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课时作业 44 函数模型的应用
基础强化
1.从2015年到2023年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2023年
该企业单位生产总值能耗降低了20%.如果这8年平均每年降低的百分率为x，那么x满足
的方程是( )
A．8x＝0.2 B．8(1－x)＝0.8
C．x8＝0.2 D．(1－x)8＝0.8
2．人类已经进入大数据时代．目前，数据量已经从TB(1TB＝1 024GB)级别跃升到
PB(1PB＝1 024TB)，EB(1EB＝1 024PB)乃至ZB(1ZB＝1 024EB)级别．国际数据公司(IDC)
统计了从2008年至2011年全球产生的数据量如下表：
时间/年 2008 2009 2010 2011
数据量/ZB 0.49 0.8 1.2 1.82
增长比例 1.63 1.50 1.52
研究表明，从2008年起，全球产生的数据量y(单位：ZB)与时间x(单位：年)的关系满
足函数y＝abx，记b ＝×(0.49＋0.8＋1.2＋1.82)，b ＝×(1.63＋1.50＋1.52)，则下列最符合
1 2
上述数据信息的函数是( )
A．y＝0.49b B．y＝0.49b
C．y＝0.49b D．y＝0.49b
3．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据
建立了某地区某种疾病累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K
为最大确诊病例数．当I(t)＝0.8K时，则t约为(ln 4≈1.39)( )
A.48 B．72 C．63 D．59
4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知
该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog (x＋1)，若该动物在引入一年后
2
的数量为180只，则15年后它们发展到( )
A．300只 B．400只 C．600只 D．720只
5．(多选)甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购
买的股票先经历了一次涨停(上涨10%)，又经历了一次跌停(下跌10%)，乙购买的股票先经
历了一次跌停(下跌10%)，又经历了一次涨停(上涨10%)，则甲，乙的盈亏情况(不考虑其
他费用)为( )
A．甲、乙都亏损 B．甲盈利，乙亏损
C．甲亏损，乙盈利 D．甲、乙亏损的一样多
6．(多选)常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数
据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①y＝5＋
2lg x；②y＝5－lg .(参考数据：100.1≈1.25)根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论
中正确的是( )
A．选择函数模型①B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8
7．2021年3月20日，国家文物局公布，四川三星堆考古发掘取得重大进展，考古人
员在三星堆遗址内新发现6座祭祀坑，经碳14测年法测定，这6座祭祀坑为商代晚期遗址，
碳14测年法是根据碳14的衰变程度测度样本年代的一种测量方法，已知样本中碳14的原
子数N随时间t(单位：年)的变化规律是N＝N 2－，则该样本中碳14的原子数由N 个减少到
0 0
个时所经历的时间(单位：年)为________．
8．某生物兴趣小组自2010年起对一湖泊进行监测研究，发现其中某种生物的总数
y(单位：亿)与经过的时间x(单位：年)的函数关系与函数模型y＝alog (x＋1)＋b基本拟合．
2
经过1年，y为3亿，经过3年，y为5亿，预计经过15年时，此种生物总数y为________
亿．
9．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现
候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log－lg x，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗
3 0
氧量的单位数，常数x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．(结果保留到整数位．参考
0
数据：lg 5≈0.70，31.4≈4.66)
(1)若x＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位；
0
(2)若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min，雌鸟的飞行速度为0.8 km/min，那么此时雄鸟每
分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍．
10．为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫
基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年
投入的研发资金数比上一年增长10%.
(1)以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第
x年该企业投入的研发资金数y(万元)与x的函数关系式以及函数的定义域；
(2)该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？
(参考数据：log 2≈7.3)
1.1
能力提升
11.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”源于《增广贤文》，
《增广贤文》是勉励人们专心学习的，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把式
子(1＋1%)365中的1%看作是每天的“进步”率，一年后的值是1.01365；而把式子(1－1%)365
中的1%看作是每天的“退步”率，一年后的值是0.99365.照此计算，大约经过多少天“进
步”后的值是“退步”后的值的10倍？ ( )
(参考数据：lg 1.01≈0.004 32，lg 0.99≈－0.004 36)
A．100天 B．108天
C．115天 D．124天
12．“双碳”战略倡导绿色、环保、低碳的生活方式.2020年9月中国明确提出2030
年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，为了实现这一目标，中国持续推进产业结构和能源结构调整，大力发展可再生能源，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展机遇．
Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位
A)之间关系的经验公式C＝In·t，其中n ＝－log 2为Peukert常数．在电池容量不变的
0 0
\f(2,3
条件下，当放电电流I＝15 A时，放电时间t＝28 h，则当放电电流I＝10 A时，放电时间为
( )
A．14 h B．28.5 h
C．29 h D．56 h
13．某科技研发公司2022年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年
投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年
份是( )
(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg 5≈0.699，lg 11≈1.041)
A．2027年 B．2028年
C．2029年 D．2030年
14．(多选)牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是
θ(单位：℃)，环境温度是θ(单位：℃)，其中θ>θ 、则经过t分钟后物体的温度θ将满足
0 1 0 1
θ＝f(t)＝θ ＋(θ －θ)·e－kt(k∈R且k>0).现有一杯100 ℃的热红茶置于10 ℃的房间里，根据
1 0 1
这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是( )
(参考数值ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)
A．若f(3)＝40 ℃，则f(6)＝20 ℃
B．若k＝，则红茶下降到55 ℃所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是40 ℃，k约为0.22
D．红茶温度从80 ℃下降到60 ℃所需的时间比从60 ℃下降到40 ℃所需的时间多
15.有关数据显示，2022年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨．有专家预测，
如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采
取有效措施，则从________年(填具体年份)开始，快递行业产生的年包装垃圾超过4 000万
吨．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
16．在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长．
某地区2019年底新能源汽车保有量为1 500辆，2020年底新能源汽车保有量为2 250辆，
2021年底新能源汽车保有量为3 375辆．
(1)根据以上数据，试从y＝a·bx(a>0，b>0且b≠1)，y＝a·log x，(a>0，b>0且b≠1)两
b
种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势(不必说明理由)，
设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，求出新能源汽车保有量y关于x的
函数关系式；
(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每
年下降的百分比相同，2019年底该地区传统能源汽车保有量为50 000辆，预计到2024年
底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽
车保有量．(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
