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专题4.3 因式分解-提取公因式（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、因式分解的识别
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式由左边到右边是因式分解且分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．对于① ，② ，从左到右的变形，表述正确的是
（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
类型二、因式分解的参数问题
4．在 中，若有一个因式为 ，则k的值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
5．多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10
6．若分解因式2x2＋mx＋15＝(x－5)(2x－3)，则（ ）
A．m＝－7 B．m＝7 C．m＝－13 D．m＝13
类型三、识别公因式
7． 中， 为（ ）
A． B． C． D．
8．下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．3x﹣2与6x2﹣4x B．ab﹣ac与ab﹣bc
C．2（a﹣b）2与3（b﹣a）3 D．mx﹣my与ny﹣nx9．多项式 各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
类型四、提取公因式
10．将 分解因式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列各式的因式分解中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列关于2300+（﹣2）301的计算结果正确的是（ ）
A．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300
B．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2﹣1
C．2300+（﹣2）301＝（﹣2）300+（﹣2）301＝（﹣2）601
D．2300+（﹣2）301＝2300+2301＝2601
类型五、提取公因式的应用
13．如果a、b分别是 的整数部分和小数部分，那么 的值是（ ）
A．8 B． C．4 D．
14．已知 ， ，那么 的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
15．（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（ ）
A．﹣22019 B．﹣22020 C．22019 D．﹣2
二、填空题
类型一、因式分解的识别
16．下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________.
①(x＋5)(x－5)＝x2－25 ②x2－9＝(x＋3)(x－3) ③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1) ④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1 ⑤x＋1＝x(1＋ ) ⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)
17．把一个多项式化成几个______，叫做因式分解． 因式分解和整式乘法具有_____的关
系．
18．下列变形：①（x+1）（x﹣1）=x2﹣1；②9a2﹣12a+4=（3a﹣2）2；③3abc3=3c•abc2；
④3a2﹣6a=3a（a﹣2）中，是因式分解的有_____（填序号）
类型二、因式分解的参数问题
19．已知关于 的多式 的一个因式是 ，则 的值是__．
20．若多项式 有一个因式为 ，那么 ________．
21．若3x﹣1是多项式6x2+mx﹣1的一个因式，则m＝_____．
类型三、识别公因式
22．多项式 ， 与 的公因式为______．
23．单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．
24．多项式8x2myn﹣1﹣12xmyn中各项的公因式为_____．
类型四、提取公因式
25．因式分解： ____________．
26．分解因式： __________；
27．计算 的结果是________．
类型五、提取公因式的应用
28．若实数x满足 ，则 ______．
29．对任意实数x，点P(x，x2－2x)一定不在第______象限．
30．如若 ，则 的值为__________．
三、解答题
31．把下列各式因式分解：
（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） ．
32．（1）利用因式分解进行计算：
，其中 ；
（2）求 的值，其中 ；
（3）已知 ，求多项式 的值．
33．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直
到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有
理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式例如：当 时，求
的值．
为解答这题，若直接把 代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过
恒等变形，对本题进行解答．
方法一：将条件变形，因 ，得 ．再把所求的代数式变形为关于 的
表达式，可得原式方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．
由 ，可得 ，即 ， ．
原式 ．
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）当 时，求 的值；
（2）当 时，求 的值．
34．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一
个棱长为 的大正方体进行以下探索：
（1）在大正方体一角截去一个棱长为 的小正方体，如图1所示，则得到的几何体
的体积为________；
（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵ ，
， ，∴长方体①的体积为 ．
类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________；
（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________．
（5）已知 ， ，求 的值．参考答案
1．B
【解析】
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
解：A.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项错误；
B.把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项正确；
C.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项错误；
D.是整式的乘法，故此选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．
2．C
【解析】
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
【详解】
解：A、 是整式的乘法，故A不符合题意；
B、 ，原式分解不正确，故B不符合题意；
C、 ，分解正确，故C符合题意；D、 ，原式分解不正确，故D不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的
形式．
3．D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫
分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．
【详解】
解：① ，从左到右的变形是整式的乘法；② ，从
左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②因式分解．
故选：D．
【点拨】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘
法运算的定义．
4．A
【解析】
【分析】根据因式分解的意义可设 ，再利用整式乘法
计算 后得 ，即可根据因式分解与整式乘法
的关系求解．
【详解】
解：设 ，
∵
，∴ ， ， ，
解得 ， ， ．
故选：A．
【点拨】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】直接利用因式分解法得出m与3，-7的关系．
【详解】
解：∵多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），
∴m＝﹣7+3＝﹣4．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了因式分解法分解因式，正确掌握常数项与一次项系数的关系是解
题关键．
6．C
【解析】
【详解】
分析：先把等式的右边化为2x2﹣13x+15的形式，再求出m的值即可．
详解：∵(x－5)(2x－3)= 2x2﹣13x+15，∴m=﹣13．
故选C．
点睛：本题考查的是因式分解的意义，根据题意把(x－5)(2x－3)化为2x2﹣13x+15的形式是
解答此题的关键．
7．C
【解析】
【分析】根据除数=被除数÷商，将两个多项式化简，约分，可求出单项式M．
【详解】故选：C．
【点拨】本题考查了被除数、除数、商，三者之间的关系以及多项式除以单项式，涉及因
式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．
8．B
【解析】
【分析】根据公因式的定义逐一分析即可．
【详解】
解：A、6x2﹣4x＝2x（3x﹣2），3x﹣2与6x2﹣4x有公因式（3x﹣2），故本选项不符合题
意；
B、ab﹣ac＝a（b﹣c）与ab﹣bc＝b（a﹣c）没有公因式，故本选项符合题意；
C、2（a﹣b）2与3（b﹣a）3有公因式（a﹣b）2，故本选项不符合题意；
D、mx﹣my＝m（x﹣y），ny﹣nx＝﹣n（x﹣y），mx﹣my与ny﹣nx有公因式（x﹣y），
故本选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了公因式，熟悉因式分解是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【详解】
=6a2x2（2-3a2x），
6a2x2是公因式，
故选：D．
【点拨】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各
项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数
最低的．在提公因式时千万别忘了“-1”．
10．C
【解析】
【分析】直接用提公因式法分解因式即可．
【详解】
故选：C【点拨】本题考查提公因式法分解因式，解题等关键是把 看成一个整体．
11．D
【解析】
【分析】根据提公因式法，先提取各个多项式中的公因式，再对余下的多项式进行观察，
能分解的继续分解．
【详解】
A －a2+ab－ac=－a(a-b+c) ，故本选项错误；
B 9xyz－6x2y2=3xy(3z－2xy)，故本选项错误；
C 3a2x－6bx+3x=3x(a2－2b+1)，故本选项错误；
D ，故本选项正确．
故选：D．
【点拨】本题考查提公因式法分解因式，准确确定公因式是求解的关键．
12．A
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形，再利用提取公因式法分解因式计算得出
答案．
【详解】
2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及有理数的混合运算，正确将原式变形
是解题关键．
13．B
【解析】
【分析】先求得 的范围，进而求得 的范围即可求得 的值，进而代入代数式求
值即可
【详解】
则a、b分别是 的整数部分和小数部分，则
故选B
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，求得 的值是解题的关
键．
14．D
【解析】
【分析】根据完全平方公式求出 ，再把原式因式分解后可代入求值．
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，
所以
故选：D
【点拨】考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键．
15．C
【解析】【分析】直接提取公因式（−2）2019，进而计算得出答案．
【详解】
（−2）2019＋（−2）2020＝（−2）2019×（1−2）＝22019．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
16．②③⑥
【解析】
【详解】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可
得②③⑥属于因式分解.
17． 整式的积的形式 互逆
【解析】
【分析】根据因式分解的定义进行填空即可解题.
【详解】
解：因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解,
因式分解和整式乘法具有互逆的关系．
【点拨】本题考查了因式分解的定义,因式分解和整式的乘法之间的关系,属于简单题,熟悉
因式分解的概念是解题关键.
18．②④
【解析】
【详解】
试题分析：直接利用因式分解的意义分析得出答案．
解：①（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，是多项式乘法，故此选项错误；
②9a2﹣12a+4=（3a﹣2）2，是因式分解；
③3abc3=3c•abc2，不是因式分解；
④3a2﹣6a=3a（a﹣2），是因式分解；
故答案为②④．
点评：此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
19．
【解析】
【分析】设另一个因式为 ，根据多项式乘以多项式展开，左右两边对比得到等量关
系求解即可；【详解】
设另一个因式为 ，
则 ，
即 ，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，准确计算是解题的关键．
20．3
【解析】
【分析】设另一个因式为 ，则 ，根据各项系数列
式求出m和n的值．
【详解】
解：假设另一个因式为 ，则 ．
，
，
解得： ，
故答案是：3．
【点拨】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．
21．1
【解析】
【分析】设多项式6x2+mx﹣1的另一个因式是 ，根据因式分解是把一个多项式转化成
几个整式的乘积的形式，计算对比得出答案．【详解】
解：设多项式6x2+mx﹣1的另一个因式是 ，
∴ ，
∴ ， ，即 ， ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了因式分解的意义，利用整式的系数得出另一个因式是解决问题的关键．
22．
【解析】
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【详解】
解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．
故答案： ．
【点拨】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各
项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数
最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
23．4x10y3
【解析】
【详解】
运用公因式的概念，系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x10y3，可得公因
式为4x10y3．
故答案为4x10y3.
点睛：此题主要考查了找公因式的方法，系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，
即可求解.
24．4xmyn﹣1
【解析】
【分析】先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次
幂．
【详解】
系数的最大公约数是4，各项相同字母的最低指数次幂是xmyn﹣1，所以公因式是4xmyn﹣1，
故答案为：4xmyn﹣1．
【点拨】此题考察多项式因式分解中公因式的确定方法，系数取最大公约数，字母取相同
字母的最低指数次幂．
25．
【解析】
【分析】将y(1-m)变形为-y（m-1），再提取公因式即可．
【详解】
∵x（m-1）+ y(1-m)
= x（m-1）-y（m-1），
=（x-y）（m-1），
故答案为：（x-y）（m-1）．
【点拨】本题考查了因式分解，熟练进行代数式的变形构造公因式是解题的关键．
26．
【解析】
【分析】找出公因式，直接提取分解因式即可．
【详解】
解：a2-6a=a（a-6）．
故答案为：a（a-6）．
【点拨】本题考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
27．
【解析】
【分析】先提公因式（x-2）,合并同类项，再用乘法对加法分配律计算即可．
【详解】
解： ，
= ，
= ，
= ．故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了因式分解，乘法分配律，合并同类项，掌握因式分解，乘法分配
律，合并同类项是解答本题的关键．
28．2022
【解析】
【分析】将x2＝2x+1，x2﹣2x＝1代入计算可求解．
【详解】
解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x•x2﹣2x2﹣6x+2020
＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020
＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020
＝2x2﹣4x+2020
＝2（x2﹣2x）+2020
＝2×1+2020
＝2022．
故答案为：2022
【点拨】本题主要考查因式分解的应用，适当的进行因式分解，整体代入是解题的关键．
29．三
【解析】
【分析】根据题意分析，当 时， 即当横坐标小于0时，纵坐标一定大于0，
据此即可求得答案．
【详解】
，
当 时，
，
，不可能 ，
所以横坐标小于0，而纵坐标不可能小于0，所以一定不在第三象限．
故答案为：三
【点拨】本题考查了不等式的性质，因式分解，平面直角坐标系中各象限点的特征，当时，分析纵坐标的符号是解题的关键．
30．2
【解析】
【分析】利用提公因式分将原式变形为 ，然后利用整体代入思想代入求解．
【详解】
∵ ，
∴
=
=
=1+1
=2．
故答案为：2
【点拨】本题考查了因式分解的应用，掌握提公因式的技巧把所求多项式进行灵活变形，
并利用整体代入思想求解是解题关键．
31．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
；（5） ；（6） ．
【解析】
【分析】前3个小题直接提取公因式即可；
后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式．
【详解】
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；（5） ；
（6） ．
【点拨】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过
变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为： 及 ．
32．（1）2512；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）提取公因式m后，再把数值代入计算即可；
（2）提取公因式z后，再把数值代入计算即可；
（3）提取公因式后ab，再代入计算即可；
【详解】
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【点拨】本题考查了提公因式的应用，先提后计算．
33．（1）0；（2）1
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用题目中的方法，把 化为 ，然后进行计
算，即可得到答案；
（2）根据题意，把 化为 ，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴
∴；
（2）∵ ，
∴
∴
；
【点拨】本题考查了整式的加减乘除运算，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算
法则，正确的进行化简．
34．（1） ；（2） ， ；（3）
；（4） ；（5）
【解析】
【分析】（1）由大的正方体的体积为 截去的小正方体的体积为 从而可得答案；
（2）由 利用长方体的体积公式直接可得
答案；
（3）提取公因式 ，即可得到答案；（4）由（1）（3）的结论结合等体积的方法可得答案；
（5）利用 先求解 再利用 ，再整
体代入求值即可得到答案．
【详解】
解：（1）由大的正方体的体积为 截去的小正方体的体积为
所以截去后得到的几何体的体积为：
故答案为：
（2）
由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为 ，
所以长方体③的体积为
故答案为： ，
（3）由题意得：
故答案为：
（4）由（1）（3）的结论，可以得到的等式为：
故答案为：
（5） ， ，
，【点拨】本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解因式，代数恒等式的几何意义，
掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解
决问题是解题的关键．
