-1
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−3）2≥0，由此可证出方程总有两个实
数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x ＝-3，x ＝-k，根据方程有一根大于1，即
1 2
可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】
（1）证明：∵在方程 中，△＝（k＋3）2−4×1×3k＝k2−6k＋9＝
（k−3）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵ ，
∴x ＝-3，x ＝-k．
1 2
∵方程有一根大于1，
∴-k＞1，解得：k＜-1，
∴k的取值范围为k＜-1．
【点睛】
本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键
是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方
程结合方程一根大于1，找出关于k的一元一次不等式．
36．（1）计算： ；
（2）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程： ．
解： ．
．第一步，第二步
．第三步
，第四步
，或 ．第五步
， ．第六步
任务一：
①小颖解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
②解方程过程中第二步变形的依据是______；
任务二：请你用“公式法”解该方程．
【答案】（1） ；（2）任务一：① C；②等式的基本性质或等式两边同时加（或减）
同一个代数式，所得结果仍是等式；任务二： ，
【分析】
（1）化简，按照运算规则运算即可；
（2）任务一：①根据前三步可得知小颖解方程的方法是配方法，②方程两边同时加上一个
相同的数是运用了等式的基本性质；任务二：根据方程得知 、 和 的值，再根据公式
法把 、 和 的值代入求解．
【详解】解：（1）原式
．
（2）任务一：①根据前三步可得知小颖解方程的方法是配方法，故选C；
②解方程过程中第二步变形的依据是：等式的基本性质或等式两边同时加（或减）同一个
代数式，所得结果仍是等式；
任务二：
解方程： ．
， ， ．
，
．
， ．
【点睛】
本题考查了二次根式和实数的运算和一元二次方程的解法，正确化简，掌握配方法和公式
法是解题的关键．
37．关于 的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，求出此时方程的根．
【答案】（1）m≤1；（2） ．
【分析】
（1）根据题意得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据m的范围可知m=1，代入原方程后解方程即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵原方程有实数根，∴△=(-2)2-4×1×（3m-2）=12-12m≥0，
∴m≤1；
（2）∵m为正整数，又m≤1，
∴m=1．
当m=1时，原方程为x2-2x+1=0，
即 ，解得 ．
【点睛】
本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）由根
的情况得出关于m的一元一次不等式；（2）确定m的值．本题属于基础题，难度不大，
解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
38．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的 的最小整数值，并求出此时方程的
根．
【答案】（1） 且 ；（2） ； 或 ．
【分析】
（1）根据根的判别式计算即可；
（2）根据一元二次方程的解法求解即可；
【详解】
（1）∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
∴ 且 ；
（2）当 时， ，∴由求根公式可知： ，
∴ 或 ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，准确计算是解题的关键．
39．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．
（1）若方程有实根，求k的取值范围；
（2）若方程两根x ，x ，满足x 2＋x 2﹣4x x ＝1，求k的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】（1）k≥﹣3；（2）k＝9或k＝﹣1
【分析】
（1）根据方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况解答；
（2）根据根与系数的关系，以及x 2＋x 2﹣4x x ＝1得方程即可求解．
1 2 1 2
【详解】
解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实根，
①当方程为一元二次方程时， ≥0且k﹣1≠0，
即（﹣4）2﹣4（k﹣1）×（﹣1△）≥0，k≠1，
∴k≥﹣3且k≠1．
②当方程为一元一次方程时，k﹣1＝0，
∴k＝1，
综上，k≥﹣3时方程有实根；
（2）∵x 、x 是方程的两个实数根，
1 2
∴x ＋x ＝ ，x x ＝﹣ ，
1 2 1 2
∵x 2＋x 2﹣4x x ＝1，
1 2 1 2
∴（x ＋x ）2﹣6x x ＝1，
1 2 1 2
∴（ ）2＋ ＝1，
∴ ，∴ ，
∴ ，
解得：k＝9或k＝﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，掌握一元二
次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，利用根与系数关系构造新方
程是解题关键．
40．按要求解方程：
（1）x2﹣x﹣2＝0（公式法）；
（2）2x2+2x﹣1＝0（配方法）．
【答案】（1）x ＝2，x ＝﹣1；（2）x ＝ ，x ＝
1 2 1 2
【分析】
（1）利用公式法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
【详解】
（1）解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，
∴ b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴ x＝ ＝ ＝ ，
∴ x ＝2，x ＝﹣1
1 2
（2）解：2x2+2x＝1，
x2+x＝ ，
x2+x+ ＝ + ，即（x+ ）2＝ ，
∴ x+ ＝± ，∴ x ＝ ，x ＝
1 2
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种解法是解本题的关键；
