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专题 4.3 一次函数与三角形的存在性问题
【例题精讲】
【例1】如图，已知直线 的图象与 轴、 轴交于 、 两点， ，
．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若 是 轴上的一个动点，请直接写出当 是等腰三角形时 的坐标；【例2】如图，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相交于点 动
点 沿路线 运动．
（1）求直线 的解析式；
（2）当 的面积是 的面积的 时，求出这时点 的坐标；
（3）是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，
请说明理由．【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为
，与 轴、 轴分别交于点 、点 ，直线 与 交于点 ．
（1）求点 、点 、点 的坐标，并求出 的面积；
（2）若直线 上存在点 （不与 重合），满足 ，请求出点 的坐标；
（3）在 轴右侧有一动直线平行于 轴，分别与 ， 交于点 、 ，且点 在点 的
下方， 轴上是否存在点 ，使 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件
的点 的坐标；若不存在，请说明理由．【题组训练】
2．如图，长方形 ，以 为坐标原点， 、 分别在 轴、 轴上，点 的坐标
为 ，点 的坐标为 ，点 是 边上一点，把长方形 沿 翻折后，
点恰好落在 轴上点 处．
（1）求点 、 的坐标；
（2）求 所在直线的函数关系式；
（3）在 轴上求一点 ，使 成为以 为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条
件的点 的坐标．4．过点 的直线 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ．
（1）点 坐标 ；点 坐标 ；点 坐标 ；
（2）如图，在 左侧有一点 ，使 是等腰直角三角形，并且 ，求点
的坐标；
（3）过点 的直线 把 的面积分为 ，交 另一边于点 ，求点 的坐标．5．如图，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，
两直线交于点 ，解答下列问题：
（1）求 ， 的值和点 的坐标；
（2）若 是 轴上的动点，当以 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 的
坐标；
（3）若 是 轴上的动点，当以 ， ， 为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形
时，请直接写出满足条件的点 的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系中，直线 过点 和 ， 与 互相垂
直，且相交于点 ， 为 轴上一动点．
（1）求直线 与直线 的函数表达式；
（2）如图2，当 在 轴负半轴上运动时，若 的面积为8，求 点的坐标；
（3）如图3，过 作 轴垂线，与 交于点 ．在 轴正半轴上是否存在点 使
为等腰三角形？若存在，请直接写出 点坐标．7．在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴的交点分别为点 和点 ， 上一
点 的横坐标为 ，点 为线段 的中点．
（1）写出 点的坐标；
（2）如图，若点 为线段 上的一个动点，当 的值最小时，求出点 坐标；
（3）在（2）的条件下，
①若点 在线段 上，且 是直角三角形，请直接写出满足条件的点 的坐标；
②若点 在直线 上，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，当 ，求 点的坐
标．9．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与
直线 交于点 ．
（1）求点 的坐标．
（2）若 是 轴上的一个动点，直接写出当 是等腰三角形时 的坐标．
（3）在直线 上是否存在点 ，使得 的面积是 面积的2倍？若存在，请
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交 、 两点，与直线
相交于点 ．
（1）求点 、 的坐标；
（2）求 和 的值；
（3）若直线 与 轴相交于点 ，动点 从点 开始，以每秒1个单位的速度
向 轴负方向运动，设点 的运动时间为 秒．
①若点 在线段 上，且 的面积为10，求 的值；
②是否存在 的值，使 为等腰三角形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
直线 轴负半轴于点 ，点 是直线 上一点且位于 轴上方．已知 ．
（1）求经过 ， 两点的直线的函数关系式和点 的坐标；
（2）在直线 上是否存在点 使得 为等腰三角形，若存在，直接写出 点坐标，若
不存在，请说明理由．12．如图，已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，交 轴于点 ．
（1）求 的值与点 的坐标；
（2）若点 在 轴上，且使得 的面积为12，请求出点 的坐标．
（3）若点 在 轴上，且 为等腰三角形，请直接写出点 的坐标．13．如图，已知正方形 的边长为2，顶点 、 分别在 轴的负半轴和 轴的正半
轴上， 是 的中点． 是线段 上一动点 点除外），直线 交 的延长
线于点 ．
（1）求点 的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）当 是以 为腰的等腰三角形时，求 的值．14．如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，
与函数 的图象交于点 ．
（1）求 和 的值；
（2）函数 的图象与 轴交于点 ，点 从点 出发沿 方向，以每秒2个单
位长度匀速运动到点 （到 停止运动）．设点 的运动时间为 秒．
①当 的面积为12时，求 的值；
②在点 运动过程中，是否存在 的值，使 为直角三角形？若存在，直接写出 的值；
若不存在，请说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 、 分别在
轴与 轴上，已知 ， ．点 为 轴上一点，其坐标为 ，点 从点 出
发以每秒2个单位的速度沿线段 的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运
动时间为 秒．
（1）当点 与点 重合时，求直线 的函数解析式；
（2）①求 的面积 关于 的函数解析式；
②如图2，把长方形沿着 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求点 的坐标．
（3）点 在运动过程中是否存在使 为等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 在 的图象上运动（不与 重
合），连接 ．过点 作 ，交 轴于点 ，连接 ．
（1）求线段 长度的取值范围；
（2）试问：点 运动的过程中， 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请
说明理由．
（3）当 为等腰三角形时，求点 的坐标．17．一次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于点 和点 ．点
在线段 上．如图，将 沿 折叠后，点 恰好落在 边上点 处．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求 的长；
（3）点 为 轴上一点．且满足 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出 点坐标．18．如图，平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．
直线 交 于点 ，交 轴于点 ， 是直线 上一动点，且在点 的上方，设
．
（1）求直线 的解析式和点 的坐标；
（2）求 的面积（用含 的代数式表示）；
（3）当 时，以 为边在第一象限作等腰直角三角形 ，求出点 的坐标．19．如图，直线 与 轴交于 点，与 轴交于 点，动点 从 点出发，以每
秒2个单位的速度沿 方向向点 匀速运动，同时动点 从 点出发，以每秒1个单
位的速度沿 方向向点 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，
连接 ，设运动时间为 ．
（1）写出 ， 两点的坐标；
（2）设 的面积为 ，试求出 与 之间的函数关系式；并求出当 为何值时，
的面积最大？
（3）当 为何值时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似，并直接写出此时点
的坐标．20．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，点 在 轴上运动，
连接 ，将 沿直线 折叠，点 的对应点记为 ．
（1）求 、 的值；
（2）若点 恰好落在直线 上，求 的面积；
（3）将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，直线 与直线 的交点为 ，在
点 的运动过程中，是否存在某一位置，使得 为等腰三角形？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．21．在如图的平面直角坐标系中，直线 过点 ，且与直线 交于点 ，直线
与 轴交于点 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若 的面积为9，求点 的坐标；
（3）若 是等腰三角形，求直线 的函数表达式．22．如图，一次函数 的图象与 轴和 轴分别交于点 和 ，再将 沿直
线 对折，使点 与点 重合、直线 与 轴交于点 ，与 交于点 ．
（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）求 的长度；
（3）在 轴上有一点 ，且 是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点 的坐标．23．在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，且
，直线 经过点 ， ，与 轴、 轴、直线 分别交于点 、
、 三点．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图1，连接 ，当 时，求点 的坐标和 的面积；
（3）如图2，当点 在直线 上运动时，在坐标轴上是否存在点 ，使 是以
为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长是4，点 ， 分别在 轴、 轴
的正半轴上，动点 从点 开始，以每秒2个单位长度的速度在线段 上来回运动．
动点 从点 开始沿 的方向，以每秒1个单位长度的速度向点 运动． ，
两点同时出发，当点 到达点 时，两点同时停止运动．设运动时间为 秒．
当 时，求 所在直线的解析式．
（2）当点 在 上运动时，若以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，求 的值．
（3）在 ， 两点运动的过程中，若 的面积为6，请直接写出所有符合条件的 点
坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴的正半轴交于点 ，与
轴交于点 ，三角形 的面积为2．动点 从点 出发，以每秒1个单位长度
的速度在射线 上运动，动点 从 出发，沿 轴的正半轴与点 同时以相同的速度运
动，过 作 轴交直线 于 ．
（1）求直线 的解析式．
（2）当点 在线段 上运动时，设 的面积为 ，点 运动的时间为 秒，求 与
的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．
（3）过点 作 轴交直线 于 ，在运动过程中 不与 重合），是否存在某
一时刻 （秒 ，使 是等腰三角形？若存在，求出时间 值．
