专题11实数运算四个类型（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练_微专题2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题11 实数运算四个类型 1．有个数值转换器，原理如图所示，当输入 为8时，输出的 值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的立方根，若结果是有理数，再重新输入，若 结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】 解：当输入是8时，取立方根是2，2是有理数， 再把2输入，2的立方根是 ， 是无理数， 所以输出是 ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了立方根，解题的关键是注意读懂数值转换器． 2．如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是____． 【答案】2 ． 【解析】 【分析】 读懂计算程序，把x=－3代入，按计算程序计算，直到结果是无理数即可．【详解】 当输入x，若 ＝2 的结果是无理数，即为输出的数， 当x＝﹣3时，2 ＝2，不是无理数， 因此，把x＝2再输入得，2 ＝2 ， 故答案为：2 ． 【点睛】 本题考查实数的混合运算，掌握计算法则是关键． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】 解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的平方根 ，是无理数，输出 为y， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是 ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键． 4．有个数值转换器，原理如图所示，当输入 为27时，输出的 值是________________．【答案】 【解析】 【分析】 计算x的立方根：当x=27，27的立方根为3，再把x=3代入得到 ，它是无理数，于是得到输出 的值为 ． 【详解】 解：当x=27时， =3，3是有理数， 当x=3时， ， 为无理数， 所以输出的值为 ． 故答案为 ． 【点睛】 本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作 ． 5．现规定一种新运算：a*b＝ ，如：16*2＝ ＝4，则25*2﹣125*3＝___． 【答案】0 【解析】 【分析】 直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答 案． 【详解】 25*2﹣125*3 ＝ ﹣ ＝5﹣5 ＝0． 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键． 6．对于实数x，y，定义一种运算“※”如下，x※y＝ax-by，已知2※3＝9，4※(－3)＝9，那么 (－2)※ ＝________； 【答案】3 【解析】 【分析】 先把 的结果计算出来，再根据定义得运算x※y＝ax-by计算出a、b的值，代入计算即可得 到答案； 【详解】 解： ， 又∵x※y＝ax-by，2※3＝9，4※(－3)＝9， ∴ ， 解得： ， 即x※y＝3x+y， ∴(－2)※ =(－2)※9= ， 故答案为：3； 【点睛】 本题主要考查了对新概念的理解，涉及到的立方根与二元一次方程组的求解，把a、b的值求解出 来是解题的关键． 三、解答题(共0分) 7．若一个含根号的式子 可以写成 的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整 数），即 ，则称 为完美根式， 为 的完美平方根． 例如：因为 ，所以 是 的完美平方根． (1)已知 是 的完美平方根，求 的值；(2)若 是 的完美平方根，用含 ， ， 的式子分别表示 ， ； (3)已知 是完美根式，请写出它的一个完美平方根． 【答案】(1) (2) ， (3) 或 【解析】 【分析】 （1）根据定义，得到 ，展开后，合并同类项，根据对应项系数相等求a的值； （2）根据定义，得到 ，展开后，合并同类项，根据对应项系数相等原理计算 即可． （3）构造完全平方公式，用对应项系数相等建立等式计算． (1) ∵ 是 的完美平方根， ∴ ， ∴ ， ∴ ； (2) 解：∵ 是 的完美平方根， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ； (3) 解：∵ 是完美根式， ∴ ，∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵m，n都是整数， ∴ ， ， ∴ 的完美平方根是 或 ． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的应用，理解新定义，活用完全平方公式，恒等式的对应项相等是解题 的关键． 8．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是 整数，则称这三个数为“完美组合数”． 例如：-9，-4，-1这三个数， ， ， ，其结果6，3， 2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”． (1)-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)m的值为-48或-12 【解析】 【分析】 （1）根据新定义进行计算，即可得到答案； （2）根据新定义的运算法则进行计算，即可求出答案． (1) 解：∵ ， ， ， ∴ 18， 8， 2这三个数是“完美组合数”． (2) 解：①当 时， 解得： ； ②当 时，解得： 综上所述，m的值为 或 ． 【点睛】 本题考查了新定义的运算法则，解题的关键是掌握新定义的运算法则进行计算． 9．利用平方根去括号可以用一个无理数构造一个整系数方程． 例如： 时，移项 ，两边平方得 ，所以a2-2a+1=2，即a2-2a-1=0。 仿照上述方法完成下面的题目，已知 ， 求：（1）a2+a的值； （2）a3-2a+2020的值． 【答案】（1） ；（2）2019 【解析】 【分析】 （1）原式移项变形可得 ，两边平方得 ，然后化简即可求出结论； （2）将原式 ，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】 解：（1）∵ 移项变形可得 两边平方得 ∴ ∴ （2） = == = =2019 【点睛】 此题考查的是根据无理数构造整系数方程，读懂材料中的构造方法、掌握等式的基本性质和整体 代入法是解决此题的关键． 10．如图，长方形 的长为 ，宽为 ． （1）将长方形 进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画 出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为 . 【解析】 【分析】 （1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全 成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为 ，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】 （1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新 的正方形； （2）设拼成的正方形边长为 ，根据题意得 ， ∴ （负值舍去）答：拼成的正方形边长为 ． 【点睛】 此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 11．【知识重现】我们知道，在axN中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例 如23=8：已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如 =2． 【学习新知】 现定义：如果ax=N（a0且a1），即a的x次方等于N（a0且a1），那么数x叫做以a为底N 的对数（logarithm），记作x=logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的 对数，例如log 8=3，零没有对数；在实数范围内，负数没有对数． 2 【应用新知】 （1）选择题：在式子log 125中，真数是_______． 5 （2）①计算以下各对数的值：log 9=_______；log 27=_______． 3 3 ②根据①中计算结果，请你直接写出logaM，logaN，loga（MN）之间的关系，（其中a0且 a1，M0，N0）． 【答案】（1）125；（2）①2，3；②logaMlogaNlogaMN 【解析】 【分析】 （1）根据材料，由真数的定义，即可得到答案； （2）①根据阅读材料中的方法将各式计算，即可得到答案； ②根据①的计算方法，找出关系即可． 【详解】 解：（1）∵在 中，其中 叫做对数的底数，N叫做真数， ∴ 的真数是125； 故答案为：125； （2）① ； ； 故答案为：2；3.②由①可知， ， ， ∴ ， ∴ ，（其中a0且a1，M0，N0）． 【点睛】 此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 12．阅读下面材料：随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认 不是有理数，并给出 了证明．假设是 有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得 ，于是 ，两边 平方得p2=2q2 ． 因为2q2是偶数，所以p2是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2 ， 即q2=2s2 ， 所以q也是偶数，这样，p和q都是偶数， 不互质，这与假设p，q互质矛盾，这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数． 请你有类似的方法，证明 不是有理数． 【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】 试题分析：根据题意利用反证法假设 是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立 原命题正确． 试题解析：假设 是有理数， 则存在两个互质的正整数m，n，使得 = ， 于是有2m3=n3 ， ∵n3是2的倍数， ∴n是2的倍数， 设n=2t（t是正整数），则n3=8t3 ， 即8t3=2m3 ， ∴4t3=m3 ， ∴m也是2的倍数， ∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾， ∴假设错误，∴ 不是有理数. 13．【发现】 ① ； ② ； ③ ； ④ ； …… 根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：_____________________． 【归纳】 等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数 ， ，若_______，则 ；反之也成立． 【应用】 根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： 若 与 的值互为相反数，求 的值． 【答案】【发现】 ；【归纳】 ；【应用】-4 【解析】 【分析】 （发现）根据题目给出的规律解答； （归纳）根据已知的等式规律即可求解； （应用）根据题意列出方程，解方程求出x，根据算术平方根的概念解答即可． 【详解】 解：（发现）① ； ② ； ③ ；④ ； …… 故可写出一个等式： 故答案为： ； （归纳）根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数 ， ，若 ，则 ；反之也成立． 故答案为： ; （应用）∵ 与 的值互为相反数 ∴ + =0 ∴ ， 解得， ，则 ． 【点睛】 本题考查的是立方根和算术平方根的概念，根据题意正确找出规律是解题的关键． 14．阅读材料：分析探索题：细心观察如图⑴，认真分析各式，然后解答问题． ； ； …… ⑴请用含有 （ 为正整数）的等式 ；⑵推算出 ．求出…… 的值． 【答案】（1） ；（2） ； …… 的值： 【解析】 【分析】 （1）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边 就是 ，然后利用面积公式可得． （2）由（1）所得规律可求出OA 的值；根据（1）得出的规律直接代入数据，然后利用求和公式 10 计算即可得解． 【详解】 （1）结合已知数据,可得： = ， ； （2）OA ； 10 . 故答案为（1） ；（2） ； …… 的值： . 【点睛】 本题考查勾股定理、算术平方根．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律 进行计算． 15．观察下列等式：．．．． 请解答下列问题： （1）按以上规律写出 = ； （2）用含有n的代数式表示第n个等式： = （n为正整数）； （3）求 的值． 【答案】（1） ；（2） （ 为正整数）；（3） 【解析】 【分析】 （1）把分子、分母都乘以 后可得答案； （2）把分子、分母都乘以 后可得答案； （3）根据提示与（1）（2）的计算方法可得答案． 【详解】 解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： （ 为正整数）． （3）【点睛】 本题考查的是二次根式的除法，解题的关键是掌握分母有理化完成除法运算． 16．先阅读，再解答：由 可以看出，两个含有二次根式的代 数式相乘，积可能不含有二次根式．在进行二次根式计算时，可以利用这种运算规律化去分母中 的根号，例如： ，根据以上运算请完成下列问题： （1） （填＞或＜）； （2）利用你发现的规律计算下列式子的值： ． 【答案】（1）＜；（2）2018． 【解析】 【分析】 （1）通过比较 的倒数和 的倒数进行判断； （2）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】 解： （1）∵ ， ， ∴ ＞ ， ∴ ＜ ． 故答案为＜； （2）原式＝ ＝ ＝2019﹣1＝2018． 【点睛】 本题主要考查了实数大小比较、分母有理化、二次根式的混合运算、规律型：数字变化类，掌握 实数大小比较、分母有理化、二次根式的混合运算、找到规律是解题的关键.