文档内容
第六章 数列综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
(cid:4)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10)
1.(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)I(cid:27)((cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:31)(cid:29)Ⅱ(cid:27)((cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:9)(cid:52)(cid:53)
(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)
2.(cid:57)(cid:36)(cid:29)I(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:20)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:38)(cid:64)2B(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:68)(cid:69)(cid:21)(cid:70)(cid:46)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:72)(cid:73)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:64)
(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:38)(cid:83)(cid:20)(cid:72)(cid:84)(cid:85)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
3.(cid:57)(cid:36)(cid:29)Ⅱ(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:43)(cid:36)(cid:62)(cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
4.(cid:39)(cid:26)(cid:88)(cid:89)(cid:63)(cid:38)(cid:43)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:57)(cid:35)
(cid:29) I (cid:27)(cid:93)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:56)·(cid:98)(cid:99)·(cid:100)(cid:63)(cid:101)(cid:102)(cid:94)(cid:13)(cid:103) 2, 1 2, 1 (cid:46)(cid:90)(cid:104)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106) =(cid:93) (cid:94)
2 2 4 4
1,− ,− ,⋯ 𝑎𝑛
A(cid:95) 1 B(cid:95) 2 C(cid:95)( ) 2 D(cid:95)( ) +1 2
2 𝑛−1 2 𝑛 2 𝑛−1 2 𝑛−1
𝑛 𝑛
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)−(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:60)(cid:24)(cid:46)(cid:114)(cid:115)−(cid:38)(cid:28)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:24)(cid:46)(cid:119)(cid:9)−(cid:120)1(cid:121)(cid:60)(cid:90)(cid:24)(cid:46)(cid:122)(cid:123)(cid:38)(cid:124)−(cid:125)1(cid:126)(cid:59)(cid:13)(cid:103)(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106).
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:105)(cid:127)(cid:112)(cid:113)(cid:129)(cid:90)(cid:103)(cid:13)(cid:130)(cid:131)(cid:38)(cid:132)(cid:13)(cid:24)(cid:133)(cid:134)(cid:38)(cid:135)(cid:13)(cid:24)(cid:133)(cid:136)(cid:38)
(cid:137)(cid:29) (cid:24)(cid:46)(cid:134)(cid:136)(cid:125)(cid:120)(cid:64) +1(cid:138)(cid:139)(cid:140)
𝑛
(cid:141)1= 𝑛 2 0 2= ( 2 −11 , )1 = 2 2 2= 2 3 , 1 = 2 4 (cid:38)
2 2 2 2 2 4 2 4 2
,− − ,− − ,⋯
(cid:137)(cid:13)(cid:103)(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:125)(cid:133) =( ) +1 2 .
2 𝑛−1
𝑛
(cid:137)(cid:20)(cid:10)D. 𝑎𝑛 −1
2(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:146)(cid:147)(cid:94)(cid:148)(cid:149) (cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:37)n(cid:24)(cid:31)(cid:38) = (cid:38) =7(cid:38)(cid:153)(cid:7)(cid:152) =
2 3
(cid:93) (cid:94) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎 −3 𝑆 𝑞
1 1 1
A(cid:95) B(cid:95) C(cid:95)3(cid:154) D(cid:95) (cid:154)
3 3 3
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109) −3 (cid:110)(cid:111)(cid:155)(cid:64)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103) − (cid:105)(cid:24)(cid:31)(cid:37)n(cid:24)(cid:31)(cid:46)(cid:156)(cid:25)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:103)(cid:59)(cid:160)(cid:128)(cid:38)(cid:161)(cid:108) − (cid:124) 3 (cid:162) − .
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:163) = + + 2=7(cid:38)
3 1 1 1
𝑆 𝑎 𝑎 𝑞 𝑎 𝑞
(cid:164) = = (cid:38)(cid:165)(cid:166)(cid:162)(cid:38) =7(cid:38)
2 1
−3
𝑎 𝑎 𝑞 −3 𝑞 −3−3𝑞(cid:124)3 2+ +3=0(cid:38)(cid:108)(cid:162)(cid:38) = (cid:154) = 1 .
3
𝑞 10𝑞 𝑞 −3 𝑞 −
(cid:137)(cid:20)(cid:10)D.
3(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)·(cid:97)(cid:147)(cid:94)(cid:171)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106)(cid:133) = 2+ (cid:38)(cid:172)(cid:13)(cid:103){ }(cid:150)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:13)(cid:103)(cid:38)(cid:153)
(cid:177)(cid:13)b(cid:46)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:133)(cid:93) (cid:94) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛
A(cid:95)( + ) B(cid:95)( + ) C(cid:95)[ + ) D(cid:95)[ + )
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)−(cid:110)3,(cid:111)(cid:163)∞(cid:175)(cid:176)(cid:13)(cid:103)(cid:118)−(cid:182)2(cid:125), (cid:162)∞ >0(cid:38)(cid:165)−(cid:166)2,(cid:183)∞(cid:159)(cid:124)(cid:125)(cid:162)(cid:108). −3, ∞
+1
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:163)(cid:21)(cid:22)(cid:125)(cid:162) >𝑎𝑛0(cid:184)−(cid:185)𝑎𝑛(cid:186)(cid:38)(cid:124)( +1)2+ ( +1) 2 = +1+ >0(cid:38)
+1
(cid:124) > (cid:38)(cid:187) 1(cid:38)𝑎𝑛 −𝑎𝑛 (cid:38)(cid:137) ( 𝑛+ ). 𝑏 𝑛 −𝑛 −𝑏𝑛 2𝑛 𝑏
(cid:137)𝑏(cid:20)(cid:10)−A2.𝑛−1 𝑛≥ −2𝑛−1≤−3 𝑏∈ −3, ∞
4(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:188)(cid:169)(cid:189)(cid:190)·(cid:147)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:94)(cid:171) (cid:133)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:37) (cid:24)(cid:31)(cid:38)(cid:148)(cid:149) =4(cid:38) =10(cid:38)(cid:153) +
3 6 16 17
+ =(cid:93) (cid:94) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑆 𝑆 𝑎 𝑎
18
𝑎A(cid:95)12 B(cid:95)14 C(cid:95)16 D(cid:95)18
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:195)(cid:196)(cid:21)(cid:22)(cid:125)(cid:149) (cid:38) (cid:38) (cid:38) (cid:38) (cid:38) (cid:185)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:38)(cid:88)(cid:197)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:158)
3 6 3 9 6 12 9 15 12 18 15
(cid:159)(cid:161)(cid:108). 𝑆 𝑆 −𝑆 𝑆 −𝑆 𝑆 −𝑆 𝑆 −𝑆 𝑆 −𝑆
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:163)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:46)(cid:198)(cid:199)(cid:125)(cid:149)(cid:38) (cid:38) (cid:38) (cid:38) (cid:38) (cid:38) (cid:185)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:38)
3 6 3 9 6 12 9 15 12 18 15
(cid:200) =4(cid:38) =6(cid:38)(cid:125)(cid:149)(cid:201)(cid:24)(cid:133)4(cid:38)(cid:7)𝑆 (cid:194)(cid:133)𝑆 −2(cid:38)𝑆 𝑆 −𝑆 𝑆 −𝑆 𝑆 −𝑆 𝑆 −𝑆
3 6 3
(cid:202)𝑆(cid:120) + 𝑆 −+𝑆 = =4+5×2=14.
16 17 18 18 15
(cid:137)(cid:20)𝑎(cid:10)B. 𝑎 𝑎 𝑆 −𝑆
5(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:145)(cid:203)(cid:204)(cid:205)·(cid:97)(cid:147)(cid:94)(cid:90)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:208)(cid:210) (cid:59)(cid:130)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:38)(cid:60)(cid:214)(cid:206)(cid:215)(cid:213)(cid:211)(cid:212)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:46)(cid:33)(cid:104)(cid:208)(cid:210)(cid:93)(cid:74)
(cid:219)(cid:94)(cid:38)(cid:220)(cid:74)(cid:10)(cid:209)(cid:208)(cid:210) (cid:206)(cid:215)(cid:213)(cid:221)1(cid:9)(cid:154)2(cid:9)(cid:208)(cid:210)(cid:38)(cid:209)1𝐴(cid:9)(cid:208)(cid:210)(cid:206)(cid:215)(cid:213)(cid:221)2(cid:9)(cid:154)3(cid:9)(cid:208)(cid:210)……(cid:120)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:38)(cid:64)
(cid:138)(cid:139)(cid:207)(cid:208)(cid:213)(cid:221) (cid:9)(cid:208)(cid:210)𝐴(cid:46)(cid:160)(cid:225)(cid:13)(cid:38)(cid:153) 2 =(cid:93) (cid:94) 𝑎𝑛
2022 2024 2023
𝑛 𝑎 𝑎 −𝑎
A(cid:95)1 B(cid:95) C(cid:95)2 D(cid:95)
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:163)(cid:21)(cid:22)(cid:125)(cid:162) −=1 + (cid:38)(cid:153)(cid:125)(cid:224)(cid:59) 2 = −2 2 (cid:38)(cid:202)(cid:120)(cid:13)(cid:103)
+2 +1 +1 +1
2 (cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)𝑎(cid:38)𝑛 (cid:124)𝑎(cid:125)𝑛−(cid:161)1 (cid:162)𝑎(cid:36)𝑛−(cid:62)2 . 𝑎𝑛𝑎𝑛 −𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1𝑎𝑛 −𝑎𝑛
+2 +1
(cid:107)𝑎𝑛(cid:108)𝑎𝑛(cid:36)(cid:127)−(cid:128)𝑎𝑛(cid:111)(cid:226)(cid:21)(cid:22)(cid:38) = + (cid:93) N 3(cid:94)(cid:38) =1, =2, = + =3(cid:38)
1 2 3 1 2
∗
(cid:227) 2(cid:58)(cid:38) 2𝑎𝑛 =𝑎𝑛− ( 1 𝑎+ 𝑛−2 )𝑛∈2 ,=𝑛≥ +𝑎 2 𝑎2 𝑎 𝑎 𝑎
+2 +1 +1 +1 +1 +1
=𝑛2≥+ 𝑎( 𝑛𝑎𝑛 −𝑎) 𝑛= 2𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎=𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 2 (cid:38)𝑎(cid:187)𝑛−𝑎𝑛 2= (cid:38)
+1 +1 +1 +1 1 3 2
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛−𝑎𝑛 𝑎𝑛−𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎 𝑎 −𝑎 −1(cid:202)(cid:120)(cid:13)(cid:103) 2 (cid:150)(cid:201)(cid:24)(cid:133) (cid:38)(cid:7)(cid:152)(cid:133) (cid:46)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)(cid:38)
+2 +1
(cid:202)(cid:120) 𝑎𝑛𝑎𝑛 −2𝑎𝑛 =( )×(−1) =−1.1
2022 2024 2023
2022−1
(cid:137)(cid:20)𝑎(cid:10)A. 𝑎 −𝑎 −1 −1
6(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:142)(cid:143)(cid:228)(cid:229)(cid:230)·(cid:146)(cid:147)(cid:94)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:37) (cid:24)(cid:31)(cid:133) (cid:38) = (cid:38) = + N )(cid:38)(cid:171)
1
∗
= (cid:38)(cid:153)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:37)51(cid:24)(cid:231)(cid:31)(cid:133)(cid:93)𝑎𝑛 (cid:94) 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 −1 𝑛𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑛(𝑛−1)(𝑛∈
𝑛
𝑏𝑛 A(cid:95)(−1) 𝑎𝑛 B𝑏(cid:95)𝑛 C(cid:95)49 D(cid:95)149
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)−1(cid:110)4(cid:111)9 (cid:163) (cid:232) (cid:46)(cid:3)−(cid:123)49(cid:38)(cid:88)(cid:197)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106)(cid:161)(cid:162) = (cid:38)(cid:124)(cid:125)(cid:162)(cid:221) =( ) ( )(cid:38)(cid:83)
𝑛
(cid:163)(cid:91)(cid:24)(cid:161)(cid:31)(cid:225)(cid:183)𝑎(cid:159)𝑛(cid:125)𝑆(cid:162)𝑛(cid:95) 𝑎𝑛 2𝑛−3 𝑏𝑛 −1 2𝑛−3
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:164)(cid:133) = + N )(cid:38)
∗
(cid:227) 2(cid:58)(cid:38) =𝑛𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑛)(=𝑛−1)+(𝑛∈ (cid:38)
(cid:124)𝑛≥ 𝑛𝑎𝑛 𝑛=(𝑆𝑛−𝑆𝑛−1(cid:38) 𝑆𝑛 𝑛(𝑛−1)
(𝑛−1)𝑆𝑛−𝑛𝑆𝑛−1 𝑛(𝑛−1)
(cid:125)(cid:162) =1(cid:38)(cid:187) 1= = (cid:38)(cid:202)(cid:120) (cid:150)(cid:120) (cid:133)(cid:201)(cid:24)(cid:38)1(cid:133)(cid:7)(cid:194)(cid:46)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:38)
1 1
𝑆𝑛 𝑆𝑛−1 𝑆 𝑆𝑛
𝑛−𝑛−1 𝑎 −1 𝑛 −1
(cid:202)(cid:120) = + = (cid:38)(cid:153) = (cid:38)
𝑆𝑛
(cid:227) 𝑛 2(cid:58) −1 𝑛 = − ( 1 𝑛 ) −2 (cid:38) 𝑆𝑛 𝑛(𝑛−2)
(cid:202)𝑛(cid:120)≥ = 𝑆𝑛−1 𝑛=−1((𝑛−3))( ) = (cid:38)(cid:227) =1(cid:58) = (cid:233)(cid:185)(cid:186)(cid:38)
(cid:202)(cid:120)𝑎𝑛=(𝑆𝑛−)𝑆𝑛−1=(𝑛 𝑛−) 2( − 𝑛−)(cid:38)1 (𝑛−3) 2𝑛−3 𝑛 𝑎𝑛 2𝑛−3
𝑛 𝑛
(cid:125)(cid:162)𝑏(cid:13)𝑛(cid:103){−1}(cid:46)(cid:37)𝑎𝑛51(cid:24)−(cid:231)1(cid:31)(cid:133)2𝑛(−13+1)+ +5)+...+ + =2× = (cid:95)
(cid:137)(cid:20)(cid:10)B(cid:95)𝑏𝑛 (−3 (−95 97)−99 25−99 −49
7(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:237)·(cid:147)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:94)(cid:148)(cid:149)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:37)n(cid:24)(cid:46)(cid:238)(cid:133) (cid:38) = (cid:38)(cid:153)(cid:239)(cid:162) <2024
2
𝑇𝑛 𝑛=1
(cid:185)(cid:186)(cid:46)n(cid:46)(cid:240)(cid:236)(cid:179)(cid:133)(cid:93) (cid:94)
𝑎𝑛 𝑇𝑛 𝑎𝑛 𝑇𝑛−1
𝑖
𝑎𝑖
A(cid:95)2021 B(cid:95)2022 C(cid:95)2023 D(cid:95)2024
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:241)(cid:163) = (cid:161)(cid:59) (cid:38)(cid:83)(cid:227) 2(cid:58)(cid:38)(cid:163) = (cid:162) = (cid:38)(cid:162)(cid:221){ }(cid:150)(cid:120) =2(cid:133)(cid:201)(cid:24)(cid:38)1
1 1
𝑇𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛
𝑎𝑛 𝑇𝑛−1 𝑎 𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛 𝑎
1 1 1 1
(cid:133)(cid:7)(cid:194)(cid:46)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:38)(cid:202)(cid:120) = +1(cid:38)(cid:209)(cid:141)(cid:161)(cid:59) =1+ (cid:38) =1+ <1+ (cid:38)(cid:155)(cid:64)(cid:242)(cid:24)(cid:217)(cid:243)(cid:225)(cid:161)(cid:31)(cid:162)
2 2
𝑇𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑖 𝑖 𝑖−1−𝑖
1
<2022(cid:38)(cid:88)(cid:197)(cid:20)(cid:24)(cid:124)(cid:125)(cid:161)(cid:108).
𝑛−𝑛
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:244) =1(cid:38)(cid:153) = 1 (cid:162) = =2(cid:38)
1 1 1
1𝑎
𝑛 𝑎 𝑎 −1 𝑇 𝑎
(cid:227) 2(cid:58)(cid:38)(cid:164)(cid:133) = (cid:38)(cid:202)(cid:120) = (cid:38)(cid:202)(cid:120) = (cid:38)(cid:124) =1(cid:38)
𝑇𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛
𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛−𝑇𝑛−1(cid:202)(cid:120)(cid:13)(cid:103){ }(cid:150)(cid:120) =2(cid:133)(cid:201)(cid:24)(cid:38)1(cid:133)(cid:7)(cid:194)(cid:46)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:38)(cid:202)(cid:120) = +1(cid:38)
1
1𝑇𝑛 1𝑎 1 𝑇𝑛 𝑛
(cid:137) = =1+ (cid:38)(cid:202)(cid:120) =1+ (cid:38)
2 2
𝑛+
𝑎𝑛 𝑛 𝑛 𝑎𝑖 𝑖
1 1 1 1
(cid:227) 2(cid:58)(cid:38) =1+ <1+ =1+ (cid:38)
2 2 ( )
𝑖≥ 𝑎𝑖 𝑖 𝑖 𝑖−1 𝑖−1−𝑖
(cid:202)(cid:120) = + + + ++ <2+1+1+ +1+
2 12 22 32 2
𝑛=1
𝑎𝑖 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑛 ⋯
1 𝑖 + 1 1 + + 1 1 =2+ + 1 =2+ 1 <2024(cid:38)
2 2 3
(cid:202) 1 (cid:120) − 1 <2 − 022(cid:38)(cid:88) ⋯ (cid:197)(cid:20) 𝑛− (cid:24) 1 (cid:38) − (cid:43) 𝑛 n(cid:46)(cid:179)(cid:165) 𝑛− (cid:166) 1 (cid:245)(cid:246) 1− (cid:38) 𝑛 𝑛−𝑛
𝑛−𝑛
(cid:153)(cid:239)(cid:162) <2024(cid:185)(cid:186)(cid:46)n(cid:46)(cid:240)(cid:236)(cid:179)(cid:133)2022.
2
𝑛=1
𝑎𝑖
(cid:137)(cid:20)(cid:10)B. 𝑖
8(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:142)(cid:143)(cid:247)(cid:248)·(cid:147)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:94)(cid:148)(cid:149)(cid:201)(cid:24)(cid:133)1(cid:46)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:37) (cid:24)(cid:31)(cid:133) (cid:38)(cid:84)(cid:249) = +
+1
( +1)(cid:38)(cid:131)(cid:250)(cid:120)(cid:251)(cid:88)(cid:252)(cid:10) , > (cid:140) 1 < 𝑎𝑛 1(cid:140) 𝑛2024 1𝑆 (cid:95) 𝑛 (cid:153)(cid:134)(cid:117) 𝑆 (cid:88) 𝑛 (cid:252)(cid:46)(cid:253) 𝑆𝑛 (cid:9)(cid:133) 𝑎𝑛
+1 𝑛=1 1
𝑎
22024 2
∗
(cid:93)
𝑎𝑛
(cid:94)
①∃𝑛∈𝑁 𝑎𝑛 𝑎𝑛 ②
𝑖
𝑎𝑖+ ③ ≤
A(cid:95) B(cid:95) C(cid:95) D(cid:95)
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)①(cid:110)(cid:111) (cid:105)(cid:127)(cid:254)(cid:194)(cid:38)②(cid:255)(cid:256)(cid:194)(cid:179)(cid:134)(cid:136)(cid:38)(cid:257)(cid:255)(cid:256)②③(cid:31) (cid:162)(cid:236)(cid:61)(cid:3)(cid:123)(cid:38)①②③
+1
① 1 1 𝑎𝑛1 𝑎𝑛1
(cid:105)(cid:127)(cid:68) = ( +1)(cid:258)(cid:259)(cid:162)(cid:221) = = (cid:38)(cid:260)(cid:63)(cid:161)(cid:31)(cid:124)(cid:125)(cid:38)
+1 +1 ( 1) 1
②(cid:105)(cid:127) 𝑎𝑛 = 𝑎 ( 𝑛 𝑎 + 𝑛 1)(cid:162)(cid:221) 𝑎 2 𝑛 (cid:38) 𝑎 (cid:260) 𝑛 (cid:63) 𝑎𝑛+ (cid:68) 𝑎𝑛− (cid:261) 𝑎𝑛 (cid:262) + (cid:263)(cid:264).
+1 +1 2024
③(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)𝑎𝑛(cid:128)(cid:111)(cid:68)𝑎𝑛 𝑎(cid:38)𝑛 (cid:164)(cid:133) 𝑎=𝑛 ≥+ 𝑎𝑛 ( +1)(cid:38)𝑎
+1
(cid:202)(cid:120) = ① = (𝑆𝑛 +1)𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛
+1 +1
(cid:202)(cid:120)𝑆𝑛 −𝑆𝑛 =𝑎𝑛 ( +𝑎1 𝑛 )𝑎𝑛 = 2＞0(cid:38)(cid:124) , ＜ (cid:38)
+1 +1
∗
(cid:137) 𝑎(cid:265)𝑛(cid:266)−(cid:38)𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 ∀𝑛∈𝑁 𝑎𝑛 𝑎𝑛
① 1 1 1 1
(cid:68) (cid:38)(cid:163) = ( +1)(cid:162) = = (cid:38)
+1 +1 ( 1) 1
②
1
𝑎𝑛
1 1
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛+ 𝑎𝑛−𝑎𝑛+
(cid:202)(cid:120) = (cid:38)
1 +1
(cid:202)(cid:120)
𝑎𝑛+ 𝑎
1
𝑛−𝑎
=
𝑛
1 + 1 + + 1 = 1 1 + 1 1 + 1 1 = 1 1 ,
𝑛=1 1 1 1 2 1 n 1 1 2 2 3 +1 1 +1
(cid:164)(cid:133) =𝑖
1，𝑎𝑖+
＜
𝑎 +
(cid:38)
𝑎 + ⋯ 𝑎 + 𝑎 −𝑎 𝑎 −𝑎 ⋯𝑎𝑛−𝑎𝑛 𝑎 −𝑎𝑛
1 +1
(cid:202)(cid:120)𝑎 ＞ 𝑎=𝑛 1(cid:38)𝑎𝑛
+1 1
(cid:202)(cid:120)
𝑎𝑛 𝑎1
=
1 1
=
1
＜1(cid:38)
𝑛=1 1 1 +1 +1
𝑖
𝑎𝑖+ 𝑎 −𝑎𝑛 1−𝑎𝑛(cid:202)(cid:120) (cid:134)(cid:117)(cid:38)
(cid:68) ②(cid:38)(cid:227) =1(cid:58)(cid:38) = + ( +1)(cid:38)(cid:16)(cid:267)(cid:162) = ( +1)=2(cid:38)
2 1 1 1 2 1 1
(cid:202)(cid:120)③(cid:227) 𝑛1(cid:58)(cid:38) 𝑆 𝑆 =𝑎 (𝑎 +1) = 𝑎( 𝑎 )𝑎 0(cid:38)(cid:124) 2 (cid:38)
+1 +1
(cid:202)(cid:120) 𝑛≥ 2 𝑎𝑛 −2𝑎𝑛220𝑎23𝑛 𝑎𝑛=2202−32(cid:38)𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 ≥ 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛
2024 2023 1
(cid:202)(cid:120)
𝑎
2024
≥1
(cid:38)
𝑎 ≥⋯≥ 𝑎
22024 2
𝑎
≥
(cid:202)(cid:120) (cid:265)(cid:266)(cid:38)
(cid:137)(cid:20)③(cid:10)B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:145)(cid:203)(cid:268)(cid:269)·(cid:97)(cid:147)(cid:94)(cid:148)(cid:149)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:37) (cid:24)(cid:31)(cid:133) (cid:38) =4(cid:38) =42(cid:38)(cid:153)(cid:251)(cid:103)(cid:270)(cid:225)(cid:134)(cid:117)
2 7
(cid:46)(cid:150)(cid:93) (cid:94) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆
A(cid:95) =4 B(cid:95) = 1 2+ 5
5 2 2
𝑎 𝑆𝑛 𝑛 𝑛
1 4
C(cid:95) (cid:133)(cid:175)(cid:271)(cid:13)(cid:103) D(cid:95){ }(cid:46)(cid:37)5(cid:24)(cid:31)(cid:133)
𝑎𝑛 +1 21
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)𝑛(cid:110)(cid:111)(cid:195)(cid:196)(cid:272)(cid:118)(cid:273)(cid:274)(cid:38)(cid:155)(cid:64)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:46)(cid:198)(cid:199) 𝑎 (cid:161) 𝑛𝑎 (cid:59) 𝑛 (cid:7)(cid:194) (cid:38)(cid:83)(cid:275)(cid:24)(cid:161)(cid:108)(cid:255)(cid:256)(cid:124)(cid:125).
7( ) 𝑑
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103){ }(cid:249)(cid:38) = 1 7 =7 =42(cid:38)(cid:108)(cid:162) =6(cid:38)(cid:141) =4(cid:38)
7 2 4 4 2
𝑎 +𝑎
𝑎𝑛 𝑆 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:164)(cid:222)(cid:7)(cid:194) = 4 2=1(cid:38)(cid:105)(cid:24) = + = +2(cid:38)
2
𝑎 −𝑎
𝑑 4−2 𝑎𝑛 𝑎 (𝑛−2)𝑑 𝑛
(cid:68)(cid:276)A(cid:38) =7(cid:38)A(cid:265)(cid:266)(cid:140)
5
(cid:68)(cid:276)B(cid:38) 𝑎 = 2) = 1 2+ 5 (cid:38)B(cid:134)(cid:117)(cid:140)
2 2 2
𝑛(3+𝑛+
𝑆𝑛 𝑛 𝑛
2
(cid:68)(cid:276)C(cid:38) =1+ (cid:38){ }(cid:133)(cid:175)(cid:271)(cid:13)(cid:103)(cid:38)C(cid:134)(cid:117)(cid:140)
𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑛 𝑛 𝑛
1 1 1 1 1
(cid:68)(cid:276)D(cid:38) = = (cid:38)(cid:202)(cid:120){ }(cid:46)(cid:37)5(cid:24)(cid:31)(cid:133)
+1 3) 2 3 +1
𝑎𝑛𝑎𝑛 (𝑛+2)(𝑛+ 𝑛+ −𝑛+ 𝑎𝑛𝑎𝑛
1 1 1 1 1 1 1 1 5
+ + + = = (cid:38)D(cid:265)(cid:266).
3 4 4 5 7 8 3 8 24
− − ⋯ − −
(cid:137)(cid:20)(cid:10)BC.
1
+ 为奇数
10(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:145)(cid:277)(cid:278)(cid:279)·(cid:97)(cid:147)(cid:94)(cid:148)(cid:149)(cid:13)(cid:103){ }(cid:280)(cid:281) 1 =1(cid:38) +1 = 2 (cid:38)(cid:153)(cid:251)(cid:103)(cid:88)(cid:252)
为偶数
𝑎𝑛 𝑛, 𝑛
(cid:134)(cid:117)(cid:46)(cid:150)(cid:93) (cid:94)
𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛
𝑎𝑛−2𝑛, 𝑛
A(cid:95){ }(cid:150)(cid:175)(cid:176)(cid:13)(cid:103) B(cid:95){ }(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)
𝑎𝑛 𝑎2𝑛−2C(cid:95)(cid:227)n(cid:150)(cid:135)(cid:13)(cid:58)(cid:38) = 1 𝑛 2 D(cid:95) (cid:38) *(cid:38)(cid:239)(cid:162) >
2
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:276)A(cid:38)(cid:161)𝑎(cid:59) 𝑛 (cid:13)2(cid:103)−(cid:46)(cid:37)(cid:282)(cid:24)(cid:124)(cid:125)(cid:255)(cid:256)∃(cid:140)𝑚(cid:68)𝑛(cid:276)∈B𝑁(cid:38)(cid:151)(cid:152)(cid:13)𝑎(cid:103) 2𝑚 (cid:46) −1 (cid:118)(cid:182)𝑎(cid:51) 2𝑛 (cid:283)(cid:124)(cid:125)(cid:140)(cid:68)(cid:276)C(cid:38)(cid:163)B(cid:125)
(cid:149)(cid:38){ }(cid:150)(cid:120) 1 (cid:133)(cid:201)(cid:24)(cid:38) 1 (cid:133)(cid:7)(cid:152)(cid:46)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)(cid:38)(cid:161)(cid:108)(cid:255)(cid:256)(cid:124)(cid:125)(cid:140)(cid:68)(cid:276)D(cid:38)(cid:163)C(cid:125)(cid:149)(cid:38) = 1 (cid:38)(cid:88)
2 2 2 𝑚
𝑎2𝑛−2 − 𝑎2𝑚 2−
(cid:197) = 1 + (cid:38)(cid:202)(cid:120) = 1 (cid:38)(cid:28)(cid:223)(cid:284)(cid:252)(cid:255)(cid:256)(cid:124)(cid:125).
2 2 𝑚−1
𝑎2𝑚 𝑎2𝑚−1 2𝑚−1 𝑎2𝑚−1 16−4𝑚−3 3 5
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:68)(cid:276)A(cid:10)(cid:163) =1(cid:38) = +1= (cid:38) = = = (cid:38)(cid:202)(cid:120)A(cid:265)(cid:266)(cid:140)
1 2 2 1 2 3 2 2 2
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 −4 −4 −
1
(cid:68)(cid:276)B(cid:10)(cid:227) =1(cid:58)(cid:38)(cid:163) =1(cid:38) = ( )(cid:38)
1 2 2 1
𝑛 𝑎 𝑎 −2 𝑎 −2
1 1 1 1
(cid:227) >1(cid:58)(cid:38) = + = [ ( )]+ = = ( )(cid:38)
2 2 2 2
𝑛 𝑎2𝑛−2 𝑎2𝑛−1 2𝑛−1−2 𝑎2𝑛−2−2 2𝑛−2 2𝑛−3 𝑎2𝑛−2−1 𝑎2𝑛−2−2
1 1
(cid:285)(cid:56)(cid:202)(cid:286)(cid:10)(cid:202)(cid:120){ }(cid:150)(cid:120) (cid:133)(cid:201)(cid:24)(cid:38) (cid:133)(cid:7)(cid:152)(cid:46)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)(cid:38)B(cid:134)(cid:117)(cid:140)
2 2
𝑎2𝑛−2 −
1 1
(cid:68)(cid:276)C(cid:10)(cid:163)B(cid:125)(cid:149)(cid:38){ }(cid:150)(cid:120) (cid:133)(cid:201)(cid:24)(cid:38) (cid:133)(cid:7)(cid:152)(cid:46)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)(cid:38)
2 2
𝑎2𝑛−2 −
(cid:202)(cid:120) = 1 × 1 = 1 (cid:38)(cid:202)(cid:120) = 1 (cid:38) (cid:133)(cid:135)(cid:13)(cid:38)
2 2 𝑛−1 2 𝑛 2 𝑛
𝑎2𝑛−2 − − 𝑎2𝑛 2− 2𝑛
(cid:202)(cid:120)(cid:227)n(cid:150)(cid:135)(cid:13)(cid:58)(cid:38) = 1 𝑛 2(cid:38)(cid:137)C(cid:134)(cid:117)(cid:140)
2
𝑎𝑛 2−
(cid:68)(cid:276)D(cid:10)(cid:163)C(cid:125)(cid:149)(cid:38) = 1 (cid:38)(cid:163) = 1 + (cid:38)
2 𝑚 2
𝑎2𝑚 2− 𝑎2𝑚 𝑎2𝑚−1 2𝑚−1
(cid:202)(cid:120) = 1 (cid:38)(cid:164)(cid:133) 1 (0,1](cid:38)
2 𝑚−1 2 𝑚−1
𝑎2𝑚−1 6−4𝑚− ∈
(cid:202)(cid:120)(cid:227) =1(cid:58)(cid:38) = 1 = =1(cid:38)
2 𝑚−1
𝑚 𝑎2𝑚−1 6−4𝑚− 6−4−1
(cid:227) 2(cid:58)(cid:38) = 1 <0(cid:38)(cid:141) = 1 (1,2)(cid:38)
2 𝑚−1 2 𝑛
(cid:202)𝑚(cid:120)≥ > 𝑎2𝑚− (cid:184) 1 (cid:185)(cid:186)6−(cid:38)4𝑚(cid:137)−D(cid:265)(cid:266)(cid:140) 𝑎2𝑛 2− ∈
(cid:137)(cid:20)(cid:10)𝑎2𝑛 BC.𝑎2𝑚−1
11(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:287)(cid:288)·(cid:147)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:94)(cid:148)(cid:149)(cid:13)(cid:103){ }(cid:38){ }(cid:38)(cid:289) = (cid:38) = + + + +
1 2 3 1 2 3
1 1 1 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑇𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯
(cid:38)(cid:172) + =1(cid:200) = (cid:153)(cid:251)(cid:103)(cid:270)(cid:225)(cid:134)(cid:117)(cid:46)(cid:150)(cid:93) (cid:94)
+1
𝑏𝑛 𝑇𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑇𝑛𝑇𝑛
A(cid:95) =12 B(cid:95)(cid:13)(cid:103){ }(cid:249)(cid:46)(cid:240)(cid:236)(cid:24)(cid:133)2
12
𝑇 10 1𝑎𝑛
C(cid:95) = D(cid:95) <
10 11 2
𝑆 𝑆𝑛
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:163)(cid:148)(cid:149)(cid:125)(cid:162) =1(cid:58)(cid:38) = =2(cid:38) 2(cid:58) = (cid:38)(cid:125)(cid:51)(cid:13)(cid:103){ }(cid:150)(cid:120)2(cid:133)(cid:201)(cid:24)(cid:38)1(cid:133)(cid:7)(cid:194)(cid:46)
1 1
𝑇𝑛
𝑛 𝑇 𝑎 𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛
1 1
(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:38)(cid:124)(cid:125)(cid:255)(cid:256)A(cid:20)(cid:24)(cid:38) = =1+ (cid:38)(cid:125)(cid:255)(cid:256)B(cid:20)(cid:24)(cid:140)(cid:83)(cid:155)(cid:64)(cid:242)(cid:24)(cid:217)(cid:243)(cid:225)(cid:125)(cid:162) (cid:38)(cid:124)(cid:125)(cid:255)(cid:256)CD
𝑛+
𝑎𝑛 𝑛 𝑛 𝑆𝑛(cid:20)(cid:24).
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:68)(cid:276)A(cid:38)(cid:163)(cid:148)(cid:149) = (cid:38)
1 2 3
1 1𝑇𝑛 2𝑎 𝑎 𝑎 ⋯𝑎𝑛
(cid:227) =1(cid:58)(cid:38) = (cid:38)(cid:124) + = =1(cid:38) = =2(cid:38)
1 1 1 1
1 1 1
𝑛 𝑇 𝑎 𝑇 𝑎 𝑎 𝑇 𝑎
(cid:227) 2(cid:58)(cid:38) = (cid:38)(cid:124) = (cid:38)
1 2 3
𝑇𝑛
𝑛≥ 𝑇𝑛−1 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑇𝑛−1
1 1 1 1
(cid:202)(cid:120) + = + = =1(cid:38)(cid:124) =1(cid:38)
𝑇𝑛−1 +𝑇𝑛−1
𝑇𝑛 𝑎𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛−𝑇𝑛−1
(cid:202)(cid:120)(cid:13)(cid:103){ }(cid:150)(cid:120)2(cid:133)(cid:201)(cid:24)(cid:38)1(cid:133)(cid:7)(cid:194)(cid:46)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:38)
(cid:202)(cid:120) = 𝑇𝑛+1(cid:38)(cid:124) =13(cid:38)A(cid:20)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:140)
12
𝑇𝑛 𝑛 𝑇1 1
(cid:68)(cid:276)B(cid:38)(cid:202)(cid:120) = =1+ (cid:38) N (cid:38)(cid:200)(cid:13)(cid:103){ }(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:271)(cid:38)
+
𝑛+
(cid:202)(cid:120)(cid:13)(cid:103){ }(cid:249) 𝑎𝑛 (cid:46)(cid:240)𝑛(cid:236)(cid:24)(cid:133) 𝑛 = 𝑛 2(cid:38) ∈ B(cid:20)(cid:24)(cid:134)(cid:117)(cid:140)𝑎𝑛
1
𝑎𝑛 1 1𝑎 1 1
(cid:68)(cid:276)C(cid:38) = = = (cid:38)
+1 ( 1)( 2) 1 2
𝑏𝑛 𝑇𝑛𝑇𝑛 𝑛+ 𝑛+ 𝑛+ −𝑛+
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + + + + = + + + + = (cid:38)
1 2 3 2 3 3 4 4 5 1 2 2 2
𝑆𝑛 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏𝑛 − − − ⋯ 𝑛+ −𝑛+ −𝑛+
1 1 5
(cid:202)(cid:120) = = (cid:38)C(cid:20)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:140)
10 2 12 12
𝑆 −
1 1 1 1
(cid:68)(cid:276)D(cid:38)(cid:187) N (cid:38)(cid:202)(cid:120) >0(cid:38)(cid:124) = < (cid:38)D(cid:20)(cid:24)(cid:134)(cid:117)(cid:140)
+ 2 2 2 2
(cid:137)(cid:20)(cid:10)BD. 𝑛∈ 𝑛+ 𝑆𝑛 −𝑛+
(cid:29) II (cid:27)(cid:93)(cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:188)(cid:290)·(cid:147)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:94)(cid:148)(cid:149)(cid:13)(cid:103){ }(cid:150)(cid:7)(cid:194)(cid:133) (cid:46)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:38)(cid:291)(cid:24)(cid:292)(cid:151)(cid:46)(cid:13)(cid:103){ }(cid:150)(cid:201)(cid:24)(cid:133)2(cid:38)
(cid:7)(cid:152)(cid:133) (cid:46)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)(cid:38)(cid:200) = , = (cid:38)(cid:153) 𝑎𝑛= 1 (cid:95)𝑑 𝑏𝑛
1 2
2 3
(cid:107)(cid:108)(cid:21)𝑞(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:163)(cid:148)(cid:149)(cid:88)(cid:197)𝑎(cid:151)𝑏 (cid:194)(cid:13)𝑏 (cid:103)𝑎𝑏(cid:232)(cid:151)𝑏(cid:152)(cid:13)(cid:103)𝑑(cid:46)⋅(cid:105)𝑞 (cid:24)(cid:7)(cid:106)(cid:124)(cid:125)(cid:103)(cid:106)(cid:161)(cid:108)(cid:95)
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:108)(cid:10)(cid:163)(cid:148)(cid:149)(cid:125)(cid:162)(cid:38) =2(cid:38) = (cid:38) =2 2(cid:38)
1 2 3
(cid:83)(cid:163) = (cid:38) = (cid:38) 𝑏 𝑏 2𝑞 𝑏 𝑞
1 2
2 3
(cid:162) 𝑎+𝑏 𝑏 𝑎=𝑏 2(cid:38)𝑏 +(2 2 = (cid:38)
1 1
(cid:122)𝑎(cid:186)(cid:120)((cid:56)2𝑞(cid:33)−(cid:106)1)(cid:125)𝑑(cid:162)(cid:10) 𝑎 =𝑞 −1)𝑑 2𝑞(cid:38)
=1(cid:93)(cid:293)(cid:294)(cid:94)(cid:38)(cid:154)2−2𝑞𝑑 =𝑞0((cid:38)2−(cid:124)2𝑞𝑑)=1(cid:95)
(cid:137)∴(cid:36)𝑞 (cid:62)(cid:133)(cid:10)1(cid:95) 2−2𝑞𝑑 𝑞𝑑
13(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:145)(cid:203)(cid:204)(cid:205)·(cid:147)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:94)(cid:148)(cid:149)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:37) (cid:24)(cid:31)(cid:133) (cid:38)(cid:200)(cid:280)(cid:281) =1, =
1 +1
𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎𝑛+ 为奇数
(cid:38)(cid:153) = 3×251 .
2 为偶数 100
𝑎𝑛 1,𝑛
(cid:107)(cid:108)𝑎(cid:21)𝑛,𝑛(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:226)(cid:21)(cid:22)(cid:125) 𝑆 (cid:162) + − = 15 2 6 ( + )+3(cid:38)(cid:289) = + 1(cid:38)(cid:124)(cid:125)(cid:162)(cid:221)
+2 +1 +1
+3=2( +3)(cid:38)(cid:209)(cid:141)(cid:161)(cid:59)𝑎2𝑘 (cid:46)(cid:105)𝑎(cid:24)2𝑘(cid:7)(cid:106)(cid:38)(cid:83)𝑎2(cid:163)𝑘(cid:28)𝑎(cid:295)2𝑘(cid:161)−1(cid:31)(cid:225)(cid:183)(cid:159)(cid:125)𝑏𝑛(cid:162).𝑎2𝑛 𝑎2𝑛−1,𝑛≥ 𝑏𝑛
𝑏𝑛 𝑏𝑛 + 为奇数
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:164)(cid:133) =1, = (cid:38)
1 +1 2 为偶数
𝑎𝑛 1,𝑛
(cid:202)(cid:120) = 𝑎 +1=2 𝑎𝑛 +1(cid:38) 𝑎𝑛,𝑛 =2 =2 + (cid:38)(cid:200) =2(cid:38)
+2 +1 +1 2
(cid:202)(cid:120)𝑎2𝑘 +𝑎2𝑘 =2( 𝑎+ 2𝑘 )𝑎2+𝑘3(cid:38) 𝑎2𝑘 𝑎2𝑘−1 2,𝑘∈𝑁∗ 𝑎
+2 +1
(cid:289) 𝑎=2𝑘 +𝑎2𝑘 𝑎12(cid:38)𝑘(cid:153)𝑎2𝑘−1=2 +3(cid:38)(cid:202)(cid:120) +3=2( +3)(cid:38)
+1 +1
(cid:202)𝑏(cid:120)𝑛 { 𝑎+ 2𝑛 3}(cid:150)𝑎2(cid:120)𝑛−1,𝑛+≥3= +𝑏𝑛 +3=𝑏𝑛6(cid:133)(cid:201)(cid:24)(cid:38)2𝑏(cid:133)𝑛(cid:7)(cid:152)(cid:46)(cid:151)(cid:152)𝑏(cid:13)𝑛 (cid:103)(cid:38)
1 1 2
(cid:202)(cid:120) 𝑏𝑛+3=6×2𝑏 (cid:38)(cid:153)𝑎 =𝑎6×2 (cid:38)
𝑛−1 𝑛−1
(cid:289){ 𝑏} 𝑛(cid:46)(cid:37) (cid:24)(cid:31)(cid:133) (cid:38) 𝑏𝑛 −3
(cid:153) 𝑏𝑛 = 𝑛 =(6×𝑇2 𝑛0+6×21+6×22+ +6×249) ×50
100 50
=
𝑆6( 250)𝑇
=3×251 .
⋅⋅⋅ −3
1−
(cid:137)(cid:36)(cid:62)1−(cid:133)2 (cid:10) − 3 15 × 0 251 .−156
14(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024 − · 1 (cid:142) 5 (cid:143) 6 (cid:296)(cid:297)·(cid:147)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:94)(cid:13)(cid:103){ }(cid:280)(cid:281) =1(cid:38) + = +1(cid:38)(cid:172)(cid:13)(cid:103) +1 1 (cid:46)(cid:37)
1 +1
2
𝑎𝑛 +1+
𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 2𝑛 𝑎𝑛⋅𝑎𝑛 ⋅ 𝑎𝑛
2023
(cid:24)(cid:46)(cid:31)(cid:133) (cid:38)(cid:153) > (cid:46) (cid:46)(cid:240)(cid:61)(cid:179)(cid:133) 8 (cid:95)
2024
𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛 𝑛
1 2 1
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:195)(cid:196)(cid:148)(cid:149)(cid:273)(cid:274)(cid:162) = (cid:38)(cid:244) = +1 = (cid:38)(cid:105)(cid:127)(cid:242)(cid:24)(cid:217)(cid:243)(cid:161)(cid:162) = (cid:38)(cid:260)
2 1)2 1)×2
𝑎𝑛 +1+ 𝑛+
𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛⋅𝑎𝑛 ⋅
𝑎𝑛
𝑛(𝑛+ ⋅
𝑛
𝑇𝑛 1−(𝑛+
𝑛
(cid:63)(cid:165)(cid:166)(cid:124)(cid:125)(cid:161)(cid:108).
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:13)(cid:103){ }(cid:280)(cid:281) =1, + = +1 (cid:38)
1 +1
(cid:227) =1(cid:58)(cid:38) + 𝑎=𝑛 3(cid:38)(cid:124)𝑎 =2𝑎(cid:38)𝑛 𝑎𝑛 2𝑛 ①
2 1 2
(cid:227)𝑛 2(cid:58)(cid:38)𝑎 𝑎+ = 𝑎+3 (cid:38)
+2 +1
(cid:163)𝑛≥ (cid:162)𝑎𝑛 𝑎𝑛=2(cid:38)2𝑛 ②
+2
(cid:13)②(cid:103){−①}(cid:46)(cid:202)𝑎𝑛(cid:250)(cid:132)−(cid:13)𝑎𝑛(cid:24)(cid:38) = + = (cid:38)
1
(cid:13)(cid:103){𝑎𝑛}(cid:46)(cid:202)(cid:250)(cid:135)(cid:13)(cid:24)(cid:38)𝑎2𝑛−=1 𝑎+ 2(𝑛−1=) 2(cid:38)𝑛−1
2
(cid:285)(cid:56)(cid:38)𝑎𝑛(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:7)𝑎(cid:106)2𝑛(cid:133) 𝑎= 2.(𝑛−1) 2𝑛
(cid:289) = +1𝑎1𝑛 = 2 = 𝑎 2 𝑛 × 𝑛1 1 (cid:38)
𝑎𝑛 +1+ 2 𝑛+ 1)2 2 1)2 +1
(cid:202) 𝑏 (cid:120) 𝑛 (cid:13)(cid:103) 𝑎𝑛⋅ { 𝑎𝑛 } ⋅ (cid:46) 𝑎𝑛 (cid:37) 𝑛 (cid:24) (𝑛 (cid:31) + (cid:133) ⋅ 𝑛 (cid:10) 𝑛⋅ 𝑛 −(𝑛+ ⋅ 𝑛
= +𝑏𝑛 + +𝑛 ...+
1 2 3
𝑇𝑛 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏𝑛1 1 1 1 1 1
=2× +2× +2× + +2
1×21 2×22 2×22 3×23 3×23 4×24
1 1
− − − ⋯
×
×2 +1)×2 +1
1 1 𝑛− 1 1 𝑛 1 1 1 1
𝑛 (𝑛
=2× + + +...+
1×21 2×22 2×22 3×23 3×23 4×24 ×2 +1)×2 +1
1 − 1 − − 𝑛− 𝑛
=2× 𝑛 (𝑛
1×21 +1)×2 +1
1 − 𝑛
= (cid:38) (𝑛
1)×2
𝑛
1−(𝑛+
2023 1 2023
(cid:163) > (cid:162) > (cid:38)(cid:124) +1)×2 >2024(cid:38)
2024 1)×2 2024
𝑛 𝑛
𝑇𝑛 1−(𝑛+ (𝑛
(cid:164)(cid:133) +1)×2 , N (cid:298)(cid:299) (cid:46)(cid:176)(cid:236)(cid:141)(cid:176)(cid:236)(cid:38)
𝑛 ∗
(cid:137)(cid:227)(𝑛=8(cid:58)(cid:38)(cid:300)(cid:301)𝑛(cid:280)∈ (cid:281) +𝑛1)×2 >2024(cid:38)
𝑛
𝑛 2023 (𝑛
(cid:202)(cid:120) > , (cid:46)(cid:240)(cid:61)(cid:179)(cid:133)8.
2024
𝑇𝑛 𝑛
(cid:137)(cid:36)(cid:62)(cid:133)(cid:10)8.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15(cid:95)(cid:93)13(cid:28)(cid:94)(cid:93)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:56)·(cid:98)(cid:99)·(cid:100)(cid:63)(cid:101)(cid:102)(cid:94)(cid:53)(cid:59)(cid:251)(cid:103)(cid:291)(cid:13)(cid:103)(cid:46)(cid:90)(cid:104)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106)(cid:10)
(1)4(cid:38)6(cid:38)8(cid:38)10(cid:38)…
1371531
(2) , , , , (cid:140)
2481632
,⋯
(3)0.3(cid:38)0.33(cid:38)0.333(cid:38)0.3333(cid:38)…
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:93)1(cid:94)(cid:93)2(cid:94)(cid:93)3(cid:94)(cid:28)(cid:302)(cid:13)(cid:103)(cid:272)(cid:118)(cid:46)(cid:37)(cid:282)(cid:24)(cid:46)(cid:114)(cid:303)(cid:38)(cid:155)(cid:64)(cid:112)(cid:113)(cid:225)(cid:161)(cid:59)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106).
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:93)1(cid:94)(cid:291)(cid:24)(cid:150)(cid:209)4(cid:170)(cid:304)(cid:46)(cid:135)(cid:13)(cid:38)(cid:164)(cid:222) = + N (cid:95)
+
(cid:93)2(cid:94)(cid:60)(cid:90)(cid:24)(cid:28)(cid:305)(cid:125)(cid:53)(cid:185)21,22,23,24,25 (cid:38)(cid:28)(cid:306)(cid:28)(cid:116)𝑎𝑛(cid:152)(cid:28)2𝑛(cid:305)(cid:307)2,1𝑛(cid:38)∈
2,⋯
(cid:164)(cid:222)(cid:202)(cid:161)(cid:13)(cid:103)(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106)(cid:125)(cid:53)(cid:133) = N (cid:95)
𝑛2 +
−1
𝑎𝑛 𝑛 ,𝑛∈
1
(cid:93)3(cid:94)(cid:164)(cid:133)(cid:13)(cid:103)0.9(cid:38)0.99(cid:38)0.999(cid:38)0.9999(cid:38)…(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106)(cid:133) (cid:38)
10
𝑛
1−
1
(cid:141)(cid:13)(cid:103)0.3(cid:38)0.33(cid:38)0.333(cid:38)0.3333(cid:38)…(cid:46)(cid:60)(cid:90)(cid:24)(cid:308)(cid:150)(cid:56)(cid:309)(cid:13)(cid:103)(cid:68)(cid:69)(cid:24)(cid:46) (cid:38)
3
1 1
(cid:202)(cid:120) = N (cid:95)
3 10 +
𝑎𝑛 (1− 𝑛 ),𝑛∈
1
16(cid:95)(cid:93)15(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:310)(cid:169)·(cid:147)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:94)(cid:148)(cid:149)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:37) (cid:24)(cid:31)(cid:133) ,3 = +1, = (cid:38)(cid:134)(cid:24)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103){ }
+1 2 9
(cid:280)(cid:281) =2(cid:38)(cid:200) , (cid:185)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103).
𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑏𝑛
1 1 2 3
(1)(cid:161)𝑏{ }(cid:31){ }𝑏(cid:46)(cid:105)𝑏(cid:24)−1(cid:7),𝑏(cid:106)(cid:140)
𝑎𝑛 𝑏𝑛3
(2)(cid:51)(cid:283)(cid:10) + + + < .
1 2 26
𝑎𝑏 𝑎𝑏 ⋯ 𝑎𝑏𝑛
1 1
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:93)1(cid:94)(cid:195)(cid:196) (cid:232) (cid:231)(cid:311)(cid:46)(cid:3)(cid:123)(cid:28)(cid:302)(cid:125)(cid:149){ }(cid:150)(cid:201)(cid:24)(cid:133) (cid:38)(cid:7)(cid:152)(cid:133) (cid:46)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)(cid:38)(cid:124)(cid:125)(cid:162) (cid:38)(cid:195)(cid:196)
3 3
(cid:151)(cid:152)(cid:249)(cid:24)(cid:88)(cid:197)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:105) 𝑆 (cid:24) 𝑛 (cid:7) 𝑎 (cid:106) 𝑛 (cid:158)(cid:159)(cid:161)(cid:108)(cid:38)(cid:124)(cid:125)(cid:162) 𝑎(cid:140) 𝑛 𝑎𝑛
2 𝑏3𝑛
(cid:93)2(cid:94)(cid:28)(cid:302)(cid:125)(cid:149){ }(cid:150)(cid:120)(cid:201)(cid:24) = 1 (cid:38)(cid:7)(cid:152)(cid:133) 1 (cid:46)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)(cid:38)(cid:88)(cid:197)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)(cid:161)(cid:31)(cid:7)(cid:106)(cid:28)(cid:302)(cid:51)(cid:283).
1 3 3
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:93)𝑎1 𝑏 (cid:94) 𝑛 (cid:163)3 =𝑎𝑏 +1(cid:162)3 = +1( 2)(cid:38)
+1
(cid:33)(cid:106)(cid:217)(cid:271)(cid:125)(cid:162)3 = 𝑆𝑛 (cid:38)(cid:124) 𝑆+ 𝑛 1= 1 ( 𝑆𝑛 2). 𝑆𝑛−1 𝑛≥
+1 𝑎𝑛 3
(cid:227) =1(cid:58)(cid:38)3 𝑎 = 𝑛 + 𝑎 1 𝑛 (cid:38)(cid:124)3( 𝑎𝑛 + 𝑛 ) ≥= +1(cid:38)
2 1 1 2 1
𝑛 𝑆 𝑆 1 2 𝑎 𝑎1 𝑎
(cid:153)2 = = = (cid:38)(cid:108)(cid:162) = (cid:38)
1 2 3 3 1 3
𝑎 1−3𝑎 1− 𝑎
(cid:200) 2= 1 (cid:38)(cid:125)(cid:149){ }(cid:150)(cid:201)(cid:24)(cid:133) 1 (cid:38)(cid:7)(cid:152)(cid:133) 1 (cid:46)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)(cid:38)
𝑎1 3 3 3
𝑎 𝑎𝑛
(cid:125)(cid:162) = 1 × 1 = 1 .
3 3 𝑛−1 3 𝑛
(cid:171)(cid:151)𝑎(cid:194) 𝑛 (cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:7)(cid:194)(cid:133) 0(cid:38)
(cid:164)(cid:133) , 𝑏𝑛 (cid:185)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)𝑑≥(cid:38)(cid:153) =( )2(cid:38)
1 2 3 1 3 2
(cid:124)2(2𝑏+𝑏 −)1,=𝑏(1+ 2(cid:38)(cid:108)(cid:162) 𝑏=𝑏3(cid:154) =𝑏 −1(cid:93)(cid:293)(cid:294)(cid:94)(cid:38)
(cid:202)(cid:120) =22𝑑+( )𝑑×)3= 𝑑 . 𝑑 −1
(cid:93)2(cid:94) 𝑏 (cid:163) 𝑛 (cid:93)1(cid:94)(cid:162) 𝑛−1 = 3𝑛 = −11 (cid:38)(cid:153) +1= 1 3 3𝑛 +2 = 1 3 (cid:38)
3 3𝑛−1 𝑎𝑏𝑛 1 3
𝑎𝑏𝑛 𝑎3𝑛−1
2 3
𝑎𝑏𝑛 3 3𝑛−1
(cid:125)(cid:149){ }(cid:150)(cid:120)(cid:201)(cid:24) = 1 (cid:38)(cid:7)(cid:152)(cid:133) 1 (cid:46)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)(cid:38)
1 3 3
𝑎𝑏𝑛 𝑎𝑏
2 5
(cid:153) + + + = 1 + 1 + + 1
1 2 3 3 3 3𝑛−1
= 𝑎𝑏1 3 2 𝑎𝑏1 3 3𝑛 ⋯ = 3𝑎𝑏𝑛 1 < 3 (cid:38) ⋯
1− 1 3 26 3 3𝑛 26
3
1− 1− 3
(cid:202)(cid:120) + + + < .
1 2 26
𝑎𝑏 𝑎𝑏 ⋯ 𝑎𝑏𝑛
17(cid:95)(cid:93)15(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:142)(cid:143)(cid:312)(cid:248)·(cid:146)(cid:147)(cid:94)(cid:148)(cid:149){ }(cid:150)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:38){ }(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)(cid:38)(cid:200){ }(cid:46)(cid:37) (cid:24)(cid:31)(cid:133) (cid:38)2 =
1
=2(cid:38) =5( )(cid:38)(cid:54) =4( 𝑎)𝑛(cid:38) = +𝑏2𝑛(cid:129)(cid:33)(cid:104)(cid:273)(cid:274)(cid:249)(cid:313)(cid:20)𝑏(cid:84)𝑛(cid:249)(cid:90)(cid:104)𝑛(cid:38)(cid:314)(cid:185)𝑆(cid:251)𝑛 (cid:309)(cid:315)𝑎 (cid:21)
1 5 4 3 5 4 3 +1
(cid:46)𝑏 (cid:108)(cid:36). 𝑎 𝑎 −𝑎 ①𝑏 𝑏 −𝑏 ②𝑏𝑛 𝑆𝑛
(1)(cid:161)(cid:13)(cid:103){ }(cid:31){ }(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106)(cid:140)
(2)(cid:171)(cid:13)(cid:103)
𝑎𝑛 (cid:46)(cid:37)𝑏𝑛
(cid:24)(cid:31)(cid:133) (cid:38)(cid:161) .
𝑎𝑛
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:110)𝑏(cid:111) 𝑛 (cid:93)1(cid:94) 𝑛 (cid:195)(cid:196)(cid:151) 𝑇 (cid:194) 𝑛 (cid:13)(cid:103)(cid:118) 𝑇𝑛 (cid:182)(cid:125)(cid:161)(cid:162)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106)(cid:38)(cid:155)(cid:64)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103)(cid:118)(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:273)(cid:274) (cid:103)(cid:160)(cid:128)
𝑎𝑛 ①②(cid:295)(cid:108)(cid:162)(cid:7)(cid:152)(cid:125)(cid:162)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106)(cid:140)
𝑏𝑛 2
(cid:93)2(cid:94)(cid:155)(cid:64)(cid:265)(cid:316)(cid:217)(cid:271)(cid:225)(cid:161)(cid:59) = .
2
𝑛+
𝑇𝑛 2− 𝑛
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:93)1(cid:94)(cid:171)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:7)(cid:194)(cid:133) (cid:38)
2 =2(cid:38) =5( )(cid:38) 𝑎𝑛 𝑑
1 5 4 3
∵ 𝑎+ =5𝑎( +𝑎 −𝑎 )(cid:38)
1 1 1
∴𝑎 =4𝑑=1. 𝑎 3𝑑−𝑎 −2𝑑
1
∴𝑎 =𝑑1+( )×1= ( ).
∗
∴(cid:171)𝑎(cid:151)𝑛 (cid:152)(cid:13)(cid:103)𝑛{−1}(cid:46)(cid:7)(cid:152)(cid:133)𝑛 𝑛(cid:38)∈𝐍
(cid:172)(cid:20)(cid:273)(cid:274) (cid:38)𝑏𝑛 =4( 𝑞 )(cid:38)
5 4 3
(cid:163) =2(cid:38)①(cid:200) 𝑏=4( 𝑏 −𝑏)(cid:38)
1 5 4 3
(cid:162)𝑏 4=4 𝑏 3 𝑏2−(cid:38)𝑏
1 1 1
𝑏2 𝑞 +4𝑏=𝑞0(cid:38)−𝑏(cid:108)𝑞(cid:162) =2.
∴(cid:202)𝑞(cid:120)−{4𝑞}(cid:150)(cid:201)(cid:24)(cid:133)2(cid:38)(cid:7)𝑞(cid:152)(cid:133)2(cid:46)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103).
(cid:137) =𝑏𝑛2×2 =2 ( *).
𝑛−1 𝑛
(cid:172)𝑏(cid:20)𝑛(cid:273)(cid:274) (cid:38) = 𝑛∈+𝑁2(cid:38)
+1
(cid:244) =1(cid:38)②(cid:162) 𝑏=𝑛 +𝑆2𝑛= +2=4(cid:38)
2 1 1
𝑛 𝑏 𝑆 𝑏
(cid:7)(cid:152) = 2=2(cid:38)
𝑏1
∴(cid:13)(cid:103) 𝑞 { } 𝑏 (cid:150)(cid:201)(cid:24)(cid:133)2(cid:38)(cid:7)(cid:152)(cid:133)2(cid:46)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103).
(cid:209)∴ (cid:141) 𝑏=𝑛2×2 =2 ( *).
𝑛−1 𝑛
𝑏𝑛
1 2 3𝑛∈𝑁
(cid:93)2(cid:94)(cid:164)(cid:133) = + + + + + (cid:38)
2 22 23 2 2
𝑛−1 𝑛
𝑇𝑛 ⋯ 𝑛−1 𝑛
1 1 2 3
(cid:202)(cid:120) = + + + + + (cid:38)
2 22 23 24 2 2 +1
𝑛−1 𝑛
𝑇𝑛 ⋯ 𝑛 𝑛
1 1 1 1 1
(cid:33)(cid:106)(cid:217)(cid:271)(cid:38)(cid:162) = + + + + (cid:38)
2 2 22 23 2 2 +1
𝑛
𝑇𝑛 ⋯ 𝑛 − 𝑛
1 1
(cid:124) = (cid:38)
2 2 2 +1
𝑛
𝑇𝑛 1− 𝑛 − 𝑛
2
(cid:202)(cid:120) = .
2
𝑛+
18(cid:95) 𝑇 (cid:93) 𝑛 17 2 (cid:28) − (cid:94)(cid:93) 𝑛 2024·(cid:297)(cid:317)(cid:86)(cid:318)·(cid:97)(cid:147)(cid:94)(cid:148)(cid:149)(cid:134)(cid:24)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:37) (cid:24)(cid:31)(cid:133) (cid:38)(cid:280)(cid:281)2 = 2+ .
(1)(cid:161)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106)(cid:140) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛−2
𝑎𝑛(2)(cid:171) = , (cid:133)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:37) (cid:24)(cid:31).(cid:172) 3 ( 3) (cid:68)(cid:313)(cid:22)(cid:46) *(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:38)(cid:161)k(cid:46)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181).
2 2
𝑎𝑛 𝑘 𝑛+
(cid:107)(cid:108)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:109)(cid:110) 𝑎 (cid:111) 𝑛 𝑇 (cid:93) 𝑛 1(cid:94)(cid:158)(cid:64)𝑏(cid:7) 𝑛 (cid:106)(cid:38) 𝑛 (cid:148)(cid:149) (cid:161) −𝑇 (cid:124) 𝑛 (cid:125) ≤ (cid:140) 𝑆𝑛 𝑛∈𝑁
(cid:93)2(cid:94)(cid:161)(cid:59) (cid:38)(cid:63)(cid:158)(cid:64)(cid:265)(cid:316)(cid:217)(cid:271)(cid:161)(cid:59)𝑆𝑛(cid:38)𝑎(cid:63)𝑛(cid:88)(cid:197)(cid:319)(cid:13)(cid:173)(cid:174)(cid:198)(cid:125)(cid:108)(cid:95)
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)𝑏(cid:111)𝑛 (cid:93)1(cid:94)2 = 2+ 𝑇𝑛 (cid:38)(cid:200) >0(cid:38)
(cid:227) =1(cid:58)(cid:38)(cid:165)(cid:166) (cid:162)𝑆𝑛 =𝑎2𝑛(cid:140)𝑎𝑛−2① 𝑎𝑛
1
(cid:227)𝑛 2(cid:58)(cid:38)2 ①= 𝑎2 + .
𝑛-≥(cid:162)2 =𝑆𝑛−21 2𝑎𝑛−+1 𝑎𝑛−1−2(cid:38)②(cid:320)(cid:15)(cid:162) + = 2 2 =( )( + )(cid:38)
(cid:164)①(cid:133)② >0𝑎(cid:38)𝑛 (cid:202)𝑎(cid:120)𝑛−𝑎𝑛−1 𝑎=𝑛−1𝑎( 𝑛−1 2)(cid:38)(cid:202)(cid:120)𝑎(cid:13)𝑛(cid:103){𝑎𝑛− } 1(cid:133)(cid:151)𝑎𝑛(cid:194)−(cid:13)𝑎𝑛(cid:103)−1(cid:38)(cid:7)𝑎(cid:194)𝑛−(cid:133)𝑎𝑛1−(cid:38)1(cid:202)𝑎(cid:120)𝑛 𝑎=𝑛−1+1.
𝑎𝑛 1 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 1 𝑛≥1 1 𝑎𝑛 1 𝑎𝑛 𝑛
(cid:93)2(cid:94) = (cid:38) =2× +3× +4× + +( +1) (cid:38)
2 +1 22 23 24 2 +1
𝑛+
𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 ⋯ 𝑛 𝑛 ③
1 1 1 1 1 1
=2× +3× +4× + + × +( +1) (cid:38)
2 23 24 25 2 +1 2 +2
𝑇𝑛 ⋯ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 ④
1 1 1 1 1 1
- (cid:162) =2× + + + + ( +1) (cid:38)
2 22 23 24 2 +1 2 +2
③ ④ 𝑇 3 𝑛 3 3 ⋯ ( 3) 𝑛 − 𝑛 𝑛 3) ( 3)
(cid:202)(cid:120) = (cid:38)(cid:202)(cid:120) (cid:38)(cid:200) = (cid:38)(cid:16)(cid:267)(cid:162) (cid:38)
2 2 +1 2 2 2 +2
𝑛+ 𝑘 𝑛+ 𝑛(𝑛+ 𝑛 𝑛+
𝑇𝑛 − 𝑛 −𝑇𝑛≤ 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑘≥ 𝑛
( 3) 2
(cid:244) = , = (cid:38)(cid:202)(cid:120) < > > > (cid:38)
2 +2 +1 2 +3 1 2 3 4
𝑛 𝑛+ 4−𝑛−𝑛
𝑐𝑛 𝑛 𝑐𝑛 −𝑐𝑛 𝑛 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 ⋯
5 5
(cid:202)(cid:120) (cid:46)(cid:240)(cid:236)(cid:179)(cid:133) = (cid:38)(cid:202)(cid:120) .
2 8 8
𝑐𝑛 𝑐 𝑘≥
(cid:202)(cid:120) (cid:46)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:133) 5 ,+ .
8
19(cid:95)(cid:93) 𝑘 17(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:98)(cid:99)∞ ·(cid:147)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:94)(cid:118)(cid:182)(cid:10)(cid:172)(cid:68)(cid:276)(cid:313)(cid:22)(cid:46) *(cid:38)(cid:13)(cid:103){ }(cid:280)(cid:281) >1(cid:38)(cid:153)(cid:321)(cid:129)(cid:104)(cid:13)
+1
(cid:103)(cid:150)“ (cid:13)(cid:103)”(cid:95) 𝑛∈𝑁 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛
(1)(cid:148)(cid:149)𝑇(cid:201)(cid:24)(cid:133)1(cid:46)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103){ }(cid:150)“ (cid:13)(cid:103)”(cid:38)(cid:200) + + + < 2+ (cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:38)(cid:161) (cid:46)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:95)
1 2 2
(2)(cid:148)(cid:149)(cid:291)(cid:24)(cid:322)(cid:133)(cid:134)(cid:320)(cid:13)(cid:46)(cid:151)(cid:152)
𝑎𝑛
(cid:13)(cid:103){
𝑇
}(cid:150)“ (cid:13)(cid:103)
𝑎
”(cid:38)(cid:13)
𝑎
(cid:103)
⋅⋅⋅
(cid:292)
𝑎
(cid:150)
𝑛
“
𝑛
(cid:13)(cid:103)
𝑛
”(cid:95)(cid:289) =
+𝑎1(cid:38)(cid:172)(cid:13)(cid:103){
}(cid:150)“ (cid:13)
𝑎 2 𝑛 𝑎𝑛
(cid:103)”(cid:95)
𝑎𝑛 𝑇 𝑇 𝑏𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑇
(cid:161)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106)(cid:95)
① 𝑏𝑛 1 1 1
(cid:150)(cid:323)(cid:324)(cid:54)(cid:134)(cid:320)(cid:13) ( < < )(cid:38)(cid:239) , , (cid:185)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:325)(cid:172)(cid:324)(cid:54)(cid:38)(cid:161)(cid:59) (cid:46)(cid:202)(cid:250)(cid:179)(cid:140)(cid:172)(cid:292)(cid:324)(cid:54)(cid:38)(cid:326)(cid:270)(cid:283)(cid:15)
(cid:163)②(cid:95) 𝑟,𝑠,𝑡 𝑟 𝑠 𝑡 𝑏𝑟𝑏𝑠𝑏𝑡 𝑟,𝑠,𝑡
(cid:107)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:93)1(cid:94)(cid:163)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103){ }(cid:150)“ (cid:13)(cid:103)”(cid:38)(cid:125)(cid:162)(cid:84)(cid:7)(cid:194) >1(cid:38)(cid:155)(cid:64)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:46)(cid:37) (cid:24)(cid:31)(cid:7)(cid:106)(cid:43)(cid:279)(cid:292)(cid:151)(cid:106)
(cid:16)(cid:133)( ) < (cid:68)(cid:313)(cid:22)(cid:46) 𝑎*(cid:184)𝑛 (cid:185)(cid:186)𝑇(cid:38)(cid:83)(cid:68) (cid:46)(cid:180)(cid:181)(cid:261)(cid:262)𝑑(cid:28)(cid:223)(cid:284)(cid:252)(cid:124)(cid:125)(cid:162) (cid:46)(cid:178)(cid:179)(cid:180)𝑛 (cid:181)(cid:140)
2
𝑛−1 𝑑 2𝑛 𝑛∈𝑁 𝑑 𝑎(cid:93)2(cid:94) (cid:28)(cid:116)(cid:161)(cid:13)(cid:103){ }, +1 (cid:249)(cid:46)(cid:240)(cid:61)(cid:24)(cid:38)(cid:83)(cid:195)(cid:196){ }(cid:150)“ (cid:13)(cid:103)”(cid:38)(cid:13)(cid:103) (cid:292)(cid:150)“ (cid:13)(cid:103)”(cid:161) (cid:46)
+1 1
2 2 2
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛
① 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 − 𝑎𝑛 𝑇 𝑇 𝑎 ,𝑞
3
(cid:179)(cid:140)(cid:83)(cid:28)(cid:223)(cid:284)(cid:252)(cid:91)(cid:28)(cid:116)(cid:245)(cid:246)(cid:13)(cid:103){ }(cid:150)(cid:323)(cid:133)“ (cid:13)(cid:103)”(cid:38)(cid:125)(cid:162) = =3(cid:38)(cid:124) = ‘
1 𝑛
𝑏𝑛 𝑇 𝑎 1,𝑞 𝑏𝑛 𝑛
(cid:195)(cid:196)(cid:21)(cid:22)(cid:162)(cid:221)(cid:3)(cid:276) (cid:46)(cid:160)(cid:128),(cid:91)(cid:255)(cid:256) , (cid:46)(cid:236)(cid:61)(cid:3)(cid:123)(cid:38)(cid:28)(cid:223)(cid:284)(cid:252)(cid:38)(cid:28)(cid:116)(cid:161)(cid:162) (cid:46)(cid:179)(cid:38)(cid:83)(cid:68)(cid:88)(cid:327)(cid:261)(cid:262)(cid:245)
3 3
𝑟 𝑠−1
𝑟 𝑠−1
②(cid:246)(cid:124)(cid:125)(cid:162)(cid:59)(cid:88)(cid:252). 𝑟,𝑠,𝑡 𝑟,𝑠,𝑡
(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:127)(cid:128)(cid:111)(cid:93)1(cid:94)(cid:164)(cid:133)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103){ }(cid:150)“ (cid:13)(cid:103)”(cid:38)(cid:202)(cid:120)(cid:84)(cid:7)(cid:194) >1(cid:95)
𝑎𝑛 𝑇( ) 𝑑
(cid:164)(cid:133) =1(cid:38)(cid:202)(cid:120) + + + = + (cid:38)
1 1 2 2
𝑛 𝑛−1
𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎𝑛 𝑛 𝑑
(cid:163)(cid:21)(cid:22)(cid:38)(cid:162) + ( ) < 2+ (cid:68)(cid:313)(cid:22)(cid:46) *(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:38)
2
𝑛 𝑛−1
(cid:124)( ) <
𝑛
(cid:68)(cid:313)(cid:22)
𝑑
(cid:46)
𝑛 *𝑛
(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:95)
𝑛∈𝑁
(cid:227) 𝑛=−11(cid:58)𝑑(cid:38)(2𝑛 ) < 𝑛(cid:184)∈(cid:185)𝑁(cid:186)(cid:38)(cid:137) >1(cid:140)
𝑛 𝑛−1 𝑑 2𝑛 𝑑
(cid:227) 2(cid:58)(cid:38)( ) < (cid:68)(cid:313)(cid:22)(cid:46) *(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:38)(cid:124) < (cid:68)(cid:313)(cid:22)(cid:46) *(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:38)
2𝑛
𝑛≥ 𝑛−1 𝑑 2𝑛 𝑛∈𝑁 𝑑 𝑛−1 𝑛∈𝑁
2
(cid:164)(cid:133) =2+ >2(cid:38)(cid:202)(cid:120) 2(cid:95)
2𝑛
(cid:285)(cid:56)𝑛(cid:38)−
1
1
<
𝑛
2
−(cid:38)1 𝑑≤
(cid:202)(cid:120)2< 𝑑=≤1+ 3(cid:38)
2
(cid:124) (cid:46)(cid:178)𝑎(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:150)𝑑(2≤,3](cid:95)
2
(cid:93)𝑎2(cid:94) (cid:171)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:7)(cid:152)(cid:133) (cid:38)(cid:153) = (cid:38)
1
𝑛−1
(cid:164)(cid:133)“①(cid:13)(cid:103)”{ }(cid:46)(cid:60)𝑎(cid:90)𝑛(cid:24)(cid:322)(cid:133)(cid:134)(cid:320)𝑞(cid:13)(cid:38)𝑎(cid:163)𝑛 𝑎 𝑞 >1(cid:162) > (cid:38)(cid:202)(cid:120) >1(cid:200) *(cid:38)
+1 +1
(cid:202)(cid:120)(cid:54)𝑇(cid:13)(cid:103){ 𝑎𝑛 }(cid:249)(cid:38)“ ”(cid:133)(cid:240)(cid:61)(cid:24)𝑎𝑛(cid:38)−𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑞 𝑞∈𝑁
+1 2 1
(cid:54)(cid:13)(cid:103) +1 𝑎𝑛 (cid:249) −𝑎 (cid:38) 𝑛 “ 2 1𝑎 ”(cid:133) − (cid:240) 𝑎 (cid:61)(cid:24)(cid:95)
2 2 2 2
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑎
(cid:172){ }(cid:150)“ (cid:13)−(cid:103)”(cid:38)(cid:153)(cid:206)(cid:75) − >1(cid:38)(cid:124) ( )>1(cid:38)
2 1 1
(cid:172)(cid:13) 𝑎𝑛 (cid:103) 𝑇 (cid:292)(cid:150)“ (cid:13)(cid:103)”(cid:38)(cid:153) 𝑎 −2𝑎 1 1(cid:38)(cid:124) 𝑎 ( 𝑞−1 ) 2(cid:38)
2 2 2 1
𝑎𝑛 𝑎 𝑎
(cid:164)(cid:133)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:60) 𝑇 (cid:90)(cid:24)(cid:322)(cid:133)(cid:134)(cid:320) − (cid:13) ≤ (cid:38)(cid:202)(cid:120) 𝑎 ( 𝑞−1 )= ≤ 2(cid:38)
1
(cid:202)(cid:120) = 𝑎𝑛 =3(cid:154) = =2(cid:95) 𝑎 𝑞−1
1 1
𝑎 1,𝑞 𝑎 2,𝑞 3
(cid:227) = =3(cid:58)(cid:38) =3 (cid:38)(cid:153) = (cid:38)
1 𝑛
𝑛−1
𝑎 1,𝑞 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛
(cid:244) = ( *)(cid:38)(cid:153) = 3 +1 3 =3 (cid:38)
+1 𝑛1 𝑛 ( 1)
2𝑛−1
𝑛
(cid:187) 𝑐𝑛 𝑏𝑛 = − 3 𝑏𝑛 + 𝑛 1 ∈𝑁 1 𝑐𝑛 3 𝑛+ −𝑛 = 3 ⋅ . 4 𝑛 𝑛 2 + 2 >0(cid:38)
+1 ( 1)( 2) ( 1) 𝑛1 ( 2)
𝑛 2𝑛+ 𝑛 2𝑛−1 𝑛 +
𝑐𝑛 −𝑐𝑛 ⋅ 𝑛+ 𝑛+ − ⋅𝑛 𝑛+ 𝑛+ 𝑛 𝑛+(cid:202)(cid:120){ }(cid:133)(cid:175)(cid:176)(cid:13)(cid:103)(cid:38)
𝑐𝑛 9 3
(cid:187) = = = >1(cid:38)
1 2 1 2 2
(cid:202) 𝑐 (cid:120)(cid:68)(cid:276) 𝑏 (cid:313) −𝑏 (cid:22)(cid:46) −3 *(cid:38)(cid:308)(cid:250) >1(cid:38)(cid:124) >1(cid:38)
+1
(cid:202)(cid:120)(cid:13)(cid:103){ }(cid:133)“𝑛∈(cid:13)𝑁(cid:103)”(cid:38)(cid:119)(cid:197)𝑐𝑛(cid:21)(cid:22)(cid:95) 𝑏𝑛 −𝑏𝑛
(cid:227) = 𝑏 = 𝑛 2(cid:58) 𝑇 (cid:38) =2 (cid:38)(cid:153) = 2 +1 (cid:38)
1
𝑛
𝑛
𝑎 2,𝑞 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛
8
(cid:164)(cid:133) = =0<1(cid:38)(cid:202)(cid:120)(cid:13)(cid:103){ }(cid:292)(cid:150)“ (cid:13)(cid:103)”(cid:38)(cid:292)(cid:197)(cid:21)(cid:22)(cid:95)
2 1 2
𝑏 −𝑏 −4 𝑏𝑛 𝑇
3
(cid:285)(cid:56)(cid:202)(cid:286)(cid:38)(cid:13)(cid:103){ }(cid:46)(cid:105)(cid:24)(cid:7)(cid:106)(cid:133) = (cid:140)
𝑛
𝑏𝑛 𝑏𝑛
1
𝑛
1 1
(cid:328)(cid:171)(cid:324)(cid:54)(cid:134)(cid:320)(cid:13) ( < < )(cid:38)(cid:239) , , (cid:185)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:38)
② 2 1 1 𝑟,𝑠,𝑡 𝑟 𝑠 𝑡 𝑏𝑟𝑏𝑠𝑏𝑡
(cid:153) = + (cid:38)(cid:124) = + (cid:95)
3 3 3
2𝑠 𝑟 𝑡
𝑏𝑠 𝑏𝑟 𝑏𝑡 𝑠 𝑟 𝑡
1
(cid:163)(cid:276) = <0(cid:38)(cid:202)(cid:120)(cid:13)(cid:103) (cid:133)(cid:175)(cid:271)(cid:13)(cid:103)(cid:95)
3 +1 3 3 +1 3
𝑛+ 𝑛 1−2𝑛 𝑛
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
−
(cid:164)(cid:133) < (cid:38)(cid:202)(cid:120) (cid:200) (cid:329)(cid:307)(cid:133)2(cid:38)
𝑟 𝑠 𝑟≤𝑠−1 𝑠
(cid:202)(cid:120) (cid:95)
3 3
𝑟 𝑠−1
𝑟 𝑠−1
≥
3( )
(cid:330)(cid:149) = = (cid:38)
3 3 3 3 3
𝑠−1 2𝑠 𝑠−1 2𝑠 𝑠−3
𝑠−1 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠
− −
(cid:227) 3(cid:58)(cid:38) (cid:38)
3 3 3
𝑟 𝑠−1 2𝑠
𝑟 𝑠−1 𝑠
𝑠≥ ≥ ≥
(cid:187) >0(cid:38)(cid:202)(cid:120) < + (cid:38)(cid:129)(cid:232) = + (cid:331)(cid:332)(cid:38)(cid:292)(cid:197)(cid:21)(cid:22)(cid:140)
3 3 3 3 3 3 3
𝑡 2𝑠 𝑟 𝑡 2𝑠 𝑟 𝑡
𝑡 𝑠 𝑟 𝑡 𝑠 𝑟 𝑡
4 1 1
(cid:227) =2(cid:58)(cid:38) =1(cid:38)(cid:202)(cid:120) = + (cid:38)(cid:124) = (cid:38)
9 3 3 3 9
𝑡 𝑡
𝑡 𝑡
𝑠 𝑟
1
(cid:163)(cid:276) (cid:133)(cid:175)(cid:271)(cid:13)(cid:103)(cid:38)(cid:137) = (cid:250)(cid:333)(cid:90)(cid:108)(cid:38)(cid:124) =3(cid:95)
3 3 9
𝑛 𝑡
𝑛 𝑡
𝑡
1 1 1
(cid:285)(cid:56)(cid:38)(cid:324)(cid:54)(cid:134)(cid:320)(cid:13) = = =3(cid:38)(cid:239) , , (cid:185)(cid:151)(cid:194)(cid:13)(cid:103)(cid:95)
𝑟 1,𝑠 2,𝑡 𝑏𝑟𝑏𝑠𝑏𝑡
