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第八章《二元一次方程组》同步单元基础与培优高分必刷卷
全解全析
1．A
【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，解方程组即可．
【详解】解： 关于 ， 的方程 是二元一次方程，
，解得： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据题意列出关于m、n的方程组，是解
题的关键．
2．A
【分析】将 代入原方程，可得出关于 的一元一次方程，解之即可求出 的值．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
解得： ，
∴ 的值为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
理解二元一次方程解的定义是解题的关键．
3．B
【分析】将方程整理为 ，将x的值依次代入，即可进行解答．
【详解】解：当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意；
综上：符合条件的自然数解有4组，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个
未知数．
4．B
【分析】将两个二元一次方程联立成方程组，解这个方程组求得 ， 的值，再将 ， 的值代入代数式，计算即可得出结论．
【详解】解：∵关于 ， 的方程 和 的解相同，
∴可得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解二元一次方程组、求代数式的值，根据题意，
联立二元一次方程组，并求得 ， 的值是解题的关键．
5．C
【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正
方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出 并判断 为5的倍数，然
后选择答案即可．
【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，
根据题意得： ，
两式相加得， ，
∵x、y都是正整数，
∴ 是5的倍数，
∵2023、2024、2025、2026四个数中只有2025是5的倍数，
∴ 的值可能是2025．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据未知数系数的特点，观察出所需两种纸
板的张数的和正好是5的倍数是解题的关键．
6．C
【分析】根据等量关系“每人出10元，则多了6元；每人出8元，则少了8元”列出方程
组即可．
【详解】解：设x人参与组团，物价为y元，由题意可得，
．
故选：C．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据物价得到等量关系是解决本
题的关键．
7．C【分析】根据二元一次方程解的定义把 ， 分别代入二元一次方程 中得
到关于k、b的方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵ ， 是关于x，y的二元一次方程 的解，
∴ ，
解得 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解
是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
8．A
【分析】根据用999文钱可以买梨和果共1000个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
此题得解．
【详解】解：依题意，得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正
确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．C
【分析】根据二元一次方程组的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、 有三个未知数，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
B、 最高次数为2，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
C、 是二元一次方程组，故该选项符合题意；
D、 含有分式，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，有两个未知数，每个含有未知数的项的次数
都是1，并且一共有两个一次方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
10．C【分析】设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入
手，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，再结合总面积为55，来讨论求解．
【详解】由图可知，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，则有方程
，x、y、z均为正整数，则未知数的取值范围为：x取0至11的正整数，y
取0至9的正整数，z取0至6的正整数；
当 时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有： ，即 ，
55无法被3整除，显然此时y、z无法取正整数，不合题意，则必选了A纸片；
当 时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有： ，即 ，
55无法被2整除，显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片；
从题目所求可知，不必讨论当 时的情况，
综上可以发现除B纸张外，A、C至少都取了一张，
则有 ，即 ，
即B型纸张最多用了7张，
故选：C．
【点睛】本题考了三元一次方程的正整数解的知识，解题关键是通过题中条件找到未知数
的范围．
11．A
【分析】根据题意，分别假设未知数，再根据对话内容列出方程组，即可求解答案．
【详解】解：设得3分，4分，5分和6分的共有x人，它们平均得分为y分，分两种情况：
（1）得分不足7分的平均得分为3分，
xy+3×2+5×1＝3（x+5+3），
xy﹣3x＝13①，
（2）得3分及以上的人平均得分为4.5分，
xy+3×7+4×8＝4.5（x+3+4），
4.5x﹣xy＝21.5②，
①+②得1.5x＝34.5，
解得x＝2.3，
故七（1）班共有学生23+5+3+3+4＝38（人）．
故选：A．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是了解题意，根据数量关系列出方程
组，即可求出结果．
12．C
【分析】将方程组变形为 ，进而可得到 ，求解即可．【详解】解：方程组 变形为 ，
∴由题意知， ，
解得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，学会运用整体代入的思想是解题的关键．
13．
【分析】由 得到 ，解方程组即可得到答案．
【详解】解： ，
②－①得：
把 代入①得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是两个非负数之和为 的性质，即绝对值与算术平方根的非负性，同
时考查了二元一次方程组的解法，有理数的乘方的符号的确定，掌握以上知识是解题的关
键．
14．①②③④
【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据 列出方程，求出k即可判断；②根
据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出k即可判断；③把底数统一化成k，等式
左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出k；④在
原方程中，我们消去k，即可得到x，y的关系．
【详解】解： ，
由②得： ③，把③代入①中，得： ④，
把④代入③中，得： ，
∴原方程组的解为 ．
①当x与y相等时， ，
即 ，
解得： ，
∴①正确；
②∵方程的两根互为相反数，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴②正确；
③ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将方程组的解代入得： ，
解得： ，
∴③正确；
④ ，
得 ，
即 ．
∴④正确．
综上所述，①②③④都正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握
用加减法求解二元一次方程组是解题的关键．15． ##
【分析】首先求出甲种坚果中每袋成本价，再求出1千克 坚果的成本价 1千克 坚果的
成本价，进而得出乙种坚果每袋售价，然后设该电商销售甲种袋装坚果 袋，乙种袋装坚
果 袋，再根据题意，列出方程求出比例关系即可．
【详解】解：∵甲种坚果每袋售价为 元，利润率为 ，
∴甲种坚果中每袋成本价为 元，
∵甲种坚果每袋装有4千克 坚果，1千克 坚果，1千克 坚果，
∴1千克 坚果的成本价 1千克 坚果的成本价 （元），
∵乙种坚果每袋装有1千克 坚果，2千克 坚果，2千克 坚果，
∴乙种坚果每袋成本价为 （元），
∴乙种坚果每袋售价为 （元），
设该电商销售甲种袋装坚果 袋，乙种袋装坚果 袋，
根据题意，可得： ，
整理，可得： ，
∴ ，
∴该电商销售甲，乙两种袋装坚果的数量之比是 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用、比例的应用，理解题意，得出等量关系是解题
的关键．
16．
【分析】设A、B、C三种类型货运轮船的每天的运货量分别为 ，调整前的数量
为 ,则调整后的数量为 ，根据每种类型的轮船每艘每天运货量不变，三种轮
船一天的运输总量增加了 ，三种轮船完成钢材运输计划需要t天，完成的总时间比调整
分配后的时间多了3天，B型轮船运输的时间恰好为C型轮船运输时间的2倍，列出方程
组，解方程组即可求解．
【详解】设A、B、C三种类型货运轮船的每天的运货量分别为 ，调整前的数量
为 ,则调整后的数量为 ，依题意得，整理得： ①
∵三种轮船完成钢材运输计划需要t天，完成的总时间比调整分配后的时间多了3天，B型
轮船运输的时间恰好为C型轮船运输时间的2倍，
∴
整理得： ②
联立①②得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
17．32
【分析】设出调配前甲，乙，丙三种货车的辆数以及每辆货车的日运货量，再根据题目的
条件列出关系式求解即可得出答案．
【详解】解：根据比例设甲、乙、丙每辆车日运货量为 ， ， ，调配前甲，乙，
丙三种货车分别为 辆， 辆， 辆，
则：调配后甲、乙、丙货车分别为： 辆， 辆， 辆，
依题意，得： ①，
②
由①得： ，代入②中得， ，
解得： ，则 ，
故乙货车共运32天．
故答案为：32．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，列代数式．用字母表示出甲，乙，丙每辆货车
的辆数以及日货运量来建立等量关系是解题的关键．
18． ##
【分析】设 月份阿尔卑斯、大白兔、不二家三种糖果的销售的数量分别为 、 、 ；
单价分别为 、 、 ，设 月份增加的总营业额为 ，通过分析题意，得出大白兔、不
二家两种糖果的营业额之和为 ，得出十一月份阿尔卑斯种糖果的营业额为 ，三种
糖果总营业额为 ，继而根据十一月份大白兔、不二家两种糖果的营业额之比为 得出大白兔、不二家两种糖果的营业额分别为 ， ，进而得出不二家糖果增加的营
业额，即可求解．
【详解】解:设 月份阿尔卑斯、大白兔、不二家三种糖果的销售的数量分别为 、 、 ；
单价分别为 、 、 ，
月份阿尔卑斯、大白兔、不二家三种糖果的销售额分别为 ， ， ；
月份阿尔卑斯糖果增加的营业额占总增加的营业额的 ，
设 月份增加的总营业额为 ，则 月份阿尔卑斯增加的营业额为 ；
又阿尔卑斯糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业额之比为 ，
，解得 ，
十一月份阿尔卑斯种糖果的营业额为 ，三种糖果总营业额为 ，
大白兔、不二家两种糖果的营业额之和为 ，
若十一月份大白兔、不二家两种糖果的营业额之比为 ，
则大白兔、不二家两种糖果的营业额分别为 ， ；
不二家糖果增加的营业额为 ，
十一月份不二家糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解
题是关键．
19．(1)
(2)
(3)(4)
【分析】（1）利用加减消元和代入消元法解方程即可；
（2）利用加减消元和代入消元法解方程即可；
（3）利用代入消元法解方程即可；
（4）利用加减消元法解方程即可．
【详解】（1）解： ，
① ②得：
④，
把③代入④得：
，
解得： ，
把 代入③得：
，
把 ， 代入①得：
，
解得： ，
原方程组的解为： ；
（2）解：
得：
，
∴ ，
由②得： ④，
将④代入①得：
，
解得： ，将 ， 代入④得：
，
∴原方程组的解为： ；
（3）解： ，
由①得 ④，
由②得 ⑤，
把④、⑤代入③得： ，
解得 ，
把 代入④得 ，
把 代入⑤得 ，
∴ ；
（4）解：
，得 ，
，得 ，
解方程组 ，
解得 ，把 代入①，得 ，
所以原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
20．(1)甲乐团有30人；乙乐团有45人
(2)共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从
乙乐团抽调7人．
【分析】（1）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购
买时，甲乐团每套服装是100元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；
②分别单独购买服装，一共应付6600元，列方程组求解即可；
（2）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利
院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，列出方程探讨答案即可．
【详解】（1）解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人，
根据题意，得 ，解得 ，
答：甲乐团有30人；乙乐团有45人；
（2）解：由题意，得3a+5b＝65，变形得b＝13﹣ a
每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数，
或 ，
共有两种方案：①从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；②从甲乐团抽调10人，从
乙乐团抽调7人．
【点睛】本题考查二元一次方程组与二元一次方程解实际应用题，读懂题意，准确找到等
量关系列方程是解决问题的关键．
21．
【分析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，
组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组
即可得出a，b的值．
【详解】解：因为两个方程组有相同的解，所以原方程组可化为
（1）， （2）解方程组（1）得 ，
代入（2）得 ，
解得： ．
所以 ．
【点睛】此题比较复杂，考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力，正确
理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
22．(1)A、B两种礼盒的售价分别为350元，420元
(2)
【分析】（1）设A、B两种礼盒的售价分别为x元，y元，然后根据买6个 礼盒的钱刚好
可以购买5个 礼盒；购买3个 礼盒的花费比购买2个 礼盒多210元列出方程组求解即
可；
（2）设共卖出B礼盒a个，则A礼盒有 个，再根据利润 售价 数量 成本价 数量
列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设A、B两种礼盒的售价分别为x元，y元，
由题意得， ，
解得 ，
∴A、B两种礼盒的售价分别为350元，420元；
（2）解：设共卖出B礼盒a个，则A礼盒有 个，
由题意得 ，
整理得： ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理
解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
23．(1)点P对应的数为 ；
(2)存在，当 或 时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍；
(3)P点的运动速度 单位长度 秒，Q点的运动速度 单位长度 秒．【分析】（1）设点P对应的数为x，表示出 与 ，根据 求出x的值，即可确
定出点P对应的数；
（2）表示出点P对应的数，进而表示出 与 ，根据 求出t的值即可；
（3）设P点的运动速度m单位长度 秒，Q点的运动速度n单位长度 秒，根据题意列出
关于m、n的二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】（1）点A、B对应的数分别是 和 ，
设点P对应的数为x，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴点P对应的数为 ；
（2）存在，理由如下，
由题意可知，设运动时间为t秒，
P对应的数为 ，
则 ，
，
当 时，解得 ，
当 时，解得 ，
答：当 或 时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍；
（3）设P点的运动速度m单位长度 秒，Q点的运动速度n单位长度 秒，
根据题意得，
解得
答：P点的运动速度 单位长度 秒，Q点的运动速度 单位长度 秒．
【点睛】本题考查数轴上的点表示的数及两点间的距离、一元一次方程的应用，二元一次
方程组的应用等知识，根据题中描述找到等量关系式是解题的关键．
24．(1) ；(2)点C的坐标是 或 ；
(3)D点的坐标为
【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出a、b，根据三角形的面积公
式计算求出 的面积；
（2）过点C作 轴，延长 交l于M，过点B作 于N，过点A作 于T，
根据三角形的面积公式计算；
（3）作 轴于点Q，作 轴于点S，解方程组用s表示出m、n，得到 ，
根据三角形的面积公式求出点D的纵坐标，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，
得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得， ，
解得， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：过点C作 轴，延长 交l于M，过点B作 于N，过点A作 于
T，
设 ，
，即 ，
解得， ，
∴ ，
，即 ，∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴点C的坐标是 或 ；
（3）解：设 ，
，解得， ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解答， ，
∵点D在第四象限，
∴ ，
过点D作 轴于点Q，过点B作 轴于点S，
，即 ，
解得 ，
∴D点的坐标为 ．
