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专题11 数轴上动点返回问题
1．数轴上有 、 、 三个点对应的数分别是-22、-10、10．动点 从 出发，以每秒3个单位
的速度向点 方向移动，设移动时间为 秒，点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，
点到达 点后，再立即按原速返回点 ．
(1)点 到达点 时 秒，点 向右运动的过程所表示的数为 ，点 返回的过
程中所表示的数为 ；
(2)当 为何值时， 、 两点之间的距离为4．
【答案】（1）4；−10＋t；42−3t（2）4s或8s或12s或14s
【解析】
【分析】
（1）由时间＝路程÷速度，可求t的值，由两点距离可求解；
（2）分两种情况讨论，列出方程可求解．
【详解】
（1）点P到达点B时，t＝ ＝4s，点Q向右运动的过程中所表示的数为−10＋t，点P返回
的过程中所表示的数为10−（3t−32）＝42−3t，
故答案为：4，−10＋t，42−3t；
（2）当点P到点C之前，则有|（−10＋t）−（−22＋3t）|＝4，
∴t＝4或8
当点P返回时，则有|（42−3t）−（−10＋t）|＝4
∴t＝12或14
答：当t＝4s或8s或12s或14s时，P、Q两点之间的距离为4．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．已知数轴上有三点 ， ， 分别表示有理数 ， ， ，动点 从点 出发，以 个单位
长度 的速度向终点 移动，设点 移动时间为 ．（1）用含 的代数式表示点 分别到点 和点 的距离： ______， ______．
（2）当点 运动到点 时，点 从点 出发，以 个单位长度 的速度向点 运动，点 到达点
后，再立即以同样的速度返回，当点 运动到点 时，两点运动停止．当点 ， 运动停止时，
求点 ， 间的距离．
【答案】（1） ， ；（2）24
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上两点的距离即可求得答案；
（2）先求得点 从 点到 点的时间，进而求得点 运动 的路程，根据题意确定 的位置，
进而求得 的距离
【详解】
（1） ，
故答案为： ， ；
（2）解：点 从 点到 点的时间为
点 运动 的路程为
点 ， 距离为
答：点 ， 距离为
【点睛】
本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键．
3．如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、
c、d，且d﹣2a=14
（1）那么a= ，b= ；
（2）点A以3个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，1秒后点B以4个单位/秒的速度也沿着数
轴的正方向运动．当点A到达D点处立刻返回，与点B在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数；【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据数轴可知 ，然后代入等式求出 的值， 再根据数轴确定出原点即可；
（2）先求出A点到达D所需要时间，再根据相遇问题列方程求得相遇时间， 再计算即可求解；
【详解】
解： （1）由图可知： ，
，
，
解得 ，
则 ；
（2） 由（1）可知： ， ， ， ，
点 运动到 点所花的时间为 ，
设运动的时间为 秒，
则 对应的数为 ，
对应的数为： ，
当 、 两点相遇时， ， ，
．
答： 这个点对应的数为 ；
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的坐标与距离表示方法等知识， 正确表示数轴
上的点的距离是解答本题的关键 ．
4．如图，点 从原点出发沿数轴向左运动，同时点 从原点出发沿数轴向右运动， 秒钟后，两
点相距 个单位长度，已知点 的速度是点A的速度的 倍．（速度单位：单位长度/秒）
（1）求出点 点 运动的速度．
（2）若 、 两点从（1）中位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时原点恰好
处在点 点 的正中间?（3）若 、 两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点 同
时从 点位置出发向 点运动，当遇到 点后，立即返回向 点运动，遇到 点又立即返回向 点
运动，如此往返，直到 点追上 点时，点 一直以 单位长度/秒的速度运动，那么点 从开始
运动到停止运动，行驶的路程是多少单位长度．
【答案】（1） 、 这动的速度分别为 单位长度/秒， 单位长度/秒；（2） 秒时，原点给好处
在点 点 正中间；（3） 行驶的路程是 个单位长度．
【解析】
【分析】
（1）设点A的速度为每秒x个单位，则点B的速度为每秒3x个单位，由甲的路程＋乙的路程＝
总路程建立方程求出其解即可；
（2）设t秒时原点恰好在A、B的中间，根据两点离原点的距离相等建立方程求出其解即可；
（3）先根据追击问题求出A、B相遇的时间就可以求出C行驶的路程．
【详解】
（1）设点A的速度为每秒x个单位，则点B的速度为每秒3x个单位，
由题意，得
4x＋4×3x＝16，
解得：x＝1，
所以点A的速度为每秒 单位长度/秒，则点B的速度为 单位长度/秒．
（2）设 秒后原点位于 、 点正中间．
秒时，原点给好处在点 点 正中间．
（3）设 点追上 点的时间为 秒
（秒）
点 行驶路程： （单位长度）
行驶的路程是 个单位长度．
【点睛】
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，数轴的运用，行程问题的相遇问题和追及问题的
数量关系的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键．5．已知数轴上点A与点B相距12个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长
度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1
个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）点A表示的数为__________，点C表示的数为_________；
（2）用含t的代数式表示P与点A的距离： _________；
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点
后，再立即以同样的速度返回，回到点A处停止运动．
①点Q运动过程中，请求出点Q运动几秒后与点P相遇？
②在点Q从点A向点C运动的过程中，P、Q两点之间的距离能否为4个单位？如果能，请直接写
出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．
【答案】（1） ， ；（2） ;（3）①6秒或15秒；② 或 或2或-2．
【解析】
【分析】
（1）由点A在原点的左侧，离原点的距离为24，可知点A表示的数，继而解得点B表示的数，，
再根据相反数的定义解得点C的坐标；
（2）根据路程=速度 时间，可得PA；
（3）①分两种情况讨论Ⅰ：点Q从点A向点C运动时，Ⅱ：点Q从点C返回点A时，根据题意
列一元一次方程解题即可；
②分两种情况讨论，Ⅰ）点Q从点A向点C运动时，Ⅱ）点Q从点C返回点A时，根据题意，列
一元一次方程解题即可．
【详解】
（1）由题意可知，点A表示数-24，根据数轴上点A与点B相距12个单位长度，点B在点A的右
侧，可得点B表示的数是-24+12=-12
因为点C表示的数与点B表示的数互为相反数，所以点C表示的数是12，
故答案为：-24，12；
（2）根据题意得，点P在点A的右侧，故点P表示的数是-24+t,
故答案为： ；（3）①设点Q运动 秒与点p相遇，
Ⅰ：点Q从点A向点C运动时，
根据题意得：3 - =12 （或-24+3 =-12+ ），解得： =6；
Ⅱ：点Q从点C返回点A时，AC=12-（-24）=36，BC=12-（-12）=24
根据题意得：3 + =36+24
或 ，解得： =15
②分两种情况讨论，设点Q运动 秒与点p相距4个单位，
Ⅰ）点Q从点A向点C运动时，
则 ，解得 或 ，
P=-8或P=-4
1 2
Ⅱ）点Q从点C返回点A时， ，解得 或 ，P3 = 2或P = -2
4
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用、数轴等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
6．如图，点A表示的数为﹣3，线段AB＝12（点B在点A右侧），动点M从点A出发，以每秒1
个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点N从点B出发，以每秒3个单位的速
度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即
调头向点A运动）．当点M到达B点时，M、N两点都停止运动．设点M的运动时间为x秒．
（1）当x＝2时，线段MN的长为 ．
（2）当M、N两点第一次重合时，求线段BN的长；
（3）是否存在某一时刻，使点BN的中点恰好落与点M重合，若存在，请求出所有满足条件的x
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4；（2） ；（3）当x= 9.6时，恰好重合
【解析】
【分析】
（1）结合图形，分别表示出 、 的长，即可得MN的长；
（2）设x秒后M，N重合，根据题意列出方程求解即可；（3）点BN的中点恰好落与点M重合分三种情况讨论，分别列出方程，求解即可．
【详解】
解：（1）由题意可知： ， ，则 或
当 时， ，
当 时， ，
∴
故答案为：4；
（2）设x秒后M，N重合，得： ，
解得： ，
；
（3）当点M从点A运动到B时，用时： 秒；当点N从点B运动到A时，用时：
秒；
①当点N从点B出发后，运动到A时，即 时，
，
解得： ，（舍去）
②当点N到点A后，从点A到点B过程中，即 时，
，
解得： ，（舍去）
③当点N返回B点，从点B出发运动到A时，即 时，
，
解得： ，
综上可得：当 时，点BN的中点恰好落与点M重合．
【点睛】
题目主要考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，理解题意，利用树形结合思想进行分
类讨论是解题关键．
7．在数轴上原点 表示数0， 点表示的数是 ， 点表示的数是 ，并且满足
．
（1）点 表示的数为________，点 表示的数为________；（2）若动点 从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点 从点 出发
以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设 运动的时间为 秒，并且 两点在 点相遇．
试求 值及 点所表示的数；
（3）在（2）的条件下，若点 运动到达 点后按原速立即返回，点 继续按原速原方向运动，
点 离开 点多少秒后， 两点的距离为4个单位长度？
【答案】（1） ，5；（2） ， ；（3）6秒或14秒
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的非负性，解得m、n的值，即可解题；
（2）分别写出点P、Q所表示的数，再根据相遇时，点P、Q表示同一个数解题即可；
（3）分两种情况讨论，当 在 右边时，或当 在 左边时，结合数轴上两点间的距离解题即可．
【详解】
（1）
点 表示的数为 ，点 表示的数为5，
故答案为：-10；5；
（2）点P表示的数是： ，点Q表示的数是： ，
根据题意得，
解得
，
此时 点表示的数是 ；
（3） 从 运动到 时， 距离 点4，点 到达点 时， 相距10，
当 在 右边时，
解得
当 在 左边时，解得
综上所述，当 或 时， 两点的距离为4个单位长度．
【点睛】
本题考查数轴、数轴上的动点，涉及绝对值、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
8．点A在数轴上表示的数是-8，点B在点A的右侧，且线段AB=24（单位长度）
（1）点B在数轴上表示的数是
（2）若点A以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向左匀
速运动．求几秒后点A和点B相距8个单位长度;
（3）在（2）的条件下，有一只电子蚂蚁同时从原点出发向点A运动，当遇到点A后，立即返回
向点B运动，遇到点B后立即返回向点A运动，如此往返，直到点A和点B相遇时，电子蚂蚁立
即停止运动．若电子蚂蚁一直以4个单位长度/秒的速度匀速运动，那么电子蚂蚁从开始到停止运
动时，求蚂蚁运动的路程是多少个单位长度
【答案】（1）16；（2）2秒或4秒后点A和点B相距8个单位长度；（3）电子蚂蚁的路程是12
个单位长度
【解析】
【分析】
（1）由题意得， ， ，即可得；
（2）设经过t秒后点A和点B相距8个单位长度，分情况讨论：①当点A，B两点相遇前，
AB=8，②当点A、B两点相遇之后，AB=8，进行解答即可得；
（3）设经过x秒后点A和点B相遇，得经过3秒后点A和点B相遇，再用电子蚂蚁的速度乘时间
即可得．
【详解】
解：（1）由题意得， ， ，
则 ，
即点B在数轴上表示的数是：16，
故答案为：16；
（2）设经过t秒后点A和点B相距8个单位长度，
①当点A，B两点相遇前，AB=8，则 ，
，
解得 ，
②当点A、B两点相遇之后，AB=8，
则 ，
，
，
综上，当AB=8时，运动时间为2秒或4秒；
（3）设经过x秒后点A和点B相遇，
，
，
即经过3秒后点A和点B相遇，
则 ，
故电子蚂蚁的路程是12个单位长度．
【点睛】
本题考查了数轴及其动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握灵活运用知识点，全面
考虑问题可能出现的情况．
9．已知数轴上两点 对应的数分别为 、3，点 为数轴上一动点，其对应的数为 ．
（1）若点 到点 、点 的距离相等，则点 对应的数为_____________；
（2）数轴上是否存在点 ，使点 到点 、点 的距离之和为8？若存在，请求出 的值；若不存
在，说明理由；
（3）现在点 、点 分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，动点 也
同时从原点出发向点 运动，当遇到点 后立即返回向点 运动，遇到点 后又立即返回向点
运动，如此往返，直到点 追上点 时，点 立即停止运动．若点 一直以2个单位长度/秒的速
度匀速运动，则点 一共运动了__________个单位长度．
【答案】（1）1；（2）存在，当x=-3或5时，点 到点 、点 的距离之和为8；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上中点公式即可求出结论；（2）根据点P与点A、B的位置分类讨论，分别列出方程即可求出结论；
（3）先求出AB的长，即可求出点A追上点B所用时间，从而求出点P的运动时间，再乘点P的
运动速度即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵ 对应的数分别为 、3，点 到点 、点 的距离相等
∴点 对应的数为
故答案为：1；
（2）存在
当点P在点A左侧时，则PA=-1－x，PB=3－x
由题意可得（-1－x）＋（3－x）=8
解得：x=-3
当点P在A、B之间时，则PA=x－（-1）=x＋1，PB=3－x
此时PA＋PB=4≠8，故此时不符合题意；
当点P在点B右侧时，则PA=x－（-1）=x＋1，PB=x－3
由题意可得（x＋1）＋（x－3）=8
解得：x=5
综上：当x=-3或5时，点 到点 、点 的距离之和为8；
（3）∵ 对应的数分别为 、3，
∴AB=3－（-1）=4
∵点 、点 分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动
∴点A追上点B所用时间为4÷（2－0.5）= （秒）
即点P运动的时间为 秒
∴点P运动的路程为 ×2= 个单位长度
故答案为： ．
【点睛】
此题考查的是数轴与动点问题和一元一次方程的应用，掌握两点之间的距离公式、中点公式和实
际问题中的等量关系是解题关键．
10．如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，
同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．） 当点P到达B点
时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．
（1）当x=3时，线段PQ的长为 ．
（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．
（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）7.5；（3）当x= 或x=4或x= 时，点Q恰好落在线段AP的中点上．
【解析】
【分析】
（1）根据运动速度以及时间分别求出点P和点Q的位置，从而得出PQ的长度；
（2）设时间为x秒，然后根据题意列出方程求出x的值；（3）分三种情况分别列出方程，从而求
出x的值．
【详解】
解：（1）由题意可知：AP=x，BQ=3x，则PQ=10-4x或4x-10
当x=3时，10-4x=-2（不合题意，舍去）
当x=3时，4x-10=2
∴PQ=2
故答案为：2；
（2）设x秒后P，Q重合，得：x+3x=10
解得：x=2.5
PQ=3x=3×2.5=7.5
（3）① x=2（10－3x）
解得：x=
② x=2（3x－10）
解得：x=4
③ x=2（30－3x）
解得：x=
【点睛】
本题考查数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，利用数形结合思想解题是关键．11．如图1，数轴上有三点A、B、C，表示的数分别是a、b、c，这三个数满足
，
请解答：
(1) _________， _________， _________；
(2)点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q以每
秒1个单位长度的速度向数轴负方向运动，当点P，Q之间的距离为4个单位时，求运动的时间是
多少秒？
(3)如图2，点P，Q分别从A，B同时出发向数轴正方向运动，点P的速度每秒3个单位长度，点
Q的速度每秒1个单位长度，当点P到达C点时立即掉头向数轴的负方向运动，并且速度提高了 ，
直至点P与点Q相遇时两个点同时停止运动．设运动时间为t秒，请直接写出在运动过程中点P与
点Q之间的距离（用含t的化简的代数式表示，并指出t的对应取值范围）．
【答案】(1)
(2)2秒或4秒
(3) 时， ； 时， ； 时， ．
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质可得a、b、c的值；
（2）先用含t的代数式表示出点P和点Q表示的数，再根据两点距离为4，列方程可得解；
（3）分三种情况讨论：当 时；当 时；当 时，即可求解
(1)
解：∵ ，∴ ，
解得：
(2)
解：设运动时间为x秒，依题意得，点P表示的数是-8+3x，点Q表示的数是4-x，
∴|（-8 + 3x）-（4-x）| = 4，
解得x= 4或2，
答：当P，Q之间的距离为4个单位时，运动的时间是4或2秒；
(3)
当 时，点P表示的数是-8+ 3t，点Q表示的数是4+t，
∴PQ =（4 + t）-（-8 + 3t）= 12-2t；
当 时，点P表示的数是-8+3t，点Q表示的数是4+t，
∴PQ =（-8 + 3t）-（4 +t）= 2t-12；
当 时，点P表示的数是16-4（t-8）= 48-4t，点Q表示的数是4+t，
∴PQ =（48-4t）-（4 +t）= 44-5t；
综上，当 时， ；当 时， ；当 时， ．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，绝对值非负性，数轴上两点间的距离，会用含t的代数式表示出点
P和点Q表示的数是解题关键．
12．思考下列问题，并在横线上填上答案：
（1）数轴上表示-3的点与表示4的点相距_______个单位．
（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是
_____________．
（3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，则点B表示的数是_______．
（4）若|a－3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最
大距离是_______，最小距离是_______．
（5）数轴上点A表示8，点B表示-8，点C在点A与点B之间，A点以每秒0.5个单位的速度向
左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A
后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三
个点同时开始运动，经过_______秒三个点聚于一点，这一点表示的数是_________，点C在整个
运动过程中，移动了_______个单位．
【答案】（1）7；（2）-1；（3）5或-1；（4）8，2；（5）8，4，24【解析】
【分析】
（1）根据数轴上两点间的距离公式，即可求解；
（2）根据数轴上点的平移和其对应的数的大小变化规律：左减右加，即可求解；
（3）根据数轴上两点间的距离公式，列绝对值方程即可求解；
（4）利用绝对值的性质分别求得x、y的值，根据数轴上两点间的距离公式计算出结果，比较即
可得出；
（5）设经过 秒，三个点聚于一点，根据点A、B运动的路程为 ，列一元一次方程求解，
利用“速度 时间=路程”即可求得点C运动的路程．
【详解】
（1）数轴上表示-3的点与表示4的点相距|-3-4|=7个单位；
故答案为：7；
（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是
；
故答案为： ；
（3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，
设点B表示的数为 ，
则 ，
解得： 或 ，
点B表示的数是5或 ，
故答案为：5或 ；
（4）∵ ， ，
∴a为5或1，b为-1或-3，
则A、B两点间的最大距离是 ，
最小距离是 ,
故答案为：8， ；
（5）设经过 秒，三个点聚于一点，
由题意可得： ，∴ (秒)，
，
(个单位)，
故经过8秒三个点聚于一点，这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位．
故答案为：8，4，24．
【点睛】
本题考查了数轴，绝对值方程，一元一次方程的应用等知识．数轴上两点间的距离，即数轴上两
点所表示的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数．数轴上点的平移和其对应的数的大小变
化规律：左减右加．
13．如图，在数轴上有A、B、C三点，A、B两点所表示的有理数分别是2k-4和-2k+4，且k为最
大的负整数．点C在A、B之间，且C到B的距离是到A点距离的2倍，动点P从点A出发，以
每秒3个单位长度的速度向右运动，到达点B后立即返回，以每秒3个单位长度的速度向左运动；
动点Q从点C出发，以每秒l个单位长度的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为t秒，当
点P与点Q第二次重合时，P、Q两点停止运动，
（1）直接写出A、B、C三点所代表的数值；A：________B：________C：________
（2）当t为何值时，P到点A与点Q的距离相等；
（3）当t为何值时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．
【答案】（1）A：-6；B：6；C：－2；（2）t= ；（3） 或 或
【解析】
【分析】
（1）由k为最大的负整数可得出k的值，进而可得出点A、B表示的数，由点C在A、B之间，
且C到B的距离是到点A点距离的2倍，可得到结果；
（2）由P到点A与点Q的距离相等可得到关于t的一元一次方程，解方程即可；
（3）利用时间=路程÷速度求出点P到达点B的时间及两点第二次相遇的时间，分 和
两种情况，利用 得出方程计算即可；【详解】
（1）∵k为最大的负整数，
∴ ，
∴点A表示的数为 ，点B表示的数为6，
又∵点C在A、B之间，且C到B的距离是到点A点距离的2倍，
∴点C表示的数为 ；
故答案是-6；6；-2．
（2）依题意可得：
-6+3t-(-6)=-2+t-(-6+3t)，
解得：t= ．
（3）点P到达点B的时间为 （秒），
当点P到达点B时，点Q表示的数为 ，
点P、Q第二次相遇的时间为 （秒），
当 ，点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，
∵P，Q两点间距离为1，
∴ 或 ，
解得： 或 ；
当 时，点P表示的数为 ，
点Q表示的数为 ，
∵P，Q两点间距离为1，
∴ ，
解得： ；
故当 或 或 时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．
【点睛】
本题主要考查了数轴的应用、一元一次方程的应用和两点间的距离，准确计算是解题的关键．14．数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度、每秒b个单位长度的速度沿
数轴运动，a，b满足|a－3|+（b－4）2=0．
（1）请直接写出a= ，b= ；
（2）如图1，若点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点N从原点
O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点．若MP=MA，求t的值；
（3）如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t．当以M，N，
O，A为端点的所有线段的长度和为94时，求此时点M对应的数．
【答案】（1）a=3，b=4；（2）t= 或 ；（3）此时点M对应的数为12．
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质解答；
（2）分三种情况解答：①点M未到达O时（0＜t≤2时），NP=OP=3t，AM=5t，OM=10-5t； ②
点M到达O返回时当（2＜t≤4时），OM=5t-10，AM=20-5t；③点M到达O返回时，即t＞4时，
不成立；
（3）分两种情况，根据两点间的距离公式列出方程并解答．
【详解】
（1）∵|a－3|+（b－4）2=0．
∴a－3=0，b－4=0
∴a=3，b=4
（2）①点M未到达O时（0＜t≤ 时），NP=OP=2t，AM=3t，OM=10－3t，
即2t+10－3t=3t，解得t=
②点M到达O返回时（ ＜t≤ 时），
OM=3t－10，AM=20－3t，
即2t+3t－10=20－3t，解得t=
③点M到达O返回时，即t＞ 时，不成立
（3）①依题意，当M在OA之间时，
NO+OM+AM+MN+OA+AN
=4t+3t+(10－3t)+7t+10+(10+4t)=15t+30=94，
解得t= ＞ ，不符合题意，舍去；
②当M在A右侧时，
NO+OA+AM+AN+OM+MN=4t+10+(3t－10)+(4t+10)+3t+7t=94，
解得 t=4，
点M对应的数为12答：此时点M对应的数为12．
【点睛】
此题考查一元一次的应用，非负性偶次方，数轴，清楚各个点之间距离的表示方式是解题的关键．
另外要注意路程相等的几种情况．
15．已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足|4a-b|+（a-4）2=0
（1）a= ，b= ，并在数轴上面出A、B两点；
（2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到
点A的距离是点P到点B距离的2倍；
（3）数轴上还有一点C的坐标为30，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单
位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动
到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4，并求此时点Q对应的数．
【答案】（1）4，16．画图见解析；（2） 或8秒；（3）点P和点Q运动4或8或9或11秒时，
P，Q两点之间的距离为4．此时点Q表示的数为20，24，25，27．
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可解决问题；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）分四种情形构建方程即可解决问题.
【详解】
（1）∵a，b满足|4a-b|+（a-4）2≤0，
∴a=4，b=16，
故答案为4，16．
点A、B的位置如图所示．
（2）设运动时间为ts．
由题意：3t=2（16-4-3t）或3t=2（4+3t-16），解得t= 或8，
∴运动时间为 或8秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
（3）设运动时间为ts．
由题意：12+t-3t=4或3t-（12+t）=4或12+t+4+3t=52或12+t+3t-4=52，
解得t=4或8或9或11，
∴点P和点Q运动4或8或9或11秒时，P，Q两点之间的距离为4．
此时点Q表示的数为20，24，25，27．
【点睛】
本题考查多项式、数轴、行程问题的应用等知识，具体的关键是学会构建方程解决问题，学会用
分类讨论的思想思考问题．
16．已知，如图， 、 、 分别为数轴上的三个点， 点对应的数为60， 点在 点的左侧，
并且与 点的距离为30， 点在 点左侧， 点到 距离是 点到 点距离的4倍．
（1）求出数轴上 点对应的数及 的距离．
（2）点 从 点出发，以3单位/秒的速度项终点 运动，运动时间为 秒．
①点 点在 之间运动时，则 _______．（用含 的代数式表示）
② 点在 点向 点运动过程中，何时 、 、 三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相
应的时间 ．
③当 点运动到 点时，另一点 以5单位/秒速度从 点出发，也向 点运动，点 到达 点后
立即原速返回到 点，那么 点在往返过程中与 点相遇几次？直接写出相遇是 点在数轴上对
应的数．
【答案】（1） 点对应的数为30；AC=120；（2）① ；② 的值为5或20；③相遇2次；
点在数轴上对应的数为－15或 ．
【解析】
【分析】
(1)根据A点对应的数为60，B点在A点的左侧，AB=30求出B点对应的数，根据AC=4AB求出
AC的距离；
(2)①当P点在AB之间运动时，根据路程=速度×时间求出AP=3t，根据BP=AB-AP求解；②分P点是AB的中点和B点是AP的中点两种情况进行讨论即可；
③根据P、Q两点的运动速度与方向可知Q点在往返过程中与P点相遇2次，设Q点在往返过程中
经过x秒与P点相遇，第一次相遇是点Q从A点出发，向C点运动的途中，根据AQ-BP=AB列出
方程；第二次相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中，根据CQ+BP=BC列出方程，进而求出P
点在数轴上的对应的数．
【详解】
解（1） 点对应的数为60， ,点在 点的左侧，并且与 点的距离为30，
点对应的数为 ；
点到 点距离是 ,点到 点距离的4倍，
;
（2）①当 点在 之间运动时，
，
．
故答案为 ；
②当 点是 、 两点的中点时， ，
，解得 ；
当 点是 两点的中点时， ，
，解得 ．
故所求时间 的值为5或20；
③相遇2次．
设 点在往返过程中经过 秒与 点相遇．
第一次相遇是点 从 出发，向 点运动的途中．
，
，
解得 ，
此时 点在数轴上对应的数是： ；
第二次相遇是 到达 点后返回到 点的途中．
，
，
解得 ，此时 点在数轴上对应的数是： ．
综上，相遇时 点在数轴上对应的数为－15或 ．
【点睛】
本题主要考查的是一元一次方程的应用，行程问题相等关系的应用，线段中点的定义，进行分类
讨论是解题的关键．
17．如图：在数轴上 点表示数 点表示数 点表示数 是最小的正整数，且 满足
．
（1）求 的值；
（2）若将数轴折叠，使 点与 点重合，则点 与数_______表示的点重合；
（3）点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度在数轴上向点 运动，当点 到达点 后立即
返回，仍然以每秒 个单位长度的速度运动至 点停止，设运动时间为
①当 时，求点 表示的有理数；
②当点 表示的有理数与 点的距离为 个单位长度时，直接写出所有满足条件的 值．
【答案】（1） ， ， ；（2）10；（3）①2, ②14秒或16秒
【解析】
【分析】
（1）根据 可得 ， ，从而得出a，c的值，再根据b是最小的正
整数，得出b的值即可；
（2）根据B、C重合，计算出数轴沿着数4对折，再根据点A与数4之间的距离计算出与点A重
合的数；
（3）①根据时间计算出点P的运动方向及长度即可；
②对点P的位置进行分类讨论，一是当点P在点B的右侧1个单位时，二是当点P在点B左侧1个
单位时，分别计算即可．
【详解】
解：∵ ，∴ ， ，
∴ ， ，
b是最小的正整数，
∴ ，
∴ ， ，
（2）∵ ，
∴若B、C重合，则数轴沿着数4对折，
∴ ，
∴点A与数10重合，
故答案为：10
（3）∵AC的长度为 ，
∴当 时，点P已到达点C，并向点A运动了14-9=5（秒）
∴此时点P表示的数为：7-5=2，
∴当 时，点 表示的有理数是2
②当点P在点B的右侧1个单位时，
∵从A到C需要9秒，所以此时在点B右侧1个单位时，时间为9+（7-1）-1=14（秒）
当点P在点B左侧1个单位时，时间为9+（7-1）+1=16（秒）
故答案为：14秒或16秒．
【点睛】
本题考查了数轴上的点所表示的数，以及数轴上动点问题，解题的关键是熟知数轴上数的表示方
法．
18．如图，AB＝4，动点P从A出发，在直线AB上以每秒3个单位的速度向右运动，到达B后立
即返回，回到A后停止运动，动点Q与P同时从A出发，在直线AB上以每秒1个单位的速度向左
运动，当P停止运动时，点Q也停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）若t＝1，则BP的长是 PQ的长是 ．
（2）当点P回到点A时，求BQ的长．
（3）在直线AB上取点C，使B是线段PC的中点，在点P的整个运动过程中，是否存在AC＝
AQ+3，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1；4；（2） ；（3）存在AC＝AQ+3，此时t的值为 或
【解析】
【分析】
（1）根据题意，把t＝1代入AP＝3t，AQ＝t，即求出答案．
（2）点P回到点A时，走的总路程为AB的2倍，除以速度3即求得时间，再把时间代入求出
AQ，即求出BQ．
（3）根据点P向右运动和返回运动，分两种情况讨论．用t把AC、AQ表示，列方程求出t，注意
观察求得的t是否满足P向左向右运动的规律．
【详解】
解：（1）t＝1时，AP＝3，AQ＝1
∴BP＝AB﹣AP＝1，PQ＝AQ+AP＝4
故答案为1；4
（2）当点P回到点A时，t＝
∴AQ＝
∴BQ＝AB+AQ＝4+ ＝
（3）存在AC＝AQ+3
①当0＜t≤ 时，点P向右运动
∵B是PC中点
∴BC＝PB＝AB﹣AP＝4﹣3t
∴AC＝AB+BC＝4+4﹣3t＝8﹣3t
若AC＝AQ+3，则有：8﹣3t＝t+3
解得：t＝
②当 ＜t≤ 时，点P向左运动
∴BC＝PB＝3t﹣4
∴4+3t﹣4＝t+3
解得：t＝综上所述，存在AC＝AQ+3，此时t的值为 或
【点睛】
本题考查了列代数式，线段的中点，求线段长，分类讨论思想．解答关键是用t表示动点运动引起
变化的线段长度．
