第四节一元二次方程、函数和不等式_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第一章

添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 1. 4 一元二次方程、函数和不等式的关系 考向 1 等式性质与不等式性质 题型1 利用基本性质判断不等式对错 1．等式与不等式的性质 （1）等式基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. a b 5．如果a＝b，c≠0，那么 ＝ . c c （2）不等式基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 abba；abba 可逆 传递性 ab，bcac；ab，bcac 同向 可加性 abacbc 可逆 可乘性 ab，c0acbc；ab，c0acbc c的正负 同向可加性 ab，cd acbd 同向 同向同正可乘性 ab0，cd 0acbd 同向同正 可乘方性 ab0，nN* an bn 同正 可开方性 ab0，nN* n a n b 同正 （3）倒数性质 1 1 1 1 ①ab，ab0  ；②a0b  ； a b a b a b 1 1 1 ③ab0，d c0  ；④0a xb或a xb0   ． c d b x a 【例1】（2024•上海）a，b，cR，bc，下列不等式恒成立的是( ) A．ab2 ac2 B．a2 ba2 c C．ab2 ac2 D．a2ba2c添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 【例2】（2019•新课标Ⅱ）若a＞b，则（ ） A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b| 题型2 比较不等式大小关系的三种方法 1．比较大小基本方法 方法 关系 作差法与0比较 作商法与1比较 a a ab ab0 1(a，b0)或 1(a，b0) b b a ab ab0 1(b0) b a a ab ab0 1(a，b0)或 1(a，b0) b b 2．糖水不等式 bm b am a 若ab0，m0，则一定有  ，或者  ． am a bm b 理解：通俗的理解就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜． bm b abamabbm (ab)m am a abbmabam (ab)m 证明：    0；    0． am a a2 am a2 am bm b b2 bm b2 bm 【例1】已知a，b R，设m＝4a﹣b2，n＝a2﹣2b+5，则（ ） A．m≥n ∈ B．m＞n C．m≤n D．m＜n 【例2】设a＞0，b＞0，且a≠b，则abba和aabb的大小关系是 ． 【例3】若 ， ，则P、Q的大小关系是（ ） A．P＞Q = + +B5．P ＝=Q +2+ +C3．( P＜≥Q0) D．不能确定 【例4】已知x＞y＞0且m＞0，则 与 的大小关系为 ． + + 添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 考向 2 一元二次方程、函数和不等式的关系 题型1 一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的解法 （1）常规一元二次不等式的解法 ax2 bxc0意味着yax2 bxc中y0部分，ax2 bxc0意味着yax2bxc中y0部分， ax2 bxca(xx )(xx )0，求出两个根x ，x ；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取 1 2 1 2 中间，反之亦然． （2）一元二次不等式与韦达定理 模型一 已知关于x的不等式ax2 bxc0的解集为(m，n)（其中mn0），解关于x的不等式 cx2 bxa0． 1 1 1 1 由ax2 bxc0的解集为(m，n)，得：a( )2 b c0的解集为( ， )，即关于x的不等式 x x n m 1 1 cx2 bxa0的解集为( ， )． n m 已知关于x的不等式ax2 bxc0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2 bxa0． 1 1 1 1 由ax2 bxc0的解集为(m，n)，得：a( )2 b c0的解集为(， ][ ，)，即关于x的不等 x x n m 1 1 式cx2 bxa0的解集为(， ][ ，)． n m 模型二 已知关于x的不等式ax2 bxc0的解集为(m，n)（其中nm0），解关于x的不等式 cx2 bxa0． 1 1 1 1 由ax2 bxc0的解集为(m，n)，得：a( )2 b c0的解集为( ， )即关于x的不等式 x x m n 1 1 cx2 bxa0的解集为( ， )． m n 已知关于x的不等式ax2 bxc0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2 bxa0． 1 1 1 1 由ax2 bxc0的解集为(m，n)，得：a( )2 b c0的解集为(， ][ ，)即关于x的不 x x m n 1 1 等式cx2 bxa0的解集为(， ][ ，)，以此类推． m n （3）一元二次不等式与判别式 a0 已知关于x的一元二次不等式ax2 bxc0的解集为R，则一定满足 ； 0 已知关于x的一元二次不等式ax2 bxc0的解集为 ∅ ，则一定满足 a0 ； 0 a0 已知关于x的一元二次不等式ax2 bxc0的解集为R，则一定满足 ； 0添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 已知关于x的一元二次不等式ax2 bxc0的解集为 ∅ ，则一定满足 a0 ． 0 【例1】（2024•上海）已知xR，则不等式x2 2x30的解集为 ． 【例2】解关于x的一元二次不等式：3x2 2axa2 0(aR)． 1 【例3】已知不等式ax2 bxc0的解集为{x| x3}，则不等式cx2 bxa0的解为( ) 4 1 1 A．{x|3 x } B．{x|x4或x } 4 3 1 1 C．{x|4 x } D．{x|x3或x } 3 4 【例4】已知不等式ax2 bxc0的解集为{x|x 3或x4}，则( ) A．c0 B．abc0 12axc C．不等式 0的解集为{x|1x2} x2 D．不等式bx2 2axc3b0的解集为{x|3x5}添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 题型2 一元二次不等式求参 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式＝b2－4ac >0 ＝0 <0 二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象 有两个相等的实数根 一元二次方程ax2＋bx＋c 有两个不相等的实数 没有实数根 b ＝0(a>0)的根 根x 1 ，x 2 (x 1 0(a>0)的解集 {x|xx 2 } {xx } R 2a ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x 都小0 于 ， 两根都大于 ， 一根小于 ，一根大于 ， 文字描述 即 即 即 1 < , 2 < 1 > , 2 > 1 < < 2 图像表达 数学语言 ∆ >0 ∆ >0 − < − > <0 2 2 2.二次函数的根与区间的 位 置>关0系 >0 （1）两根分别在区间 外 ( , ) >0 <0 图像表达 数学语言 <0 >0 <0 >0 （2）根在区间上的分布(以 为例) 文 >0 字 两根都在 内 两根有且仅有一根在 一根 内， 描 ( , ) 内 另一根( 在, ) 内 述 ( , ) ( , )添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 图 像 表 达 数 学 ∆>0 >0 语 >0 <0 <0 >0 <0 <0 <0 言 <− < >0 2 【例1】方程(2m1)x2 2mx(m1)0有一正根和一负根的充分不必要条件是( ) 1 1 A． m1 B．m C．0m1 D．2m1 2 2 【例2】若命题“关于x的二次方程x2 2mx2m10在(1,3)上至多有一个解”是假命题，则m的取值 范围是( ) 5 5 5 A．(3, ) B．(3,1 2) C．( ,1) D．( ,1 2) 4 4 4 【例3】已知关于x的二次方程x2 2mx2m10，若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在 区间(1,2)内，m的范围是 ．添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 拓展思维 拓展1 高次方程和绝对值不等式的解法 1.一元高次不等式的解法 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为 (或 )的形式，然后用穿针引线 法求解.首先保证每个因式中 的系数为正，然 −后 从1 右 侧−画 2起…， 右−侧 第一>个0 区间<为0正，从右向左依次正负出 现，特别要注意“奇穿偶切”， “奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. 数轴穿根法的注意点：当不等式中含有(xa)2n时，运用标根法不穿过a点，而(xa)2n1则穿过a点，俗 称“奇穿偶不穿”． Eg 解 ，如图所示，解集为 或 或 . +1 −2 −3 −4 ≥0 | ≥ 4 2≤ ≤3 ≤−1 解 ，如图所示，解集为 或 或 . 2 3 +1 −2 −3 −4 ≤0 | ≤−1 =2 3≤ ≤ 4 2.绝对值不等式的解法 与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对值去掉，进行同解变形． 一般的， f(x)  g(x)与 f(x) g(x)或 f(x)g(x)同解； f(x)  g(x)与g(x) f(x) g(x)同解． 一般的， f(x)  g(x)  f(x) 2  g(x) 2  f(x)2 g(x)2，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那 么就需要对每个绝对值号进行讨论． x2 【例1】 1的解集是( ) x2 3x2   A．(1，2] B．[1，0) (2，3]C．[0，4] D．[0，1) (2，4] 【例2】不等式|x1||x2|3的解集是( ) A．(，1][2，) B．[1，2] C．(，0][3，) D．[0，3]添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 【例3】（2025•九省联考）已知函数 f(x)x|xa|2a2．若当x2时，f(x)0，则a的取值范围是( ) A．(，1] B．[2，1] C．[1，2] D．[1，)