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专题 4.3 一次函数与三角形的存在性问题
【例题精讲】
【例1】如图，已知直线 的图象与 轴、 轴交于 、 两点， ，
．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若 是 轴上的一个动点，请直接写出当 是等腰三角形时 的坐标；
【解答】解：（1） 经过点 ， ，
，
解得 ，
所以，直线 的表达式为 ；
（2）由勾股定理得， ，
① 时，若点 在点 的左边，则 ，此时点 的坐标为 ， ，
若点 在点 的右边，则 ，此时点 的坐标为 ， ，② 时，由等腰三角形三线合一的性质得， ，
所以，点 的坐标为 ，
③ 时，设 ，
在 中，
， ，
点 得到坐标为 ， ，
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ， 或 或 ， ；
【例2】如图，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相交于点 动
点 沿路线 运动．
（1）求直线 的解析式；
（2）当 的面积是 的面积的 时，求出这时点 的坐标；
（3）是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，
请说明理由．
【解答】解：（1） 点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
点 在直线 上，，
，
直线 的解析式为 ；
（2）由（1）知，直线 的解析式为 ，
令 ，
，
，
，
，
的面积是 的面积的 ，
，
设 的纵坐标为 ，
，
，
，
直线 的解析式为 ，
当点 在 上时， ，
， ，
当点 在 上时， ，
，
即：点 ， 或 ；（3） 是直角三角形，
，
①当点 在 上时，如图，过点 作 轴于 ，
，
，
，
，
由（2）知，直线 的解析式为 ①，
设点 的坐标为 ，
，
，
， ，
②当点 在 上时，同①的方法，
，
即：点 的坐标为 ， 或 ．【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为
，与 轴、 轴分别交于点 、点 ，直线 与 交于点 ．
（1）求点 、点 、点 的坐标，并求出 的面积；
（2）若直线 上存在点 （不与 重合），满足 ，请求出点 的坐标；
（3）在 轴右侧有一动直线平行于 轴，分别与 ， 交于点 、 ，且点 在点 的
下方， 轴上是否存在点 ，使 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件
的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线 的解析式为 ，与 轴、 轴分别交于点 、点 ，
则点 、 的坐标分别为 、 ，
联立式 ， 并解得： ，故点 ；
的面积 ；
（2）设点 ，
，则 ，则 ，
解得： 或0（舍去 ，
故点 ；
（3）设点 、 、 的坐标分别为 、 、 ，
①当 时，
， ， ，
， ，
，
， ，
即： ， ，
解得： ， ；
②当 时，
则 ，即： ，解得： ，
；③当 时，
同理可得： ；
综上，点 的坐标为 或 或 ．
【题组训练】
2．如图，长方形 ，以 为坐标原点， 、 分别在 轴、 轴上，点 的坐标
为 ，点 的坐标为 ，点 是 边上一点，把长方形 沿 翻折后，
点恰好落在 轴上点 处．
（1）求点 、 的坐标；
（2）求 所在直线的函数关系式；
（3）在 轴上求一点 ，使 成为以 为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条
件的点 的坐标．
【解答】解：（1） ， ，则 ，则点
设： ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，解得： ，故点 ；
（2）将点 、 的坐标代入一次函数表达式： 并解得：
， ，
故直线 的表达式为： ；（3）①当点 在 轴负半轴时，
，则点 ；
当 时，点 ；
②当点 在 轴正半轴时，
，故点 ；
综上，点 的坐标为： 或 或 ．
4．过点 的直线 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ．
（1）点 坐标 ；点 坐标 ；点 坐标 ；
（2）如图，在 左侧有一点 ，使 是等腰直角三角形，并且 ，求点
的坐标；
（3）过点 的直线 把 的面积分为 ，交 另一边于点 ，求点 的坐标．【解答】解：（1）令 ， ， ，则 ；
令 ， ，则 ；
把 代入直线关系式得： ，
则 ，
故答案为： ， 、 ；
（2）如图，过点 作 于点 ，过点 作 与点 ，交 轴于点 ，
则 ，
为等腰直角三角形， ，
，
，
， ， ，
，
， ，
，
，，
，
，
，
，
；
（3） 的面积 ，
同理可得： ，
①当点 在边 上时，
由题意得： ，解得 ，
而点 ，
故点 的坐标为 ；
②当点 在边 上时，
由题意得： ，而 ，故 ，解得 ，
由点 、 的坐标知，直线 的表达式为 ，
当 时， ，
故点 的坐标为 ，
故点 的坐标为 或 ．
5．如图，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，
两直线交于点 ，解答下列问题：
（1）求 ， 的值和点 的坐标；
（2）若 是 轴上的动点，当以 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 的
坐标；
（3）若 是 轴上的动点，当以 ， ， 为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形
时，请直接写出满足条件的点 的坐标．
【解答】解：（1）将点 代入 ，
，
，
将点 代入 ，
，
解得 ，
，联立方程组 ，
解得 ，
；
（2）设 ，
令 ，则 ，
解得 ，
，
， ， ，
①当 为斜边时， ，
解得 或 （舍 ，
；
②当 为斜边时， ，
解得 ，
；
③当 为斜边时， ，
解得 （舍 ；
综上所述： 点坐标为 或 ；
（3）设 ，， ， ，
①当 ， 为斜边时，
， ，
解得 ，
；
②当 ， 为斜边时，
， ，
解得 ，
；
综上所述： 点坐标为 或 ．
6．如图1，在平面直角坐标系中，直线 过点 和 ， 与 互相垂
直，且相交于点 ， 为 轴上一动点．
（1）求直线 与直线 的函数表达式；
（2）如图2，当 在 轴负半轴上运动时，若 的面积为8，求 点的坐标；（3）如图3，过 作 轴垂线，与 交于点 ．在 轴正半轴上是否存在点 使
为等腰三角形？若存在，请直接写出 点坐标．
【解答】解：（1） 直线 与过点 和 ，
，解得 ，
直线 的函数表达式为： ，
与 互相垂直，且相交于点 ，
，
，
设直线 的函数表达式为 ，
，解得 ，直线 的函数表达式为： ；
（2）设 ，
、 ， ，
，
，
点的坐标为 ；
（3）在 轴正半轴上存在点 使 为等腰三角形，
设点 的坐标 ，
轴，直线 ，
点 的坐标 ，
，
，
，
①当 时， ，
，解得 或0（舍去），
点坐标为 ；
②当 时， ，
，解得 或 （舍去），点坐标为 ， ；
③当 时， ，
，解得 或 （舍去），
点坐标为 ．
综上所述，存在， 点坐标为 或 ， 或 ．
7．在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴的交点分别为点 和点 ， 上一
点 的横坐标为 ，点 为线段 的中点．
（1）写出 点的坐标；
（2）如图，若点 为线段 上的一个动点，当 的值最小时，求出点 坐标；
（3）在（2）的条件下，
①若点 在线段 上，且 是直角三角形，请直接写出满足条件的点 的坐标；
②若点 在直线 上，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，当 ，求 点的坐
标．
【解答】解：（1）当 时， ，
， ；
（2）令 ，则 ，，
令 ，则 ，
，
（2） 点 为线段 的中点，
，
作 点关于 轴的对称点 ，则 ，连接 交 轴于点 ，
，
，
、 、 三点共线时， 的值最小，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
；
（3）①设 ，
， ，
， ， ，
当 为斜边时， ，
解得 ，， ；
当 为斜边时， ，
解得 ，
；
当 为斜边时， ，
解得 ，
， ；
综上所述： 点坐标为 ， 或 或 ， ；
②设 ，则 ，
，
，
，
解得 或 ，
， 或 ， ．9．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与
直线 交于点 ．
（1）求点 的坐标．
（2）若 是 轴上的一个动点，直接写出当 是等腰三角形时 的坐标．
（3）在直线 上是否存在点 ，使得 的面积是 面积的2倍？若存在，请
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）联立两直线解析式成方程组，得： ，
解得： ，
点 的坐标为 ；
（2）设点 ，而点 ，点 ；， ， ；
当 时， ，解得： ；
当 时，同理可得： （舍去）或8；
当 时，同理可得： ；
故点 的坐标为： 或 或 ， 或 ， ；
（3）当 时，有 ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
，
．
设 当 在 轴下方时， 的面积是 面积的2倍，
的面积等于 的面积， ，
当 时， ， ，
，
当 在 轴上方时， 的面积是 面积的2倍，
的面积等于 的面积的3倍， ；
当 时， ， ，
，
综上所述， 或 ．10．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交 、 两点，与直线
相交于点 ．
（1）求点 、 的坐标；
（2）求 和 的值；
（3）若直线 与 轴相交于点 ，动点 从点 开始，以每秒1个单位的速度
向 轴负方向运动，设点 的运动时间为 秒．
①若点 在线段 上，且 的面积为10，求 的值；
②是否存在 的值，使 为等腰三角形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在 中，当 时， ；
当 时， ；
， ；
（2） 点 在直线 上，
，
又 点 也在直线 上，
，
解得： ；
（3）在 中，当 时， ，
，，
，
，
；
①设 ，则 ，过 作 于 ，如图1所示：
则 ，
的面积为10，
，
解得： ；
②存在，理由如下：
过 作 于 ，如图1所示：
则 ， ，
，
；
、当 时， ，
，
；
、当 时，如图2所示：则 ，
， ，
，或 ；
、当 时，如图3所示：
设 ，则 ， ，
，
解得： ，
与 重合， ，
，
；
综上所述，存在 的值，使 为等腰三角形， 的值为4或 或 或8．
11．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
直线 轴负半轴于点 ，点 是直线 上一点且位于 轴上方．已知 ．
（1）求经过 ， 两点的直线的函数关系式和点 的坐标；
（2）在直线 上是否存在点 使得 为等腰三角形，若存在，直接写出 点坐标，若
不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于直线 ，当 时， ；当 时， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
又 ，
点 的坐标为 ，
设直线 的函数表达式为 ，则有 ，
解得： ，
直线 的函数表达式为 ；
（2）存在，设 ，
分三种情况考虑：当 时，可得 ，
解得： 或 ，此时 ， ；
当 时，则有 ，
解得： ，此时 ；
当 时， ，
解得： ，此时 ，
综上，共有四个点满足要求．分别是 ， ， ， ．12．如图，已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，交 轴于点 ．
（1）求 的值与点 的坐标；
（2）若点 在 轴上，且使得 的面积为12，请求出点 的坐标．
（3）若点 在 轴上，且 为等腰三角形，请直接写出点 的坐标．
【解答】解：（1）把点 代入 ，得 ，
点 坐标为 ．
（2）存在，设点 坐标为 ，
，
，
解得 或12，
点 坐标 或 ．
（3）如图1中，①当 时， ，
可得 ， ．
②当 时， ，可得 ．
③当 时，
线段 的垂直平分线为 ，可得 ， ，
综上所述，满足条件的点 坐标为 或 或 或 ， ．
13．如图，已知正方形 的边长为2，顶点 、 分别在 轴的负半轴和 轴的正半
轴上， 是 的中点． 是线段 上一动点 点除外），直线 交 的延长
线于点 ．
（1）求点 的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）当 是以 为腰的等腰三角形时，求 的值．
【解答】解：（1）由题意得 ，
，
，，
， ，
点 的坐标为 ．
（2）分二种情况
①若 ，则 ，解得 ；
②若
过 作 于点 （如图），
则
又 ，
则 ．
综上所述，当 是等腰三角形时， 的值为 或 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，
与函数 的图象交于点 ．
（1）求 和 的值；
（2）函数 的图象与 轴交于点 ，点 从点 出发沿 方向，以每秒2个单
位长度匀速运动到点 （到 停止运动）．设点 的运动时间为 秒．
①当 的面积为12时，求 的值；
②在点 运动过程中，是否存在 的值，使 为直角三角形？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 点 在直线 上，
，
点 ，
函数 的图象过点 ，
，得 ，
即 的值是4， 的值是 ；
（2）① 函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，
点 ，点 ，
函数 的图象与 轴交于点 ，
点 的坐标为 ，
，
的面积为12，
，
解得， ．
即当 的面积为12时， 的值是5；
②当 或 时， 是直角三角形，
理由：当 时， ，
点 ，点 ，点 ，点 ，， ，
，
，
，
，
，
，
，
解得， ；
当 时，
， ，
，
，
，
解得， ；
由上可得，当 或 时， 是直角三角形．
15．如图1，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 、 分别在
轴与 轴上，已知 ， ．点 为 轴上一点，其坐标为 ，点 从点 出
发以每秒2个单位的速度沿线段 的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运
动时间为 秒．
（1）当点 与点 重合时，求直线 的函数解析式；
（2）①求 的面积 关于 的函数解析式；
②如图2，把长方形沿着 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求点 的坐标．
（3）点 在运动过程中是否存在使 为等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．【解答】解：（1） ， ，四边形 为长方形，
．
设此时直线 解析式为 ，
把 ， 分别代入，得
，
解得
则此时直线 解析式为 ；
（2）①当点 在线段 上时， ，高为6， ；
当点 在线段 上时， ，高为 ， ；
②设 ，则 ，如图2，
， ，
，
，
，
，解得则此时点 的坐标是 ， ；
（3）存在，理由为：
因为 ，所以满足条件的点 上．
若 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当 ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
，即 ；
②当 时，此时 ；
③当 时，
在 中， ，
根据勾股定理得： ，
，即 ， ，
综上，满足题意的 坐标为 或 ， 或 ．16．在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 在 的图象上运动（不与 重
合），连接 ．过点 作 ，交 轴于点 ，连接 ．
（1）求线段 长度的取值范围；
（2）试问：点 运动的过程中， 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请
说明理由．
（3）当 为等腰三角形时，求点 的坐标．
【解答】解：（1）如图1，作 ，则 ，点 在 的图象上
，
（2）
①当点 在第三象限时，如图2，
由 ，可得 、 、 、 四点共圆，
②当点 在第一象限的线段 上时，如图3
由 可得 、 、 、 四点共圆，又此时
③当点 在第一象限的线段 的延长线上时，
由 可得
、 、 、 四点共圆
（3）设 ，则 ，
，
，
① 时，则
整理得：
解得
， ， ，
②当 时，则整理得：
解得： 或
当 时， 点与 重合，舍去，
，
③当 时，
则
整理得：
解得：
点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ．
17．一次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于点 和点 ．点
在线段 上．如图，将 沿 折叠后，点 恰好落在 边上点 处．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求 的长；
（3）点 为 轴上一点．且满足 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出 点坐标．【解答】解：（1）由题意可得： ，
，
一次函数的解析式为： ；
（2） 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
，
，
由折叠的性质，可知： ， ， ，
， ．
设 ，则 ，
在 中， ，
，即 ，
解得： ，
，
；
（3）设点 ，
当 时，则 ，
或 ，点 或 ，
当 时，
又 ，
，
点 ，
综上所述：点 或 或 ．
18．如图，平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．
直线 交 于点 ，交 轴于点 ， 是直线 上一动点，且在点 的上方，设
．
（1）求直线 的解析式和点 的坐标；
（2）求 的面积（用含 的代数式表示）；
（3）当 时，以 为边在第一象限作等腰直角三角形 ，求出点 的坐标．
【解答】解：（1） 经过 ，
，
直线 的解析式是 ．
当 时， ，解得 ，
点 ．（2）过点 作 ，垂足为 ，则有 ， 时， ， 在
点 的上方，
，
由点 ，可知点 到直线 的距离为2，即 的边 上的高长为2，
，
；
（3）当 时， ，解得 ，
点 ．
，
，
．
第1种情况，如图1， ， ，
过点 作 直线 于点 ．
， ，
．
又 ， ，
，
，
，．
第2种情况，如图 ， ，
过点 作 轴于点 ．
， ，
．
又 ， ，
．
，
，
．
第3种情况，如图3， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
以 为边在第一象限作等腰直角三角形 ，点 的坐标是 或 或 ．19．如图，直线 与 轴交于 点，与 轴交于 点，动点 从 点出发，以每
秒2个单位的速度沿 方向向点 匀速运动，同时动点 从 点出发，以每秒1个单
位的速度沿 方向向点 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，
连接 ，设运动时间为 ．
（1）写出 ， 两点的坐标；
（2）设 的面积为 ，试求出 与 之间的函数关系式；并求出当 为何值时，
的面积最大？
（3）当 为何值时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似，并直接写出此时点
的坐标．
【解答】解：（1）令 ，则 ，解得 ，
时， ，
， ，
点 ， ；
（2）在 中，由勾股定理得， ，
点 的速度是每秒2个单位，点 的速度是每秒1个单位，
，
，
点 到 的距离为 ，
的面积 ，
， ，
当 时， 的面积最大， ；
（3）若 ，则 ，
，
解得 ，
若 ，则 ，
，
解得 ，，
的值为 ，
此时， ，
，
点 的坐标为 ， ，
综上所述， 秒时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似，此时点 的坐标
为 ， ．
20．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，点 在 轴上运动，
连接 ，将 沿直线 折叠，点 的对应点记为 ．
（1）求 、 的值；
（2）若点 恰好落在直线 上，求 的面积；
（3）将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，直线 与直线 的交点为 ，在
点 的运动过程中，是否存在某一位置，使得 为等腰三角形？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 点 、 在直线 上，
，解得： ， ；
（2）存在两种情况：
①如图 1，当 在 轴的正半轴上时，点 恰好落在直线 上，则 ，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
由折叠得： ， ，
△ ，
，
，
△ 中， ，
；
②如图所示：当 在 轴的负半轴时，
由折叠得： ， ，
，
，
；（3）分4种情况：
①当 时，如图2， 与 重合，此时点 的坐标为 ；
②当 时，如图3，
，
，
，
，
，
，
，， ；
③当 时，如图4，此时 与 重合，
，
，
中， ，
，
，
，
，
， ；
④当 时，如图5，此时 与 重合，则 与 关于 轴对称，
此时 ；
综上，点 的坐标是 或 ， 或 ， 或 ．21．在如图的平面直角坐标系中，直线 过点 ，且与直线 交于点 ，直线
与 轴交于点 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若 的面积为9，求点 的坐标；
（3）若 是等腰三角形，求直线 的函数表达式．
【解答】解：（1）设直线 的解析式为： ，
直线 过点 、点 ，
，解得： ，直线 的函数表达式为： ；
（2） 的面积为9，
，
，
，
或 ，
或 ；
（3）分四种情况：
①如图1，当 时，
， ，
，
，
，
，
，
设直线 的解析式为： ，
把 和 代入得： ，解得： ，
直线 的函数表达式为： ；
②如图2， ，
，
同理可得直线 的解析式为： ；
③如图3， ，过点 作 轴于点 ，
，
，
同理可得直线 的解析式为： ；④如图4， ，过点 作 轴于 ，
设 ，则 ， ，
根据勾股定理得： ，
，
解得： ，
，
，
同理可得直线 的解析式为： ；
综上，直线 的解析式为： 或 或 或 ．
22．如图，一次函数 的图象与 轴和 轴分别交于点 和 ，再将 沿直
线 对折，使点 与点 重合、直线 与 轴交于点 ，与 交于点 ．
（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）求 的长度；
（3）在 轴上有一点 ，且 是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点 的坐标．【解答】解：（1）令 ，则 ；令 ，则 ，
故点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．（每空1分）
（2）设 ，则 ，
，
，
，（2分）
解得 ，
．（3分）
（3）设 点坐标为 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 或 ；
当 时， ，解得 ．
点坐标为 ， ， ， ， ．（2分）
23．在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，且，直线 经过点 ， ，与 轴、 轴、直线 分别交于点 、
、 三点．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图1，连接 ，当 时，求点 的坐标和 的面积；
（3）如图2，当点 在直线 上运动时，在坐标轴上是否存在点 ，使 是以
为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） ，
当 时， ，
，
，
，
， ，
把 ， 代入： 中得： ，
，
直线 的解析式为： ；
（2）如图1，过 作 轴于 ，， ，
， ，
中， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
把 ， 和 ， 代入 中得： ，
解得： ，
直线 ，
即 ，则 ，解得 ，
， ，
；
（3）分四种情况：
①当 在 轴的正半轴上时，如图2，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
是以 为底边的等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
， ，
设 ， ，则 ，
，即 ，
，
， ；
②当 在 轴的负半轴上时，如图3，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
同理得： ，
， ，
设 ， ，则 ，
，
即 ，
，
， ；
③当 在 轴的负半轴上时，如图4，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，同理得： ，
， ，
设 ， ，则 ，
，
即 ，
，
， ；
④当 在 轴的负半轴上时，如图5，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，同理得： ，
， ，
设 ， ，则 ，
，
即 ，
，
；
综上，存在点 ，使 是以 为底边的等腰直角三角形，点 的坐标是 或
， 或 ， ．
24．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长是4，点 ， 分别在 轴、 轴
的正半轴上，动点 从点 开始，以每秒2个单位长度的速度在线段 上来回运动．
动点 从点 开始沿 的方向，以每秒1个单位长度的速度向点 运动． ，两点同时出发，当点 到达点 时，两点同时停止运动．设运动时间为 秒．
当 时，求 所在直线的解析式．
（2）当点 在 上运动时，若以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，求 的值．
（3）在 ， 两点运动的过程中，若 的面积为6，请直接写出所有符合条件的 点
坐标．
【解答】解：（1） 时， ， ，
正方形 的边长为4，
，
点 ， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
所以，直线 的解析式为 ；
（2） 点 的速度是每秒2个单位长度，点 的速度是每秒1个单位长度，点 从 到 的时间是 秒，
点 从 到 的时间是 秒，
① 时， ， ， ，
以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，
，
即 ，
整理得， ，
解得 ， （舍去），
或 ，
即 ，
整理得， ，
解得 ，
② 时， ， ， ，
以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，
，
即 ，
整理得， ，
解得 ， （舍去），
或 ，即 ，
整理得， ，
△ ，
方程无解，
综上所述， 的值为1或 或 ；
（3）① 时，点 从 到 ，点 在 上，
， ，
，
，
的面积为6，
，
整理得 ，
解得 ， （舍去），
此时， ，
所以，点 的坐标为 ， ；
② 时，点 从 到 ，点 在 上，
， ，
，，
的面积为6，
，
整理得 ，
解得 ， （舍去），
此时， ，
所以，点 的坐标为 ， ；
③ 时，点 在 上，点 在 上，
，
，
解得 ，
此时，点 运动的路程为 ，
，
所以，点 的坐标为 ，
综上所述， 点坐标为 ， 或 ， 或 ．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴的正半轴交于点 ，与
轴交于点 ，三角形 的面积为2．动点 从点 出发，以每秒1个单位长度
的速度在射线 上运动，动点 从 出发，沿 轴的正半轴与点 同时以相同的速度运
动，过 作 轴交直线 于 ．
（1）求直线 的解析式．（2）当点 在线段 上运动时，设 的面积为 ，点 运动的时间为 秒，求 与
的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．
（3）过点 作 轴交直线 于 ，在运动过程中 不与 重合），是否存在某
一时刻 （秒 ，使 是等腰三角形？若存在，求出时间 值．
【解答】解：（1） 点 ，
，
，
解得 ，
点 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2） ，
是等腰直角三角形，点 、 的速度都是每秒1个单位长度，
，
，
的面积为 ，
点 在线段 上运动，
，
与 的函数关系式为 ；
（3） 秒时， ， ，
所以， ，
，
①若 ，则 ，
②若 ，则 ，
整理得， ，
解得 （舍去）， ，
③若 ，则 ，
整理得， ，
解得 ，
此时点 在与点 重合，不合题意舍去，
综上所述， 或4时， 是等腰三角形．
