第六节数列放缩本质论_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第八章

MST老唐说题26版一轮 第六节 数列放缩本质论 考向一 蛛网图与数列极限单调性判断 知识点一 函数迭代和数列的关系 已知函数y f(x)满足a =f(a )，则一定有a =f(a ) f (a )f (a ) ，故函数y f(x)通过反复迭代 n+1 n n+1 n 2 n1 n 1 产生的一系列数构成了数列a 或者记为b 、x ，而数列的每一项与函数迭代的关系可以如下表所示： n n n 下面以函数y2x1和数列a 2a 1 n1 n 数列 a a a a a a …… a a 1 2 3 4 5 6 n n1 函数 x f(x) f (x) f (x) f (x) f (x) …… f (x) f (x) 2 3 4 5 n1 n 数列 1 x 7 15 31 63 2n 1 2n11 数列 1 1 1 1 1 1 1 1 函数 x 2x1 4x3 8x7 16x+15 32x31 …… 2n1x2n11 2nx2n 1 可以发现： ①数列的递推式和函数的迭代式是有着相同的法则的，故数列的任何一项a ,a 都在函数y f(x)上． n n+1 ②数列的通项公式是函数对a 迭代n1次的结果，即a  f (a )，每一次由于迭代产生出的因变量成为 1 n n1 1 下一次迭代的自变量． ③数列的首项a 对整个数列有很大的影响，当迭代不断重复出现同一结果时，我们将其称为不动点． 1 知识点二 函数的迭代图像——蛛网图 函数的迭代图像，简称蛛网图或者折线图，函数y f(x)和直线yx共同决定． 其步骤如下： 1．在同一坐标系中作出y f(x)和yx的图像（草图），并确定不动点．（如图1所示） 图1 图2 2．在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图像放大，并找出起始点a （如图2所示） 1 3．由a 向y f(x)作垂直于x轴的直线与y f(x)相交，并确定交点a ,a ． 1 1 2 4．由a ,a 向yx作平行于x轴的直线与yx相交，并确定交点a ,a ． 1 2 2 2 5．由a ,a 向y f(x)作垂直于x轴的直线与y f(x)相交，并确定交点a ,a ． 2 2 2 3 重复4，5，直至找到点a ,a 的最终去向． n n1MST老唐说题26版一轮 知识点三 蛛网图与数列的单调性 定理1：y  f(x)的单调增区间存在两个不动点x，x（x