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2021-2022 学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编
专题 11 弧长及扇形的面积
一．选择题
1．（2021•毕节市）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧， ， 所在圆
的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB
＝120°，则弯道外边缘 的长为（ ）
A．8πm B．4πm C． πm D． πm
【思路引导】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．
【完整解答】解：∵OC＝12m，AC＝4m，
∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），
∵∠AOB＝120°，
∴弯道外边缘 的长为： ＝ （m），
故选：C．
2．（2021春•江岸区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，将 沿BC翻折，翻折后的弧交AB于D．若
BC＝ ，sin∠ABC＝ ，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C．8 D．10
【思路引导】连接AC，CD，过点C作CH⊥AB于H．根据圆周角定理得出 ＝ ，则AC＝CD，从
而得出S ＝S ，解直角三角形求得CH、AD，利用三角形面积公式即可求得阴影的面积．
阴影 △ACD
【完整解答】解：如图，连接AC，CD，过点C作CH⊥AB于H．
∵∠ABC＝∠DBC，
∴ ＝ ，
∴AC＝CD，
∵CH⊥AD，
∴AH＝HD，
∵BC＝ ，sin∠ABC＝ ，
∴CH＝BC•sin∠ABC＝4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵sin∠ABC＝ ＝ ，
∴设AC＝ m．AB＝5m，
根据勾股定理，AC2+BC2＝AB2，
∴5m2+80＝25m2，
∴m＝2，
∴AC＝CD＝2 ，
∴AH＝ ＝ ＝2，
∴AD＝2AH＝4，∴S ＝S ＝ ＝ ＝8，
阴影 △ACD
故选：C．
3．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ ，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径
画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点
F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣
【思路引导】先根据直角三角形中的勾股定理求得AC＝1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则
图形的面积：S ＝S ﹣（S +S ），将相关量代入求解即可．
阴影部分 △ABC 扇形EBF 扇形DAC
【完整解答】解：根据题意可知AC＝ ＝ ＝1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1，
设∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S ＝S ﹣（S +S ）＝ ﹣（ ）＝1﹣ ＝1﹣
阴影部分 △ABC 扇形EBF 扇形DAC
，
故选：D．
4．（2021•贺州）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】首先求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式即可求解．
【完整解答】解：连接AD，如图所示：
∵D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，
∴AD＝AB•sin60°＝2× ＝ ，
∴阴影部分的面积＝ ＝ ．
故选：C．
5．（2021•兴安盟）如图，两个半径长均为 的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心
C是 的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中
阴影面积等于（ ）A． B． C．π﹣1 D．π﹣2
【思路引导】根据扇形的面积公式求出面积，再过点 C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，
然后证明△CMG与△CNH全等，从而得到中间空白区域的面积等于以 为对角线的正方形的面积，从
而得出阴影部分的面积．
【完整解答】解：两扇形的面积和为： ＝π，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是 的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM＝CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，
∴∠MCG＝∠NCH，
在△CMG与△CNH中，
，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中间空白区域面积相当于对角线是 的正方形面积，
∴空白区域的面积为： × × ＝1，
∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．
故选：D．6．（2021•牡丹江）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半
径为（ ）
A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm
【思路引导】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，所以根据原题所给出
的等量关系，列出方程，解方程即可．
【完整解答】解：设弧所在圆的半径为rcm，
由题意得， ＝2π×3×5，
解得，r＝40．
故选：B．
7．（2021•枣庄）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．
以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分
的面积为（ ）
A．π﹣1 B．π﹣3 C．π﹣2 D．4﹣π
【思路引导】连接BD，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积
割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．
【完整解答】解：连接BD，EF，如图，∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD＝FO＝EO＝EB＝1，
∴ ，OB＝OD．
∴弓形OB＝弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S ＝S ﹣S ＝ ＝π﹣2．
阴影 扇形CBD △CBD
故选：C．
8．（2021•武汉模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点D在OA上，连接BD，点C在
AB上，且点C，O关于直线BD对称，连接CD，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． ﹣ B．π﹣ C． ﹣ D． ﹣
【思路引导】连接OC交BD于点E，由翻折的性质可知：OE＝EC＝1，在Rt△OBE中，根据特殊锐角
三角函数值可知∠OBC＝30°，然后在Rt△DOB中，可求得BD，最后根据阴影部分的面积＝扇形面积
﹣四边形OBCD面积求解即可．
【完整解答】解：连接OC交BD于点E．
∴扇形的面积＝ ×22π＝π，
∵点O与点D关于BC对称，∴OE＝EC＝1，OC⊥BD．
在Rt△OBE中，sin∠OBE＝ ＝ ，
∴∠OBC＝30°．
∴BD＝ ＝ ＝ ，
∴阴影部分的面积＝扇形面积﹣四边形OBCD的面积
＝π﹣ •BD•OC＝π﹣ ．
故选：B．
9．（2021•湖州）如图，已知在矩形 ABCD中，AB＝1，BC＝ ，点P是AD边上的一个动点，连结
BP，点C关于直线BP的对称点为C ，当点P运动时，点C 也随之运动．若点P从点A运动到点D，
1 1
则线段CC 扫过的区域的面积是（ ）
1
A．π B．π+ C． D．2π
【思路引导】由临界状态确定出C 的运动路径，明确点P从点A运动到点D，则线段CC 扫过的区域为：
1 1
扇形BC'C''和△BCC''，再分别计算两部分面积即可．
【完整解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，
当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，
∴点P从点A运动到点D，则线段CC 扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，
1
在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝ ，CD＝1，
∴tan∠DBC＝ ，
∴∠DBC＝30°，
∴∠CBC″＝60°，
∵BC＝BC''
∴△BCC''为等边三角形，∴S ＝ ＝π，
扇形BC′C″
作C''F⊥BC于F，
∵△BCC''为等边三角形，
∴BF＝ ，
∴C''F＝tan60°× ＝ ，
∴S ''＝ ，
△BCC
∴线段CC 扫过的区域的面积为：π+ ．
1
故选：B．
10．（2019•罗山县一模）如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A与
点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影
部分的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3 ，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据
扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S ﹣S ，能进而求出答案．
扇形AOD △COD【完整解答】解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD＝ ＝3 ，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S ﹣S ＝ ﹣ ×3×3 ＝6π﹣
扇形AOD △COD
，
∴阴影部分的面积为 ﹣2×（6π﹣ ）＝9 ﹣3π，
故选：A．
二．填空题
11．（2021春•威宁县期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝2cm，AD＝4cm，E，F分别为AD，BC的中
点，分别以C，F为圆心，FC长为半径画弧把长方形分成三个部分，则图中两个阴影部分的面积和为
4 cm 2 ．
【思路引导】连接EF，如图，先证明四边形ABFE为正方形，利用扇形的面积公式可判断S ＝S
扇形BFE 扇
，所以图中两个阴影部分的面积和＝S正 ．
形FCD 方形ABFE
【完整解答】解：连接EF，如图，
∵E，F分别为AD，BC的中点，
而四边形ABCD为矩形，∴AE＝BF＝2cm，
而AB＝2cm，
∵四边形ABFE为正方形，
∴∠BFE＝∠FCD＝90°，
∴S ＝S ，
扇形BFE 扇形FCD
∴图中两个阴影部分的面积和＝S ＝2×2＝4（cm2）．
正方形ABFE
故答案为4cm2．
12．（2021•福州模拟）如图，扇形AOB中，半径OA＝2，圆心角∠AOB＝60°，以OA为直径的半圆交
OB于点C，则图中两个阴影部分面积的差的绝对值是 ．
【思路引导】先计算出半圆面积，再计算出扇形OAB的面积，通过观察，图中两个阴影部分面积的差
的绝对值为半圆面积减去扇形AOB的面积的差的绝对值．即可得答案．
【完整解答】解：由OA＝2可得半圆的半径为1，
则半圆面积为 π×12＝ ，
扇形AOB面积为 ＝ ，
则图中两个阴影部分面积的差的绝对值为 ＝ ，
故答案为： ．
13．（2021春•沙坪坝区校级月考）在平行四边形ABCD中，P为AD上一点，AP＝4，AB＝4，∠D＝60°，以A为圆心，AP为半径画弧，与BC交于点E，并刚好经过B点，则阴影部分面积为 π ﹣ 4
．（结果保留π）
【思路引导】作AH⊥BC于H，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝60°，根据等边三角形的性质得到
BE＝AB＝4，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，
【完整解答】解：如图，作AH⊥BC于H，
在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，
∴∠BAD＝120°，∠ABC＝∠D＝60°，
∵AE＝AB＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝AE＝4，
∴AH＝AB•sin∠ABE＝4× ＝2 ，
∴图中阴影部分的面积＝ ﹣ ×4×2 ＝ π﹣4 ，
故答案为： π﹣4 ．
14．（2021•北碚区校级模拟）如图，点 D在⊙O的直径AB的延长线上，点 C在⊙O上，AC＝CD，
∠ACD＝120°，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 2 ﹣ π ．【思路引导】连接OC，求出∠D和∠COD，求出边DC长，分别求出三角形OCD的面积和扇形COB
的面积，即可求出答案．
【完整解答】解：连接OC，
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠COD＝60°，
在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，∠D＝30°，OC＝2，
∴CD＝2 ，
∴阴影部分的面积是S ﹣S ＝ ×2×2 ﹣ ＝2 ﹣ π，
△OCD 扇形COB
故答案为：2 ﹣ π．
15．（2021•盘锦）如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形（即阴影部分）
的面积之和为 2 π ．（结果保留π）【思路引导】】根据三个扇形的半径都是2，由扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【完整解答】解：∵三个扇形的半径都是2，
∴而三个圆心角的和是180°，
∴图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为 ＝2π．
故答案为：2π．
16．（2021•鼓楼区校级三模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D，E分别是半径OA，OB上的点，
以OD，OE为邻边的 ▱ODCE的顶点C在 上，若OD＝4，OE＝3，则阴影部分图形的面积是 π
﹣ 1 2 ．（结果保留π）
【思路引导】连接OC，根据勾股定理可以求得OC的长，然后由图可知，阴影部分的面积＝扇形的面
积﹣矩形ODCE的面积，代入数据计算即可解答本题．
【完整解答】解：连接OC，
∵∠EOD＝90°，四边形ODCE是平行四边形，
∴四边形ODCE是矩形，
∴∠ODC＝90°，OE＝DC，又∵OD＝4，OE＝3，
∴DC＝3，
∴OC＝ ＝ ＝5，
∴阴影部分图形的面积是： ﹣3×4＝ π﹣12，
故答案为： π﹣12．
17．（2021•九龙坡区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，分别以B、D为圆心，正方形的边长为半径
画圆，则图中的阴影部分面积为 8 π ﹣ 1 6 ．（结果保留π）
【思路引导】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为90°，且半径为4的扇形的面积与正方形的面
积的差，可据此求出阴影部分的面积．
【完整解答】解：由题意可得出：S ＝2S ﹣S ＝2× ﹣42＝8π﹣16，
阴影 扇形 正方形
故答案为8π﹣16．
18．（2021•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画
弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 π ﹣ （结果保留π）．【思路引导】连接CE，由扇形CBE面积﹣三角形CBE面积求解．
【完整解答】解：连接CE，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CE＝CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，
∴S ＝ ＝ π
扇形CBE
∵S ＝ BC2＝ ，
△BCE
∴阴影部分的面积为 π﹣ ．故答案为： π﹣ ．
19．（2020秋•巩义市期末）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于 的 处
且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD
滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 ．
【思路引导】如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．证明△OBF是等边三角形，利用直
角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点
E与点T重合，求出BT，FT， 的长即可．
【完整解答】解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．
∵∠AOB＝90°， ＝ ，
∴∠BOF＝60°，
∴ 的长＝ ＝ π，
∵CE＝DE，
∴OE＝ CD＝2，∵OF＝4，
∴EF≥OF﹣OE＝2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BE＝BT＝ ＝ ＝2 ，
∴此时阴影部分的周长为2+2 + π．
故答案为：2+2 + π．
20．（2021•青岛二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上动
点，若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为 3 + ．
【思路引导】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为
弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【完整解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、
OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，∴CD′＝ ＝ ＝3 ，
∴ 的长l＝ ＝ ，
∴阴影部分周长的最小值为3 + ．
故答案为：3 + ．
三．解答题
21．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，
BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2 ，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．
【思路引导】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF＝BA，即可证明CD与圆B相切；
（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD＝30°，求出AD，再利用S ﹣S 求
△ABD 扇形ABE
出阴影部分面积．
【完整解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；
（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF＝ ，
∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
∴阴影部分的面积＝S ﹣S
△ABD 扇形ABE
＝
＝ ．22．（2021•苏州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝28°，求 的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积；
（3）若AC＝ ，求AD•AB的值．
【思路引导】（1）连接CD，如图，利用互余计算出∠BAC＝62°，然后计算出∠ACD的度数，则根据
圆心角定理得到 的度数；
（2）利用斜边上的中线性质得到CD＝AD＝BD＝ AB＝1，再判断△ACD为等边三角形，则∠ACD＝
60°，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积＝S ﹣S 进行计算；
扇形ACD △ACD
（3）根据垂径定理得到AH＝DH＝ AD，再根据相似三角形的性质得到 AC2＝AH•AB，然后把AC＝
代入计算可得到AD•AB的值．
【完整解答】解：（1）连接CD，如图，
∵∠ACB＝90°，∠B＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴ 的度数为56°；
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝BD＝ AB＝1，
∵CD＝CA，∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴阴影部分的面积＝S ﹣S
扇形ACD △ACD
＝ ﹣ ×12
＝ π﹣ ；
（3）过点C作CH⊥AD于H，
∴AH＝DH＝ AD，
∵∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴∠ACB＝∠AHC，
∵∠A＝∠A，
∴△ACH∽△△ABC，
∴AC：AB＝AH：AC，
∴AC2＝AH•AB，
即（ ）2＝ AD•AB，
∴AD•AB＝6．
23．（2020秋•富县期末）某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径OA＝24cm，OC＝12cm，∠AOB＝135°．（计算结果保留π）
（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？
（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）．
【思路引导】（1）主要是求阴影部分扇形环的外环和内环的弧长之和，即求优弧AB+优弧CD；直接利
用弧长公式求解即可．
（2）求扇环的面积，即S ＝S ＝（π×242﹣S ）﹣（π×122﹣S ）．
侧 阴影 扇形OAB 扇形OCD
【完整解答】解：（1）优弧 的长为 （cm），
优弧 的长为 （cm），
至少需要花边的长度为30π+15π＝45π（cm）；
（2）灯罩的侧面积＝S ＝（π×242﹣S ）﹣（π×122﹣S ）＝
阴影 扇形OAB 扇形OCD
．
24．（2021春•射阳县校级期末）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A（0，4），B（4，4），C
（6，2）．
（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为 （ 2 ， 0 ） ．
（2）求弧ABC的长．
【思路引导】（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案；（2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可．
【完整解答】解：（1）由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点P（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）根据网格可得，OP＝CQ＝2，OA＝PQ＝4，
∠AOP＝∠PQC＝90°，
由勾股定理得，
AP＝ ＝ ＝2 ＝PC，
∵AP2＝22+42＝20，CP2＝22+42＝20，AC2＝22+62＝40，
∴AP2+CP2＝AC2，
∴∠APC＝90°，
∴弧ABC的长为 ＝ π，
答：弧ABC的长为 π．
25．（2021•贵阳）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是 的中点，过点E作AB
的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 BE ＝ EM ；
（2）求证： ＝ ；
（3）若AM＝ ，MB＝1，求阴影部分图形的面积．【思路引导】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到 ＝ ，根据题意得到
＝ ，进一步得到 ＝ ；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE
＝ ，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【完整解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是 的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝ EM，
故答案为BE＝ EM；
（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是 的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝ ∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴ ＝ ，
∵点E是 的中点，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝ EM，
∴BE＝ ，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝ ，
∴tan∠EAB＝ ＝ ，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝ ∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝ ，
又∵ ＝ ，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S ＝ ＝ ，S ＝ CN• CN＝ × ＝ ，
扇形OCN △OCN∴S ＝S ﹣S ＝ ﹣ ．
阴影 扇形OCN △OCN
26．（2021•南昌模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并
延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．
（1）求证：BD＝BE；
（2）已知AC＝1cm，BC＝ cm．
①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；
②求图中阴影部分面积．
【思路引导】（1）只要证得OB⊥DE即可；
（2）①证得BF是△DCE的中位线，得到BF＝ CD，即可求得BF的长；
②由S ＝S ﹣S 求得即可．
阴影 扇形ODE △ODE
【完整解答】（1）证明：∵AO＝AC，
∴∠ACO＝∠AOC，
∵∠D＝∠OCB，∠BOD＝∠AOC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠BOD+∠D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BOD+∠D＝90°，
∴OB⊥DE，
∴BD＝BE；（2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1cm，BC＝ cm．
∴tan∠ABC＝ ＝ ＝ ，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，∠A＝60°，
∵OA＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴OC＝AC＝1cm，∠AOC＝60°，
∴∠D＝∠OCB＝30°，OB＝AB﹣OA＝1，
∴OD＝2OB＝2，
∴CD＝OD+OC＝3，
∵∠D＝∠OCB，
∴BD＝BC，
∵BD＝BE，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠D+∠BEC＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴BF∥CD，
∵BD＝BE，
∴BF＝ CD＝ ；
②解：连接OE，
∵OD＝2、OB＝1，
∴BD＝ ，
则DE＝2BD＝2 ，
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED＝30°，
∴∠DOE＝120°，
S ＝S ﹣S ＝ ﹣ ×2 ×1＝ π﹣ ．
阴影 扇形ODE △ODE27．（2021•黔东南州模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O
点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．
【思路引导】（1）根据∠D＝60°，可得出∠B＝60°，继而求出BC，判断出OE是△ABC的中位线，就
可得出OE的长；
（2）连接OC，将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积．
【完整解答】解：（1）∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°（圆周角定理），
又∵AB＝6，
∴BC＝3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝ BC＝ ；
（2）连接OC，则易得△COE≌△AFE，
故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，
S ＝ ＝ π．
扇形FOC
即可得阴影部分的面积为 π．
28．（2020•花溪区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过
点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．
【思路引导】（1）解直角三角形求出AH，OH，根据S ＝S ﹣S ，求解即可．
阴 △AOH 扇形OMH
（2）作点M关于B的对称点M′，连接HM′交BD于P，连接PM，连接PM，此时PH+PM的值最小，
解直角三角形求出OP，OD即可．
【完整解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，
∵OH⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∵∠OAH＝30°，
∴∠AOH＝60°，OH＝ OA＝2，AH＝ OH＝2 ，∴S ＝S ﹣S ＝ ×2×2 ﹣ ＝2 ﹣ π．
阴 △AOH 扇形OMH
（2）作点M关于B的对称点M′，连接HM′交BD于P，连接PM，连接PM，此时PH+PM的值最小．
∵OH＝OM′，
∴∠OHM′＝∠OM′H，
∵∠AOH＝∠OHM′+∠OM′H＝60°，
∴OP＝OM′•tan30°＝ ，
∵OD＝OA•tan30°＝ ，
∴PD＝OD+OP＝ + ＝2 ．
29．（2019秋•乐亭县期末）将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直
径的一端B顺时针旋转30°后得到如图所示的图形， 与直径AB交于点C，连接点C与圆心O′．
（1）求 的长；
（2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积S ．
白
【思路引导】（1）连接BC，作O′D⊥BC于D，根据旋转变换的性质求出∠CBA′的度数，根据弧长公式计算即可；
（2）根据扇形面积公式、三角形面积公式，结合图形计算即可．
【完整解答】解：（1）连接BC，作O′D⊥BC于D，
由题意得，∠CBA′＝30°，
则∠BO′C＝120°，O′D＝ O′B＝5，
∴ 的长为： ＝ ；
（2）由题O′B＝O′C＝10，∠O′BC＝30°，
∴在Rt△O′BD中，O′D＝ O′B＝5，BD＝ ＝5 ，
∴BC＝2BD＝10 ，
∴S ＝ ＝ ＝25 ，
△O′BC
∴S ＝ ×π×102﹣（ ﹣S ）
白 △O′BC
＝50π﹣ +25
＝ π+25 ．
