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第四章 单元素养水平监测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．)
1．函数f(x)＝＋log (4－x)的定义域为( )
3
A．{x|1<x<4} B．{x|1≤x≤4}
C．{x|1<x≤4} D．{x|1≤x<4}
2．有一组实验数据如下表所示：
t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0
v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(
)
A．v＝0.5t B．v＝0.5(t2－1)
C．v＝log t D．v＝log t
0.5 2
3．已知ab＝－5，则a＋b的值是( )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
4．函数f(x)＝－x5－x＋3的零点所在区间为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(0，1) D．(－1，0)
5．已知a＝log 2，b＝30.3，c＝0.32，则( )
0.3
A．a<c<b B．a<b<c
C．c<a<b D．b<c<a
6．已知函数f(x)＝a＋的图象关于原点对称，则a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－3
7．函数f(x)＝log (|x|－1)的图象为( )
2
8．某地有一片长期被污染水域，经过治理后生态环境得到恢复，在此水域中生活的鱼
类数量可以采用阻滞增长模型x(t)＝进行预测，其中x(t)为t年后的鱼类数量，r为自然增长
率，M(单位：万条)为饱和量，x(单位：万条)为初始值．已知2022年底该水域的鱼类数量
0
为20万条，以此为初始值，若自然增长率为0.14，饱和量为1 600万条，那么预计2032年底该水域的鱼类数量约为(参考数据e1.4≈4)( )
A．68万条 B．72万条
C．77万条 D．83万条
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，
有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得0
分．)
9．关于函数f(x)＝x3－2x＋1的零点，下列选项说法正确的是( )
A．(1，0)是f(x)的一个零点
B．f(x)在区间(－2，－1)内存在零点
C．f(x)至少有2个零点
D．f(x)的零点个数与x3－2x＋1＝0的解的个数不相等
10．已知log a<log b，则下列不等式一定成立的是( )
\f(1,2 \f(1,2
A．> B．()a<()b
C．ln (a－b)>0 D．3a－b>1
11．图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入
的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取
了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是(
)
A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
12．函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)
B．不论a为何值，函数f(x)既没有最小值，也没有最大值
C．不论a为何值，函数f(x)的图象与x轴都有交点
D．存在实数a，使得函数f(x)为R上的减函数
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知函数 f(x)＝()ax，其中 a 为常数，且函数的图象过点(－1，5)，则 a＝
________．
14．已知函数f(x)＝，则f(f())＝________．
15．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝
log (－x2＋2x＋3)的单调递减区间为________．
a
16．函数f(x)＝，函数f(x)有________个零点，若函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，
则实数m的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．)
17．(本小题10分)计算下列两个小题：
(1)eln 3＋2lg ＋lg 15＋lg ；
(2)80.25×＋(×)6＋π0.18．(本小题12分)己知f(x)＝.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调区间；
(3)若函数y＝f(x)－m有两个零点，求实数m的取值范围．
19．(本小题12分)已知函数f(x)＝log (x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点P.
a
(1)求P的坐标；
(2)若f(x)在[2，4]上的图象始终在直线y＝－x＋8的下方，求a的取值范围．
20．(本小题12分)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象经过点(2，)，求f(x)在区间[－1，1]上的值域；
(2)求使得不等式f(x2－x)>1成立的实数x的取值范围．
21．(本小题12分)Logistic模型是常用的预测区域人口增长的模型之一，其形式为 P
t
＝，其中P是间隔年份t时的人口数量，K是有关人口极限规模的待定参数，r、C是有关
t
人口增长率和初始人口数量的特定参数，已知某地区的人口数据如下表；
时间 2010年 2015年 2020年 …
间隔年份t(单位：年) 0 5 10 …
人口数量P(单位：万) 80 86.368 92.076 …
t
该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算，发现 Logistic函数P
t
＝能比较好地描述2010年起该地区的人口数量P(单位：万)与间隔年份t(单位：年)的关系．
t
(1)请估计该地区2030年的人口数量(结果保留3位小数)；
(2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a(结果保留3位小数).
参考数据：e－0.5≈0.607，e－1≈0.368，()0.1≈1.010.22．(本小题12分)已知函数f(x)＝log x.
2
(1)若a>b>0，证明：<f()；
(2)若g(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，g(x)＝f(x＋2)－1.
(ⅰ)求g(x)的解析式；
(ⅱ)求方程2g(x)－x＝0的所有根.
