专题4.4一次函数与勾股定理（强化）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 4.4 一次函数与勾股定理 【例题精讲】 【例1】如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标系原点， ， ， ，将 沿直线 折叠，使得点 落在点 处， 与 交于点 ，则 所在直线的解 析式为 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ， ， 四边形 为矩形， ． 又 ， ， ． 设点 的坐标为 ，则 ， ， 在 中， ， ， ， ， ， 点 的坐标为 ， ． 设 所在直线的解析式为 ，将点 ， 代入 中， ，解得： ， 所在直线的解析式为 ． 故选： ． 【例2】如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于 点 ，将 沿过点 的直线折叠，使点 落在 轴负半轴上，记作点 ，折痕与 轴 交点交于点 ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 【解答】解：由折叠的性质得： ， ， ， 对于直线 ，令 ，得到 ；令 ，得到 ， ， ， 在 中，根据勾股定理得： ， ，即 ； 在 中，设 ，则 ，根据勾股定理得： ， 解得： ， ，即 ． 故答案为： ； 【例3】如图1，一次函数 的图象与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，点 是直线 上的一个动点， 轴于点 ，点 是射线 上的一个动点． （1）求点 ， 的坐标； （2）如图2，当点 在第一象限，且点 的横坐标为4时，将 沿着 翻折，当点 的对应点 落在直线 上时，求点 的坐标； （3）点 在运动过程中，当 的面积是 面积的2倍时，请直接写出点 的坐 标． 【解答】解：（1）令 ，则 ， ， 令 ，则 ， ， ； （2） 点 的横坐标为4，， 轴， 时， ， ， ， ， ， 由折叠知， ， ， 设 ， ， ， 在 △ 中， ， ， ； （3） 的面积是 面积的2倍， ， ， ， 或 ， 或 ． 【题组训练】 2．如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 是 轴正半 轴上一点．把坐标平面沿直线 折叠，使点 刚好落在 轴上，则 的值是A． B．1 C． D．1.5 【解答】解： 直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， ， ， ． 把坐标平面沿直线 折叠，使点 刚好落在 轴上， ， ． 在直角△ 中， ， ， ， ， ， 解得 ． 故选： ． 3．如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 是 轴上的一 动点，连接 ，将 沿 所在的直线折叠，当点 落在 轴上时，点 的坐标为 或 ， ．【解答】解： 一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ， ， ， ， ， 如图，当点 落在 轴的正半轴上时， 设点 的坐标为 ， 将 沿 所在的直线折叠，当点 落在 轴上时， ， ， ， ， ， 点 的坐标为 ； 如图，当点 落在 轴的负半轴上时，设点 的坐标为 ， 将 沿 所在的直线折叠，当点 落在 轴上时， ， ， ， ， ； 综上所述，当点 落在 轴上时，点 的坐标为 或 ， ， 故答案为： 或 ， ． 6．如图所示，把矩形纸片 放入直角坐标系 中，使 、 分别落在 、 轴 的正半轴上，连接 ，且 ， （1）求 所在直线的解析式； （2）将纸片 折叠，使点 与点 重合（折痕为 ，求折叠后纸片重叠部分的面 积． （3）求 所在的直线的函数解析式． 【解答】解： （1） ， 可设 ，则 ，在 中，由勾股定理可得 ， ，解得 舍去）， ， ， ， ， 设直线 解析式为 ， ，解得 ， 直线 解析式为 ； （2）由折叠的性质可知 ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理可得 ， ，解得 ， ， ， ， ， ， ， 即重叠部分的面积为10； （3）由（2）可知 ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， ，解得 ，直线 的解析式为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴和 轴分别交于点 和点 ，与 直线 相交于点 ． （1）求点 和点 的坐标； （2）求 的面积； （3）若点 是线段 上一点，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴负半轴上 的点 处，求 所在直线的函数关系式． 【解答】解：（1）设 ，则 ；设点 ，则 ， 故点 的坐标为 ，点 的坐标为 ； （2） ；（3）在 中， ， ， ， ， 沿直线 折叠后，所得三角形为 ， ， ， 在 中，设 ，则 ， ，故点 ， 设直线 的解析式为 代入 ， 得： ，解得 ， 直线 的解析式为 ． 8．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， 点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，两条垂线相 交于点 ． （1）线段 ， ， 的长分别为 8 ， ， ； （2）折叠图1中的 ，使点 与点 重合，再将折叠后的图形展开，折痕 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，如图2． ①求线段 的长；②在 轴上，是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 所有点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当 时， ， 点 的坐标为 ； 当 时， ，解得： ， 点 的坐标为 ． 由已知可得：四边形 为矩形， ， ， ． 故答案为：8；4； ． （2）①设 ，则 ， ． 在 中， ，即 ， 解得： ， 线段 的长为5． ②存在，设点 的坐标为 ． 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ， ， ． 当 时， ， 解得： ， 点 的坐标为 或 ； 当 时， ， 解得： ， ，点 的坐标为 或 ； 当 时， ， 解得： ， 点 的坐标为 ． 综上所述：在 轴上存在点 ，使得 为等腰三角形，点 的坐标为 或 或 或 或 ． 9．如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 、 分别在 轴与 轴 上 ， 已 知 点 坐 标 为 ， 点 坐 标 为 ， 且 ， 满 足 ． 为 轴上一点，其坐标为 ，点 从点 出发以每秒1 个单位的速度沿线段 的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运动时间为 秒． （1）当点 与点 重合时，求直线 的函数解析式； （2）①求 的面积 关于 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求点 的坐标． （3）点 在运动过程中是否存在使 为等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） ， 满足 ， ，解得 ， 点坐标为 ， 点坐标为 ， ， 设此时直线 解析式为 ，如图1， 将 ， 代入得： ， 解得： ， 则此时直线 解析式为 ； （2）①当点 在线段 上时， ，高为6， ； 当点 在线段 上时， ，高为 ， ； ②设 ，则 ，如图2， ， ，， ， ， ，解得 则此时点 的坐标是 ， ； （3）存在，理由为： 若 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3， ①当 ， 在 中， ， ， 根据勾股定理得： ， ，即 ； ②当 时，此时 ； ③当 时， 在 中， ， 根据勾股定理得： ， ，即 ， ， 综上，满足题意的 坐标为 或 ， 或 ．10．如图，把长方形纸片 放入平面直角坐标系中，使 ， 分别落在 轴， 轴 的正半轴上，连接 ， ， ． （1）根据题意，写出点 的坐标 ，点 的坐标 ； （2）求 所在直线的表达式； （3）将纸片 折叠，使点 与点 重合（折痕为 ，折叠后纸片重叠部分（即 的面积为 ； （4）请直接写出 所在直线的函数表达式 ．【解答】解：（1） ， ． ， ， ； 故答案为： ， ； （2）设直线 的函数解析式为： ， ， ， 直线 的函数解析式为： ； （3）由折叠知： ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得： ， 解得 ， ， ，故答案为： ； （4）设 与 的交点为 ， ， ， ， 由折叠知， 垂直平分 ， 点 为 的中点， 点 ， 设直线 的函数解析式为： ， ， ， 直线 的函数解析式为 ， 故答案为： ． 11．如图，在平面直角坐标系中，长方形 的边 在 轴上，边 在 轴上， ， ，将长方形 沿折痕 折叠，使点 落在 上的点 处，点 在 边上． （1）直接写出点 的坐标；（2）求 的长； （3）求点 的坐标． 【解答】解：（1） 的坐标是： ； （2） 四边形 是长方形，且 ， ， ， ， 根据折叠的性质，可得 ， 则在直角 中， ； （3） ，则 ， ， 在直角 中， ， ， ， 解得： ． 则 ． 故 的坐标是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 、 分别在 轴 与 轴上，已知 ， ．点 为 轴上一点，其坐标为 ，点 从点 出发 以每秒2个单位的速度沿线段 的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运动 时间为 秒． （1）当点 经过点 时，求直线 的函数表达式； （2）如图1，设 的面积为 ，求 关于 的函数表达式； （3）如图2，把长方形沿着 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求点 的坐标．【解答】解：（1） ， ，四边形 为长方形， ， 设此时直线 解析式为 ， 把 ， 分别代入， 得 ， 解得 ， 则此时直线 解析式为 ； （2）①当点 在线段 上时，即 ， ，高为6， ； ② 当 点 在 线 段 上 时 ， 即 ， ， 高 为 ， ； ； （3）设 ，则 ，如图2，， ， ， ， ， ，解得 ， 则此时点 的坐标为 ， ． 13．如图所示，直线 与两坐标轴的交点坐标分别是 ， ， 是坐标系原点． （1）求直线 的函数表达式； （2）若将 沿直线 折叠，使点 落在斜边 上，且与 重合； ①求点 的坐标； ②求直线 、直线 和 轴所围图形的面积． 【解答】解：（1）设直线 的函数表达式为 ， 、 在直线 上， ， ， 直线 的函数表达式为 ；（2）① ， ， ， ． ， ． 由折叠可得： ， ， ． 设 ，则 ， ． ， ． 在 中， ， ， ， ， 解得： ， 点 的坐标为 ； ②由图可知：直线 、直线 和 轴所围图形是 ， ， 直线 、直线 和 轴所围图形的面积为 ． 14．如图，将一个长方形 纸片放在平面直角坐标系中， 为原点，点 在 轴正半 轴上，点 在 轴正半轴上， ， ，将长方形折叠后，点 恰好落在 边上 的点 处，折痕所在直线经过点 且与 边交于点 ，与 轴的正半轴交于点 ． （1）求点 的坐标及直线 的解析式； （2）点 是线段 上的一个动点，若 将 的面积分为 两部分，求点 的坐 标．【解答】解：（1） 四边形 为矩形， ， ， ， 折叠长方形，点 恰好落在 边上的点 处， ， ， 在 中， ， ， 设 ，则 ， ， ， 在 中， ， 解得 ， ， 设直线 的解析式为 ， 把 ， 分别代入得 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ； （2）当 时， ，解得 ，， ， 设点 的坐标为 ， ， 将 的面积分为 两部分， 或 ， 当 ， 即 ， 解得 ， 此时 点坐标为 ， ； 当 时， 即 ， 解得 ， 此时 点坐标为 ， ； 综上所述， 点坐标为 ， 或 ， ． 15．如图，矩形 中，点 在 轴上，点 在 轴上，点 的坐标是 ，矩形 沿直线 折叠，使 落在对角线 上的点 处，折痕与 、 轴分别交于点 、 ． （1）求线段 的长； （2）求直线 的解析式； （3） 为 轴上一动点，在点 运动的过程中，是否存在以 为底边的等腰三角形 ，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由 可得 ， ． 四边形 是矩形， ， 由勾股定理可得： ； （2）设 ， 由题意可得： ， ， ， ． 在直角三角形 中由勾股定理可列： ， 即 ， 解得 ， 所以 设直线 的解析式为 ， 由 ， 可得： ， 解得 ， 所以直线 的解析式为： ；（3）存在以 为底边的等腰三角形 ， 等腰三角形 为以 为底边的等腰三角形， ， 为 轴上一动点， 存在以 为底边的等腰三角形 ，点 的坐标为 或 ． 16．如图，平面直角坐标系中，把矩形 沿对角线 所在的直线折叠，点 落在点 处， 与 交于点 ． ， 的长满足式子 ． （1）求点 ， 的坐标； （2）直接写出点 的坐标，并求出直线 的函数解析式； 【解答】解：（1） ， 的长满足式子 ． ， ， ， ， ， ； （2） 四边形 是矩形， ， ， 根据翻折不变性可知： ， ， ，设 ， 在 中， ，， 解得 ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， 则有 ， 解得 ， 直线 的函数解析式为 ； 17．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数 分别与 轴和 轴交于点 、点 ，四边形 为矩形． （1）如图②，点 在 上，连接 ，把 沿着 折叠，点 刚好与线段 上 一点 重合． （ⅰ）求点 的坐标； （ⅱ）请直接写出直线 的解析式： ； （2）如图③，动点 在一次函数 的图象上运动，点 在线段 上，是否存在直角顶点为 的等腰直角 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存 在，请说明理由．【解答】解：（1）（ⅰ） 一次函数 分别与 轴和 轴交于点 、点 ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， 设 ， 由折叠得 ， ， ， 在 △ 中， ， ， ， ， ； （ⅱ）过 作 轴于 ，， ， ， ， ， 由折叠得 ， ， ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， ， ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 故答案为： ； （2）设点 ， 当点 在 下方时，如图，过点 作 ，交 轴于 ，交 于 ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 ； 当点 在 的上方时，如图，过点 作 ，交 轴于 ，交 的延长线于 ， 同理可证 ， ， ， ，点 ， ， 综上所述：点 坐标为 或 ， ． 18．已知在平面直角坐标系中，点 ，动点 在 轴正半轴上，作矩形 ，点 为 中点， 沿 折叠后得到 ，直线 与矩形 一边交于点 ． （1）如图，当点 与原点 重合时， ①求证： ． ②求 长． （2）当 ，求点 坐标． 【解答】（1）①证明： 四边形 为矩形， ， ． 沿 折叠后得到 ， ． ， ． ， ． ， ， ． 在 和 中， ， ； ②解： ，． 点 为 中点， ． 四边形 为矩形， ． ， ． ； （2）解：①当点 在线段 上时，连接 ，如图， ， ． 点 为 中点， ． 沿 折叠后得到 ， ． ， ． 四边形 为矩形， ． ． ， ． ．． 设 ， 则 ． ， ， ． 解得： ． ； ②当点 在线段 上，点 在第一象限时，过点 作 于点 ，如图， 由（2）①知： ， ， ． ，四边形 为矩形， ， ． ． ， ， ． 在 和 中， ， ． ．． ． ， ； ③当点 在线段 上，点 在第二象限时，过点 作 于点 ，如图， 沿 折叠后得到 ， ． ． ， ， ． 由（2）①知： ． ，四边形 为矩形， ， ． ． 在 和 中， ， ． ．． ． ， ． 综上，点 坐标为 或 ， 或 ， ． 19．如图，把矩形纸片 放入直角坐标系中，使 ， 分别落在 轴， 轴的正半 轴上，连接 ，且 ， ． （1）求 所在直线的解析式； （2）将纸片 折叠，使点 与点 重合（折痕为 ，求折叠后纸片重叠部分的面 积； （3）若过一定点 的任意一条直线总能把矩形 的面积分为相等的两部分，则定 的坐标为 ． 【解答】解：（1）设 ，则 ， 在 中， ， ，解得 ， ， ，， ， 设直线 的解析式为 ， 把 ， 代入得 ， 解得 ． 所在直线解析式为 ； （2）设 ， 纸片 折叠，使点 与点 重合（折痕为 ， ， ， ， 在 中， ， ，解得 ， 即 ， ， ， ， ， ， 即折叠后重叠部分的面积为10； （3）经过矩形 的重心的直线总能够把矩形 的面积平均分为两部分，而矩形 的重心为对角线的交点，即线段 的中点， ， ， 线段 的中点坐标为 ．定点 的坐标为 ． 故答案为： ． 20．如图，把长方形 放入平面直角坐标系中，使 、 分别落在 、 轴的正半 轴上，其中 ，对角线 所在直线解析式为 ，将长方形 沿着 折叠，使点 落在边 上的点 处． （1）求点 的坐标； （2）求 的长度； （3）点 是 轴上一动点，是否存在点 使得 的周长最小，若存在，请求出点 的 坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） 四边形 是长方形， ， ， ， 将 代入 ，得到 ， 直线 的解析式为： ， 令 ，则 ， 解得： ， ； （2）在 中， ， ，， ， 设 ， ， 在 中，由勾股定理得， 解得： ， ； （3）如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ， 此时 的周长最小， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， 则 ， 解得： ， 直线 的解析式为 ，当 时， ， ． 21．如图，已知直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ，将 沿直线 折叠，使点 与点 重合．折痕 与 轴交于点 ，与 交于点 ． （1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ； （2）求 的长度，并求出此时直线 的表达式； （3）过点 作直线 与 轴交于点 ，且使 ，求 的面积． 【解答】解：（1）令 ，则 ；令 ，则 ， 故点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 故答案为： ， ； （2）连接 ， 设 ， 直线 垂直平分线段 ， ， ，， ， 解得 ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， 则有 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ； （3）如图， 点 的坐标为 ， ， ， ， 点 的坐标为 ， ，， ， ； ． 综上： 的面积为3或9． 22．如图，把矩形纸片 放入平面直角坐标系中，使 ， 分别落在 轴、 轴的 正半轴上，连接 ，且 ， ． （1）求点 ， 的坐标； （2）将矩形纸片 折叠，使点 与点 重合（折痕为 ，求折叠后纸片重叠部分 的面积． （3）求 所在直线的函数解析式． 【解答】解：（1）如图， ， ， ， ， ， 解得， 或 （不符合题意，舍去）， ， ， （2）如图， 与 交于点 ，由折叠可知， 垂直平分 ， ， ， ， 四边形 是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 重叠部分 的面积为10． （3）设 所在直线的函数解析式为 ， 由（2）得， ， ， ， ， 垂直平分 ， ， ， ， 把 、 代入 ， 得 ，解得 ， 所在直线的函数解析式为 ． 23．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，矩形 的顶点 、 ， 将矩形 的一个角沿直线 折叠，使得点 落在对角线 上的点 处，折痕与 轴 交于点 ． （1）线段 的长度为 1 5 ； （2）求直线 所对应的函数表达式； 【解答】解：（1）在 中， ， ， ． 故答案为15． （2）如图，设 ，则 ， 根据轴对称的性质， ， ， 又 ， ， 在 中， ， 即 ，解得 ， ， 点 ， ， 设直线 所对应的函数表达式为： 则 ，解得 ， 直线 所对应的函数表达式为： ． 24．如图，把长方形纸片 放入平面直角坐标系中，使 ， 分别落在 轴， 轴 的正半轴上，连接 ， ， ． （1）根据题意，写出点 的坐标 ，点 的坐标 ； （2）将纸片 沿 折叠，使点 落在点 的位置，求 所在直线的表达式 ．【解答】解：（1） ， ． ， ， ； 故答案为： ， ； （2）由折叠知： ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得： ， 解得 ， ， ， ， 设直线 的函数解析式为： ， ， ， 直线 的函数解析式为 ． 故答案为： ．