文档内容
专题 2.1-3 二次函数的图象和性质
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是 ，经过两次降价后的价格
（单位：元）随每次降价的百分率 的变化而变化， 与 之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据每次降价的百分率都是 ，经过两次降价后的价格 ，列出函数关系式即可求解．
【详解】解：每次降价的百分率都是 ，经过两次降价后的价格 ，则 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
2．对于二次函数 ，下列说法中不正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1
C．图象的对称轴为直线 D．当 时 随 的增大而减小
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：二次函数 ， ，
∴该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为 ，有最小值1，当 时，y随x的增大而增
大，当 时，y随x的增大而减小；
故选项A、B、D说法正确，选项C说法错误，
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质
解答．
3．关于二次函数 下列说法中错误的是（ ）A．用配方法可化成 B．将它的图像向下平移5个单位，会经过原点
C．函数有最大值，最大值为 D．当 时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】先用配方法把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的顶点式可判断其开口方向、对称轴、顶点
坐标；再令x=0可求得与y轴的交点坐标即可解答．
【详解】解:由 ，故A正确，不符合题意；
令 可得 ，即函数图像与y轴的交点坐标为 ，将它的图像向下平移5个单位，会经过原点，
故B正确，不符合题意；
由 ，则其对称轴为 ，开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为 ，即函
数有最小值-4，故C选项错误,符合题意；
当 时，y随x的增大而减小，D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图像的性质等知识点，掌握二次函数的图像与坐标
轴交点的求法是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点
A、B，若 ，则点M到直线l的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】设函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a，则 ，再求出A、B坐标即可
求解．
【详解】解：函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a，则： ，解得：x＝h ，
即：A(h﹣ ，0)，B(h+ ，0)，
∵AB＝4，
∴h+ ﹣(h﹣ )＝4，解得：a＝4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是设 并求出A,B的坐标是解答本
题的关键．
5．已知二次函数 的图像如图所示，对称轴为直线 ，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的图像与对称轴可以判断选项A和B的正误，根据当 时的函数值小于0，可
以判断选项C的正误，根据抛物线的对称性可以判断选项D的正误；从而得解．
【详解】解：根据图像可知，开口向下，且与 轴交点在 轴上方，
，
对称轴为直线 ，
，
，
，
故选项A正确，符合题意；选项B错误，不符合题意；
由图像可知，当 时，函数值 即 ，
故选项C错误，不符合题意；
根据抛物线的对称性，知当 与 时，对应的函数值相等且均大于零，；
故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与
性质是解答此题的关键．
6．已知二次函数 ，若 ，且 ，则它的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，且 ，即可确定a、c的符号，以及 ，即可求解．
【详解】解： ，即 时， ，
，且 ，
且 ，
二次函数 开口向上，与y轴交于负半轴，只有A选项符合，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是确定a、c的符号．
7．如图，在平面直角坐标系中，有五个点， ．将二次函数
的图象记为G，下列结论中正确的有（ ）
①点A一定在G上；
②点 可以同时在G上；③点 可以同时在G上；
④点 不可能同时在G上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由二次函数 可知，对称轴为直线 ， ，即可判断①；
把 代入 ，得函数解析式，再将 代入解析式，即可判断②；
把 代入 ，可得出 ，即可判断③；
把 代入 ，可得出 ，再将 代入解析式，即可判
断④．
【详解】解：由二次函数 可知，对称轴为直线 ，顶点为 ，
①∵点 ，
∴点A在对称轴上，
∵ ，
∴点A一定不在 上；故①错误；
②∵把 代入 ，
，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 在 的图像上，
∴点 可以同时在 上；故②正确；
③把 代入 ，
，
解得： ，
∴ ，
∴点 可以同时在G上,故③正确；
④把 代入 ，
，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 不在 的图像上，∴点 不可能同时在G上，故④正确；
故正确结论的序号是：②③④，有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及求解二次函数的解析式，求出图象上点的坐标的解
析式是解题的关键．
8．抛物线 ： 的顶点的纵坐标为2，若 ，则有关该函数的最值情况，下列判
断正确的是（ ）
甲：最大值为2，最小值为-20；乙：最大值为20，最小值为4；丙： 值不确定，故无法求最值
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．只有丙正确 D．甲、乙、丙均不正确
【答案】D
【分析】先求出函数解析式，再根据二次函数的性质即可得到在 范围内，该函数的最值．
【详解】∵ 的顶点的纵坐标为2，
∴
∴抛物线解析式为
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2，
∴在-5≤x≤-1内，函数有最小值2，
把x=-5代入 得y=20，
把x=-1代入 得y=4，
∴若-5≤x≤-1，则该函数最大值为20，最小值为2，
故甲、乙、丙均不正确
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的
性质是解题的关键．
9．已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
点M的坐标为（3，6），P是抛物线 上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）A．5 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离
相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即
PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，
∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得
到PE=PF．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 点，且与 轴的正半轴交于点 ，点是该抛物线对称轴上的一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 、 ， ，作 ， ，先证明 为等边三角形，接着利用
，得到 ，利用抛物线的对称性得到 ，所以 ，根据两点之
间线段最短得到当 、 、 共线时， 的值最小，最小值为 的长，然后计算出 的长即可．
【详解】解：连接 、 ， ，作 于 ， 于 ，如图，当 时，
，解得 ， ，则 ，
，
则 ，
，
，为等边三角形，
，
．
垂直平分 ，
，
．
当 、 、 共线时， 的值最小，最小值为 的长，
在Rt△ABC中， ，
即 ，
的最小值为 ．
故选：B．
【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质和判定，
直角三角形的性质，根据轴对称求线段和最小等，根据轴对称确定线段和的最小值是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．二次函数 的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 5 …
y … 7 0 7 …
则二次函数 在 时， _______．
【答案】
【分析】根据表格可知， 和 的函数值相等，可以得到抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性，
找到表格中与 关于对称轴对称的 对应的函数值，即为所求．
【详解】解：由表格可知， 和 的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为： ，
∴ 与 的函数值相等，即：当 时， ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的对称性．通过表格确定二次函数的对称轴，是解题的关键．
12．如图，正方形 的顶点B在抛物线 的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，
则对角线 的长为_________．
【答案】
【分析】根据点B的纵坐标是横坐标的2倍，和点 在抛物线 的第一象限的图象上，可以求得点
的坐标．
【详解】解：设点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
，
点 的坐标为 ，
连接 ，则 ，
四边形 是正方形，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是求
出点 的坐标．
13．已知二次函数 和反比例函数 在同一个坐标系中的图象如图所示，则k的值为
_______；不等式 的解集是________．
【答案】 或
【分析】把点（1，-2）代入 即可求出k的值，根据当 或 时，抛物线在双曲线的下
方，即可求出不等式的解．
【详解】解：∵反比例函数 的图像在过点（1，-2）
∴k=1×（-2）=-2；
∵当 或 时，抛物线在双曲线的下方，
∴不等式 的解集是： 或 ．
故答案是：2； 或 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数和二次函数综合，掌握函数图像的交点坐标与不等式的关系，是解题的
关键．14．二次函数 的图象如图所示，若 ， ．则 、 的大小关系为
______ ．（填“ ”、“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】观察图象可得当 时， ，当 时， ，然后用作差法比较即
可．
【详解】解：观察图象得：当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上
点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键．
15．抛物线 （ ， ， 为常数）的对称轴为 ，过点 和点 ，且 ．有
下列结论：① ；②对任意实数 都有： ；③ ；④若 ，则 ．
其中正确结论是：___________．
【答案】①③##③①
【分析】根据抛物线 （a，b，c为常数）的对称轴为x=-2，过点（1，-2）且c>0，即可判断
开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判定③；根据抛物线
的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：∵抛物线 （ ， ， 为常数）的对称轴为 ，∴ ，即 ，
∵抛物线过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，故①正确；
∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴当 时，函数值最大，
∴对任意实数 都有： ，
即 ，故②错误；
∵抛物线的对称轴为 ，
∴点（0，c）的对称点为（-4，c），
∵ ，
∴当 时，函数值大于0，
即 ，
∴ ，故③正确；
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴在对称轴的左侧，若 ，则 ，故④错误；
∴正确结论是①③．
故答案为：①③
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握
二次函数的性质．
16．若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为
点B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y）、点N（ ，y）、点P（2，y）在该函数图象上，则y＜y＜y；
1 2 3 1 2 3
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小
值为 ．
其中正确的是 ___．（填序号）
【答案】①③
【分析】①联立抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2，然后根据韦达定理可进行判断；②根据二次函数
的增减性可直接进行判断；③根据图象平移可直接进行求解；④由题意画出函数图象，进而作点B关于y
轴的对称点 ，作点C关于x轴的对称点 ，连接 与x轴、y轴分别交于D、E两点，最后问题可求
解．
【详解】解：联立抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2可得： ，
其中 ，
∴此方程有两个相等的实数根，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，且 ，开口向下，
∴根据抛物线的性质可知离对称轴越近，所对应的函数值越大，
∵点M（﹣2，y）、点N（ ，y）、点P（2，y）在该函数图象上，
1 2 3
∴ ，故②错误；
由将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为：
，故③正确；
当m＝1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+2，
∴ ，
作点B关于y轴的对称点 ，作点C关于x轴的对称点 ，连接 与x轴、y轴分别交于D、E两点，如
图所示：∴ ，
∴ ，
根据两点之间线段最短，知 最短，而BC长度一定，
∴此时四边形BCDE的周长为 +BC最小，
由两点距离公式可得： ，
故④错误；
综上所述：正确的有①③；
故答案为①③．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及轴对称，熟练掌握二次函数的图象与性质及轴对称是解题
的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知二次函数 的图像经过点 和 ．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求该二次函数的顶点坐标；
(3)若 ，则直接写出y的取值范围：____________．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．【分析】（1）把点 和 代入 求解即可；
（2）将二次函数一般式化为顶点式即可得出顶点坐标；
（3）由二次函数的性质可得出y的取值范围．
【详解】（1）∵抛物线 经过点 和 ，则
，
解得
∴该二次函数的表达式为 ；
（2）∵ ，
∴该二次函数的顶点坐标为： ；
（3）当 时， ，当x=4时， ，
又∵ ，顶点坐标为： ，
∴当 时，y的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常
选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为
顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函
数的性质．
18．已知二次函数 ，解答下列问题：(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
(2)判断点 是否在这个函数图象上，说明理由．
(3)求当 时对应的函数图象上的点的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)点 不在这个函数图像上；
(3) 和 ．
【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；
（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；
（3）代入 即可求出坐标．
【详解】（1）如图所示，
（2）当 时，
，∴点 不在这个函数图象上；
（3）当 时，
，
∴ ，
∴ 时，对应的函数图象上的点的坐标为： 和 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．
19．根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式：
(1)已知图象的顶点在坐标原点，且图象经过点 ；
(2)已知抛物线 经过点 ， ；
(3)点 ， 在同一条抛物线上，与y轴交点的纵坐标为9，且经过点 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可设二次函数表达式为 ，把 代入，即可求解；
（2）把点 ， 代入 ，即可求解；
（3）设二次函数表达式为 ，根据题意可得 ，解出即可．
【详解】（1）解：∵图象的顶点在坐标原点，
∴可设二次函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，∴二次函数表达式为 ；
（2）解：把点 ， 代入 ，得：
，解得： ，
∴二次函数表达式为 ；
（3）解：设二次函数表达式为 ，
∵点 ， 在同一条抛物线上，
∴二次函数图象的对称轴为直线 ，
∵与y轴交点的纵坐标为9，
∴ ，
又∵二次函数图象经过点 ，
∴ ，解得： ，
∴二次函数表达式为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选
择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20．如图，抛物线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为 ．(1) ______， ______， ______
(2)当 时， 的取值范围是______
(3)当 时，x的取值范围是______
【答案】(1) ，1，4
(2)
(3) 或
【分析】（1）由图象可知该抛物线顶点坐标为 ，与x轴的交点A的坐标为 ，从而可知 ，
．再将 代入 ，即可求出a的值；
（2）由图象可知该抛物线对称轴为直线 ，开口向下，从而得出当 时，y随x的增大而增大，
当 时，y随x的增大而减小，进而得出 的最大值为 ．求出当 时， 的值和当 时，
的值，再比较，即可得出当 时， 的取值范围；
（3）根据求 时，x的取值范围，即求函数 的图象在 的图象下方时，x的
取值范围，再结合图象即可得解．
【详解】（1）解：由图象可知该抛物线顶点坐标为 ，与x轴的交点A的坐标为 ，
∴ ．
将 代入 ，得： ，解得： ．
∴ ， ， ．
故答案为： ，1，4；
（2）解：由（1）可知该抛物线的解析式为 ．
由图象可知该抛物线对称轴为直线 ，开口向下，
∴当 时，y随x的增大而增大，
当 时，y随x的增大而减小，
∴当 时， 的最大值为 ．
∵当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， 的取值范围是 ；
（3）解：对于 ，令 ，则 ，
∴ ．
求 时，x的取值范围，即求函数 的图象在 的图象下方时，x的取值范围．
由图象可知当 或 时，函数 的图象在 的图象下方，
∴当 时，x的取值范围是 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合．利用数形结合的思想是解题
关键．
21．如图，点 在抛物线C： 上，且在C的对称轴右侧．(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，（1）中抛物线在胶片上，平移该胶片，使得抛物线C平移后的对应函数
为： ，点P对应点为点 ， 在平移后的抛物线上．求点 移动的最短路程．
【答案】(1) ； ， (2)5
【分析】对于（1），将关系式变为顶点式，可得对称轴和函数的最大值，再将 代入关系式即可得出
答案；
对于（2），将平移后的关系式配方成顶点式，可知顶点的变化规律，即可求出点 的坐标，再根据两点
间距离公式求出答案．
【详解】（1）∵ ，
∴C的顶点坐标是 ，对称轴是 ，最大值是4.
当 代入，得 ，
∵ ，
∴ ；
（2）
∴顶点坐标为 ，
根据平移规律可知，抛物线向左平移了3个单位，向下平移了4个单位．
∵P点坐标为 ，
∴ 的坐标为 ，即 ，线段 的长度为 ，
∴线段 的长度为5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，平移的性质，两点之间距离公式等，理解二次函数的顶点式
的意义是解题的关键．
22．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使 的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．
(3)点M是抛物线上一动点，且在第三象限；当M点运动到何处时，四边形 的面积最大？求出四边
形 的最大面积及此时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)四边形 的最大面积为 ，此时点M的坐标为
【分析】(1)将点C的坐标代入解析，即可求出抛物线的解析式；
(2)首先令 ，即可求得点A、B的坐标，再利用待定系数法求直线AC的解析式，最后利用两点之间线段最短，并结合二次函数的对称性找出点P的位置即可；
(3)过点M作 于点D，设点M的坐标为 ，即可得
，由二次函数的最值问题，即可求得四边形 最大面积及此时点
M的坐标．
【详解】（1）解：将点C的坐标代入解析，
得 ，
解得 ，
故抛物线的解析式为 ；
（2）解：存在；
如图：连接 ，交抛物线的对称轴于点P，点P即为所求的点，
点A与点B关于对称所在的直线对称，
，
此时 最小，
又 的长为定值，
此时 的周长最小，
令 ，则 ，
解得 ， ，， ，
设直线 的解析式为 ，
将A、C的坐标分别代入 ，
得
解得
故线 的解析式为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，点P在抛物线的对称轴上
点P的横坐标为 ，
当 时， ，
点P的坐标为 ；
（3）解：如图：过点M作 于点D，
设点M的坐标为： ，
则，
，
当 时，四边形 的面积最大，最大面积为 ，
当 时， ，
故四边形 的最大面积为 ，此时点M的坐标为 ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称−最
短路线问题、待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是
运用方程思想与数形结合思想进行求解．
23．在平面直角坐标系中，抛物线 （a为常数）．
(1)当 在抛物线上，求m的值．
(2)当抛物线的最低点到直线 的距离恰好是 时，求a的值．
(3)已知 、 ，连接 ．当抛物线与线段 有交点时，记交点为P（点P不与A、B
重合），将线段 绕点P顺时针旋转 得到线段 ，以 、 为邻边构造矩形 ．
①若抛物线在矩形 内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形 内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为 时，直接写出a
的值．
【答案】(1)(2) 或 或
(3)① 或 ；② 或 或
【分析】(1)将 代入解析式，即可求解；
(2)求出顶点坐标，由题意列出方程即可求解；
(3)①通过数形结合，讨论抛物线对称轴与矩形边的位置关系与抛物线经过临界点时的值即可求解；
②分类讨论点B在A上方与点B在A下方两种情况，分别求出最高点与最低点坐标作差即可求解．
【详解】（1）解：将 代入 可得：
，
解得 ．
（2）解： ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
∵抛物线的最低点到直线 的距离恰好是 ，
，
解得： 或 或 ；
（3）① 所在直线解析式为 ，
将 代入 ，得 ，
∴点P坐标为 ，
当点B在点A上方时， ，
解得： ，，
∴点M横坐标为 ，
，
∴抛物线对称轴在点M右侧，满足题意，
．
当点B在点A下方时， ，
解得： ，
，
∴点M横坐标为 ，
当抛物线经过点M时， ，
解得： ，
满足题意．综上所述， 或 ；
②由①得Q的横坐标为 ，
∴Q的坐标为 ，
当 ，抛物线经过点Q时，将 代入抛物线解析式得： ，
解得 或 （舍去），
抛物线与直线 交点为 ，
当 时，抛物线与矩形交点最高点为点 ，最低点纵坐标为1，
则 时，
解得 （舍），当点P为最高点，抛物线与 交点E为最低点时，
则 ，
解得： （舍）或 ．
当 时，抛物线经过点Q时， ，
时，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1，最低点纵坐标为点P纵坐标为 ，
当 时，
．当 时，抛物线与直线 交点 为最高点，点P为最低点，
当 时，
解得： （舍）或 ，
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，旋转的性质等知识，利用数
形结合的思想解决问题是解题的关键．
