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专题 4.4 一次函数与勾股定理
【例题精讲】
【例1】如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标系原点， ， ， ，将
沿直线 折叠，使得点 落在点 处， 与 交于点 ，则 所在直线的解
析式为
A． B． C． D．
【例2】如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于
点 ，将 沿过点 的直线折叠，使点 落在 轴负半轴上，记作点 ，折痕与 轴
交点交于点 ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．【例3】如图1，一次函数 的图象与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，点
是直线 上的一个动点， 轴于点 ，点 是射线 上的一个动点．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）如图2，当点 在第一象限，且点 的横坐标为4时，将 沿着 翻折，当点
的对应点 落在直线 上时，求点 的坐标；
（3）点 在运动过程中，当 的面积是 面积的2倍时，请直接写出点 的坐
标．【题组训练】
2．如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 是 轴正半
轴上一点．把坐标平面沿直线 折叠，使点 刚好落在 轴上，则 的值是
A． B．1 C． D．1.5
3．如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 是 轴上的一
动点，连接 ，将 沿 所在的直线折叠，当点 落在 轴上时，点 的坐标为
．6．如图所示，把矩形纸片 放入直角坐标系 中，使 、 分别落在 、 轴
的正半轴上，连接 ，且 ，
（1）求 所在直线的解析式；
（2）将纸片 折叠，使点 与点 重合（折痕为 ，求折叠后纸片重叠部分的面
积．
（3）求 所在的直线的函数解析式．7．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴和 轴分别交于点 和点 ，与
直线 相交于点 ．
（1）求点 和点 的坐标；
（2）求 的面积；
（3）若点 是线段 上一点，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴负半轴上
的点 处，求 所在直线的函数关系式．8．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ，
点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，两条垂线相
交于点 ．
（1）线段 ， ， 的长分别为 ， ， ；
（2）折叠图1中的 ，使点 与点 重合，再将折叠后的图形展开，折痕 交
于点 ，交 于点 ，连接 ，如图2．
①求线段 的长；
②在 轴上，是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的
所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 、 分别在 轴与
轴 上 ， 已 知 点 坐 标 为 ， 点 坐 标 为 ， 且 ， 满 足
． 为 轴上一点，其坐标为 ，点 从点 出发以每秒1
个单位的速度沿线段 的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运动时间为
秒．
（1）当点 与点 重合时，求直线 的函数解析式；
（2）①求 的面积 关于 的函数解析式；
②如图②，把长方形沿着 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求点 的坐标．
（3）点 在运动过程中是否存在使 为等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．10．如图，把长方形纸片 放入平面直角坐标系中，使 ， 分别落在 轴， 轴
的正半轴上，连接 ， ， ．
（1）根据题意，写出点 的坐标 ，点 的坐标 ；
（2）求 所在直线的表达式；
（3）将纸片 折叠，使点 与点 重合（折痕为 ，折叠后纸片重叠部分（即
的面积为 ；
（4）请直接写出 所在直线的函数表达式 ．11．如图，在平面直角坐标系中，长方形 的边 在 轴上，边 在 轴上，
， ，将长方形 沿折痕 折叠，使点 落在 上的点 处，点
在 边上．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）求 的长；
（3）求点 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 、 分别在 轴
与 轴上，已知 ， ．点 为 轴上一点，其坐标为 ，点 从点 出发
以每秒2个单位的速度沿线段 的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运动
时间为 秒．
（1）当点 经过点 时，求直线 的函数表达式；
（2）如图1，设 的面积为 ，求 关于 的函数表达式；
（3）如图2，把长方形沿着 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求点 的坐标．13．如图所示，直线 与两坐标轴的交点坐标分别是 ， ， 是坐标系原点．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若将 沿直线 折叠，使点 落在斜边 上，且与 重合；
①求点 的坐标；
②求直线 、直线 和 轴所围图形的面积．14．如图，将一个长方形 纸片放在平面直角坐标系中， 为原点，点 在 轴正半
轴上，点 在 轴正半轴上， ， ，将长方形折叠后，点 恰好落在 边上
的点 处，折痕所在直线经过点 且与 边交于点 ，与 轴的正半轴交于点 ．
（1）求点 的坐标及直线 的解析式；
（2）点 是线段 上的一个动点，若 将 的面积分为 两部分，求点 的坐
标．15．如图，矩形 中，点 在 轴上，点 在 轴上，点 的坐标是 ，矩形
沿直线 折叠，使 落在对角线 上的点 处，折痕与 、 轴分别交于点 、
．
（1）求线段 的长；
（2）求直线 的解析式；
（3） 为 轴上一动点，在点 运动的过程中，是否存在以 为底边的等腰三角形
，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，平面直角坐标系中，把矩形 沿对角线 所在的直线折叠，点 落在点
处， 与 交于点 ． ， 的长满足式子 ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）直接写出点 的坐标，并求出直线 的函数解析式；17．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数 分别与 轴和 轴交于点 、点
，四边形 为矩形．
（1）如图②，点 在 上，连接 ，把 沿着 折叠，点 刚好与线段 上
一点 重合．
（ⅰ）求点 的坐标；
（ⅱ）请直接写出直线 的解析式： ；
（2）如图③，动点 在一次函数 的图象上运动，点 在线段
上，是否存在直角顶点为 的等腰直角 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．18．已知在平面直角坐标系中，点 ，动点 在 轴正半轴上，作矩形 ，点
为 中点， 沿 折叠后得到 ，直线 与矩形 一边交于点 ．
（1）如图，当点 与原点 重合时，
①求证： ．
②求 长．
（2）当 ，求点 坐标．19．如图，把矩形纸片 放入直角坐标系中，使 ， 分别落在 轴， 轴的正半
轴上，连接 ，且 ， ．
（1）求 所在直线的解析式；
（2）将纸片 折叠，使点 与点 重合（折痕为 ，求折叠后纸片重叠部分的面
积；
（3）若过一定点 的任意一条直线总能把矩形 的面积分为相等的两部分，则定
的坐标为 ．20．如图，把长方形 放入平面直角坐标系中，使 、 分别落在 、 轴的正半
轴上，其中 ，对角线 所在直线解析式为 ，将长方形 沿着
折叠，使点 落在边 上的点 处．
（1）求点 的坐标；
（2）求 的长度；
（3）点 是 轴上一动点，是否存在点 使得 的周长最小，若存在，请求出点 的
坐标，若不存在，请说明理由．21．如图，已知直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ，将 沿直线
折叠，使点 与点 重合．折痕 与 轴交于点 ，与 交于点 ．
（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）求 的长度，并求出此时直线 的表达式；
（3）过点 作直线 与 轴交于点 ，且使 ，求 的面积．22．如图，把矩形纸片 放入平面直角坐标系中，使 ， 分别落在 轴、 轴的
正半轴上，连接 ，且 ， ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）将矩形纸片 折叠，使点 与点 重合（折痕为 ，求折叠后纸片重叠部分
的面积．
（3）求 所在直线的函数解析式．23．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，矩形 的顶点 、 ，
将矩形 的一个角沿直线 折叠，使得点 落在对角线 上的点 处，折痕与 轴
交于点 ．
（1）线段 的长度为 ；
（2）求直线 所对应的函数表达式；24．如图，把长方形纸片 放入平面直角坐标系中，使 ， 分别落在 轴， 轴
的正半轴上，连接 ， ， ．
（1）根据题意，写出点 的坐标 ，点 的坐标 ；
（2）将纸片 沿 折叠，使点 落在点 的位置，求 所在直线的表达式
．
