第六节数列放缩本质论_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第八章

MST老唐说题26版一轮
第六节 数列放缩本质论
考向一 蛛网图与数列极限单调性判断
知识点一 函数迭代和数列的关系
已知函数y f(x)满足a =f(a )，则一定有a =f(a ) f (a )f (a ) ，故函数y f(x)通过反复迭代
n+1 n n+1 n 2 n1 n 1
产生的一系列数构成了数列a 或者记为b 、x ，而数列的每一项与函数迭代的关系可以如下表所示：
n n n
下面以函数y2x1和数列a 2a 1
n1 n
数列 a a a a a a …… a a
1 2 3 4 5 6 n n1
函数 x f(x) f (x) f (x) f (x) f (x) …… f (x) f (x)
2 3 4 5 n1 n
数列 1 x 7 15 31 63 2n 1 2n11
数列 1 1 1 1 1 1 1 1
函数 x 2x1 4x3 8x7 16x+15 32x31 …… 2n1x2n11 2nx2n 1
可以发现：
①数列的递推式和函数的迭代式是有着相同的法则的，故数列的任何一项a ,a 都在函数y f(x)上．
n n+1
②数列的通项公式是函数对a 迭代n1次的结果，即a  f (a )，每一次由于迭代产生出的因变量成为
1 n n1 1
下一次迭代的自变量．
③数列的首项a 对整个数列有很大的影响，当迭代不断重复出现同一结果时，我们将其称为不动点．
1
知识点二 函数的迭代图像——蛛网图
函数的迭代图像，简称蛛网图或者折线图，函数y f(x)和直线yx共同决定．
其步骤如下：
1．在同一坐标系中作出y f(x)和yx的图像（草图），并确定不动点．（如图1所示）
图1 图2
2．在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图像放大，并找出起始点a （如图2所示）
1
3．由a 向y f(x)作垂直于x轴的直线与y f(x)相交，并确定交点a ,a ．
1 1 2
4．由a ,a 向yx作平行于x轴的直线与yx相交，并确定交点a ,a ．
1 2 2 2
5．由a ,a 向y f(x)作垂直于x轴的直线与y f(x)相交，并确定交点a ,a ．
2 2 2 3
重复4，5，直至找到点a ,a 的最终去向．
n n1MST老唐说题26版一轮
知识点三 蛛网图与数列的单调性
定理1：y  f(x)的单调增区间存在两个不动点x，x（x<x)，且在两个不动点之间形成一上凸的图形时，
1 2 1 2
（如左图）则数列a  f(a )在两个不动点之间的区间是递增的，即a a ，在两不动点以外的区间则
n1 n n1 n
是递减的，即a a ．
n1 n
定理2：y f(x)的单调增区间存在两个不动点x，x（x<x)，且在两个不动点之间形成一下凹的图形时，
1 2 1 2
（如右图）则数列a  f(a )在两个不动点之间的区间是递减的，即a a ，在两不动点以外的区间则
n1 n n1 n
是递增的，即a a ．
n1 n
综上可得，当 y  f(x)的单调增区间位于上凸内或者下凹外时，即当迭代起点a 位于此区域时，一定有
1
a a 同理，当迭代起点a 位于单调增区间的上凸外或者下凹内时，一定有a a ．
n1 n 1 n1 n
知识点四 数列的极限
根据蛛网图可知，当一数列a 为单调上凸曲线时，迭代点a ,a 会无限靠近大的不动点x ，我们将这
n n n1 2
个大的不动点x 称为数列a 的极限，记为lima x ；当一数列a 为单调下凹曲线时，迭代点a ,a 
2 n n 2 n n n1
n
会无限靠近小的不动点x ，我们将这个小的不动点x 称为数列a 的极限，记为lima x ．
1 1 n n 1
n
几种常见的函数迭代图（未画折线）
axb
yaxh2ha0 yaxh2ha0 y axba0,b0 y ad bc
cxd
顶点为不动点抛物线 顶点为不动点的抛物线 横着的抛物线 二四象限反比例函数的平移函数
请思考： lima h lima h lima x lima x
n n n 1 n 2
n n n nMST老唐说题26版一轮
知识点五 由反比例（递减函数）函数迭代构成的摆动数列
如下左图所示，当 f(x)在区间为减函数时，和直线y x相交于不动点，那么由此函数迭代构成的数列为摆
动数列，即奇数项和偶数项构成相反的单调性，但都螺旋靠近不动点，极限也是不动点．
左图所示a a a a ，同时a a a a ；如右图所示a a a a ，
1 3 5 2n1 2 4 6 2n 1 3 5 2n1
同时a a a a ．
2 4 6 2n
1
【例1】（2023•北京）数列{a }满足a  (a 6)3 6，下列说法正确的是( )
n n1 4 n
A．若a 3，则{a }是递减数列，MR，使得nm时，a M
1 n n
B．若a 5，则{a }是递增数列，M6，使得nm时，a M
1 n n
C．若a 7，则{a }是递减数列，M 6，使得nm时，a M
1 n n
D．若a 9，则{a }是递增数列，MR，使得nm时，a M
1 n nMST老唐说题26版一轮
【例2】（多选）已知数列{a }的前n项和为S ，a 0,a ln(ean 2)a (nN*)，则下列选项正确
n n 1 n1 n
的是( )
A．a a B．存在nN*，使得a ln2
2n1 2n n
C．S 22023 D．{a }是单调递增数列，{a }是单调递减数列
2023 2n1 2n
【例3】（多选）数列{a }满足a 1，a  f(a )，nN*，则下列说法正确的是( )
n 1 n1 n
A．当 f(x)2x1时，a 2n 1
n
x1
B．当 f(x) 时，1a2
x n
x1
C．当 f(x) 时，a a a a
x 7 8 5 10
1
D．当 f(x)2lnx 时，数列{a }单调递增，数列{a }单调递减
x 2n1 2n
【例4】（ 多选）已知数列{a }的首项为a ，且a ean1 an 7，则( )
n 1 n
A．存在a 使数列{a }为常数列 B．存在a 使数列{a }为递增数列
1 n 1 n
C．存在a 使数列{a }为递减数列 D．存在a 使得aa 恒成立
1 n 1 1 nMST老唐说题26版一轮
考向二 蛛网图与数列等比放缩（一级精度）
a
第一类 无不动点判断 n1 的趋势
a
n
a
若a  f(a )，在 f(x)0区间，且 f(x)0，f(x)为下凹函数，易知 f(x)越来越大，故通过构造 n1
n1 n
a
n
a a a a a a a a
的单调性，如图，当 3  4 1，且 6  5  4 1时，则一定有 n1  n  4 ；
a a a a a a a a
2 3 5 4 3 n n1 3
【例5】（2019•浙江）设a，bR，数列{a }满足a a，a a2 b，nN*，则( )
n 1 n1 n
1 1
A．当b 时，a 10 B．当b 时，a 10
2 10 4 10
C．当b2时，a 10 D．当b4时，a 10
10 10MST老唐说题26版一轮
a x
第二类 不动点判断 n1 0 的趋势
a x
n 0
当 f(x)0， f(x)0，若，为 f(x)两个不动点，如图所示，我们假设 f(x) x2，此函数符合
模型，则根据蛛网图，当a (0，1)时，则有a a a 0，两个不动点为0，1，
1 1 2 n
a 0 a 0 a 0 a 1 a 1 a 1
如左图， 2  3  n1  f(0)，如右图， 2  3  n1 1，如此对不动点蛛
a 0 a 0 a 0 a 1 a 1 a 1
1 2 n 1 2 n
网图的斜率翻译放缩，称为数列放缩的一级精度。
我们通过几道例题来解析数列放缩的一级精度。
【例6】已知数列 a 满足a [ 1 ， 1 ），a sin a n (nN*)，记数列 a 前n项和为S ，则对于任意的
n 1 n1 n n
3 2 2
nN*，下列结论正确的是（ ）
A. 存在kN*，使a 1 B.数列 a 单调递增
k n
3 1
C.a  a  D.2a 2a S
n1 n n1 1 n
4 4MST老唐说题26版一轮
【例7】已知数列{a }满足a 1，a ean1 ean 1，则( )
n 1 n
1
A．{a }为单调递减数列 B．a  a
n n1 2 n
2
C．a a 2a D．a ( )2023
2n1 2n1 2n 2024 3
考向三 不动点与二次裂项
第一类 平方式可裂项递推型a aa2 ba c
n1 n1 n
（1）若 f(x)ax2 bxc 有两个不动点，当且仅当一个不动点在顶点时，即b2 4ac2b，则一定有：
b b
a  a(a  )2，此时属于可求通项的递推模型，例如a a2 2a a 1(a 1)2，此模型
n1 n n1 n n n1 n
2a 2a
就是由于 f(x) x2 2x x，不动点为1，0，且(1，1)为 f(x)的顶点，故能完成平方式递推；
1 1 1
（2）若 f(x)ax2 bxc仅有一个不动点x ，且不动点不在顶点时，则一定有：   ，
0 a x a x a m
n1 0 n 0 n
1 1 1
此时属于可直接裂项相消求通项模型，例如 a a2 a    ，此模型就是由于
n1 n n a a a 1
n1 n n
f(x) x2 x x，不动点为x 0，且(0，0)不是 f(x)的顶点，故能完成裂项递推，我们做一下总结：
0
①a a  a 1  1  1  1  1  1  1  n 1  1  1
n1 n n a a a 1 a 1 a a a 1 a a
n1 n n n n n1 i1 i 1 n1
a 2 a a a  1 1 1 n 1 1 1
②a  n a  n1  n  n 1     
n1 m n m m  m  a m a a a m a a
n n n1 i1 i 1 n1
1 1 1 1 1 1 n 1 1 1
③a a2 a 1        
n1 n n a 1 a 1 a a a 1 a 1 a a 1 a 1
n1 n n n n n1 i1 i 1 n1
a 1 1 n 1 1 1
④a  n   ka a  (  )
n1 ka2 1 a a n i k a a
n n1 n i1 n1 1MST老唐说题26版一轮
【例8】（2024•青羊区月考）已知数列{a }满足a 1，a a2 a ，nN*，则( )
n 1 n1 n n
A．{a }是递减数列 B．a n(n2)
n n
1 1 1
C．a 22023 D．   1
2024 a 1 a 1 a 1
1 2 n
【例9】（2024•福建期中）数列{a }满足a a，a 3a a2 1，则下列说法正确的是( )
n 1 n1 n n
A．若a1且a2，数列{a }单调递减 B．若存在无数个自然数n，使得a a ，则a1
n n1 n
1 1 1 1
C．当a2或a1时，{a }的最小值不存在 D．当a3时，   ( ,1]
n a 2 a 2 a 2 2
1 2 nMST老唐说题26版一轮
b
第二类 对勾函数单不动点可裂项递推型a aa  n
n1 n a m
n
如果二次符合，那么对勾函数仅有一个不动点的模型也符合可裂项原理.
2a2 4a 1
【例10】已知正项数列{a }满足a  n n (nN*)，则( )
n n1 a 2
n
A．{a }为递增数列
n
B．a 2na
n1 1
1 1
C．若0a  ，则存在大于1的正整数m，使得a a
1 3 m 1 6
1 1
D．已知b  i1 ，则存在n N*，使得b 1
n a 1 n 2a 3 0 n0
n1  iMST老唐说题26版一轮
第三类 平方式立方式等比转化为等比递推型
a  a 
（1）若 f(x)ax2 bxc有两个不动点，，则一定有： n1 aa  p， n1 aa q，此时
a  n a  n
n n
通过蛛网图算出aa  p和aa q取值范围，则可以进行两次等比放缩；
n n
（2）若 f(x)ax3 bx2 cxd有三个不动点，且中间不动点为x ，且不动点不在对城中心时，则一定有：
0
a x
n1 0 aa2  pa q，通过蛛网图算出aa2  pa q取值范围，则可以进行等比放缩
a x n n n n
n 0
【例11】已知数列{a }满足：nN*，a a2 2a b，其中bR，数列{a }的前n项和是S ，下列
n n1 n n n n
说法正确的是( )
A．当b(1,)时，数列{a }是递增数列
n

B．当b6时，若数列{a }是递增数列，则a (，3) (2，)
n 1
5 n2 3n
C．当b ,a 2时，S 
4 1 n 2
1 1 1 3
D．当b2，a 3时，  

1 a 2 a 2 a 2 10
1 2 nMST老唐说题26版一轮
【例12】设数列{a }满足a 0，a ca3 28c,nN*其中c为实数，数列{a2}的前n项和是S ，下列
n 1 n1 n n n
说法不正确的是( )
A．当c1时，{a }一定是递减数列 B．当c0时，不存在c使{a }是周期数列
n n
1 1 5
C．当c[0, ]时，a [0，2] D．当c 时，S n
4 n 7 n 2MST老唐说题26版一轮
考向4 一级精度与导数综合问题
一、 不动点定号原理
a x
若要证明连续项与不动点(x ,x )的位置关系，可采用 n1 0 在a  x ,a  x 两种情况分别讨论
0 0 a x n 0 n 0
n 0
2 1
【例1】（MST-虎哥2025）已知a  ,a  ，若a 2；
n1 2lna n e2 1
n
（1）证明：a
2n1
1,a
2n
1
；
（2）结合蛛网图说明a
2n1
,a
2n
的单调性.MST老唐说题26版一轮
二、 不动点蛛网图一级精度与导数综合大题
此类题的思考方向为构造递推关系式，结合与不动点连线斜率与渐近线连线斜率，构造诸如
a 1 a 1 a 1
2  3  n1 之类的关系式，结合蛛网图分析它的单调情况，以及它的界限.
a 1 a 1 a 1
1 2 n
此类数列放缩证明题分为两类，第一类a a (a a )qn1，考虑转化为为等比探路放缩，证明
n n1 2 1
a a n 1
n n1 q，第二类(a x)(a x) ，x为不动点，
a a i 1 A
n1 n2 i1
n 1qn 1 1 a x
考虑(a x)(a x) (a x) (a x) ，证明 n1 q1 A.
i 1 1q 1 1q 1 A a x
i1 n
1 1 1 1
【例1】定义数列a 为“阶梯数列“：a  ,a  ,a  a  .
n 1 1 2 1 3 1 n 1
1 1 1
1 1 1
1 1
1 ...
1
1
1
（1） 求“阶梯数列“中，a 与a 的递推关系；
n1 n
（2） 证明：对kN*，数列a 为递减数列；
2k1
1 4
（3） 证明：|a a | ( )k1.
k1 k
2 9
3
【例2】（2025•绵阳一诊压轴）已知函数 f(x)lnxx2 3xa， f(x)在(0,1]上的最大值为 ln2.
4
（1）求实数a的值；
4
（2）若数列 a 满足2a a  f(a )3a 1，且a  .
n n n1 n n 1 3
（i）当n2，n时，比较a 与1的大小，并说明理由；
n
n
（ii）求证：31a 2.
i
i1MST老唐说题26版一轮
【例3】（2025•长郡中学第三套模拟）对于函数 f(x)，若实数x 满足 f(x ) x ，则称x 为 f(x)的不动
0 0 0 0
1
点.已知a0，且 f(x) lnxax2 1a的不动点的集合为A.以minM,maxM 分别表示集合M中的
2
最小元素和最大元素，
（1）若a 0，求A的元素个数及maxA；
（2）当A中只有一个元素时，a的取值集合记为B，
(i)求B；
f(a )  n 4
(ii)若a minB，数列a 满足a 2，a  n ，集合C   a 1, ，
n 1 n1 a n  k 3
n k1
4
求证：nN*，maxC  .
n 3