文档内容
第四章 三角函数与解三角形综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
(cid:4)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10)
1.(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)I(cid:27)((cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:31)(cid:29)Ⅱ(cid:27)((cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:9)(cid:52)(cid:53)
(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)
2.(cid:57)(cid:36)(cid:29)I(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:20)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:38)(cid:64)2B(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:68)(cid:69)(cid:21)(cid:70)(cid:46)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:72)(cid:73)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:64)
(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:38)(cid:83)(cid:20)(cid:72)(cid:84)(cid:85)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
3.(cid:57)(cid:36)(cid:29)Ⅱ(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:43)(cid:36)(cid:62)(cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
4.(cid:39)(cid:26)(cid:88)(cid:89)(cid:63)(cid:38)(cid:43)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:57)(cid:35)
(cid:29) I (cid:27)(cid:93)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
sin20
1(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:94)(cid:104)sin( 20 )= (cid:38)(cid:105)sin( +50 )=(cid:93) (cid:94)
tan20 ∘ 3
∘ ∘
∘
𝛼− − 2𝛼
1 1 7 7
A(cid:95) B(cid:95) C(cid:95) D(cid:95)
8 8 8 8
− −
1
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:13)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:16)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:124)sin( 20 )= (cid:38)(cid:83)(cid:125)(cid:64)(cid:126)(cid:127)(cid:7)(cid:128)(cid:31)(cid:129)(cid:130)(cid:114)(cid:7)(cid:128)(cid:131)(cid:132).
4
∘
sin20 sin2 𝛼 0 −°cos20° −
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:21)(cid:22)(cid:38)sin( 20 )= =
tan20 ∘ 3 sin20° 3cos20°
∘
∘
= 2 1 2 si s n in 2 2 0 0 ° °co 2 s 3 2 c 0 o ° s20° = s 2 in s 2 in 0 ( °co 4 s 𝛼 0 2 ° − 0 ) ° = sin20 s ° i c n o 4 s 0 2 ° 0° − = 1 2 s s in in 4 4 0 0 ° ° = − 1 4 (cid:38)
(cid:135)sin( + − 50 )=sin( 4 − 0 +90 − ) 2 =cos2( −220 ) −
∘ ∘ ∘ ∘
= 2 s 𝛼 in2( 20 )= 2𝛼− × 1 2 = 7 . 𝛼−
4 8
∘
(cid:136)(cid:20)1−(cid:10)2D. 𝛼− 1−2 −
1 sin
2(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:137)(cid:97)(cid:138)(cid:139)·(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:94)(cid:121)(cid:122) , (cid:38)tan + = tan (cid:38)(cid:105) =(cid:93)(cid:94)
2 4 4 2 4 4cos2
𝜋 3𝜋 π π 1− 2𝛼
𝛼∈ 𝛼 −𝛼 𝛼
A(cid:95)6+4 2 B(cid:95) 2 C(cid:95)17+12 2 D(cid:95) 2
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:140)(cid:121)(cid:122)(cid:141)(cid:125)(cid:64)6(cid:31)−4(cid:142)(cid:114)(cid:46)(cid:143)(cid:144)(cid:7)(cid:128)(cid:145)(cid:146)(cid:16)(cid:120)(cid:123)(cid:131)tan (cid:38)(cid:147)(cid:63)(cid:88)17(cid:148)−(cid:129)12(cid:130)(cid:114)(cid:7)(cid:128)(cid:149)(cid:150)(cid:114)(cid:151)(cid:25)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:153)(cid:131)(cid:128)(cid:154)(cid:145)(cid:146)(cid:16)(cid:120)(cid:38)(cid:155)(cid:123)(cid:131)(cid:107). 𝛼
1
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)(cid:156)(cid:157) , (cid:38)tan + = tan (cid:38)
2 4 4 2 4
𝜋 3𝜋 π π
𝛼∈ 𝛼 −𝛼1 tan 1 tan
(cid:153)(cid:158) = × (cid:38)tan < (cid:38)
tan 2 1 tan
+ 𝛼 1− 𝛼
1− 𝛼 + 𝛼 𝛼 −1
(cid:107)(cid:124)tan = 2(cid:159)tan = +2 2(cid:93)(cid:160))(cid:38)
(cid:105)
sin 𝛼
=
s−in32−2cos2 sin𝛼cos −
=
31
(tan2 tan +1)
4cos2 4cos2 4
1− 2𝛼 𝛼+ 𝛼−2 𝛼 𝛼
= 1 (tan 𝛼 )2= 1 ( 𝛼 2 ) 2 =6+ 𝛼 4 − 2 2 . 𝛼
4 4
(cid:136)(cid:20)(cid:10)A 𝛼 . −1 −3−2 −1
3(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:161)(cid:162)(cid:44)(cid:163)·(cid:113)(cid:100)(cid:94)(cid:115)(cid:13) = sin + (cid:93) >0(cid:38) < (cid:94)(cid:46)(cid:34)(cid:28)(cid:164)(cid:165)(cid:74)(cid:164)(cid:153)(cid:166)(cid:38)
2
π
𝑓(𝑥) 𝐴 (𝜔𝑥 𝜑) 𝜔 |𝜑| 𝑓(𝑥)
(cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:167)y(cid:168)(cid:92)(cid:169)M(cid:170)(cid:38)(cid:167)x(cid:168)(cid:92)(cid:169)C(cid:170)(cid:38)(cid:170)N(cid:54) (cid:164)(cid:165)(cid:56)(cid:38)(cid:170)M(cid:49)N(cid:3)(cid:169)(cid:170)C(cid:68)(cid:171)(cid:38)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:46)
(cid:178)(cid:93) (cid:94) 𝑓(𝑥)
A(cid:95)(cid:115)(cid:13) (cid:46)(cid:179)(cid:61)(cid:143)(cid:180)(cid:181)(cid:178)
B(cid:95)(cid:115)(cid:13)
𝑓(𝑥)
(cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:3)(cid:169)(cid:170)
5π
,0 (cid:68)(cid:171)
6
π
𝑓(𝑥)
C(cid:95)(cid:115)(cid:13) (cid:54) (cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)
2 6
π π
𝑓(𝑥) − ,−
D(cid:95)(cid:115)(cid:13) (cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189) (cid:63)(cid:38)(cid:124)(cid:190)(cid:115)(cid:13) (cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:38)(cid:105) (cid:157)(cid:191)(cid:115)(cid:13)
6
π
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥)
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)A(cid:20)(cid:24)(cid:38)(cid:111)(cid:112)M(cid:49)N(cid:3)(cid:169)(cid:170)C(cid:68)(cid:171)(cid:124)(cid:190) (cid:170)(cid:192)(cid:193)(cid:71)(cid:38)(cid:194)(cid:135)(cid:124)(cid:190)(cid:179)(cid:61)(cid:143)(cid:180)(cid:181) = (cid:195)B(cid:20)(cid:24)(cid:38)(cid:111)
𝐶 2 𝑇 π
(cid:112) (cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:3)(cid:169)(cid:170) ,0 (cid:68)(cid:171)(cid:31)(cid:179)(cid:61)(cid:143)(cid:180)(cid:181)(cid:124)(cid:190)B(cid:143)(cid:196)(cid:195)C(cid:20)(cid:24)(cid:38)(cid:131)(cid:59) = =2(cid:38)(cid:43) (cid:197)(cid:198)(cid:107)(cid:199)(cid:128)
6 12
π π π
𝑓(𝑥) − 𝜔 𝑇 ,𝐴
(cid:131)(cid:59) = (cid:38) >0(cid:38)(cid:194)(cid:135)(cid:125)(cid:64)(cid:200)(cid:201)(cid:175)(cid:202)(cid:203)(cid:59) (cid:54) (cid:204)(cid:182)(cid:183)(cid:195)D(cid:20)(cid:24)(cid:38)(cid:131)(cid:59) ( )= sin (cid:38)(cid:124)(cid:190)(cid:84)(cid:191)
3 2 6
π π π
(cid:205)(cid:206) 𝜑 . 𝐴 𝑓(𝑥) − ,− 𝑔 𝑥 𝐴 2𝑥
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)A(cid:20)(cid:24)(cid:38)(cid:170)M(cid:49)N(cid:3)(cid:169)(cid:170)C(cid:68)(cid:171)(cid:38)(cid:136) = 0 2 3 = (cid:38)
+ 2 π π 3
𝑥𝐶
1
(cid:207) ( )(cid:46)(cid:179)(cid:61)(cid:143)(cid:180)(cid:181)(cid:157) (cid:38)(cid:105) = = (cid:38)(cid:136) = (cid:38)A(cid:143)(cid:196)(cid:195)
2 3 6 2
π π π
𝑓 𝑥 𝑇 𝑇 − − 𝑇 π
B(cid:20)(cid:24)(cid:38)(cid:123)(cid:158)(cid:208)(cid:59)(cid:115)(cid:13) (cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:3)(cid:169)(cid:170) ,0 (cid:68)(cid:171)(cid:38)
6
π
(cid:209) ( )(cid:46)(cid:179)(cid:61)(cid:143)(cid:180)(cid:181) = 𝑓(𝑥 (cid:38) ) −
(cid:136)
𝑓
(cid:115)
𝑥
(cid:13) (cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:3)
𝑇
(cid:169)(cid:170)
π5
,0 (cid:68)(cid:171)(cid:38)B(cid:143)(cid:196)(cid:195)
6
π
𝑓(𝑥)2
C(cid:20)(cid:24)(cid:38)(cid:209) >0(cid:38)(cid:136) = =2(cid:38)
π
𝜔 𝜔 𝑇
3 6 = (cid:38)(cid:136)(cid:43) (cid:197)(cid:198)(cid:107)(cid:199)(cid:128)(cid:124) sin 2× + = (cid:38)
π + 2 − π 1 π 2 1 π 2 1 π 2
,𝐴 𝐴 𝜑 𝐴
(cid:107)(cid:124) + = + Z(cid:38)
6 2
π π
𝜑 2𝑘π,𝑘∈
(cid:209) < (cid:38)(cid:136)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210) =0(cid:58)(cid:38)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:131)(cid:38)(cid:136) = (cid:38)
2 3
π π
|𝜑| 𝑘 𝜑
(cid:209)(cid:210) =0(cid:58)(cid:38) = sin >0(cid:38)(cid:136) >0(cid:38)
3
π
𝑥 𝑓(𝑥) 𝐴 𝐴
(cid:105) ( )= sin + (cid:38)
3
π
𝑓 𝑥 𝐴 2𝑥
(cid:210) (cid:58)(cid:38) + ,0 (cid:38)
2 6 3 3
π π π 2π
𝑥∈ − ,− 2𝑥 ∈ −
(cid:140)(cid:169) =sin (cid:54) ,0 (cid:56)(cid:204)(cid:182)(cid:183)(cid:38)
3
2π
𝑦 𝑧 𝑧∈ −
(cid:136) ( )= sin + (cid:54) (cid:56)(cid:204)(cid:182)(cid:183)(cid:38)C(cid:176)(cid:177)(cid:195)
3 2 6
π π π
𝑓 𝑥 𝐴 2𝑥 𝑥∈ − ,−
D(cid:20)(cid:24)(cid:38) ( )= sin + = sin (cid:38)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:157)R(cid:38)
3 3
π π
(cid:209) ( )= 𝑔 𝑥 sin( 𝐴 ) 2 = 𝑥 s − in = 𝐴 ( 2 ) 𝑥 (cid:38) (cid:157)(cid:191)(cid:115)(cid:13)(cid:38)D(cid:143)(cid:196).
(cid:136)(cid:20)𝑔 (cid:10)−𝑥C. 𝐴 −2𝑥 −𝐴 2𝑥 −𝑔 𝑥 𝑔(𝑥)
4(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:94)(cid:121)(cid:122)(cid:115)(cid:13) ( )= sin2 + >0)(cid:54) 0, (cid:56)(cid:219)(cid:211)(cid:212)(cid:219)(cid:33)(cid:220)
6 2
π π
(cid:221)(cid:170)(cid:38)(cid:105) (cid:46)(cid:222)(cid:132)(cid:223)(cid:224)(cid:178)(cid:93) (cid:94)
𝑓 𝑥 1−2 𝜔𝑥 (𝜔
A(cid:95) 7𝜔 , 13 B(cid:95) 7 , 13 C(cid:95) 7 , 13 D(cid:95) 7 , 13
6 6 6 6 6 6 6 6
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:125)(cid:64)(cid:225)(cid:226)(cid:7)(cid:128)(cid:225)(cid:226)(cid:38)(cid:88)(cid:148)(cid:227)(cid:228)(cid:115)(cid:13)(cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:229)(cid:230)(cid:38)(cid:123)(cid:124)(cid:3)(cid:169) (cid:46)(cid:204)(cid:117)(cid:128)(cid:38)(cid:155)(cid:123)(cid:131)(cid:124)(cid:231)(cid:13) (cid:124)(cid:222)(cid:132)
(cid:223)(cid:224). 𝜔 𝜔
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)(cid:115)(cid:13) ( )= sin2 + =cos + >0)(cid:38)
6 3
π π
𝑓 𝑥 1−2 𝜔𝑥 2𝜔𝑥 (𝜔
(cid:140) 0, (cid:38)(cid:124) + , + (cid:38)
2 3 3 3
π π 𝜋 π
𝑥∈ 2𝜔𝑥 ∈ π𝜔
(cid:215)(cid:232)(cid:115)(cid:13) ( )= sin2 + >0)(cid:54) 0, (cid:56)(cid:219)(cid:211)(cid:212)(cid:219)(cid:33)(cid:220)(cid:221)(cid:170)(cid:38)
6 2
π π
𝑓 𝑥 1−2 𝜔𝑥 (𝜔
3 3 5 7 13
(cid:153)(cid:158) + = , (cid:38)(cid:105) + ( , ](cid:38)(cid:124) < (cid:38)
3 2 2 3 2 2 6 6
π π π π π π
2𝜔𝑥 𝜋𝜔 ∈ 𝜔≤
713
(cid:155) (cid:46)(cid:222)(cid:132)(cid:223)(cid:224)(cid:178)( , ].
6 6
𝜔
(cid:136)(cid:20)(cid:10)B.5(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:236)·(cid:113)(cid:100)(cid:94)(cid:121)(cid:122)(cid:115)(cid:13) ( )= 3sin cos +cos2 (cid:38)(cid:105)(cid:172)(cid:173)(cid:88)(cid:237)(cid:204)(cid:143)(cid:196)(cid:46)(cid:178)(cid:93) (cid:94)
𝑓 𝑥 2𝑥 2𝑥 2𝑥
A(cid:95) ( )(cid:46)(cid:179)(cid:61)(cid:143)(cid:180)(cid:181)(cid:157)
2
π
𝑓 𝑥
B(cid:95) ( )(cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:3)(cid:169)(cid:170) 5 , 1 (cid:68)(cid:171)
24 2
π
𝑓 𝑥
C(cid:95)(cid:104) ( + )(cid:178)(cid:205)(cid:115)(cid:13)(cid:38)(cid:105) = + (cid:38) Z
12 4
π 𝑘π
𝑓 𝑥 𝑡 𝑡 𝑘∈
D(cid:95) ( )(cid:54)(cid:238)(cid:239) 0, (cid:56)(cid:46)(cid:132)(cid:218)(cid:157)[0,1]
4
π
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108) 𝑓 (cid:109)𝑥 (cid:110)A(cid:24)(cid:38)(cid:16)(cid:120)(cid:115)(cid:13)(cid:131)(cid:59) (cid:38)(cid:155)(cid:123)(cid:124)(cid:59)(cid:180)(cid:181)(cid:195)B(cid:24)(cid:38)(cid:240)(cid:241)(cid:59)(cid:115)(cid:13)(cid:157)0(cid:58)(cid:44)(cid:118)(cid:242)(cid:46)(cid:222)(cid:132)(cid:223)(cid:224)(cid:38)(cid:155)(cid:123)(cid:124)
𝜔
(cid:59)(cid:115)(cid:13)(cid:46)(cid:68)(cid:171)(cid:170)(cid:38)(cid:155)(cid:123)(cid:124)(cid:59)(cid:88)(cid:237)(cid:195)C(cid:24)(cid:38)(cid:125)(cid:64)(cid:205)(cid:115)(cid:13)(cid:155)(cid:123)(cid:131)(cid:59) (cid:46)(cid:222)(cid:132)(cid:223)(cid:224)(cid:195)D(cid:24)(cid:38)(cid:240)(cid:241)(cid:59) 0, (cid:58) +
4 6
π π
𝑡 𝑥∈ 4𝑥
(cid:46)(cid:223)(cid:224)(cid:38)(cid:155)(cid:123)(cid:124)(cid:59)(cid:132)(cid:218).
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)(cid:140)(cid:21)(cid:22)(cid:38)
(cid:54) ( )= 3sin cos +cos2 (cid:243)(cid:38)
( 𝑓 ) 𝑥 = 3sin 2 + 𝑥1 cos 2𝑥 + 1 = 2 si 𝑥 n + + 1 (cid:38)
2 2 2 6 2
π
𝑓 𝑥 4𝑥 4𝑥 4𝑥
2
A(cid:24)(cid:38) = = = (cid:38)A(cid:143)(cid:196)(cid:195)
2
π π
𝜔 4,𝑇 𝜔
B(cid:24)(cid:38)(cid:244) + = , (cid:124) = ,
6 4 24
π 𝑘π π
4𝑥 𝑘π 𝑥 −
5
(cid:210) =1(cid:58), = ,
24
π
𝑘 𝑥
(cid:153)(cid:158) ( )(cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:3)(cid:169)(cid:170) 5 , 1 (cid:68)(cid:171),(cid:136)B(cid:143)(cid:196);
24 2
π
𝑓 𝑥
1
C(cid:24)(cid:38) + =sin + + + (cid:178)(cid:205)(cid:115)(cid:13)(cid:38)
6 2
π
𝑓(𝑥 𝑡) 4𝑥 4𝑡
+ = + , Z(cid:38)
6 2
π π
∴4𝑡 𝑘π 𝑘∈
(cid:107)(cid:124)(cid:10) = + Z, (cid:136)C(cid:143)(cid:196)(cid:195)
12 4
π 𝑘π
𝑡 ,𝑘∈
D(cid:24), (cid:210) 0, (cid:58), + , 7 ,
4 6 6 6
π π π π
𝑥∈ 4𝑥 ∈
(cid:153)(cid:158)sin + 1 ,1 ,
6 2
π
4𝑥 ∈ −
(cid:153)(cid:158) ( )(cid:54)(cid:238)(cid:239) 0, (cid:56)(cid:46)(cid:132)(cid:218)(cid:157) 0, 3 (cid:38)(cid:136)D(cid:176)(cid:177).
4 2
π
(cid:136)(cid:20)(cid:10) 𝑓 𝑥 D.
6(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:137)(cid:97)(cid:56)(cid:245)·(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:94)(cid:54) (cid:243)(cid:38)(cid:114) (cid:46)(cid:68)(cid:246)(cid:28)(cid:247)(cid:157) (cid:38)(cid:121)(cid:122) = 2 ,sin =5 3
3 14
π
△𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝐴 𝐵=5(cid:38)(cid:105) (cid:46)(cid:248)(cid:249)(cid:157)(cid:93) (cid:94)
,𝑏 A(cid:95)15 3△𝐴𝐵𝐶 B(cid:95) 15 C(cid:95)15 3 D(cid:95)15 3
4 2 2
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:21)(cid:22)(cid:38)(cid:125)(cid:64)(cid:143)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:38)(cid:131)(cid:124) =7(cid:38)(cid:83)(cid:140)sin =sin + =sin cos +cos sin (cid:38)(cid:131)(cid:124)
sin (cid:38)(cid:88)(cid:148)(cid:113)(cid:114)(cid:250)(cid:46)(cid:248)(cid:249)(cid:7)(cid:128)(cid:38)(cid:155)(cid:123)(cid:131)(cid:107). 𝑎 𝐶 (𝐴 𝐵) 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
(cid:106)(cid:107) 𝐶 (cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)(cid:54) (cid:243)(cid:38)(cid:156)(cid:157) = 2 ,sin =5 3 =5(cid:38)
3 14
π
△𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 ,𝑏
(cid:123)(cid:124)sin = 3,cos = 1 (cid:38)(cid:211)cos = 11 (cid:38)
2 2 14
𝐴 𝐴
sin
− 5×sin2 𝐵
(cid:140)(cid:143)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:124) = = 3 =7(cid:38)
sin 5 3 π
𝑏 𝐴 14
(cid:209)(cid:156)(cid:157) + + 𝑎 = 𝐵(cid:38)
(cid:123)(cid:124)sin 𝐴 = 𝐵 sin 𝐶 + π =sin cos +cos sin = 3× 11 1 ×5 3=3 3(cid:38)
2 14 2 14 14
𝐶 (𝐴 𝐵) 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 −
(cid:153)(cid:158) (cid:46)(cid:248)(cid:249)(cid:157) = 1 sin = 1 ×7×5×3 3=15 3.
2 2 14 4
△𝐴𝐵𝐶 𝑆 𝑎𝑏 𝐶
(cid:136)(cid:20)(cid:10)A.
7(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:251)(cid:252)(cid:252)(cid:253)·(cid:129)(cid:100)(cid:94)(cid:121)(cid:122)(cid:115)(cid:13) =cos > (cid:38)(cid:211) = =0.(cid:104)
3
π
𝑓(𝑥) 𝜔𝑥− ,𝜔 0,𝑥∈𝑅 𝑓(𝛼) −1,𝑓(𝛽) |𝛼−𝛽|
(cid:46)(cid:179)(cid:61)(cid:132)(cid:157) (cid:38)(cid:105) (cid:46)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:238)(cid:239)(cid:157)(cid:93) (cid:94)
4
π
𝑓(𝑥)
A(cid:95) + , + B(cid:95) + , +
3 6 3 6
π π π π
− 𝑘π 𝑘π ,𝑘∈𝑍 − 2𝑘π 2𝑘π ,𝑘∈𝑍
C(cid:95) + , 5 + D(cid:95) + , 5 +
12 12 12 12
π π π π
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)−(cid:109)(cid:110)(cid:141)𝑘(cid:131)π (cid:59)(cid:115)(cid:13)𝑘π ,𝑘∈ (cid:46) 𝐙 (cid:180)(cid:181)(cid:38)(cid:83)(cid:131)(cid:59) (cid:38)(cid:131)−(cid:59)(cid:115)(cid:13)2𝑘π (cid:46)(cid:107)2(cid:199)𝑘π(cid:128) ,𝑘 (cid:38) ∈ (cid:83) 𝐙 (cid:88)(cid:148)(cid:227)(cid:228)(cid:115)(cid:13)(cid:46)(cid:206)(cid:254)(cid:38)(cid:155)(cid:123)(cid:131)
(cid:107). 𝑓(𝑥) 𝜔 𝑓(𝑥)
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)(cid:115)(cid:13) =cos > (cid:38)(cid:211) = =0(cid:38) (cid:46)(cid:179)(cid:61)(cid:132)(cid:157) (cid:38)
3 4
π π
𝑓(𝑥) 𝜔𝑥− ,𝜔 0,𝑥∈𝑅 𝑓(𝛼) −1,𝑓(𝛽) |𝛼−𝛽|
2
(cid:105) = (cid:38)(cid:153)(cid:158) = (cid:38)(cid:136) = (cid:38)(cid:153)(cid:158) =2(cid:38)(cid:153)(cid:158) =cos (cid:38)
4 4 3
𝑇 π π π
𝑇 π 𝜔 π 𝜔 𝑓(𝑥) 2𝑥−
(cid:244) 2 (cid:124) + + (cid:38)
3 3 6
π π π
2𝑘π−π≤ 𝑥− ≤2𝑘π,𝑘∈𝑍 − 𝑘π≤𝑥≤ 𝑘π,𝑘∈𝑍
(cid:136) (cid:46)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:238)(cid:239)(cid:157) + , + .
3 6
π π
(cid:136) 𝑓 (cid:20) (𝑥 (cid:10) ) A. − 𝑘π 𝑘π ,𝑘∈𝑍
8(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:255)(cid:256)·(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:94)(cid:121)(cid:122) (cid:178)(cid:257)(cid:114)(cid:113)(cid:114)(cid:250)(cid:38)(cid:258)(cid:114)A(cid:38)B(cid:38)C(cid:153)(cid:68)(cid:69)(cid:46)(cid:246)(cid:28)(cid:247)(cid:157)a(cid:38)b(cid:38)
△𝐴𝐵𝐶
c(cid:95)(cid:104) 2 2= (cid:38)(cid:105) (cid:46)(cid:222)(cid:132)(cid:223)(cid:224)(cid:178)(cid:93) (cid:94)
𝑏
𝑎 −𝑏 𝑏𝑐 𝑎+𝑐A(cid:95) 3, 2 B(cid:95)( 3,1) C(cid:95)( 3, 2 ) D(cid:95)( 2+1, 3+2)
3 2
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:140)(cid:227)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:31)2(cid:143)−(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:38)(cid:88)(cid:148)(cid:143)(cid:228)(cid:31)2(cid:114)−(cid:7)(cid:128)(cid:124)−(cid:190)1 sin =sin (cid:38)(cid:88)(cid:148) (cid:157)(cid:257)(cid:114)(cid:113)(cid:114)(cid:250)(cid:38)
1 𝐵 (𝐴−𝐵) △𝐴𝐵𝐶
(cid:124)(cid:190) = (cid:38)(cid:136) < < (cid:38)(cid:83)(cid:125)(cid:64)(cid:143)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:124)(cid:190) = (cid:38)(cid:131)(cid:59)(cid:222)(cid:132)(cid:223)(cid:224)(cid:155)(cid:123).
6 4 4cos2 2cos
π π 𝑏
(cid:106)(cid:107)(cid:36) 𝐴 (cid:133) 2 (cid:134) 𝐵 (cid:110)(cid:156)(cid:157) 2𝐵 2= (cid:38)(cid:124) 2= 2+ (cid:95)𝑎+𝑐 𝐵+ 𝐵−1
(cid:140)(cid:227)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:124) 2=𝑎2−+𝑏 2 𝑏𝑐 cos𝑎(cid:38) 𝑏 𝑏𝑐
(cid:153)(cid:158) 2+ =𝑎2+𝑏2 𝑐 −co2s𝑏𝑐(cid:38)(cid:155)𝐴 = cos (cid:95)
(cid:140)(cid:143)𝑏(cid:228)(cid:216)𝑏(cid:15)𝑐(cid:124)s𝑏in =𝑐 s−in2𝑏𝑐 si𝐴n cos𝑏(cid:38)𝑐−2𝑏 𝐴
(cid:156)(cid:157) = +𝐵 (cid:38)(cid:105)𝐶si−n2=s𝐵in 𝐴+ =sin cos +cos sin (cid:38)
(cid:153)(cid:158)𝐶sin π=−s(i𝐴n c𝐵os) cos 𝐶sin (cid:38)((cid:155)𝐴sin𝐵)=sin 𝐴 𝐵(cid:95) 𝐴 𝐵
𝐵 𝐴 𝐵− 𝐴 𝐵 𝐵 (𝐴−𝐵)
(cid:156)(cid:157) (cid:178)(cid:257)(cid:114)(cid:113)(cid:114)(cid:250)(cid:38)(cid:153)(cid:158)0< < (cid:38)0< < (cid:38)(cid:153)(cid:158) < < (cid:95)
2 2 2 2
π π π π
△𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 − 𝐴−𝐵
(cid:209) =sin (cid:54) , (cid:56)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:38)(cid:153)(cid:158) = (cid:38)(cid:105) = (cid:95)
2 2
π π
𝑦 𝑥 − 𝐵 𝐴−𝐵 𝐴 2𝐵
(cid:156)(cid:157) (cid:178)(cid:257)(cid:114)(cid:113)(cid:114)(cid:250)(cid:38)(cid:153)(cid:158)0< < (cid:38)0< = < (cid:38)0< = < (cid:38)
2 2 2
π π π
△𝐴𝐵𝐶 𝐵 𝐴 2𝐵 𝐶 π−3𝐵
(cid:153)(cid:158) < < (cid:38)
6 4
π π
𝐵
sin sin sin
(cid:140)(cid:143)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:124) = = =
sin sin sin sin( sin sin
𝑏 𝐵 𝐵 𝐵
𝑎+𝑐sin 𝐴+ 𝐶 2𝐵+ π−3𝐵) 2𝐵+1 3𝐵
= =
sin +sin cos +cos sin 2cos +2cos2 +2cos2
𝐵
1
= 2𝐵 2𝐵(cid:38) 𝐵 2𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵−1
4cos2 2cos
𝐵+ 𝐵−1
(cid:244)cos = (cid:38)(cid:156)(cid:157) < < (cid:38)(cid:153)(cid:158) 2, 3 (cid:95)
6 4 2 2
π π
𝐵 𝑡 𝐵 2 𝑡∈
=4 2+ =4 + 1 5 (cid:54) 2, 3 (cid:56)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:38)
4 4 2 2
𝑦 𝑡 2𝑡−1 𝑡 − 𝑡∈
(cid:210) = 2(cid:58)(cid:38) =1+ 2(cid:38)(cid:210) = 3(cid:58)(cid:38) =2+ 3(cid:38)
2 2
(cid:136)
𝑡
=
1𝑦
1 , 1
𝑡
=(
𝑦
3, 2 )
𝑏 4 2 2 3 1 2
(cid:136) 𝑎 (cid:20) +𝑐 (cid:10)C(cid:95) 𝑡 +2𝑡−1∈ + + 2− −1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:259)(cid:253)(cid:180)(cid:260)·(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:94)(cid:207) (0, )(cid:38) (0, )(cid:38)(cid:105)(cid:172)(cid:173)(cid:240)(cid:241)(cid:143)(cid:196)(cid:46)(cid:178)(cid:93) (cid:94)
2 2
π π
𝛼∈ 𝛽∈A(cid:95)cos( + )0(cid:38)
𝛽(cid:153)(cid:158)cos𝛼( +𝛽 )0)(cid:54)(cid:238)(cid:239)[0, )(cid:56)(cid:289)
2
𝑓 𝑥 𝜔𝑥 𝜔𝑥 𝜔𝑥 (𝜔 π
7 5
(cid:219)(cid:90)(cid:220)(cid:221)(cid:170)(cid:31)(cid:33)(cid:220)(cid:179)(cid:290)(cid:132)(cid:170)(cid:38)(cid:105) (cid:46)(cid:222)(cid:132)(cid:223)(cid:224)(cid:178) ( , ] (cid:95)
6 3
𝜔
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:141)(cid:43) ( )(cid:16)(cid:120)(cid:157)sin + +1(cid:38)(cid:83)(cid:111)(cid:112) ( )(cid:54)(cid:238)(cid:239)[0, )(cid:56)(cid:289)(cid:219)(cid:90)(cid:220)(cid:221)(cid:170)(cid:31)(cid:33)(cid:220)(cid:179)(cid:290)(cid:132)(cid:170)(cid:38)
6
π
(cid:88)(cid:148)(cid:143)(cid:228)(cid:291)(cid:113)(cid:114)(cid:115) 𝑓 (cid:13)𝑥(cid:46)(cid:292)(cid:15)(cid:293)(cid:175)(cid:131)2(cid:59)𝜔𝑥(cid:46)(cid:222)(cid:132)(cid:223)(cid:224). 𝑓 𝑥 π
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110) ( )= 3sin cos + 𝜔 cos2 + 1
2
𝑓 𝑥 𝜔𝑥 𝜔𝑥 𝜔𝑥
= 3sin + 1 cos +1 =sin + +1(cid:38)
2 2 6
π
2𝜔𝑥 2𝜔𝑥 2𝜔𝑥
(cid:140) [0, )(cid:38) >0(cid:38)(cid:124) + ,2 + (cid:38)
6 6 6
π π π
𝑥∈ π 𝜔 2𝜔𝑥 ∈ π𝜔
( )=0(cid:58)(cid:38)sin + = (cid:38) ( )(cid:179)(cid:290)(cid:58)(cid:38)sin + (cid:294)(cid:179)(cid:290)(cid:38)
6 6
π π
𝑓 (cid:104)𝑥 ( )(cid:54)(cid:238)(cid:239)[0, 2 ) 𝜔(cid:56)𝑥(cid:289)(cid:219)(cid:90)(cid:220) − (cid:221) 1 (cid:170) 𝑓 (cid:31)𝑥(cid:33)(cid:220)(cid:179)(cid:290)(cid:132)(cid:170)(cid:38)2𝜔𝑥
𝑓 𝑥 5 π 7 7 5
(cid:105)(cid:289)(cid:75) <2 + (cid:38)(cid:107)(cid:124) < (cid:95)
2 6 2 6 3
π π π
π𝜔 ≤ 𝜔≤
75
(cid:136)(cid:36)(cid:62)(cid:157)(cid:10)( , ].
63
14(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:56)(cid:252)(cid:295)(cid:262)·(cid:129)(cid:100)(cid:94)(cid:296)(cid:297)(cid:252)(cid:298)(cid:238)(cid:157)(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:98)(cid:255)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:252)(cid:56)(cid:306)(cid:40)(cid:307)(cid:308)(cid:38)(cid:74)(cid:164)(cid:38)(cid:309)(cid:310) (cid:49)
(cid:178)(cid:306)(cid:40)(cid:307)(cid:308)(cid:46)(cid:90)(cid:34)(cid:28)(cid:38)(cid:84)(cid:243) = (cid:38) = (cid:38) (cid:54) (cid:46)(cid:235)(cid:311)(cid:263)30°(cid:312)(cid:186)(cid:38) (cid:54) (cid:46)(cid:143)(cid:235)(cid:312)(cid:186)(cid:38)𝐵(cid:54)𝐶 (cid:46)𝐶𝐷
(cid:235)(cid:311)(cid:97)80°(cid:312)(cid:186)(cid:38)(cid:211) =90𝐵°(cid:95)𝐶(cid:104)(cid:306)30(cid:40)0𝑚(cid:313)(cid:54)𝐶𝐷(cid:292)(cid:314)80(cid:56)0(cid:315)𝑚(cid:316)𝐵(cid:301)(cid:302)𝐴(cid:75)(cid:215)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:306)(cid:40)(cid:307)𝐶(cid:308)𝐴 (cid:38)(cid:105)(cid:179)(cid:321)𝐷(cid:322)(cid:323)𝐴(cid:157)
475 m(cid:95)((cid:88)(cid:286)(cid:324)(cid:196)∠(cid:190)𝐵 1 m) 𝐴 𝐵−𝐶−𝐷(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:141)(cid:54) (cid:243)(cid:131)(cid:59)AC(cid:38)(cid:83)(cid:125)(cid:64)(cid:143)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:38)(cid:54) (cid:243)(cid:131)(cid:59)sin (cid:38)(cid:145)(cid:135)(cid:325)(cid:16)(cid:190) (cid:243)(cid:131)(cid:107)
(cid:155)(cid:123). △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐶 𝐷 △𝐴𝐶𝐸
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)(cid:107)(cid:10)(cid:326) (cid:92)(cid:169)E(cid:38)(cid:140)(cid:21)(cid:22)(cid:123)(cid:124)(cid:74)(cid:164)(cid:10)
𝐴𝐸⊥𝐶𝐷
=90 =30 =300m(cid:38)
∘ ∘
∠𝐵 ,∠𝐶𝐴𝐵 300,𝐵𝐶
(cid:153)(cid:158) = = =300 3m(cid:38)
3
tan30
𝐵𝐶 3
∘
𝐴𝐵
= =600m(cid:38)
sin
𝐵𝐶
(cid:54) 𝐴𝐶 ∠𝐶(cid:243)𝐴𝐵(cid:38)(cid:140)(cid:143)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:10)
△𝐴𝐷𝐶 3sin80
= sin = (cid:38)
sin sin 4 ∘
𝐶𝐷 𝐴𝐶
∠𝐴𝐶𝐷 𝐷⇒ 𝐷
3sin80
(cid:153)(cid:158)cos = 0.735(cid:38)
4 ∘
∠𝐸𝐴𝐷 ≈
(cid:153)(cid:158)sin 0.68(cid:38)
cos ∠𝐸=𝐴c𝐷os≈(80 0.17×0.735+0.98×0.68=0.79135(cid:38)
∘
(cid:54)(cid:327)∠(cid:114)𝐶𝐴𝐸 (cid:243)(cid:38)−∠=𝐸𝐴𝐷)≈cos =600×0.79135 475(cid:38)
(cid:136)(cid:36)(cid:62)(cid:157)△(cid:10)𝐴𝐶47𝐸5. 𝐴𝐸 𝐴𝐶⋅ ∠𝐶𝐴𝐸⇒𝐴𝐸 ≈
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15(cid:95)(cid:93)13(cid:28)(cid:94)(cid:93)2023·(cid:259)(cid:253)·(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:94)(cid:121)(cid:122)(cid:115)(cid:13) ( )=2cos (sin + 3cos ) 3.
10 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 −
(1)(cid:104) + = (cid:38)(cid:131) (cid:46)(cid:132)(cid:195)
4 13 12
π π
𝑓 𝛼 𝑓 2𝛼−
1
(2)(cid:207) ( )= + + + (cid:38)(cid:131)(cid:115)(cid:13) ( )(cid:46)(cid:179)(cid:61)(cid:132).
12 6 2 12 6
π π π π
(cid:106)(cid:107)(cid:21) 𝑔 (cid:108)𝑥(cid:109)(cid:110) 𝑓 (cid:93)𝑥 1(cid:94)(cid:141)(cid:67) 𝑓 (cid:115)𝑥(cid:13)−(cid:16)(cid:328) − 𝑓 ( ) 𝑥 = sin 𝑓 ( 𝑥− + )(cid:46)(cid:250)(cid:128)(cid:38) 𝑔 (cid:54)𝑥 (cid:88)(cid:148)(cid:126)(cid:127)(cid:7)(cid:128)(cid:31)(cid:33)(cid:114)(cid:31)(cid:167)(cid:142)(cid:46)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:13)(cid:7)
(cid:128)(cid:131)(cid:132)(cid:195) 𝑓 𝑥 𝐴 𝜔𝑥 𝜑(cid:93)2(cid:94)(cid:141)(cid:16)(cid:120) ( )(cid:124)(cid:329)(cid:320)(cid:128)(cid:38)(cid:64)(cid:119)(cid:330)(cid:175)(cid:67)(cid:331)(cid:21)(cid:325)(cid:16)(cid:328)(cid:129)(cid:332)(cid:115)(cid:13)(cid:54)(cid:333)(cid:216)(cid:238)(cid:239)(cid:56)(cid:46)(cid:132)(cid:218)(cid:331)(cid:21)(cid:131)(cid:107).
𝑔 𝑥
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)(cid:93)1(cid:94)(cid:156)(cid:157) ( )=2sin cos + 3(2cos2 ) =sin + 3cos =2sin + .
3
π
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥−1 2𝑥 2𝑥 2𝑥
10 10 5
+ = 2sin + + = cos + = .
4 13 2 3 13 3 13
π π π π
𝑓 𝛼 ⇒ 2𝛼 ⇒ 2𝛼
=2sin 2 + =2sin + =2sin 2 + = cos 2 + =
12 12 3 6 3 2 3
π π π π π π π
𝑓 2c 2 o 𝛼 s − 2 + 2 = 𝛼− 2× 5 2 = 4 2 𝛼 38 . 2𝛼 − −2 2𝛼 −2
3 13 169
π
2𝛼 −1 −2 −1
(cid:93)2(cid:94)(cid:156)(cid:157)(cid:10) + =2sin + + =2cos (cid:38) =2sin + =2sin .
12 6 3 6 3 3
π π π π π π
(cid:153)(cid:158)(cid:10) ( )= 𝑓 2 𝑥 sin +2cos 2𝑥 sin cos . 2𝑥 𝑓 𝑥− 2𝑥− 2𝑥
(cid:207)sin 𝑔 + 𝑥 cos = 2𝑥 (cid:38)(cid:105) = 2𝑥 2 − si 2 n 2𝑥 + · 2𝑥 [ 2, 2](cid:38)(cid:211)2sin cos = 2 (cid:38)
4
π
(cid:153)(cid:158)(cid:10) 2𝑥 = 22𝑥 + 𝑡 +1= 𝑡 ( )2+ 2𝑥 2(cid:38) ∈ − 2𝑥· 2𝑥 𝑡 −1
(cid:210) = 𝑦 2(cid:58)−𝑡(cid:38) 2𝑡 = −2𝑡−.1
min
(cid:153)𝑡(cid:158) −( )(cid:46)(cid:179)(cid:61)𝑦(cid:132)(cid:157) −22 −.1
16(cid:95) 𝑔 (cid:93)1 𝑥 5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2023 − ·(cid:98) 2 (cid:287) − ·(cid:100) 1 (cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:94)(cid:121)(cid:122)(cid:115)(cid:13) ( )= sin( + ) > >0,0< < (cid:46)(cid:34)(cid:28)(cid:164)(cid:165)(cid:74)
2
π
(cid:164)(cid:153)(cid:166). 𝑓 𝑥 𝐴 𝜔𝑥 𝜑 𝐴 0,𝜔 𝜑
(1)(cid:131)(cid:115)(cid:13) ( )(cid:46)(cid:107)(cid:199)(cid:128)(cid:195)
𝑓 𝑥
(2)(cid:43)(cid:115)(cid:13) ( )(cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189) (cid:220)(cid:182)(cid:267)(cid:38)(cid:83)(cid:192)(cid:193)(cid:71)(cid:334)(cid:268)(cid:157)(cid:270)(cid:271)(cid:46)2(cid:130)(cid:38)(cid:335)(cid:193)(cid:71)(cid:204)(cid:118)(cid:38)(cid:179)(cid:63)(cid:43)(cid:164)(cid:165)(cid:186)(cid:56)(cid:188)(cid:189)1
4
π
(cid:220)(cid:182)(cid:267)(cid:38)(cid:124) 𝑓 (cid:190)𝑥 (cid:115)(cid:13) ( )(cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:38)(cid:131)(cid:115)(cid:13) ( )(cid:54)(cid:238)(cid:239)(0, )(cid:56)(cid:46)(cid:132)(cid:218).
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:93)1(cid:94)𝑔(cid:111)𝑥(cid:112)(cid:164)(cid:165)(cid:38)(cid:336)(cid:332)(cid:131)(cid:124)𝑔 𝑥 (cid:46)(cid:132)(cid:38)(cid:194)π(cid:135)(cid:131)(cid:124) ( )(cid:46)(cid:107)(cid:199)(cid:128).
(cid:93)2(cid:94)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:13)(cid:164)(cid:165)(cid:118)(cid:119)(cid:131)(cid:124) ( )(cid:38)(cid:111)𝐴,𝜑(cid:112),𝜔(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:13)(cid:132)(cid:218)(cid:46)(cid:131)𝑓(cid:175)𝑥(cid:131)(cid:124)(cid:115)(cid:13) ( )(cid:54)(cid:238)(cid:239)(0, )(cid:56)(cid:46)(cid:132)(cid:218).
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)(cid:93)1(cid:94)(cid:111)(cid:112)(cid:164)(cid:165)(cid:123)(cid:122)(cid:10)𝑔 𝑥 =2(cid:38)(cid:115)(cid:13) ( )(cid:133)(cid:170)(0,1)(cid:38) 𝑔 𝑥 π
1 𝐴 𝑓 𝑥
2sin = sin = (cid:38)(cid:211)0< < = (cid:38)
2 2 6
π π
∴ 𝜑 1⇒ 𝜑 𝜑 ⇒𝜑(cid:209) (cid:115)(cid:13) ( )(cid:133)(cid:170) 11 ,0 (cid:38)
12
π
∵ 𝑓 𝑥
11
(cid:140)(cid:164)(cid:165)(cid:123)(cid:122) + =2 (cid:38)(cid:124) =2(cid:38)
12 6
π π
∴ 𝜔 π 𝜔
( )=2sin + .
6
π
(cid:93) ∴ 2 𝑓 (cid:94)𝑥(cid:111)(cid:112)(cid:21)(cid:22)2(cid:123)𝑥(cid:124)(cid:10)
(cid:115)(cid:13) ( )(cid:164)(cid:165)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189) (cid:220)(cid:182)(cid:267)(cid:124)(cid:190) =sin 2 + =2sin (cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:38)
4 4 6 3
π π π π
𝑓 𝑥 𝑦 𝑥− 2𝑥−
(cid:83)(cid:192)(cid:193)(cid:71)(cid:334)(cid:268)(cid:157)(cid:270)(cid:271)(cid:46)2(cid:130)(cid:124)(cid:190) =2sin (cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:38)
3
π
𝑦 𝑥−
(cid:179)(cid:63)(cid:186)(cid:56)(cid:188)(cid:189)1(cid:220)(cid:182)(cid:267)(cid:124)(cid:190)(cid:115)(cid:13) ( )=2sin +1(cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:38)
3
π
𝑔 𝑥 𝑥−
(0, )(cid:38) , 2 ,sin 3,1 (cid:38)
3 3 3 3 2
π π π π
𝑥∈ π 𝑥− ∈ − 𝑥− ∈ −
(cid:115)(cid:13) ( )(cid:54)(cid:238)(cid:239)(0, )(cid:56)(cid:46)(cid:132)(cid:218)(cid:157)( 3+1,3].
1∴7(cid:95)(cid:93)1𝑔5𝑥(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024π·(cid:337)(cid:97)(cid:271)(cid:338)·(cid:100)(cid:101)−(cid:102)(cid:103)(cid:94) (cid:46)(cid:258)(cid:114) (cid:38) (cid:38) (cid:46)(cid:68)(cid:246)(cid:28)(cid:247)(cid:157) (cid:38) (cid:38) (cid:38) (cid:157) (cid:188)(cid:28)
(cid:309)(cid:38) tan = tan △𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
𝑏 𝐴 (2𝑐−𝑏) 𝐵
(1)(cid:131) (cid:195)
𝐴
(2)(cid:104) = 3:2:2 3(cid:38) (cid:56)(cid:339)(cid:54)(cid:170) (cid:38)(cid:232)(cid:124) = (cid:38)(cid:131) (cid:95)
12
𝜋 𝑆△𝐴𝐵𝑀
𝑐:𝐴𝐷:𝑏 𝐴𝐷 𝑀 ∠𝐴𝐵𝑀 𝑆△𝐴𝐶𝐷
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:93)1(cid:94)(cid:125)(cid:64)(cid:143)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:43)(cid:246)(cid:325)(cid:16)(cid:157)(cid:114)(cid:46)(cid:143)(cid:228)(cid:38)(cid:88)(cid:148)(cid:113)(cid:114)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:131)(cid:107)(cid:155)(cid:123)(cid:195)
(cid:93)2(cid:94)(cid:244) = 3 (cid:38) >0(cid:38)(cid:54) (cid:243)(cid:38)(cid:125)(cid:64)(cid:227)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:123)(cid:131) = (cid:38)(cid:54) (cid:243)(cid:38)(cid:125)(cid:64)(cid:143)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:123)(cid:131)
= 3𝑐( 3 𝑘 (cid:38)(cid:83) 𝑘 (cid:140) = △𝐵 (cid:38) 𝐴𝐷 = = (cid:38)(cid:155)(cid:123)(cid:131)(cid:107) 𝐵𝐷 . 𝑘 △𝐴𝐵𝑀
2 −1)𝑘 𝑆△𝐴𝐵𝑀 𝐴𝑀 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐵
𝐴𝑀 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐶
sin sin
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)(cid:93)1(cid:94)(cid:140) tan = tan (cid:38)(cid:88)(cid:148)(cid:143)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:124)(cid:38)sin =(2sin sin (cid:38)
cos cos
𝐴 𝐵
(cid:156)(cid:157)sin >0(cid:38)(cid:153)(cid:158)sin 𝑏 co 𝐴 s + (2 s 𝑐 in −𝑏 c ) os 𝐵 =2sin cos (cid:38) 𝐵 𝐴 𝐶− 𝐵) 𝐵
(cid:155)sin 𝐵+ =2sin co𝐴s (cid:38)𝐵 𝐵 𝐴 𝐶 𝐴
(cid:209)sin(𝐴+𝐵)=sin(𝐶 𝐴=sin (cid:38)(cid:153)(cid:158)sin =2sin cos (cid:38)
(𝐴 𝐵) π−𝐶) 1 𝐶 𝐶 𝐶 𝐴
(cid:156)(cid:157)sin >0(cid:38)(cid:153)(cid:158)cos = (cid:38)
2
𝐶 𝐴(cid:209)0< < (cid:38)(cid:153)(cid:158) = (cid:195)
3
π
𝐴 π 𝐴
(cid:93)2(cid:94)(cid:140)(cid:93)1(cid:94)(cid:122)(cid:10) = (cid:38)
6
π
∠𝐵𝐴𝐷
(cid:244) = 3 (cid:38) >0(cid:38)(cid:105) = (cid:38) =2 3 (cid:38)
𝑐 𝑘 𝑘 𝐴𝐷 2𝑘 𝑏 𝑘
(cid:54) (cid:243)(cid:38) 2=3 2+4 2 3 cos = 2(cid:38)
6
𝜋
(cid:153)(cid:158) △𝐵𝐴𝐷 = (cid:38)(cid:105) 𝐵𝐷 2+ 𝑘 2= 𝑘 −22(cid:38) ⋅ 𝑘⋅2𝑘⋅ 𝑘
𝐵𝐷 𝑘 𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷
(cid:136)(cid:124)(cid:10) = (cid:38) = (cid:38)
2 6
π π
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶
= 2 2= (cid:38) = (cid:38)
𝐵𝐶 𝐴𝐶 −𝐴𝐵 3𝑘 𝐷𝐶 2𝑘
(cid:156)(cid:157) = (cid:38)
12
π
∠𝐴𝐵𝑀
3
(cid:54) (cid:243)(cid:38) = = (cid:38)
4
π
△𝐴𝐵𝑀 ∠𝐴𝑀𝐵 π−∠𝐵3𝐴𝑀sin−∠𝐴𝐵𝑀
(cid:153)(cid:158) s 𝐴 in 𝑀1 π 2 = si 𝐴 n 𝐵 3 4 π (cid:38)(cid:123)(cid:124) = s 𝑘 in ⋅ 3 4 π 1 π 2= 3( 2 3 −1)𝑘 (cid:38)
𝐴𝑀
(cid:156)(cid:157) = (cid:38)(cid:105) = 3(cid:38)
4
𝐴𝑀 3−
𝐴𝐷 2𝑘 𝐴𝐷
(cid:153)(cid:158) = = 3(cid:38)
𝑆△𝐴𝐵𝑀 𝐴𝑀 3− 4
𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐷
(cid:209) = = = 3 = 1 (cid:38)
𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐵 2 3 𝑘 2
𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝑘
(cid:153)(cid:158) = 3.
𝑆△𝐴𝐵𝑀
3−
8
𝑆△𝐴𝐶𝐷
18(cid:95)(cid:93)17(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:340)(cid:341)(cid:268)(cid:139)·(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:94)(cid:121)(cid:122)(cid:115)(cid:13) ( )=2 3sin cos cos2 +1(cid:95)
(1)(cid:104) , 2 (cid:38)(cid:131) ( )(cid:46)(cid:132)(cid:218)(cid:195) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥−2 𝑥
12 3
π π
(2)(cid:104)(cid:3) 𝑥∈ (cid:169)− x(cid:46)(cid:312)(cid:134) ( ) 𝑓 𝑥 =0(cid:219)(cid:113)(cid:220)(cid:342)(cid:343)(cid:46)(cid:231)(cid:13)(cid:111) (cid:38) (cid:38) (cid:38)(cid:211) < < (cid:38) +2 =3 (cid:38)(cid:131)a(cid:46)(cid:132)(cid:95)
1 2 3 1 2 3 3 1 2
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:93)1(cid:94)
𝑓
(cid:43)
𝑥 −𝑎
(cid:208)(cid:328)(cid:200)(cid:201)(cid:114) (cid:38)(cid:140)
𝑥
,
2𝑥
(cid:131)
𝑥
(cid:124)
𝑥 𝑥7
(cid:38)(cid:202)
𝑥
(cid:203)
𝑥
=sin
𝑥
(cid:46)(cid:182)
𝑥
(cid:183)(cid:206)(cid:38)(cid:131)(cid:124)(cid:115)
6 12 3 3 6
π π π π π
(cid:13) =sin (cid:46)(cid:132)(cid:218)(cid:38)(cid:344)(cid:135) 2𝑥 (cid:124) − ( )(cid:46)(cid:132)(cid:218)(cid:195) 𝑧 𝑥∈ − − ≤𝑧≤ 𝑦 𝑧
(cid:93) 𝑦 2(cid:94)(cid:88)(cid:148) 𝑧 (cid:115)(cid:13) ( )=2sin 𝑓 𝑥 (cid:46)(cid:164)(cid:165)(cid:38)(cid:124) = + (cid:31) 1 2= + (cid:38) Z(cid:38)(cid:131)(cid:124) = + (cid:38) Z(cid:38)
6 3 1 2 2 3 1 2 6
π 𝑥 +𝑥 𝑘π π 𝑘π π
𝑓 𝑥 2𝑥− 𝑥 𝑥 π 𝑘∈ 𝑥 𝑘∈
(cid:140)(cid:312)(cid:134) =2sin + (cid:155)(cid:123)(cid:131)(cid:124) (cid:132).
6
π
𝑎 𝑘π 𝑎
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)(cid:93)1(cid:94) ( )=2 3sin cos cos2 +1= 3sin cos =2sin
6
π
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥−2 𝑥 2𝑥− 2𝑥 2𝑥−
(cid:156) , 2 (cid:38)(cid:244) = (cid:38)(cid:105) 7 (cid:38)
12 3 6 3 6
π π π π π
𝑥∈ − 𝑧 2𝑥− − ≤𝑧≤7
(cid:156) =sin (cid:54) , ](cid:56)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:38)(cid:54)[ , ](cid:56)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:273)(cid:38)
32 2 6
ππ π π
𝑦 𝑧 [−
(cid:135)sin )= 3,sin 7 = 1 (cid:38)(cid:136) 3 sin 1(cid:95)
3 2 6 2 2 6
π π π
(− − − − ≤ 2𝑥− ≤
(cid:105) 3 ( ) 2(cid:38) ( )(cid:46)(cid:132)(cid:218)(cid:157)[ 3,2](cid:95)
(cid:93) − 2(cid:94)(cid:74) ≤ (cid:164) 𝑓 (cid:38)𝑥(cid:156) ≤ ( )= ∴ 2 𝑓 si 𝑥 n (cid:46)(cid:179)−(cid:61)(cid:143)(cid:180)(cid:181)(cid:157) (cid:38)
6
π
(cid:210) =±2(cid:58)(cid:38)(cid:345) 𝑓 (cid:124)𝑥 = + 2𝑥 , − = +2 (cid:38)(cid:204)(cid:213)(cid:214) π +2 =3 (cid:38)(cid:136)(cid:160)(cid:261)(cid:38)
2 1 3 1 3 1 2
𝑎 𝑥 𝑥 π𝑥 𝑥 π 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:210) < <2(cid:58)(cid:38)(cid:336)(cid:21)(cid:22)(cid:10) = + (cid:38)(cid:197)(cid:198) +2 =3 (cid:124)(cid:10) = + (cid:95)
3 1 3 1 2 2 1 3
π
−2 𝑎 𝑥 𝑥 π 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:140) = + (cid:38) Z(cid:38)(cid:123)(cid:124) = + (cid:38) Z(cid:95)
6 2 2 3
π π 𝑘π π
2𝑥− 𝑘π 𝑘∈ 𝑥 𝑘∈
(cid:140) 1 2= + (cid:38) Z(cid:38)(cid:197)(cid:198) = + (cid:38)(cid:107)(cid:124) = + (cid:38) Z(cid:95)
2 2 3 2 1 3 1 2 6
𝑥 +𝑥 𝑘π π π 𝑘π π
𝑘∈ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑘∈
=2sin 2 + =2sin + (cid:38) Z(cid:38)
2 6 6 6
𝑘π π π π
∴𝑎 − 𝑘π 𝑘∈
(cid:210) = Z(cid:58)(cid:38)2sin + =2sin + =1(cid:38) Z(cid:195)
6 6
π π
𝑘 2𝑛,𝑛∈ 𝑘π 2𝑛π 𝑛∈
(cid:210) = + Z(cid:58)(cid:38)2sin + =2sin + = (cid:38) Z(cid:38)
6 6
π 7π
𝑘 2𝑛 1,𝑛∈ 𝑘π 2𝑛π −1 𝑛∈
(cid:136) (cid:46)(cid:132)(cid:157)±1(cid:95)
19𝑎(cid:95)(cid:93)17(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:137)(cid:97)·(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:94)(cid:54) (cid:243)(cid:38)(cid:114) (cid:38) (cid:38) (cid:153)(cid:68)(cid:46)(cid:246)(cid:28)(cid:247)(cid:346)(cid:157) (cid:38) (cid:38) (cid:38)(cid:211)tan =
cos sin △𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝐴
(cid:95)
cos sin
𝐵− 𝐶
𝐶+ 𝐵
(1)(cid:104) = (cid:38)(cid:131) (cid:46)(cid:290)(cid:61)(cid:95)
6
π
𝐵 𝐶
(2)(cid:104) =2(cid:38)(cid:131) + (cid:46)(cid:222)(cid:132)(cid:223)(cid:224)(cid:95)
𝑎 𝑏 𝑐 cos sin
(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:93)1(cid:94)(cid:140)tan = (cid:38)(cid:124)sin cos +sin sin =cos cos cos sin (cid:38)(cid:83)(cid:125)(cid:64)(cid:33)(cid:114)(cid:31)(cid:142)(cid:46)
cos sin
𝐵− 𝐶
(cid:143)(cid:227)(cid:228)(cid:7)(cid:128)(cid:16)(cid:120)(cid:38)(cid:145)(cid:135)(cid:123) 𝐴 (cid:131)(cid:124) 𝐶+(cid:46)(cid:3)𝐵(cid:152)(cid:38)(cid:155)(cid:123) 𝐴 (cid:124)(cid:107) 𝐶 (cid:195) 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵− 𝐴 𝐶
(cid:93)2(cid:94)(cid:125)(cid:64)(cid:143)(cid:228)(cid:216)(cid:15)(cid:131)(cid:59) (cid:38)(cid:83)𝐴,(cid:111)𝐵(cid:112) (cid:46)(cid:3)(cid:152)(cid:88)(cid:148)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:13)(cid:46)(cid:206)(cid:254)(cid:155)(cid:123)(cid:124)(cid:107).
𝑏,𝑐 cos 𝐴si,n𝐵 sin cos sin
(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:110)(cid:93)1(cid:94)(cid:156)(cid:157)tan = (cid:38)(cid:153)(cid:158) = (cid:38)
cos sin cos cos sin
𝐵− 𝐶 𝐴 𝐵− 𝐶
𝐴 𝐶+ 𝐵 𝐴 𝐶+ 𝐵(cid:155)sin cos +sin sin =cos cos cos sin (cid:38)
(cid:155)sin𝐴cos𝐶+cos𝐴sin𝐵 =cos𝐴cos𝐵−sin𝐴sin𝐶(cid:38)
(cid:153)(cid:158)s𝐴in( 𝐶+ )=𝐴cos(𝐶 + )(cid:38)𝐴(cid:155)s𝐵in− =𝐴cos(𝐵 + )(cid:38)
𝐴 𝐶 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 𝐵
(cid:135) (0, (cid:38)(cid:153)(cid:158) + + = (cid:159) ( + )= (cid:38)
2 2
π π
𝐴,𝐵∈ π) 𝐵 𝐴 𝐵 𝐵− 𝐴 𝐵
(cid:153)(cid:158) + = (cid:159) = (cid:93)(cid:160)(cid:261)(cid:94)(cid:38)
2 2
π π
𝐴 2𝐵 𝐴 −
(cid:209)(cid:156)(cid:157) = (cid:38)(cid:153)(cid:158) = (cid:38)
6 6
π π
𝐵 𝐴
2
(cid:153)(cid:158) = (cid:195)
3
π
𝐶
(cid:93)2(cid:94)(cid:140)(cid:93)1(cid:94)(cid:124) + = (cid:38)
2
π
𝐴 2𝐵
(cid:156)(cid:157) = = (cid:38)
sin sin sin
𝑎 𝑏 𝑐
𝐴 sin 𝐵 2sin 𝐶 2sin 2sin
(cid:153)(cid:158) = = = = (cid:38)
sin sin sin cos
𝑎 𝐵 𝐵 π 2 𝐵 𝐵
𝑏
sin 2
𝐴
sin
2𝐴sin −2
2
𝐵
cos
2𝐵
= = = 2 = (cid:38)
𝑎 sin 𝐶 sin 𝐶 sin 2 π +𝐵 cos 𝐵
π
𝑐 𝐴 2(sin 𝐴 cos ) −22𝐵(sin cos 2𝐵 ) 2 2
(cid:105) + = = = = (cid:38)
cos cos2 sin2 cos sin cos
𝐵+ 𝐵 𝐵+ 𝐵 4
π
𝑏 𝑐 0< <2𝐵 𝐵− 𝐵 𝐵− 𝐵 𝐵+
(cid:209)(cid:140) 0< < (cid:38)(cid:124)0< < (cid:38)
0<π 2 +𝐵 <π π 4
2−2𝐵 π
π 𝐵
(cid:153)(cid:158) < + < 𝐵 (cid:38) π (cid:153)(cid:158)0
