第四节一元二次方程、函数和不等式_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第一章

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MST老唐说题26版一轮
1. 4 一元二次方程、函数和不等式的关系
考向 1 等式性质与不等式性质
题型1 利用基本性质判断不等式对错
1．等式与不等式的性质
（1）等式基本性质
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
a b
5．如果a＝b，c≠0，那么 ＝ .
c c
（2）不等式基本性质
性质 性质内容 注意
对称性 abba；abba 可逆
传递性 ab，bcac；ab，bcac 同向
可加性 abacbc 可逆
可乘性 ab，c0acbc；ab，c0acbc c的正负
同向可加性 ab，cd acbd 同向
同向同正可乘性 ab0，cd 0acbd 同向同正
可乘方性 ab0，nN* an bn 同正
可开方性 ab0，nN* n a n b 同正
（3）倒数性质
1 1 1 1
①ab，ab0  ；②a0b  ；
a b a b
a b 1 1 1
③ab0，d c0  ；④0a xb或a xb0   ．
c d b x a
【例1】（2024•上海）a，b，cR，bc，下列不等式恒成立的是( )
A．ab2 ac2 B．a2 ba2 c C．ab2 ac2 D．a2ba2c添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群
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【例2】（2019•新课标Ⅱ）若a＞b，则（ ）
A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|
题型2 比较不等式大小关系的三种方法
1．比较大小基本方法
方法
关系
作差法与0比较 作商法与1比较
a a
ab ab0 1(a，b0)或 1(a，b0)
b b
a
ab ab0 1(b0)
b
a a
ab ab0 1(a，b0)或 1(a，b0)
b b
2．糖水不等式
bm b am a
若ab0，m0，则一定有  ，或者  ．
am a bm b
理解：通俗的理解就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜．
bm b abamabbm (ab)m am a abbmabam (ab)m
证明：    0；    0．
am a a2 am a2 am bm b b2 bm b2 bm
【例1】已知a，b R，设m＝4a﹣b2，n＝a2﹣2b+5，则（ ）
A．m≥n ∈ B．m＞n C．m≤n D．m＜n
【例2】设a＞0，b＞0，且a≠b，则abba和aabb的大小关系是 ．
【例3】若 ， ，则P、Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q  =  +  +B5．P  ＝=Q  +2+  +C3．(  P＜≥Q0) D．不能确定
【例4】已知x＞y＞0且m＞0，则 与 的大小关系为 ．
+ 
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考向 2 一元二次方程、函数和不等式的关系
题型1 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的解法
（1）常规一元二次不等式的解法
ax2 bxc0意味着yax2 bxc中y0部分，ax2 bxc0意味着yax2bxc中y0部分，
ax2 bxca(xx )(xx )0，求出两个根x ，x ；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取
1 2 1 2
中间，反之亦然．
（2）一元二次不等式与韦达定理
模型一 已知关于x的不等式ax2 bxc0的解集为(m，n)（其中mn0），解关于x的不等式
cx2 bxa0．
1 1 1 1
由ax2 bxc0的解集为(m，n)，得：a( )2 b c0的解集为( ， )，即关于x的不等式
x x n m
1 1
cx2 bxa0的解集为( ， )．
n m
已知关于x的不等式ax2 bxc0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2 bxa0．
1 1 1 1
由ax2 bxc0的解集为(m，n)，得：a( )2 b c0的解集为(， ][ ，)，即关于x的不等
x x n m
1 1
式cx2 bxa0的解集为(， ][ ，)．
n m
模型二 已知关于x的不等式ax2 bxc0的解集为(m，n)（其中nm0），解关于x的不等式
cx2 bxa0．
1 1 1 1
由ax2 bxc0的解集为(m，n)，得：a( )2 b c0的解集为( ， )即关于x的不等式
x x m n
1 1
cx2 bxa0的解集为( ， )．
m n
已知关于x的不等式ax2 bxc0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2 bxa0．
1 1 1 1
由ax2 bxc0的解集为(m，n)，得：a( )2 b c0的解集为(， ][ ，)即关于x的不
x x m n
1 1
等式cx2 bxa0的解集为(， ][ ，)，以此类推．
m n
（3）一元二次不等式与判别式
a0
已知关于x的一元二次不等式ax2 bxc0的解集为R，则一定满足 ；
0
已知关于x的一元二次不等式ax2 bxc0的解集为 ∅ ，则一定满足
a0
；
0
a0
已知关于x的一元二次不等式ax2 bxc0的解集为R，则一定满足 ；
0添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群
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已知关于x的一元二次不等式ax2 bxc0的解集为 ∅ ，则一定满足
a0
．
0
【例1】（2024•上海）已知xR，则不等式x2 2x30的解集为 ．
【例2】解关于x的一元二次不等式：3x2 2axa2 0(aR)．
1
【例3】已知不等式ax2 bxc0的解集为{x| x3}，则不等式cx2 bxa0的解为( )
4
1 1
A．{x|3 x } B．{x|x4或x }
4 3
1 1
C．{x|4 x } D．{x|x3或x }
3 4
【例4】已知不等式ax2 bxc0的解集为{x|x 3或x4}，则( )
A．c0
B．abc0
12axc
C．不等式 0的解集为{x|1x2}
x2
D．不等式bx2 2axc3b0的解集为{x|3x5}添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群
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题型2 一元二次不等式求参
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式＝b2－4ac >0 ＝0 <0
二次函数y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
有两个相等的实数根
一元二次方程ax2＋bx＋c 有两个不相等的实数
没有实数根
b
＝0(a>0)的根 根x 1 ，x 2 (x 1 <x 2 ) x 1 ＝x 2 ＝－
2a
b
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x 1 ，或x>x 2 } {xx } R
2a
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x <x<x } ∅ ∅
1 2
ax2 bxc0意味着yax2 bxc中 y 0的部分，ax2 bxc0意味着yax2 bxc中y0的部
分 ，ax2 bxca(xx )(xx )0，求出两个根x ，x ；根据图象可知：开口向上时，大于取两边，
1 2 1 2
小于取中间，反之亦然．
2.一元二次不等式参数问题之定海神针
二次函数涉及参数和变量的问题，很关键的一点就是参数的位置，到底是在二次项、一次项还是在常数
项？然后参数是一次出现还是多处出现，这个问题值得探讨．二次函数的定海神针主要处理对称轴是变量，
区间是定区间的类型（轴动区间定），或者是对称轴不变，区间是动区间的类型（轴定区间动）．遵循对称
轴从区间的左边、中间和右边的顺序进行分类讨论．
口诀：轴在区间内，顶点定；轴在区间外，单调定．
3.二次函数的参变分离
当决定抛物线开口符号的a与恒成立（能成立）的符号一致时，即ax2 bxc0(a0)，此类型题目基
本上都是分类讨论复杂，且注意参数此时尽量为一次，那么我们把式子的参数分离出来，转化为求对勾函
数的最值问题．
【例1】已知函数 f(x)x2 2(a1)x2．若 f(x)满足：对于任意的x ，x [4，)，且x  x ，都有
1 2 1 2
f(x ) f(x )
2 1 0，则实数a的取值范围是( )
x x
2 1
A．a3 B．a 3 C．a 3 D．a5添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群
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【例2】已知函数 f(x)mx2 2xm在(1,)上单调递增，则实数m的取值范围是( )
A．(0，1] B．[0，1] C．[1，) D．(，1]
【例3】已知二次函数yx2 2x3，当txt2时，若该函数的最大值为m，最小值为5，则m等于
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】已知二次函数 f(x)ax2 bxc(a0)，恒有 f(x2) f(x)4x， f(0)3．
（1）求函数 f(x)的解析式；
（2）设g(x) f(x)mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最大值为3，求实数m的值．
【例5】二次函数 f(x)满足 f(x1) f(x)2x且 f(0)1．
（1）求 f(x)的解析式；
（2）设函数 f(x)在区间[a，a1]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群
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题型3 一元二次函数根的分布问题
1.二次函数的根与定值的位置关系
两根与 的大小比较(以 为例)
两根  >都小0 于 ， 两根都大于 ， 一根小于 ，一根大于 ，
文字描述
即  即  即  
1 <  ,  2 <   1 >  ,  2 >   1 <  <  2
图像表达
数学语言
∆ >0 ∆ >0

− <  − >    <0
2  2 
2.二次函数的根与区间的  位  置>关0系   >0
（1）两根分别在区间 外
(  ,  )
>0  <0
图像表达
数学语言
<0   >0
<0   >0
（2）根在区间上的分布(以 为例)
文  >0
字 两根都在 内 两根有且仅有一根在 一根 内，
描 (  ,  ) 内 另一根(  在,  ) 内
述 (  ,  ) (  ,  )添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群
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图
像
表
达
数
学
∆>0
>0
语   >0
<0     <0
>0     <0  
<0     <0
言 
<− <    >0
2 
【例1】方程(2m1)x2 2mx(m1)0有一正根和一负根的充分不必要条件是( )
1 1
A． m1 B．m C．0m1 D．2m1
2 2
【例2】若命题“关于x的二次方程x2 2mx2m10在(1,3)上至多有一个解”是假命题，则m的取值
范围是( )
5 5 5
A．(3, ) B．(3,1 2) C．( ,1) D．( ,1 2)
4 4 4
【例3】已知关于x的二次方程x2 2mx2m10，若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在
区间(1,2)内，m的范围是 ．添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群
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拓展思维
拓展1 高次方程和绝对值不等式的解法
1.一元高次不等式的解法
一元高次不等式通常先进行因式分解，化为 (或 )的形式，然后用穿针引线
法求解.首先保证每个因式中 的系数为正，然  −后  从1 右  侧−画  2起…，  右−侧   第一>个0 区间<为0正，从右向左依次正负出
现，特别要注意“奇穿偶切”，  “奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
数轴穿根法的注意点：当不等式中含有(xa)2n时，运用标根法不穿过a点，而(xa)2n1则穿过a点，俗
称“奇穿偶不穿”．
Eg 解 ，如图所示，解集为 或 或 .
+1  −2  −3  −4 ≥0  |  ≥ 4 2≤  ≤3  ≤−1
解 ，如图所示，解集为 或 或 .
2 3
+1  −2  −3  −4 ≤0  |  ≤−1  =2 3≤  ≤ 4
2.绝对值不等式的解法
与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对值去掉，进行同解变形．
一般的， f(x)  g(x)与 f(x) g(x)或 f(x)g(x)同解； f(x)  g(x)与g(x) f(x) g(x)同解．
一般的， f(x)  g(x)  f(x) 2  g(x) 2  f(x)2 g(x)2，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那
么就需要对每个绝对值号进行讨论．
x2
【例1】 1的解集是( )
x2 3x2
 
A．(1，2] B．[1，0) (2，3]C．[0，4] D．[0，1) (2，4]
【例2】不等式|x1||x2|3的解集是( )
A．(，1][2，) B．[1，2] C．(，0][3，) D．[0，3]添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群
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【例3】（2025•九省联考）已知函数 f(x)x|xa|2a2．若当x2时，f(x)0，则a的取值范围是( )
A．(，1] B．[2，1] C．[1，2] D．[1，)