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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.3认识三角形：三角形的外角
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021秋•崆峒区期末）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一个外角，
∠ACD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．130°
【分析】根据三角形内角和定理可求∠ACB的度数，根据平角的定义可求∠ACD的度数，可得三角形
的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即∠ACD＝∠A+∠B．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣50°＝130°，
故选：D．
2．（2021秋•东西湖区期中）如图，B、C、D三点共线，∠B＝56°，∠ACD＝120°，则∠A的度数为（
）
A．56° B．64° C．60° D．176°
【分析】直接利用三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝120°，∠B＝56°，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣56°＝64°，
故选：B．
3．（2020•海淀区二模）如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，则∠B的度数为
（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】由EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，可推出∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝
70°，根据三角形内角和定理得出∠B的度数．
【解答】解：∵EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，
∴∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠EDB﹣∠BED＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：D．
4．（2019秋•江津区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则
∠A＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．85°
【分析】根据∠ACD＝∠A+∠B，求出∠ACD即可解决问题．
【解答】解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，
∵∠ACD＝∠B+∠A，
∴∠A＝120°﹣35°＝85°，
故选：D．
5．（2021春•亭湖区校级月考）如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，C为AO上一点，且不与A，O重合，
则x可能是（ ）A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠BCA＝∠O+∠OBC，∠O＝90°，
∴90°＜6x＜150°，
∴15°＜x＜25°，
故选：B．
6．（2013春•苏州期末）若一个三角形三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数的
比为（ ）
A．5：3：1 B．3：2：4 C．4：3：2 D．3：1：5
【分析】已知三角形三个外角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的外角和等于360°列方程求三
个内角的度数，确定三角形内角的度数，然后求出度数之比．
【解答】解：设一份为k°，则三个外角的度数分别为2k°，3k°，4k°，
根据三角形外角和定理，可知2k°+3k°+4k°＝360°，得k°＝40°，
三个外角分别为80°，120°和160°，
根据三角形外角与它相邻的内角互补，与之对应的三个内角的度数分别是100°，60°和20°，
即三个内角的度数的比为5：3：1．
故选：A．
7．（2020秋•织金县期末）如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则 的度数（ ）
α
A．75° B．135° C．120° D．105°
【分析】先根据三角板的性质得出∠1及∠2的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠1＝45°，∠2＝30°，
∴∠ ＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
α故选：D．
8．（2020秋•涪城区校级期末）一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，则∠BMD
的度数为（ ）
A．102° B．107.5° C．112.5° D．115°
【分析】根据三角形内角和和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，
∴∠MBD＝ ，∠BDM＝ ，
∴∠BMD＝180°﹣∠MBD﹣∠BDM＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°，
故选：C．
9．（2020秋•平定县期末）把一副三角尺 ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，∠ABC＝60°，∠C＝
∠DBE＝90°，其中A，D，B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则
∠MBN的度数是（ ）
A．55° B．30° C．45° D．60°
【分析】由角平分线的定义可知∠CBM＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°，∠CBN＝ ∠EBC＝ ×（60°+90°）
＝75°，再利用角的和差关系计算可得结果．
【解答】解：∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°，
∵BN为∠CBE的平分线，
∴∠CBN＝ ∠EBC＝ ×（60°+90°）＝75°，
∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBM＝75°﹣30°＝45°．
故选：C．
10．（2021春•淮阳区期末）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角
∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据三角形外角性质和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，
∴∠PCM＝ ACM，∠PBC＝ ABC，
∵∠ACM＝∠ABC+∠BAC，∠PCM＝∠PBC+∠BPC，
∴∠PCM＝ ABC+ BAC＝ +∠BPC，
∴∠BPC＝ ∠BAC＝40°，
∴∠BAC＝80°，
∴∠NAC＝100°，
∴∠NAP＝50°，
故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2018秋•宁县期中）如图，若∠A＝80°，∠ACD＝150°，则∠B＝ 7 0 度．
【分析】根据三角形的外角性质得出∠B＝∠ACD﹣∠A，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A＝80°，∠ACD＝150°，
∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝150°﹣80°＝70°，
故答案为：70．
12．（2021春•潍坊期末）如图，一副三角板△AOC和△BCD如图摆放，则∠AOD＝ 15 ° ．
【分析】利用外角的性质，即可解答．
【解答】解：∵一副三角板△AOC和△BCD如图摆放，
∴∠A＝45°，∠BDC＝60°，
∴∠AOD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15°．
13．（2020•西城区校级开学）如图，∠A＝50°，∠ABD＝35°，∠ACB＝70°，且CE平分∠ACB，则
∠BEC＝ 12 0 °．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ABC，再利用角的和差定义求出∠EBC，利用角平分线的定义求
出∠ECB，可得结论．【解答】解法一：∵∠A＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣35°＝25°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝ ∠ACB＝35°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣25°﹣35°＝120°．
解法二：∵CE平分∠ACB，
∴∠DCE＝ ∠ACB＝35°，
∴∠BEC＝∠BDC+∠DCE＝∠A+∠ABD+∠DCE＝50°+35°+35°＝120°．
故答案为：120．
14．（2021春•道里区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若∠B＝42°，∠BAD
＝28°，则∠C的度数是 8 2 度．
【分析】根据角平分线的定义求出∠BAC，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠BAD＝28°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝56°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝82°，
故答案为：82．
15．（2021秋•细河区期末）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的大小为 105 ° ．【分析】直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得，∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，∠C＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝90°﹣45°＝45°，
∵∠1是△BCE的外角，
则∠1＝∠CBD+∠C＝45°+60°＝105°．
故答案为105°．
16．（2019秋•河北区期中）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角
∠ACP、外角∠MBC，以下结论：① AD∥BC；② DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；
④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有 ①②③④ ．（填序号）
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定、菱形的判
定、等边三角形的判定一一判断即可．
【解答】解：①∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，
∴AD平分△ABC的外角∠FAC，
∴∠FAD＝∠DAC，
∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，∴∠FAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝ ∠ABC+ ∠MBC＝ ×180°＝90°，
∴EB⊥DB，故②正确，
③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDC＝ ∠BAC，
∵∠BAC+2∠ACB＝180°，
∴ ∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③正确，
④∵∠BEC＝180°﹣ （∠MBC+∠NCB）＝180°﹣ （∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°﹣
（180°+∠BAC），
∴∠BEC＝90°﹣ ∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正确，
故答案为：①②③④．
17．（2020秋•新宾县期末）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A ，得
1
∠A1，∠A BC和∠A CD的平分线交于点 A ，得∠A ，…，∠A BC和∠A CD的平分线交于点
1 1 2 2 2017 2017A ，则∠A ＝ 度．
2018 2018
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A ＝ ∠A，进而可求∠A ，由于∠A ＝
1 1 1
∠A，∠A ＝ ∠A ＝ ∠A，…，以此类推可知∠A 即可求得．
2 1 2018
【解答】解：∵A B平分∠ABC，A C平分∠ACD，
1 1
∴∠A BC＝ ∠ABC，∠A CA＝ ∠ACD，
1 1
∵∠A CD＝∠A +∠A BC，
1 1 1
即 ∠ACD＝∠A + ∠ABC，
1
∴∠A ＝ （∠ACD﹣∠ABC），
1
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A ＝ ∠A，
1
∠A ＝ ∠A ＝ ∠A，…，
2 1
以此类推可知∠A ＝ ∠A＝（ ）°，
2018
故答案为： ．
18．（2020春•遂宁期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：
①AD∥BC；
②∠ACB＝∠ADB；
③∠ADC+∠ABD＝90°；
④ ，其中正确的结论有 ①③④ ．
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根
据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝
∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：①∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
故①正确；
②∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，
故②错误；
③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，
故③正确；
④∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DCF＝∠ADC，
∵∠ADC+∠ABD＝90°，
∵∠DCF＝90°﹣ ∠ABC＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，
∴∠ADB＝∠DBC＝45°﹣ ∠BDC，
故④正确；
故答案是：①③④．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D．若∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，E为线段BD上任一点．
（1）试求∠ABD的度数；
（2）求证：∠BEC＞∠A．
【分析】（1）依据三角形的内角和是180°，可求∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°．又BD⊥AC，所以∠ABD＝45°．
（2）依据三角形的外角大于与它不相邻的任一内角，可证∠BEC＞∠BDC＞∠A，即∠BEC＞∠A．
【解答】（1）解：由∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，
故∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°．
又∠A+∠ABD＝90°，
所以∠ABD＝90°﹣45°＝45°；
（2）证明：∵∠BEC＞∠BDC＞∠A，
∴∠BEC＞∠A．
20．（2020秋•崆峒区期末）如图，已知在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，∠A＝60°，∠BDC＝
80°，求∠DBC的度数．
【分析】利用三角形的外角性质可求出∠ABD的度数，再结合角平分线的定义可得出∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠BDC＝80°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝80°﹣60°＝20°．
又∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝20°．
21．（2020秋•庆阳期中）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝
∠C+∠D；
【问题探究】
（2）如图2，直线AP平分△BAO的外角∠FAD，CP平分△OCD的外角∠BCE，若∠ABC＝32°，
∠ADC＝22°，求∠P的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出
∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝
∠B+∠4，推出2∠P＝∠B+∠D，即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，
∴2∠P＝∠B+∠D，
∴∠P＝ （∠B+∠D）＝ ×（32°+22°）＝27°．
22．（2020秋•白银期末）（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．【分析】（1）作射线AO，由三角形外角的性质可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，两式相加即可得
出结论；
（2）连接AD，由（1）的结论可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，两式相加即可得出
结论．
【解答】解：（1）作射线AO，
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，
即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，
③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝230°．
23．（2020秋•盐田区期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根据三角形内角和求
出∠E即可；
（2）利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，
∵∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，
∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
24．（2018秋•景德镇期末）（1）如图①，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分
∠ACB，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；
（2）如图②，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角∠ACM，请分别写出
∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；
（3）如图③，在锐角△ABC中，BD和BE三等分外角∠PBC，CD和CE三等分外角∠QCB，请分别
直接写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系．【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然
后列式计算即可求解；
（2）根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，列式计算即可；
（3）根据三角形内角和、外角和定理，及平角定义，列式计算即可．
【解答】解：（1）∠D＝60°+ ∠A，∠E＝120°+ ∠A．
理由如下：
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BE三等分∠ABC，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝60°﹣ ∠A，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（60°﹣ ∠A）＝120°+ ．
答：∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝60°+ ∠A，∠E＝120°+ ∠A．
（2）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝ ∠A，∠E＝ ∠A．
理由如下：
∵BE三等分∠ABC，CE三等分外角∠ACM，
∴∠EBC＝ ∠ABC，∠ECM＝ ∠ACM，
∵∠E＝∠ECM﹣∠EBC＝ （∠ACM﹣∠ABC）＝ ∠A．
答：∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝ ∠A，∠E＝ ∠A．（3）∠D＝60°﹣ ∠A，∠E＝120﹣ ∠A．
理由如下：
∵BE三等分外角∠PBC，CE三等分外角∠QCB，
∴∠CBE＝ ∠CBP，∠BCE＝ ∠BCQ
∴∠E＝180°﹣ （∠CBP+∠BCQ）
＝180°﹣ （360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝180°﹣120°+ （180°﹣∠A）
＝120﹣ A．
