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第四章 单元素养水平监测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．)
1．函数f(x)＝＋log (4－x)的定义域为( )
3
A．{x|1 B．()a<()b
C．ln (a－b)>0 D．3a－b>1
11．图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入
的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取
了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是(
)
A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
12．函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)
B．不论a为何值，函数f(x)既没有最小值，也没有最大值
C．不论a为何值，函数f(x)的图象与x轴都有交点
D．存在实数a，使得函数f(x)为R上的减函数
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知函数 f(x)＝()ax，其中 a 为常数，且函数的图象过点(－1，5)，则 a＝
________．
14．已知函数f(x)＝，则f(f())＝________．
15．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝
log (－x2＋2x＋3)的单调递减区间为________．
a
16．函数f(x)＝，函数f(x)有________个零点，若函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，
则实数m的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．)
17．(本小题10分)计算下列两个小题：
(1)eln 3＋2lg ＋lg 15＋lg ；
(2)80.25×＋(×)6＋π0.18．(本小题12分)己知f(x)＝.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调区间；
(3)若函数y＝f(x)－m有两个零点，求实数m的取值范围．
19．(本小题12分)已知函数f(x)＝log (x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点P.
a
(1)求P的坐标；
(2)若f(x)在[2，4]上的图象始终在直线y＝－x＋8的下方，求a的取值范围．
20．(本小题12分)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象经过点(2，)，求f(x)在区间[－1，1]上的值域；
(2)求使得不等式f(x2－x)>1成立的实数x的取值范围．
21．(本小题12分)Logistic模型是常用的预测区域人口增长的模型之一，其形式为 P
t
＝，其中P是间隔年份t时的人口数量，K是有关人口极限规模的待定参数，r、C是有关
t
人口增长率和初始人口数量的特定参数，已知某地区的人口数据如下表；
时间 2010年 2015年 2020年 …
间隔年份t(单位：年) 0 5 10 …
人口数量P(单位：万) 80 86.368 92.076 …
t
该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算，发现 Logistic函数P
t
＝能比较好地描述2010年起该地区的人口数量P(单位：万)与间隔年份t(单位：年)的关系．
t
(1)请估计该地区2030年的人口数量(结果保留3位小数)；
(2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a(结果保留3位小数).
参考数据：e－0.5≈0.607，e－1≈0.368，()0.1≈1.010.22．(本小题12分)已知函数f(x)＝log x.
2
(1)若a>b>0，证明：0时，g(x)＝f(x＋2)－1.
(ⅰ)求g(x)的解析式；
(ⅱ)求方程2g(x)－x＝0的所有根.
