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专题 11 概率初步
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
1.随机事件：在一定条件下一定发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下一
定不会发生的事件，叫做不可能事件；必然事件和不可能事件统称为确定事件。
有些事情事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随
机事件。
2.概率：在试验次数很大时，不确定事件发生的频率都会在一个常数附近摆动,
这就是频率的稳定性。
一般地，把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率,记
为P（A）.
3.注意：在大量重复试验中，我们常用不确定事件发生的频率来估计事件发生
的概率；说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似
值,二者不能简单地等同.
4.事件A发生的概率记作P（A）则：0≤P(A)≤1。
必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，不确定事件发生的概率
P(A)为0与1之间的一个常数。
5.等可能事件概率
（1）一次试验中，可能出现的结果有限多个.
（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等.
设一个实验的所有可能的结果有n种，每次试验有且只有其中的一种结果出现，
如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个实验的结果是等可能的。
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那
m
么事件A发生的概率为：P(A)= n 注意：0≤P(A)≤1一共有n种结果，每种结果出现的可能性都相同，事件 A出现的结果有m种，所
m
以事件A发生的概率为P(A)= n
6.游戏是否公平：
游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同，即获胜概率相同。
7.摸到红球的概率：
摸到红球可能出现的结果数
摸出一球可能出现的结果数
P（摸到红球）=
【经典题型】
考点1 随机事件
【典例1】下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．瓮中捉鳖
【答案】B
【解答】解：A、水涨船高是必然事件，故此选项不合题意；
B、守株待兔是随机事件，故此选项符合题意；
C、水中捞月是不可能事件，故此选项不合题意；
D、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意．
故选：B．
【变式1-1】“买一张电影票，座位号正好是偶数”这个事件是（ ）
A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．确定事件
【答案】C
【解答】解：“买一张电影票，座位号正好是偶数”这个事件是：随机事件，
故选：C．
【变式1-2】一个不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这3个球除颜色外完全相同，
现从中随机抽取1个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抽到的是红球 B．抽到的是白球
C．抽到的是黑球 D．抽到的是红球或白球
【答案】D
【解答】解：一个不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这3个球除颜色外完全相
同，现从中随机抽取1个球，
A．抽到的是红球，这是随机事件，故A不符合题意；B．抽到的是白球，这是随机事件，故B不符合题意；
C．抽到的是黑球，这是不可能事件，故C不符合题意；
D．抽到的是红球或白球，这是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【变式1-3】有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4，从中同时抽取
两张，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两张卡片的数字之和等于1
B．两张卡片的数字之和大于1
C．两张卡片的数字之和等于6
D．两张卡片的数字之和大于7
【答案】C
【解答】解：有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4，从中同时抽
取两张，
A．两张卡片的数字之和等于1，这是不可能事件，故A不符合题意；
B．两张卡片的数字之和大于1，这是必然事件，故B符合题意；
C．两张卡片的数字之和等于6，这是随机事件，故C不符合题意；
D．两张卡片的数字之和大于7，这是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
考点2 可能性大小
【典例2】如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字 1，
2，3，4所示区域内可能性最大的是（ ）
A．1号 B．2号 C．3号 D．4号
【答案】C
【解答】解：由图形知，1对应扇形圆心角度数为360°﹣（50°+125°+65°）＝120°，
所以数字3对应扇形圆心角度数最大，
所以指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是3号，
故选：C．【变式2-1】任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵骰子共6个面，偶数有2，4，6共3个，
∴任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是 ＝ ，
故选：A．
【变式2-2】如图是一个可以转动的转盘．盘面上有6个全等的扇形区域，其中1个是红色，
2个是黄色，3个是白色．用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是 ＝ ，
故选：B．
【变式2-3】一个不透明的袋子中装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，从中
任意摸出1个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到黑球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到黑球与摸到白球的可能性相等
D．摸到黑球比摸到白球的可能性大
【答案】D
【解答】解：∵共有4+2＝6个球，∴摸到黑球的概率是 ＝ ，摸到白球的概率是 ＝ ，
∴摸到黑球的可能性比白球大；
故选：D．
【变式2-4】一个袋中装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外其它都相同．其中红球个
数：白球个数＝3：2．任意摸出一个球，求摸到红球的可能性大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵红球个数：白球个数＝3：2，
∴任意摸出一个球，求摸到红球的可能性大小是 ＝ ，
故选：A．
考点3 利用频率估计概率
【典例3】抛掷一枚质地均匀的硬币2021次，正面朝上最有可能接近的次数为（ ）
A．800 B．1000 C．1200 D．1400
【答案】B
【解答】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 ，
∴2021× ≈1010，
∴抛掷一枚质地均匀的硬币2021次，正面朝上最有可能接近的次数为1000次，
故选：B．
【变式3-1】小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正
面朝上的概率是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解答】解：小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出
现正面朝上的概率是： ，
故选：C．
【变式3-2】关于“可能性是1%的事件在100次试验中发生的次数”，下列说法错误的是（ ）
A．一定发生一次 B．可能发生一次
C．可能发生两次 D．可能一次也不发生
【答案】A
【解答】解：随机事件是在一定条件下可能发生，也有可能不发生，可能性是 1%的事
件是在大量重复试验时，平均每100次试验发生一次．
故A错误，B，C，D正确．
故选：A．
【变式3-3】掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率
是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的
概率是 ，
故选：C
考点4 概率公式
【典例4】袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机地摸
出1个球，则它是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解；袋中球的总数为：5+3＝8，
取到红球的概率为： ；
故选：D．
【变式4-1】不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．
随机摸出一个小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解答】解；袋中球的总数为：1+1+2＝4，
取到红球的概率为： ；
故选：C．
【变式4-2】在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中1个红球、2个黄球和
3个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵从袋中任意摸出一个球，共有6种等可能结果，其中是白球的有3种结
果，
∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为 ＝ ，
故选：C．
【变式4-3】一个口袋里装有4个白球，5个黑球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸
出一个球，摸到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵一个口袋里装有4个白球，5个黑球，它们除颜色外其余都相同，
∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为： ＝ ．
故选：A．
考点5 几何概率
【典例5】如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形
区域内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解答】解：观察图形可知，阴影部分是大圆面积的一半，则该点取自阴影部分的概率
是 ．
故选：D．
【变式5-1】一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，
若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面
积，
∴小球停留在阴影部分的概率是 ，
故选：A．
【变式5-2】如图是由9个小正方形组成的图案，从图中随机取一点，这点在阴影部分的概
率是 ．
【答案】
【解答】解：由题意可知：由9个小正方形组成的图案，阴影部分有5个小正方形，
所以，从图中随机取一点，这点在阴影部分的概率是 ．
故答案为： ．
【变式5-3】大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的吉祥码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积
为2.4cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 ．
【答案】
【解答】解：∵正方形的面积为2×2＝4cm2，黑色部分的总面积为2.4cm2，
∴向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
考点6 关于概率初步的解答题
【典例6】八月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的
次数做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A表示“0次”、B类表示
“1次”、C类表示“2次”、D类表示“3次”、E类表示“4次及以上”．并制成了如下
不完整的条形统计和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取 1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求
恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
【解答】解：（1）调查的总人数为12÷24%＝50（人），
所以a%＝ ＝20%，即a＝20；
故答案为20；
（2）C类人数为50﹣8﹣12﹣10﹣4＝16（人），
条形统计图为：
扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数为360°×20%＝72°；
（3）恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率＝ ＝ ＝ ．
【变式6-1】乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒
乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下
表：
黄色乒乓球数 0 1 2
盒数 8 m n
从20盒白色乒乓球中任意选取1盒；
（1）“盒中没有黄色乒乓球”是 事件（填“必然”、“不可能”或“随
机”）；
（2）“盒中有黄色乒乓球”的概率是 ；
（3）若“盒中有1个黄色乒乓球”的概率为 ，求m和n的值．
【解答】解：（1）20盒白色的乒乓球中，有的混入黄色的乒乓球，有的没有混入黄色
乒乓球，因此“盒中没有黄色乒乓球”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）“盒中有黄色乒乓球”的盒数为20﹣8＝12（盒），
所以“盒中有黄色乒乓球”的概率为 ＝ ，
故答案为： ；
（3）因为“盒中有1个黄色乒乓球”的概率为 ，
所以 ＝ ，
即m＝5，
n＝20﹣8﹣5＝7，
答：m＝5，n＝7．
【变式6-2】暑假将至，某商场为了吸引顾客，设计了可以自由转动的转盘（如图所示，转
盘被均匀地分为20份），并规定：顾客每 200元的商品，就能获得一次转动转盘的机
会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得
200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．若某顾客购物 300
元．
（1）求他此时获得购物券的概率是多少？
（2）他获得哪种购物券的概率最大？请说明理由．
【解答】解：（1）∵转盘被均匀地分为20份，他此时获得购物券的有10份，
∴他此时获得购物券的概率是： ＝ ；（2）∵P（获得200元购物券）＝ ，P（获得100元购物券）＝ ，P（获得50元
购物券）＝ ＝ ，
∴他获得50元购物券的概率最大．
【变式6-3】某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最
喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调
查，并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生．其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数
占抽查总人数的百分比为 ．扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为
度．
（2）请你补全条形统计图．
（3）某班7位同学中，1人喜欢舞蹈，2人喜欢乐器，1人喜欢声乐，3人喜欢乐曲，李
老师要从这7人中任选1人参加学校社团展演，则恰好选出1人喜欢乐器的概率是
．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽查了8÷16%＝50名学生，
其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为： ×100%＝24%，
扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为：360°× ＝28.8°，
故答案为：50，24%，28.8；
（2）喜欢戏曲的学生有：50﹣12﹣16﹣8﹣10＝4（人），
补全的条形统计图如右图所示；（3）∵某班7位同学中，1人喜欢舞蹈，2人喜欢乐器，1人喜欢声乐，3人喜欢乐曲，
∴李老师要从这7人中任选1人参加学校社团展演，则恰好选出1人喜欢乐器的概率是
，
故答案为： ．
