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专题 11 平行四边形中动点问题全攻略
例1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将 AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的
△
点G处．若∠A=45°，AB=6 ，5BE=AE．则AF长度为_____．
【答案】
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点
N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，
∵AB=6 ，5BE=AE，
∴AE=5 ，BE= ，
由折叠的性质可知：GE=AE=5 ，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN=∠A=45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，∴EN=BN= BE=1，AM=BM= AB=6，
∴FH=BM=6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
，
∴ ，
解得GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
，
∴ ，
解得x= ，
∴AF=AM+FM=6+ = ．
∴AF长度为 ．
故答案为： ．
例2.如图，在平行四边形 中， ．点M是 边的中点，点N是 边
上的一个动点．将 沿 所在的直线翻折到 ，连接 ．则线段 长度的最小值为
（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A【详解】解：如图：连接 ，作 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ 且 ，
∴ ，∴ ；
∵M是 中点，∴ ，∴ ，∴ ；
∵折叠，∴ ，∴当 三点共线时， 的长度最小，
∴此时，
故选：A．
例3．如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，点E是边AB上一动点，点F是对角线AC上一动点，
则EF+BF的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．4 D．4
【答案】C
【详解】如图，连接 交 于 ，过 作 于 ，交 于 ，四边形 是菱形， 是对角线，
点 是点 关于 的对称点，
点E是边AB上一动点，点F是对角线AC上一动点，
，
当点 与点 重合， 点 与点 重合时， 取得最小值，
最小值为 的长，
菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，
，
，
．
取得最小值为: ．
故答案为：C．
例4．如图，在平行四边形 中， ，E为边 上的一动点，那么
的最小值等于______．
【答案】3
【详解】解：如图，过 作 交 的延长线于点 ，∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线时，线段的和最小，
∵ ， ，
∴ ，
即： 的最小值等于3；
故答案为：3．
例5.如图，在平行四边形ABCD中， ， ，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H
不与点C重合，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为
______．
【答案】
【详解】如图，连接AG，因为点E为AH的中点，点F为GH的中点，
所以EF= ，故EF的最小值，
只有当AG取得最小值时，才能成立，AG的最小值为垂线段AG，
过点A作AM⊥BC，垂足为M，
因为 ， ，
所以BM=2，
AM= ，
故EF的最小值为 =
故答案为： ．
【变式训练1】如图，菱形ABCD的对角线 ，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线
AC上移动，则 的最小值为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．6
【答案】C
【详解】解：如图，连接BD交AC于O，连接PB．∵S ABCD= •AC•BD，
菱形
∴24= ×12×BD，
∴BD=4，
∵OA= AC=6，OB= BD=2，AC⊥BD，
∴AB= ，
∵AC与BD互相垂直平分，
∴PD=PB，PE+PD=PE+PB，
∵PE+PB≥BE，
∴当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2 ，
∴PD+PE的最小值为2 ，
故选：C．
【变式训练2】如图，在矩形 中， ， ， 为 上两点，且 ，则四边形
周长的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B【详解】解：如图，作 交AD于M，作M关于BC的对称点 ，连接 ， ，
∴ ，
在矩形ABCD中， ，
∴四边形APQM为平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
若使其周长最小，即 最小，即： 即为所求，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
故 最小值为： ．
故选B．
【变式训练3】如图，在平行四边形 中， ， ， ，点 、 分别是边 、
上的动点．连接 、 ，点 为 的中点，点 为 的中点，连接 ，则 的最大值与最
小值的差为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接 ，如图：
点 为 的中点，点 为 的中点，
是 的中位线，
，
当 最小时， 最小，当 最大时， 最大，
当 时， 最小，此时 也最小，如图：
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
最小为 ；
当 与 重合时， 最大，此时 也最大，过 作 于 ，如图：同上可得 是等腰直角三角形， ，
，
，
，
最大为 ；
的最大值与最小值的差为 ，
故选：B．
【变式训练4】如图，在 中， ，线段 绕点B旋转到 ，
连接 ，E为 的中点，连接 ，设 的最大值为m，最小值为n，则 （ ）
A．3.6 B．4.8 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解：由旋转的性质可得出 ．
如图，取 的中点F，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
∵E、F分别是 的中点，
∴ ．
如图，当 在 上方时，此时，如果C、E、F三点共线，则 有最大值，最大值为 ，即 ；
如图，当 在 下方时，
此时，如果C、E、F三点共线时， 有最小值，最小值为 ，即 ，
∴ ．
故选D．
课后训练
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一
个动点，DE＝ ，则CD+EF的最小值为( )
A． ﹣ B．3﹣ C．1+ D．3
【答案】B【详解】解：如图，过C作AB的对称点C ，连接CC ，交AB于N；过C 作C C ∥AB，且C C ＝ ，过
1 1 1 1 2 1 2
C 作C F⊥AC于F，交AB于E，C F的长度即为所求最小值，
2 2 2
∵C C ∥DE，C C ＝DE，
1 2 1 2
∴四边形C DEC 是平行四边形，
1 2
∴C D＝C E，
1 2
又∵CC 关于AB对称，
1
∴CD＝C D，
1
∴CD+EF＝C F，
2
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝ BC＝2 ，
∴CN＝ ，AN＝3，
过C 作C M⊥AB，则C M＝C N＝CN＝ ，
2 2 2 1
∴C M∥C N，C C ∥MN，
2 1 1 2
∴MN＝C C ＝ ，
1 2
∵∠MEC ＝∠AEF，∠AFE＝∠C ME＝90°，
2 2
∴∠MC E＝∠A＝30°，
2
在Rt△C ME中，ME＝ ，C M＝1，C E＝2，
2 2 2
∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣ ﹣1＝2﹣ ，∴EF ，
∴C F ．
2
故选：B．
2．如图， 中， ，点 、 分别在边 、 上， ，且 ，若 ，
，则 的长度为_________________．
【答案】
【详解】解：如图，连接 ，过点E作 于M，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
将 顺时针旋转 得 ，连接 ，则 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点N作 交 的延长线于点G，
∵ ，
∴ ，
∴CG=
∴
∴
∴
故答案为 ．
3．如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上
一点，连接CG，FG，则CG FG的最小值为_________．
【答案】
【详解】在 上取一点 ，使 ，平分 ，
，
，
当 、 、 在同一直线上，且 时，
最小，最小值为 ．
， ， ， ，
， ．故答案为： ．
4．如图， ， ， ， ， ，射线 交边 于点 ，点 为射
线 上一点，以 ， 为边作平行四边形 ，连接 ，则 最小值为______．
【答案】
【详解】解：如图，延长 到 ，使得 ，连接 ，过点 作 于点 ．
四边形 是平行四边形，
， ，
，，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
点 在射线 上运动，当点 与 重合时， 的值最小，
在 中， ， ， ，
，
．
的最小值为 ．
故答案为： ．
5．如图，在平行四边形ABCD中， ， 是锐角， 于点E， ，F是CD的中点，
连接BF，EF．若 ，则DE的长为______．【答案】4
【详解】解：如图，延长BF交AD的延长线于Q，连接BE，设DE=x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，AD=BC=5，
∴∠Q=∠CBF，
∵DF=FC，∠DFQ=∠BFC，
∴ BCF≌ QDF（AAS），
∴△BC=DQ，△QF=BF，
∵∠EFB=90°，
∴EF⊥QB，
∴EQ=BE=x+5，
∵CE⊥AD，BC∥AD，
∴CE⊥BC，
∴∠DEC=∠ECB=90°，
∵CE2=EB2-BC2，
∴ ，整理得：x2+10x-56=0，
解得x=4或-14（舍弃），
∴DE=4．
故答案为：4．
6．如图，在平行四边形 中， ， ，点 为射线 上一动点，连接 ，将 绕
点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值是______．
【答案】
【详解】解：如图，以AB为边向右作等边 ABK，由 可知点K在BC上，连接EK，
△
∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，EK的值最小，即AF的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAK＝∠AKB＝60°，
∴∠AKE＝30°，
∵AB＝AK＝2，∴AE＝ AK＝1，
∴EK＝ ，
∴AF的最小值为 ．
故答案为： ．
7．如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知
， ， ， ，则D点的坐标为_______．
【答案】（-2，8）
【详解】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC=OB，AC∥OB，
∴∠OGC=∠BOE，
∵AD∥y轴，
∴∠DAC=∠OGC，
∴∠BOE=∠DAC，在 BOE和 CAD中，
△ △
，
∴△BOE≌△CAD（AAS），
∴OE=AD=2，BE=CD=8，
∵S ABD=6，
△
∴ AD•BF=6，
∴ ×2×BF=6，
∴BF=6，
∴EF=BE-BF=2，
∵∠ADB=135°，
∴∠BDF=45°，
∴BF=DF=6，
∵DF+OE=6+2=8
∴D（-2，8），
故答案为：（-2，8）．
8．如图，在
▱
ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是
▱
ABCD内一动点，且S PBC＝ S PAD，则
△ △
PA＋PD的最小值为______．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点P作直线 ，作点A关于直线l的对称点 ，连接 交直线l于E，交
BC于F，连接 ，则 ， 垂直于直线l，
∴ ，∴当 、P、D三点共线时，PA+PD有最小值，即 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，AD=BC，
∴ ，
∵AB=6，∠AFB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=3，
∴ ，
∵S PBC＝ S PAD，
△ △
∴ ，
∴ ，
又∵AE+EF=AF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴PA+PD的最小值为 ，
故答案为： ．
9．如图，在平行四边形ABCD中， ，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE
绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是_____．【答案】
【详解】解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．
∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD BC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝ a，
在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+ a）2＝4，∴a＝ ，
∴EK＝2a+ a＝ ，
∴AF的最小值为： ．
故答案为： ．
