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课时作业(二) 空间向量的数量积运算
[练基础]
1．已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模长均为1，则|a＋b－2c|＝( )
A． B．
C．2 D．
2.
如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于 1，点E，F，G分别是AB，
AD，DC的中点，则FG·AB＝( )
A． B．
C． D．
3．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角为
( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
4．已知平行六面体ABCD ABC D 的各棱长均为1，∠AAB＝∠AAD＝45°，∠DAB
1 1 1 1 1 1
＝90°，则|BD|＝( )
1
A． B．－1
C． D．＋1
5．(多选)已知长方体ABCD ABC D，则下列向量的数量积可以为0的是( )
1 1 1 1
A． · B． ·AC
⃗AD ⃗B C ⃗BD
1 1 1
C．AB· D． ·BC
⃗AD ⃗BD
1 1
6．已知空间中单位向量a、b，且〈a，b〉＝60°，则|a－3b|的值为________．
7．在棱长为1的正方体ABCD ABC D 中， · ＝________．
1 1 1 1 ⃗AC ⃗A B
1 1 1
8.如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记OA＝a，OB
＝b，OC＝c，
(1)用向量a，b，c表示向量DE；
(2)求证DE⊥AB.
[提能力]
9．(多选)四面体A BCD中，各棱长均为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，
则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2BA·AC B．2AD·BD
C．2EF·CB D．2FG·AC
10．(多选)已知ABCD ABC D 为正方体，则下列说法正确的有( )
1 1 1 1
A．( ＋ ＋ )2＝3(AB)2
⃗A A ⃗A D ⃗A B 1 1
1 1 1 1 1
B． ·( － )＝0
⃗A C ⃗A B ⃗A A
1 1 1 1
C． 与 的夹角为60°
⃗A B ⃗AD
1 1
D．在面对角线中与直线AD所成的角为60°的有8条
1
11．如图，平行六面体ABCD ABC D 中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两
1 1 1 1
两夹角为60°，则AC 的长为________；异面直线BD 与AC夹角的余弦值为________．
1 1
12.如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，AB＝AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝45°，
∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求BB′·AC′；
(2)求线段AC′的长．
[培优生]
13．(多选)定义空间两个向量的一种运算a⊗b＝|a|·|b|sin 〈a，b〉，则关于空间向量上
述运算的以下结论中恒成立的有( )
A．a⊗b＝b⊗a
B．λ(a⊗b)＝(λa)⊗b
C．(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)
D．若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a⊗b＝|xy－xy|
1 1 2 2 1 2 2 1
