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专题 24 圆锥曲线的离心率及范围必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知双曲线 ，直线 过双曲线的右焦点且斜率为 ，直线 与双曲线 的两条
渐近线分别交于 、 两点（ 点在 轴的上方），且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题设易知 ，结合已知条件可得渐近线斜率 ，进而可求双曲线 的离心率.
【详解】
如下图所示：
由题意可知，直线 与渐近线 垂直，则 ，
又 ，则 ，故 ，则 ，则 ，
所以，该双曲线的离心率为 .
故选：B.2．已知圆 ： 与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线 的一条渐近线相切，则双曲
线 的离心率为（ ）
A． 或4 B． 或2 C． D．2
【答案】B
【分析】
分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径求解.
【详解】
圆 ： 的圆心为 ，半径为1，
当双曲线的焦点在x轴上时，其渐近线方程为 ，
由题意得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
当双曲线的焦点在y轴上时， ，
则 ，
故选：B
3．已知 为双曲线 （a＞0，b＞0）的左焦点，A点为双曲线的右顶点，B（0，-b），P为双
曲线左支上的动点，若四边形FBAP为平行四边形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】
从平行四边形出发，可以得到 ，从而得到P点坐标，代入双曲线方程即可求解离心率.
【详解】
由题意得： ， ，设 ，因为四边形FBAP为平行四边形，所以 ，即
可得： ， ，故 ，代入双曲线得
故选：B．
4．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则此双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
根据题意渐近线的斜率为 ，所以该渐近线的方程为 ，所以 ，求得 ，
利用 ，求得 即可得解.
【详解】
∵双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ， ，
∴该渐近线的方程为 ，∴ ，解得 或 （舍去），∴ ，
∴双曲线的离心率为 ．
故选：A．
5．已知 ， 分别为椭圆 的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆
C的一个交点为M，若 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意可得 ， 的值，由椭圆的定义可得a，c的关系，即求出离心率的值．
【详解】
解：依题意可得 ．
又
， ， ， ．
故选：D．6．设 为双曲线 的左､右焦点，过坐标原点 的直线依次与双曲线 的左､右支
交于 两点，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
判断四边形 为矩形，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算可得所求
值．
【详解】
解：设双曲线的半焦距为 ，可得 ，
即有四边形 为矩形，
由双曲线的定义可得 ，
在直角三角形 中， ，
即有 ，
可得 ，
即
故选： ．7．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在 的右支上，直线 与
的左支交于点 ，若 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由条件结合双曲线的定义可得 ，即 ，从而可得双曲线的离心率.
【详解】
由双曲线的定义可得 ，∵ ，
∴ ，即 ，
则 的离心率为 ．
故选：D．
8．已知椭圆 的左､右焦点分别是 ， ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，
，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
根据椭圆的对称性可知， ，设 ，由 以及椭圆定义可得 ，
，在 中再根据余弦定理即可得到 ，从而可求出椭圆 的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得 .设 ，则 .由椭圆的定义，知 ，即
，解得 ，故 ， .
在 中，由余弦定理，得 ，即
，则 ，故 .
故选：B.
9．椭圆 的上､下顶点分别为 ，右顶点为A，右焦点为F， ，则椭圆的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.
【详解】解：椭圆 的上､下顶点分别为 ，
右顶点为A(a，0)，右焦点为F(c，0)， ，可得 =﹣1，
=1，解得e= .
故选：C.
10．已知圆 ： 与双曲线 ： 的渐近线相切，则 的离心率为
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得圆心到渐近线的距离为半径，可解得 ，即可求出离心率.
【详解】
由 得 ，
所以圆心 ，半径 ，
双曲线 ： 的一条渐近线为 ，
由题意得圆心到渐近线的距离 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
11．已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，过 作双曲线两渐近线的垂线垂足分别为点， （ ， 分别在一、四象限），若 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
由已知可得 ，即 ，可得 ，即可求得离心率.
【详解】
由题，根据双曲线的对称性，可得 轴，设 与 轴交于C，
， ，
为渐近线垂线，则 ， ，
则可解得 ，即 ，
故离心率 .
故选：C.
12．已知A，B，C是椭圆 上不同的三点，且原点O是△ABC的重心，若点C的坐
标为 ，直线AB的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的第三定义 ，可求得 的关系，进而求得离心率；
【详解】
设 的中点 ，
因为原点O是△ABC的重心，所以 三点共线，
所以 ，
由于 ，所以 ，
故选：B.
13．若双曲线 的实轴的两个端点与抛物线 的焦点是一个等边三角形的顶点，
则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件可得出 ，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】
双曲线 的实轴端点为 ，抛物线 的焦点坐标为 ，
由题意可得 ，即 ，因此，该双曲线的离心率为 .
故选：C.14．已知双曲线 的焦距为 ， 是 的右顶点，在 的一条渐近线上存在 ，
两点，使得 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
求得点 到渐近线的距离，由余弦值即可求得 关系，则离心率可求．
【详解】
设渐近线方程为 ，则点 到渐近线的距离 ，
又 ， ，
则 ，即有 ，
所以 ， .
故选：A
15．已知双曲线 的右焦点为 ，左顶点为 ，过点 的直线 垂直于 的一条渐
近线，垂足为 ，直线 与 轴交于点 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取一条渐近线，得直线 的方程，求得 点坐标后，然后利用 得出 的等式，变形后可求得离
心率．
【详解】不妨取渐近线 ，则直线 的方程为 ，
令 ，得到点 的坐标为 ，由 ，得 ，
即有 ，所以 ，则 ，解得 .
故选：B．
16．已知双曲线 的一条渐近线被圆 截得的线段长为 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
把圆方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到渐近线的距离，由勾股定理可得 关系，从而
求得离心率．
【详解】
一条渐近线方程为 ，圆的标准方程为 ，圆心是 ，半径是2，
圆心到渐近线的距离为 ，所以 ， ，即 ，所以
．
故选：D．
17．已知椭圆： .则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由椭圆方程以及 的范围分析椭圆的长轴和短轴，再由离心率公式计算出范围.【详解】
解：椭圆方程为： ，则椭圆的长半轴长为 ，又短半轴长为 ，则离心率
为 ， ，则 .
故选：C.
18．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 、 ，设椭圆与双曲线的离心率分别为 、
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知可得 ，进而可判断各选项的正误.
【详解】
设 、 ，由已知可得 ，
所以， ，则 ，即 ，变形可得 ，
故选：C.
19．已知双曲线方程为 ，左焦点 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则
该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
易知两渐近线的夹角为60°，再由离心率公式和 即可得解.
【详解】由对称性知两渐近线夹角为60°，∴ ，∴ .
故选：B．
20．已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】
由条件可得 ，然后分 、 两种情况求出答案即可.
【详解】
因为三个数1，a，9成等比数列，所以 ，即 ，
当 时，圆锥曲线 为椭圆，其离心率为 ，
当 时，圆锥曲线 为双曲线，其离心率为 .
故选：C.
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，则 的离心率为___________.
【答案】
【分析】
根据双曲线 的一条渐近线过点 ，求得 ，b的关系即可.
【详解】因为双曲线 的一条渐近线过点 ，
所以双曲线的一条渐近线方程是 ，
又因为该渐近线过点 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
22．已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】
取双曲线的右焦点 ，渐近线 ，利用点到直线的距离公式可得 ，再由 即可求解.
【详解】
解：取双曲线的右焦点 ，取双曲线的渐近线 ，即 ，
依题意得 ，即 ，
∴该双曲线的离心率 ，
故答案为： .
23．已知双曲线 的右焦点为F，右顶点为A，过点F作x轴的垂线交双曲线C于
M，N两点，若 (其中O为坐标原点)成等差数列，则双曲线C的离心率为___________.【答案】
【分析】
由双曲线的性质可知 ， ， ，由等差中项的性质及双曲线参数关系即可求离心率.
【详解】
由题设知： ， ， 成等差数列，
∴ ，又 ，
∴ 且 ，解得 .
故答案为： .
24．已知抛物线 的准线恰好与双曲线 的右准线重合，双曲线
的左准线与抛物线 交于 ， 两点，且双曲线 的右顶点到左准线的距离等于线段 的长，则双曲
线 的离心率为___________.
【答案】
【分析】
根据抛物线与双曲线的准线方程以及抛物线的通径长列式可得 ,再根据双曲线的离心率公式可得结果.
【详解】
抛物线 的准线为 ，双曲线 的右准线为 ，左准线为 ，在抛
物线 中， ，
所以 ，消去 得 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .故答案为：
25．已知F为双曲线 的右焦点，过F作与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若
以 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为____________．
【答案】
【分析】
由过双曲线焦点且垂直于x轴的直线，求出弦长AB，得出关于a，b，c的等式解得.
【详解】
设 ，把 代入 得 ，
，即点 ， ，
而以AB为直径的圆过原点，则有 ，又 ，
，而e>1，解得 .
故答案为： .
26．已知长方形 ， ， ，则以 、 为焦点，且过 、 的椭圆的离心率为__________．
【答案】
【分析】
利用椭圆定义求出 的值，并求出 的值，由此可得出椭圆的离心率的值.
【详解】
如图， ， ，
因为点 在椭圆上，则 ，所以，椭圆的离心率为 .
故答案为： .27．已知抛物线 上一点 到焦点的距离为6，准线为 ，若 与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形面积为 ，则双曲线 的离心率为___________.
【答案】3
【分析】
利用抛物线的定义求出 的值，可得出抛物线的标准方程，进而可得出抛物线的准线方程，求出抛物线的
准线与双曲线的渐近线所围成的三角形的面积，可得出 ，利用公式 可求得结果.
【详解】
∵抛物线 上一点 到焦点的距离为6，
∴由抛物线定义知 ，即 ，其准线方程为 ，
而双曲线 的两条渐近线方程为 ，
则 与双曲线 的两条渐近线 围成的三角形面积为 ，
∴ ，即 ，∴ ，可得 ，
∴双曲线 的离心率 .
故答案为：3.
28．已知 为双曲线 的左焦点，过点 的直线与双曲线 的两条渐近线分别交于 ，，且 ，以原点 为圆心的圆与直线 相切，且切点恰为 ，则双曲线的离心率为
___________.
【答案】
【分析】
由已知条件可得 为线段 的垂直平分线，再结合双曲线的对称性可得 ，从而得 ，
进而可求出双曲线的离心率
【详解】
，
为 的中点，又由已知 ，
为线段 的垂直平分线，
，
，即 ， ，
故答案为：2
29．已知双曲线C： （ ， ），以原点O为圆心、C的焦距为半径的圆交x轴于A，B
两点，P是圆O与C的一个公共点，若 ，则C的离心率为__________．
【答案】
【分析】
根据题意，在 中可得 ，可得 点坐标为 ，代入双曲线方程即可得解.【详解】
如图，根据题意 ，
根据圆的性质可得 ，
又 ，
所以 ，所以 ，
所以 为等边三角形，
由 可得 点坐标为 ，
代入双曲线方程可得 ，
由 ，可得 ，
由双曲线的离心率 ，
所以 解得 ，
故答案为： .
30．已知双曲线 的右焦点为 ，点 到其渐近线的距离为 ，则双曲线的离心
率为___________.
【答案】【分析】
由已知有 求出a、b，又 ，进而求双曲线的离心率.
【详解】
由题意， ，渐近线方程为 ，
∴ ，解得 ，
∴ .
故答案为： .任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．如图， 、 分别是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点，过 的直线 与 的左、
右两支分别交于点 、 ．若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
根据双曲线的定义求出在 中， ，则由 为等边三角形得 ，再利
用余弦定理可得 ，从而可求出双曲线的离心率
【详解】
解：根据双曲线的定义可得 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为在 中， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故选：B
2．已知双曲线 =1(a>0，b>0)的左､右焦点分别为F (﹣c，0)，F (c，0)，点P在双曲线的右支上，
1 2
且满足 ，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．(2，+∞) B．(1，2) C．(1， ) D．(2， )
【答案】D
【分析】根据正弦定理的边角互化以及双曲线的定义可得 ，再由 ，
代入上式，解不等式即可.
【详解】
，
，
， ，
，
解得 ，
.
故选：D
3．过双曲线 上的任意一点 ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点 ，
，若 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
双曲线的渐近线方程为 ，设点 ，可得 ，从而可求出点 ， 的坐标，进而结合点 在双曲线上，可表示出 ，则 ，从而可求出求出离心率的
范围
【详解】
解：双曲线 的渐近线方程： ，
即 ，
设点 ，可得 ，
分别联立两组直线方程可得 ， ，
，
∵ ，∴ ，
∴ ，由题意 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即
∴ .
故选：B.
4．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线l过点 与双曲线的右支交于A，B
两点，若 ， ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意设 ，则 ，结合双曲线定义和已知条件，运用余弦定理求解t以及 的值，即可求
出双曲线离心率.
【详解】
解：设 ，则 ，
由双曲线的定义，可知 ，即有 ，
，
在 中，由余弦定理可得 ，
解得t＝1，
则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
解得 ，
所以 ．
故选：A
5．过双曲线C： (a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，
则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．( ，+∞) B．( ，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)
【答案】A
【分析】
依题意求出双曲线的渐近线方程与右焦点坐标，不妨设过右焦点 与双曲线的一条渐近线垂直的直线
方程为 ，与另一焦点联立求交点坐标，根据交点在第二象限，即可得到 、 的关系，即可得
解；【详解】
解：由题意双曲线C： 的渐近线 ，右焦点 ，
不妨设过右焦点 与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为
与 联立得 ，所以 ， ，所以交点坐标为 ，因
为交点在第二象限，所以 ，因为 ， ， ，所以 ， ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，即
故选：A
6．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，以 为圆心， 为半径的圆交双曲线 的右
支于 ， 两点( 为坐标原点)，若 是等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
利用正弦定理求得 ，由此求得 点坐标，将 点坐标代入双曲线方程，化简求得离心率.
【详解】
，
所以 ，所以 ， ， 在双曲线上，
所以 ， ，
，
，
，两边除以 得
，
解得 ，
所以 .
故选：A
7．如图，F ，F 是椭圆C 与双曲线C 的公共焦点，A，B分别是C 与C 在第二､四象限的公共点，若
1 2 1 2 1 2
AF ⊥BF ，设C 与C 的离心率分别为e，e，则8e+e 的最小值为（ ）
1 1 1 2 1 2 1 2
A．6+ B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用双曲线与椭圆定义得到 ，进而两元换一元，利用导数判断单调性即得最值．
【详解】连接AF，BF，则由对称性及AF⊥BF，得矩形 ，
2 2 1 1
故 .
由 ， ，得 .
令 ，代入上式得
故 .
设 ，
由 ，得t=2，
当12时， ，函数是增函数，
故t=2时，函数取得最小值，故 ．
故选：C.8．双曲线 ： （ ， ）右焦点为 ，过 倾斜角为 的直线与双曲线右支交于 ，
两点，则双曲线离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据过 的直线 的倾斜角为 ，且与双曲线右支交于 ， 两点，由 求解.
【详解】
因为过 的直线 的倾斜角为 ，
所以直线 斜率 ，
因为直线 与双曲线右支交于 ， 两点，
如图所示：
由图象知： ，
所以 ，
又 ，
所以 .故选：A.
9．直线 交双曲线 于P，Q两点，M是双曲线C上一点，若直线MP与直
线MQ的斜率之积是 ，则双曲线C的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【分析】
首先设点 ， ， ，表示 ，再利用点在双曲线上，化简等式后，求双
曲线的斜率.
【详解】
设 ， ， ， ， ，
.
故选:A.
10．已知双曲线 的左、焦点分别为 ， ，过 的直线 与圆 相切于点
，且直线 与双曲线 的右支交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由切线的性质可得 ，运用向量共线定理可得 ，运用双曲线的定义可得 ，作
，由三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理，化简整理，结合 ， ， 的关系和离心率
公式，解方程可得所求值．【详解】
由题意可知 ， ，则 ，
又 ， ，
又 ， ，
作 ，可得 ， ，则 ．
在△ 中， ，即 ，
即 ，可得 ．
又 ，化简可得 ，得 ，
解得 ．
故选：D
11．已知椭圆 的左，右焦点分别是 ， ，点 是椭圆 上一点，满足
，若以点 为圆心， 为半径的圆与圆 ，圆
都内切，其中 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】
由 两边平方，可得 ，由以点 为圆心， 为半径的圆与圆 ，圆 都内切，
结合椭圆的定义列方程组可得 和 ，再利用勾股定理解出离心率．
【详解】
由 两边平方，可得 ，则 ，
由已知可得 ，
由 ，则
在 中，由 ．
故选：C
12．已知双曲线 ： 的右焦点为 ， 为坐标原点，直线 ， 为双曲线 的两条渐
近线，过点 的直线 与渐近线 平行，且 与双曲线 交于点 ，若直线 的斜率为直线 的斜率的 ，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将直线 于双曲线联立，得点 的坐标，再由坐标表示斜率列方程求解即可.
【详解】
不妨设直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，有 ，有 ，得 ，有 ，有 ，
．
故选：B.
13．已知双曲线 的右顶点、右焦点分别为 ， ，过点 的直线 与 的一条渐
近线交于点 ，直线 与 的一个交点为 ，若 ，且 ，则 的离心率为（
）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由 ，变形得到 ，即 ，设 ， ，由 ，得到B的
坐标，然后由点B在双曲线上求解.
【详解】
由已知得 ，设 ，
由 ，得 ，
轴，即 ，
不妨设点 在第一象限，则 .
设 ，由 ，得 ，
，即 ，
点 在双曲线上，
，
整理得 ，
，
解得 或 （负值舍去）.
故选：D
14．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，以原点 为圆心， 为半径的圆与双
曲线 在第一象限交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可得 ，且 是等边三角形，所以 ， ，再根据双曲
线的定义得 ，由 即可求解.
【详解】
如图，设双曲线 的半焦距为 .
若 ，因为以原点 为圆心，
为半径的圆与双曲线 在第一象限交于点 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，则 是等边三角形，
则 ，则 ，
再根据双曲线的定义得 ，得 ，
所以 .
故选：D
15．已知椭圆 ，点 为右焦点， 为上顶点，平行于 的直线 交椭圆于 ， 两
点且线段 的中点为 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求得直线 的斜率，然后使用点差法进行计算，最后根据离心率的公式计算即可.
【详解】
设 ，直线 的斜率为则
所以 ，由线段 的中点为
所以
所以 ，又 ，所以 ，又
所以 ，∴ ，
故选：A.
16．已知点 ， 分别是双曲线 ： 的左，右焦点， 为坐标原点，点 在双曲线 的
右支上，且满足 ， ，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据 ，得到 为直角三角形，再由 ，结合双曲线定义得到
，然后代入 求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，故 为直角三角形，且 ，∴ .
由双曲线定义可得 .
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
又 ，
整理得 .
所以 .
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以双曲线 的离心率的取值范围为 .
故选：B
17．已知 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，与 轴垂直的直线与双曲线 的
左、右两支分别交于点 ， ，且 ，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由余弦定理可求出 ，利用双曲线定义可得 ，代入离心率公式，结合 求值即可.
【详解】
由题意得 ，所以 ．设 ，则 ，连接 ，则
．
由双曲线的定义得 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，所以 ，即双曲线 的离心率的取值范围为 ，
故选：D
18．已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若 的平分线
分别交x轴于点 ，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由余弦定理求出 ，即可得到 ，即 ，从而 ，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：如下图所示：
因为 ，所以由余弦定理得 ，
又 ，所以 ．因为 分别为 的平分线，所以
，所以 ．由题意可知，点 ，则
．
由 ，可得 ，即 ，在等式 的两边同时除以
，可得 ，解得 或 ．因为 ，所以
故选：C．
19．设 ， ，分别为椭圆 的左、右焦点，经过点且 垂直于 轴的直线交椭圆
于 ， 两点， ， 与 轴分别交于点 ， ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解法一 由 ， ，求得A，B的坐标，进而得到D，E的坐标，然后利用 求解；
解法二 由 ， ，求得A，B的坐标，设 ，易得 在 轴上，且 ，再
由 ，求得 ， ，再由 求解.
【详解】
解法一 由题意知 ， ．
将 代入椭圆 的方程得 ，
解得 ，
不妨设 ， ，
依题意知 ， 分别为线段 ， 的中点，
则点 的坐标为 ，点E的坐标为 ，
故 ， ．
由 ，得 ，
又 ，所以 ，
等式两边同除以 并整理，得 ，
得 ，
故椭圆 的离心率 ．
解法二 由题意知 ， ．将 代入椭圆 的方程 ，解得 ，
不妨设 为坐标原点， ， ，
所以 ，
依题意知 ， 分别为线段 ， 的中点，
则 ，
由 得 ．
如图所示：
设 ，易得 在 轴上，且 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
结合 ，得 ，
等式两边同除以 得， ，
所以 ，故选：D．
20．设 为双曲线 的右焦点，过点 且垂直于 轴的直线交双曲线的两条渐近线
于 ， 两点（ ， 分别在一、四象限），和双曲线在第一象限的交点为 ，若 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】
设 ，可得 ， ， ，根据 ，可得 ，从而可得
，结合 ，利用 即可求解.
【详解】
设 ，依题意， ， ，
由于 是直线 和双曲线的交点，因此可以求出 ，
故 ， ，
由于 ，因此可以得到 ，
化简得 ，即 ，
再结合 ，得 ，于是离心率 .故选：A.
21．已知点A ，A 分别为双曲线C： 的左、右顶点，直线y＝kx交双曲线于M，N
1 2
两点，若 • • • 4，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
设M（x，y），利用两点连线的斜率公式以及点M在双曲线上，可得 ，同理 ，
0 0
代入等式求解即可．
【详解】
设M（x，y），则 ，
0 0
同理可得 ，所以 ，
即 ，所以双曲线C的离心率为 ．
故选：C
22．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线 的左支相交于
点 ，与双曲线的右支相交于点 ， 为坐标原点.若 ，且 ，则双曲线 的离心
率为（ ）A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
设 ，则 ，根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理，建立方程求出 ， 的关
系进行求解即可.
【详解】
设 ，则 ，
， ，
同理， ，
，
， ，
在 ，中， ，
即 ，得 ，
有 ， ，
在 中，
由 ，
即 ，
得 ，即离心率 ，
故选：D.23．已知双曲线 ，过左焦点 作斜率为 的直线与双曲线的一条渐近线相交于
点 ，且 在第一象限，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出直线 的方程，以及与渐近线方程联立，进而通过 ，转化求解双曲线 的离心率.
【详解】
解：由题意可知，左焦点 ，直线 的方程为： ，与渐近线 联立可得 ，
，
因为 ，即 ，整理可得 ，
，即 ，则 ，
因为 ，解得 .
故选：A.24．已知椭圆 左右焦点分别为 ， ，若椭圆上一点 满足 轴，
且 与圆 相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意作出椭圆图象，结合图象可知 ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出椭圆的
离心率.
【详解】
如图，设直线 与圆 相切于点 ，连接 ，
则 ，
椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
轴， ， ，
， 轴， ，
，即 ，解得 ，
故选：A.25．设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交椭圆于 ， 两点，且
， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
因为 ，不妨令 ，根据椭圆定义，得到 ， ，
再由 ，得到 和 都是直角三角形，由勾股定理求出 ，再由
，化简整理，即可求出离心率.
【详解】
因为 ，不妨令 ，
过 的直线交椭圆于 ， 两点，由椭圆的定义可得， ， ，
则 ， ，
又 ，所以 ，则 和 都是直角三角形，
则 ，即 ，解得 ，
所以 ， ，又 ， ，
所以 ，因此 ，所以椭圆 的离心率为 .故选：C.
26．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，顺次连接 上的四个点 ， ， ，
，可以得到一个正方形，若 ， 不落在正方形 外侧，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，设出第一象限内点 的坐标 ，根据其坐标满足椭圆方程，结合 ，求解不等式即
可.
【详解】
根据题意，不妨设点 是椭圆在第一象限内的点，
根据椭圆和正方形的对称性，故可设其坐标为 ，
则 ，解得 ；
又 ， 不落在正方形 外侧，
故 ，即 ，代入 ，
可得 ，
不等式两边同除以 ，可整理化简为：
，解得 ，又 ，故可得 .
故选： .
27．已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若 ，则有 成立，现已知椭圆
上存在一点P， ， 为其焦点，在 中， ， ，则椭圆的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据若 ，则有 成立，由 求解.
【详解】
由题意得： ，
所以 ，
所以 ，
解得 .
故选：C
28．已知双曲线C： 的左､右焦点分别为 ， ，M，N为双曲线一条渐近线上的
两点，.A为双曲线的右顶点，若四边形 为矩形，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由四边形 为矩形→ ，可设以MN为直径的圆的方程为 ，设直线MN的
方程为 ，联立求出 ，进而求出 ，再对 采用余弦定理即可求解.
【详解】
因为四边形 为矩形，所以 ，（矩形的对角线相等），
所以以MN为直径的圆的方程为 .直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为 ，由
，解得 或 ，
所以 ， 或 ， .
不妨设 ， ，又 ，所以 ， .
在△AMN中， ，
由余弦定理得 ，
即 ，则 ，所以 ，则 ，所
以 .故选：D
29．如图，已知椭圆 和双曲线 在 轴上具有相同的焦点 ， ，设双曲线 与椭圆 的上半部分交
于A， 两点，线段 与双曲线 交于点 .若 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设 ，可得 ， 为则双曲线 的实半轴）， ，又
， ，则 ，即可求椭圆 的离心率．
【详解】
解：如图，设 ，则 ， ，
， ， 为则双曲线 的实半轴），
根据双曲线定义可得 ， ，在△ 中，满足 ， ，
则 ，
则椭圆 的离心率是 ．
故选：C．
30．已知椭圆的方程为 ， ､ 为椭圆的左右焦点， 为椭圆上在第一象限的一点，
为 的内心，直线 与 轴交于点 ，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接 ､ ， 是 的内心，得到 为 的角平分线，即 到直线 ､ 的距离相等，利
用三角形的面积比，得到 ，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，连接 ､ ， 是 的内心，
可得 ､ 分别是 和 的角平分线，由于经过点 与 的内切圆圆心 的直线交 轴于点 ，
则 为 的角平分线，则 到直线 ､ 的距离相等，
所以 ，同理可得 ， ，
由比例关系性质可知 .
又因为 ，所以椭圆的离心率 .
故选：A.
第II卷（非选择题）
二、填空题
31．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满
足 ，若令 且 ，则该椭圆离心率的取值范围为___________．
【答案】
【分析】由 得 为矩形，则 ，故 ，结合正弦
函数即可求得范围．
【详解】
由已知可得 ，且四边形 为矩形．
所以 ，
又因为 ，所以 ．
得离心率 ．
因为 ，所以 ，可得 ，
从而 ．
故答案为：
32．已知双曲线 ： （ ， ）与抛物线 ： （ ）有共同的一焦点，过
的左焦点且与曲线 相切的直线恰与 的一渐近线平行，则 的离心率为___________.
【答案】
【分析】
由题意可得过左焦点 的直线为 ，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去 ，由 可求得 ，再由直线与抛物线的渐近线平行，可得 ，进而可求出双曲线的离心率
【详解】
由题意得，双曲线右焦点为 ，则 ，
由双曲线 的方程得其渐近线方程为 ，
设过左焦点 的直线为 ，
由 ，得 ，
因为直线与抛物线相切，所以 ，
即 ，解得 ，
因为直线与抛物线的渐近线平行，所以 ，
所以 ，
故答案为：
33．设椭圆 的左、右焦点分别为 ，A是椭圆上一点， ，若原点 到直
线 的距离为 ，则该椭圆的离心率为____．
【答案】
【分析】
由 ，求得 ，过 作 ，根据题意得到 ，根据 ，得到
，整理得到 ，结合离心率的定义，即可求解.【详解】
因为 ，不妨设点 ，其中 ，
代入椭圆方程 ，可得 ，解得 ，
所以 ，即 ，
过 作 ，因为原点 到直线 的距离为 ，即 ，
由 ，可得 ，即 ，
又由 ，整理得 ，即 ，
因为 ，解得 ，即椭圆的离心率为 .
故答案为： .
34．已知双曲线 的右焦点为F，焦距为4，双曲线C的一条渐近线将以F为圆心，OF为半径
的圆的圆周分成两段长度之比为 的弧，其中 为坐标原点，则双曲线C的离心率是___________.
【答案】
【分析】
画出图形，结合题意计算圆心到直线的距离，即可计算出双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的一条渐近线与圆 交 、 两点，因为渐近线将圆周分为 两份，所以
，设 点为过 点向渐近线作垂线的垂足，则渐近线为 ，且 点为双曲线
的焦点， ，则焦点到渐近线的距离 ， ， 为等腰三角形，
也是 的角平分线，
，则 ，故 ，又因为双曲线焦距为 ，即 ， ，故
， ，则离心率 .
故答案为：
35．已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，点 在直线 上，直线 交椭圆于
点 ，若 ， ，则椭圆 的离心率为___________.
【答案】
【分析】
设 ， ，根据比值关系可得 ，代入可得 ，由，整理即可得解.
【详解】
由题意可得： ， ，设 ，
由 ，可得 ，
代入可得： ，解得 ，
，
整理可得： ，
所以 ，
所以 或 （舍）
故答案为： .
36．已知 是坐标原点， 是双曲线 的左焦点，过 作 轴的垂线，垂线交该双
曲线的一条渐近线于点 ，在另一条渐近线上取一点 ，使得 ，若 ，则双曲
线 的离心率为__________.
【答案】
【分析】
根据 得到 ，设直线 的方程为 ，与另一条渐近线方程联立，求得
点B，再由 求解.
【详解】设双曲线 的半焦距为 ，且不妨设 .
由 知， ，
所以直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，
又 ，
所以 ，
解得 ，
所以双曲线 的离心率 .
故答案为：
37．已知双曲线 ： ，过下焦点 作斜率为2的直线与双曲线的一条渐近线相交于
点 ，且 在第一象限，若 （ 为坐标原点），则双曲线 的离心率为______.
【答案】
【分析】
设直线 的方程为 ，与双曲线 的渐近线方程联立，求得点A的坐标，再由由 求
解.
【详解】
设直线 的方程为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，由 ，解得 ，
所以 ，
由 ， ，
化简得
整理得 ，
所以 ，即 ，
所以离心率 .
故答案为：
38．已知椭圆 的左焦点是点 ，过原点倾斜角为 的直线 与椭圆 相交于 ，
两点，若 ，则椭圆 的离心率是________．
【答案】
【分析】
设右焦点为 ，设直线 的方程为： ，设 ， ，利用几何性质可得
，结合焦点三角形的性质和余弦定理可得 ，求出 的坐标后代入椭圆方
程可求离心率.
【详解】解：设右焦点为 ，由题意可得直线 的方程为： ，设 ， ，
连接 ， ，因为 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
所以 ，
整理得到 即 ，
故 ，
所以可得 ，代入直线 的方程可得 ，
将 的坐标代入椭圆的方程可得： ，
整理可得： ，即 ，
解得： ，由椭圆的离心率 ，
所以 ，
故答案为： ．
39．已知 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点， 为右支上任意一点，若的最大值为2，则双曲线 离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】
根据双曲线的定义得 ，再利用基本不等式可得答案.
【详解】
根据双曲线的定义有 ，即 ．
令 ，则 ，
当且仅当 时， 取得最大值2，即 ，所以双曲线 离心率的取值范围是 ．
故答案为： .
40．设椭圆 的焦点为 ， 是椭圆上一点，且 ，若 的外接圆和
内切圆的半径分别为 ，当 时，椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】
在 中，利用正弦定理： ，求得 ， ，设 ，
再利用余弦定理求得 ，然后由 求解.
【详解】
椭圆的焦点为 ，在 中，由正弦定理得： ，
解得 ， ，
设 ，
在 中，由余弦定理得： ，
解得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
整理得 ，即 ，
解得 或 （舍去）
故答案为：
任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题1．已知双曲线C： 的左､右焦点分别为 ， ，M，N为双曲线一条渐近线上的两
点，.A为双曲线的右顶点，若四边形 为矩形，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由四边形 为矩形→ ，可设以MN为直径的圆的方程为 ，设直线MN的
方程为 ，联立求出 ，进而求出 ，再对 采用余弦定理即可求解.
【详解】
因为四边形 为矩形，所以 ，（矩形的对角线相等），
所以以MN为直径的圆的方程为 .直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为 ，由
，解得 或 ，
所以 ， 或 ， .
不妨设 ， ，又 ，所以 ， .
在△AMN中， ，
由余弦定理得 ，
即 ，则 ，所以 ，则 ，所以 .
故选：D
2．已知双曲线 的左顶点与右焦点分别为 ， .若点 为 的右支上（不包括
的右顶点）的动点，且满足 恒成立，则 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】
取 轴的情况，根据角度关系可求得 ，由此得到 ，从而构造出关于 的齐次
方程求得离心率， ，再验证一般情况下当 时，
，即可
【详解】
为右支上动点，且满足 恒成立，不妨取 轴，则 ， ，
解得： ， ，
又 为双曲线半通径， ，且 ，
，即 ， ，
，解得： .
当 时， ，设
，又
故
，故得证
故选：
3．已知椭圆和双曲线有相同的焦点 ，它们的离心率分别为 ， 是它们的一个公共点，且
.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用椭圆和双曲线的定义把 ， 用长半轴长 和实半轴长 表示，再用余弦定理求得 与 的关
系，从而得 的等式，结合已知可求得 ．
【详解】
设 ，椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，焦点为 ，不妨设 在第一象限，
则 ，解得 ，
中由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，
， ，又 ， ，所以 ，
，所以 ．
故选：B．
4．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 、 分别为双曲线的左、右顶
点，过 作直线 ，在直线 上存在点 ，使得 ，则双曲线 的离心率 的最大
值为（ ）A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
由关于 的方程 有实数解，转化为一元二次方程，利用 得 的范围，在此范围内
取最大值时，求方程的解，满足题意即可得．
【详解】
由已知 ， ，
，
整理得 ，
令 ，则 （*），由题意此方程有正数解．
首先 ， ，解得 ，
，
当 时，
方程（*）化为 ， ，满足题意．
所以 的最大值为 ．
故选：D．
5．若 是双曲线 上关于原点对称的两点，点 是双曲线 的右支上位于第一
象限的动点，记 的斜率分别为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由点差法和直线的斜率公式，推得 的关系，即可求得双曲线的离心率.
【详解】
设 ， ，则 ，
由题可知， ，
两式相减得： ，即
又 ，即
所以双曲线 的离心率为
故选：A
6．已知椭圆 和双曲线 有公共焦点 ， ， 和 在第一象限的交点为 ， 且
双曲线的虚轴长为实轴长的 倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设双曲线的实半轴长为 ，虚半轴长为 ，椭圆长半轴长为 ，由双曲线定义和椭圆定义可求得 关系，
从而得离心率．
【详解】
设双曲线的实半轴长为 ，虚半轴长为 ，椭圆长半轴长为 ，设 ，则 ， ，
又 ，所以 ， ，
由余弦定理得 ，即 ，
， ，
所以 ， ，
所以椭圆离心率为 ．
故选：B．
7．已知椭圆 的右焦点为 经过点 的直线 的倾斜角为 且直线 交该椭圆于
两点，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
写出直线 的方程为 ，与椭圆联立，写出韦达定理，结合条件 ，求得A，B的横坐标，
代入到韦达定理中的 中，化简求得a与c的关系，从而求得离心率.
【详解】
由题知，直线 的方程为 ，设 ， ，
联立 ，整理得 ，
则 ，
又 ，则 ，则 ，结合韦达定理知，
， ，
则 ，
整理得 ，则离心率
故选：C
8．已知椭圆的方程为 ， ､ 为椭圆的左右焦点， 为椭圆上在第一象限的一点，
为 的内心，直线 与 轴交于点 ，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接 ､ ， 是 的内心，得到 为 的角平分线，即 到直线 ､ 的距离相等，利
用三角形的面积比，得到 ，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，连接 ､ ， 是 的内心，
可得 ､ 分别是 和 的角平分线，
由于经过点 与 的内切圆圆心 的直线交 轴于点 ，
则 为 的角平分线，则 到直线 ､ 的距离相等，
所以 ，同理可得 ， ，由比例关系性质可知 .
又因为 ，所以椭圆的离心率 .
故选：A.
9．设 ， 分别是椭圆E： 的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足 ，
则椭圆E离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先设 ，根据P在椭圆上得到 ，由 ，得到 的范围，即为离心率的范围.
【详解】
由椭圆的方程可得 ， ，设 ，
由 ，则 ，即 ，
由P在椭圆上可得 ，所以 ，
代入可得所以 ，
由 ，
所以 整理可得： 消去 得：
所以 ，即
可得： .
故选：D.
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线右支上一点，
，直线 交 轴于点 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）．
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】
解法一：根据题意结合双曲线的定义得 ，设 ，进而根据等面积法得
，根据向量关系得 ，代入双曲线方程整理得 ，解方程即可得答案；
解法二：设 为坐标原点，由题得 ∽ ，所以 ，设 得 ，故
，再结合 得 ，故 ，进而得答案.
【详解】解法一： 由题意知 ， ，
所以 ．
设 ，则 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
将 代入双曲线方程，
整理得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 .
故选:C．
解法二 ：设 为坐标原点，
由题得 ∽ ，所以 ，
设 ，因为 ，
所以 ，则 ，得 ．
又 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以 .
故选:C．11．已知 是椭圆 上任意一点， 是椭圆 的上顶点， 总成立，则椭圆离
心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角代换法，结合正弦函数的性质、椭圆离心率的公式进行求解即可.
【详解】
由 ，可令 ，
因为 是椭圆 的上顶点，所以 ，
，
化简为：
，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ， 总成立，
所以 ，
即 ，
故选：A
12．设 为椭圆 上一点，点 关于原点的对称点为 ， 为椭圆的右焦点，且
，若 ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设左焦点为 ，根据椭圆定义 ，可得 ，设 ，则由
可得 ，整理得 ，根据 可求.
【详解】
为椭圆上一点，点 关于原点的对称点为 ，则 也在椭圆上，
设左焦点为 ，则根据椭圆定义 ，
又 ， ，
是 的斜边中点， ，
设 ，则 ， ，
， ，
即 ，
， ，
， .
故选：C.
13．已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，以坐标原点 为圆心，以
为直径的圆交双曲线右支上一点 ， ，则双曲线 的离心率的取值范围为（
）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由圆的性质可得 ，根据勾股定理可得 ，结合双曲线的定义可得
，令 ，可得 ，结合已知 可求出
，结合导数的知识可求出 的取值范围，从而可选出正确答案.
【详解】
解析：∵ 是以 为圆心，以 为直径的圆与双曲线 右支的交点，∴ ，
∴ ， ．∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
设 ，则 ，
令 ， ，
∴ 时， ，则 在 上单调递增，∴ ，∴ ，∴ ．
故选:C.
14．已知双曲线 ，直线 与双曲线交于A、B两点（点A在第一象限），
若 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先根据条件求得点A的坐标 ，再根据点在曲线上找到关于 的等量关系式，
化简求得 ，最后求出双曲线的离心率.
【详解】
因为直线 与双曲线交于A、B两点，且 ，
设直线 的倾斜角为 ，所以 ，
所以 ，，
所以 ，
又点A在双曲线上，则 ，
化简得： ，所以 ，
故选：A
15．已知双曲线 为左右焦点， 为坐标平面上一点，若 为等腰直角
三角形且 的中点在该曲线上，则双曲线离心率的可能值中最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分 为斜边或 为直角边，两种情况分别设出点 的坐标，利用中点坐标在双曲线方程上，代入曲线
方程，构造齐次方程，求双曲线的离心率.
【详解】
当 为斜边时，由题意，点 在 轴上，不妨设 ， ， ，此时 ，且 ，线段 的中点坐标为 ，代入双曲线方程，
则 ，即 ， ，
整理得 ，得
解得： ， ， ；
当 为直角边时，不妨设 ， ， ，
此时 ， ，
则线段 的中点坐标为 ，代入双曲线方程，
， ，整理得 ，
即 ，解得： ， ， ；
， 双曲线离心率的可能值中最小的是 .
故选：A
16．已知椭圆 ： 的左焦点为 ，过 作一条倾斜角为 的直线与椭圆 交于 ，
两点， 为线段 的中点，若 （ 为坐标原点），则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用点差法，设 ， ， ，则 ， ，两式相减，化简可得，设 ，过 作 轴，垂足为 ，从而结合已知条件可得 ，
将其代入椭圆方程化简可求得结果
【详解】
设 ， ， ，由题意得 ， ，两式相减，得
，因为 为线段 的中点，且直线 的倾斜角为 ，所以
．设 ，则 ，过 作 轴，垂足为 ，则
， ，由题易知 位于第二象限，所以 ，所以
，得 ，所以 ，所以 ．
故选：B
17．设 为双曲线 上任意一点，过点 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近
线交于 ， 两点．若 的面积为4，则双曲线D的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意判断 是平行四边形，结合平行四边形的面积公式、平行线间距离公式、双曲线离心率公式
进行求解即可.
【详解】
设 ，设过点 与双曲线渐近线 平行的直线交双曲线渐近线 于 点，过点 与双曲线渐近线 平行的直线交双曲线渐近线 于 点，
因此 是平行四边形，因为 的面积为4，所以平行四边形 的面积为8，过点 与双曲
线渐近线 平行的直线为 ，于是有：
，
过点 与双曲线渐近线 平行的直线为：
，与直线 的距离为：
，而 ，
于是有： ，
而 ，所以
因为 在双曲线 上，所以 ，
解得 ，因此 ，
故离心率为
18．已知 是椭圆 的左焦点，直线 与该椭圆相交于 两点， 是坐
标原点， 是线段 的中点，线段 的中垂线与 轴的交点在线段 上．该椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】
设 的中点为 ， 中垂线与 轴交于点 ，将 代入椭圆方程可的韦达定理的形式，利用韦
达定理可表示出 点坐标，由此可得直线 方程，求得 点坐标，由 在线段 上可构造 的齐次不
等式求得结果.
【详解】
设 的中点为 ， 中垂线与 轴交于点 ，
设 ， ，
由 得： ，
， ，
，
， ， 直线 方程为： ，
令 ，解得： ，即 ，
在线段 上， ，整理可得： ，即 ，
又椭圆离心率 ， ，即椭圆离心率的取值范围为 .
故选：A.19．过点 的两条直线 ， 分别与双曲线 ： 相交于点 ， 和点 ， ，
满足 ， （ 且 ）.若直线 的斜率 ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
设 ，由 ， ，可得 ，
，再利用点差法可得 ， ，从
而可得 ，进而可求出离心率
【详解】
解：设 ，
则 ,
因为 ， ，所以 ∥ ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，则同理得， ，则
所以 ，
因为 且 ，所以 ，即
所以离心率 ，
故选：D
20．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线右支上一点，且
， ，则当 时，双曲线 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设 ，则 ，由双曲线的定义和 可得 ，
，从而可得 ，进而可求出离心率的取
值范围
【详解】
由题意可设 ，则 ，则由双曲线的定义得 ①.
由 得 ，即 ②.
由①②得 .易知函数 在 上单调递增，则当 时， ，
所以 ，即 ，
故选：C.
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．已知椭圆 ， ，若 上任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值
范围为__________.
【答案】
【分析】
利用距离公式将 表示，配方后，分 和 两种情况讨论即得.
【详解】
设 ，
则 ，
因为 ，
当 即 时， ，
所以 ， ，
所以 ，
即
，显然该不等式不成立，
当 ，即 时， ，恒成立，
由 ，得 ，所以综上，离心率的范围为 .
故答案为：
22．已知 ， 是双曲线 的左､右焦点，过 的直线交双曲线的右支于 ， 两点，
且 ， ，则双曲线 的离心率为___________.
【答案】2
【分析】
由双曲线的定义知 ， ，再根据 得 ，进而根据相似关系得
， ， ，再结合双曲线的定义 得 ，故 ，进而得
答案.
【详解】
由双曲线的性质，可知 ， .
因为 ，所以 ， .
又 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， .
因为 ，
所以 .又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
23．已知双曲线 ： 的左焦点为 ，过点 的直线与两条渐近线的交点分别为 ，
两点（点 位于点 与点 之间），且 ，又过点 作 于 （点 为坐标原点），
且 ，则双曲线 的离心率 为__________.
【答案】
【分析】
设 ， ， ，由 解得 ，从而求出 、 、
，由 ，表示出 ，得到 ，求出离心率.
【详解】
双曲线 ： 的渐近线方程为 ，
如图所示，设 ， ， ，， ，
由 ，得 ，解得 .
又点 到直线 的距离 ， ，
∴ ，则 ，
又 ，∴ .
所以 ，即 ，∴ .
故答案为： .
24．已知椭圆 的短轴长为 ，上顶点为 ， 为坐标原点，点 为 的中点，双
曲线 的左、右焦点分别与椭圆 的左、右顶点 、 重合，点 是双曲线 与
椭圆 在第一象限的交点，且 、 、 三点共线，直线 的斜率 ，则双曲线 的离心率为
______.
【答案】【分析】
设 的中点为 ，连接 ，求出直线 、 的方程，求得点 、 的方程，利用双曲线的定义求
得双曲线的实轴长和焦距，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】
因为椭圆 的短轴长为 ，所以 ， .
设 的中点为 ，连接 ， 、 分别为 、 的中点，则 ，
设点 ，则 ，可得 ，
， ，则 ，
所以， ， ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，而直线 的方程为 ，
联立得 解得 ，所以 的坐标为 ， 的坐标为 .
又双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，
所以根据双曲线的定义，得双曲线的实轴长 ，
所以双曲线 的离心率 .
故答案为： .
25．已知双曲线 ： 的斜率为正的渐近线为 ，若曲线 ： 上存在不同3点
到 的距离为1，则双曲线 的离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】
已知 ： ，曲线 ： 表示以点 为圆心，2为半径的圆的上半部分（包含端点），
点 到直线 的距离 ，曲线 ： 的一个端点 到直线 的距离 ，
等价于 且 即 ，解不等式即得解.
【详解】
由题意知 ： ，曲线 ： 即 ，表示以点 为圆心，2为半径
的圆的上半部分（包含端点）．
点 到直线 的距离 ，
曲线 的一个端点 到直线 的距离 ．
因为曲线 ： 上存在不同3点到 的距离为l，所以 且 ，整理得 ，故 ，则 ，
所以 ，即 ，得 ．
故答案为：
26．已知直线 ： 交双曲线 ： 于 ， 两点，过 作直线 的垂线
交双曲线 于点 ．若 ，则双曲线 的离心率为______．
【答案】
【分析】
联立直线 和双曲线方程可得 ， 的坐标，以及 ，直角三角形的性质可得 ，设
出直线 的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得 的横坐标，由弦长公式，化简计算可得 ，
进而得到所求离心率．
【详解】
解：联立直线 和双曲线方程可得 ， ，
可设 ， ，可得 ，
在直角三角形 中， ，
可得 ，
设直线 的方程为 ，
代入双曲线方程可得 ，
可得 ，
即有
，
可得 ，
即为 ，
可得 ， ．
故答案为： ．
27．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 的右支上，
（ 为坐标原点）．若直线 与 的左支有交点，则 的离心率的取值范围为______．
【答案】
【分析】
设 位于第四象限，可知 ，设 ，由 和 在双曲线上可构造方程组求得 点坐标，由此表示出 ，由 化简可得 ，根据 可求得结果.
【详解】
由双曲线方程知其渐近线方程为： ；
不妨设 位于第四象限，则若直线 与 的左支有交点，则 ；
设 ，由 得： ，又 ，
， ， ，
，即 ， ，
整理可得： ，即 ， ，
，即 的离心率的取值范围为 .
故答案为： .
28．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第
一象限)，若 ，且 ，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
首先根据已知条件找到 ，转化为 ，进而整理，然后把 整体看做变量，找到其范围，求出函数的值域即可.
【详解】
∵直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，即
又∵ ，
∴四边形 为矩形
∴
则
在 中，
∵ ，∴
∵ ∴
∵A在第一象限，∴∴
∴
令 ，则有
，即
故答案为：
29．过双曲线 的右焦点作直线 ，使 垂直于x轴且交C于M、N两点，双曲线C虚
轴的一个端点为A，若 是锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围___________．
【答案】
【分析】
根据已知条件确定 ， ， 的坐标，要使 是锐角三角形，有 且 ，结合向量数
量积的坐标表示，并整理为关于双曲线参数a、c的齐次不等式组，求离心率范围.
【详解】
由题意知： ， ，不妨假设 ，
∵ 是锐角三角形，
∴ ，即 ，且 ，
∴ ，整理得 ，解得 ，故答案为：
30．如图，椭圆 ： =1(a>b>0)的离心率为e，F是 的右焦点，点P是 上第一象限内任意一点且
， ． ，若λ>e，则离心率e的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
由已知得 ，设直线 的斜率为 ，则 联立直线与椭圆的方程求得点P，Q的坐标，
根据向量垂直的关系建立关于 不等式，可求得离心率的范围．
【详解】
因为点 是 上第一象限内任意一点，故 为锐角且 ，所以 ，
设直线 的斜率为 ，则
由 可得 ，故 ，所以 ，
因为 ，故 ，所以 ，
解得 ，因为 对任意的 恒成立，
故 ，整理得到 对任意的 恒成立，
故 ，即 ，即 ．
故答案为： ．
