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专题 4.3 基本平面图形（满分 100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022·全国·七年级专题练习）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ）．
A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体
C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线
【思路点拨】
根据从运动的观点来看点动成线，线动成面进行解答即可．
【解题过程】
“枪挑”是用枪尖挑，枪尖可看作点，棍可看作线，故这句话从数学的角度解释为点动成线，线动成面．
故选A．
2．（2022·全国·七年级专题练习）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．
【解题过程】
解：将正方形展开并标上顶点可得如下图所示：
其中C 与C相接，B 与B相接，D 与D相接，A 与A相接，B ❑ ′与B′相接，D ❑ ′与D′相接.
1 1 1 1 1 1
故和选项B符合
故选：B．
3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1与∠AOB是同一个角 B．∠α与∠COB是同一个角
C．∠AOC可以用∠O来表示 D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC
【思路点拨】
根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时，这个角才可以用一个顶点字母来表示，由此
可得结论．
【解题过程】
解：A、∠1与∠AOB表示的是同一个角，故A说法正确，不符合题意；
B、∠α与∠COB是同一个角，故B说法正确，不符合题意；
C、以O为顶点的角一共有三个，不能用一个顶点字母表示，故C说法错误，符合题意；
D、由图可知，图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC，故D说法正确，不符合题意．
故选：C．
4．（2022·全国·七年级课时练习）如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是
（ ）A．50° B．70° C．130° D．160°
【思路点拨】
根据互为补角的定义结合已知条件列方程求解即可．
【解题过程】
解：设这个角是x，则它的补角是：(180−x)，
根据题意，得：
x=2(180−x)+30，
解得：x=130，
即这个角的度数为130°．
故选：C．
5．（2022·黑龙江双鸭山·七年级期末）下列说法中正确的个数为（ ）
①射线OP和射线PO是同一条射线；②连接两点的线段叫两点间的距离；③两点确定一条直线；④若
AC=BC，则C是线段AB的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据射线的定义及其表示可判断①；根据两点间的距离定义可判断②；根据直线基本事实可判断③；根据
线段中点定义可判断④，然后可得出结论．
【解题过程】
解：①直线上一点和她一旁的部分，射线OP端点是O，从O向P无限延伸，射线PO端点是P，从P向O
无限延伸，所以不是同一条射线，故①错误；
②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故②错误；
③经过两点有且只有一条直线，两点确定一条直线符合基本事实，故③正确；
④把一条线段分成两条相等的线段的点，若AC=BC，点C可以在线段AB上时，C是线段AB的中点，若
AC=BC，点C在线段AB外时，点C不是线段AB的中点，故④错误
正确的个数是1．
故选择A．
6．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不
与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，
求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）
1
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为 (b−a)；
21
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为 (a−b)；
2
1
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为 (a+b)．
2
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确
【思路点拨】
分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段MN的长
度，判定即可．
【解题过程】
解：点C在线段AB上运动时，如下图：
1 1 1 1
MN= AC+ BC= AB= (b−a)
2 2 2 2
甲说法正确；
当点C在射线AB上运动时，如下图：
1 1 1 1
MN= AC− BC= AB= (b−a)
2 2 2 2
乙说法不正确；
当点C在射线BA上运动时，如下图：
1 1 1 1
MN= BC− AC= AB= (b−a)
2 2 2 2
丙说法不正确
故选A
7．（2022·全国·七年级课时练习）如图，直线AB,CD相交于点O,∠AOC=∠BOD，∠EOF=∠COG=90°,OA平分∠COF，射线OD将∠BOE分成了角度数之比为2:1的两个角，则
∠COF的大小为（ ）
A．45° B．60° C．72°或45° D．40°或60°
【思路点拨】
1
设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或 x°，表示出其他角，根据平角列方程即可．
2
【解题过程】
解：设∠DOE=x°，射线OD将∠BOE分成了角度数之比为2:1的两个角，
1 1
当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD= x°，∠AOC=∠BOD= x°，
2 2
∵OA平分∠COF，
1
∴∠AOC=∠AOF= x°，
2
∵∠EOF=∠COG=90°,∠COD=180°，
1 1
∴ x+ x+90+ x=180，
2 2
解得，x=45；
∠COF=2∠AOC=45°；
当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°，∠AOC=∠BOD=2x°，
同理， ∠AOC=∠AOF=2x°，
2x+2x+90+ x=180，
解得：x=18，
∠COF=2∠AOC=72°；
故选：C．8．（2022·江苏·七年级专题练习）已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段
AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
a+b a−b a+b a−b a+b |a−b|
A． B． C． 或 D． 或
2 2 2 2 2 2
【思路点拨】
由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
【解题过程】
解：由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
1 1
∵点M是AB的中点，∴AM= AB= (a+b)，
2 2
1 a−b
∴MC=AC﹣AM=a− (a+b)= ．
2 2
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
1 1
∵点M是AB的中点，∴AM= AB= (a−b)，
2 2
1 a+b
∴MC=AC﹣AM=a− (a−b)= ．
2 2
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
1 1
∵点M是AB的中点，∴AM= AB= (a+b)，
2 21 b−a
∴MC=AM﹣AC= (a+b)−a= ．
2 2
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
1 1
∵点M是AB的中点，∴AM= AB= (b−a)，
2 2
1 a+b
∴MC=AC+AM=a+ (b−a)= ．
2 2
a+b a−b b−a a+b |a−b|
综上所述：MC的长为 或 （a＞b）或 （a＜b），即MC的长为 或 ．
2 2 2 2 2
故选D．
9．（2022·江苏·七年级期末）在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等
份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA､OB可组成
的角的个数是（ ）
A．595 B．406 C．35 D．666
【思路点拨】
α α
设锐角∠AOB=α，第1种中间由9条射线，每个小角为 ，第2种中间由11条射线，每个小角为 ，
10 12
α
第3种中间由14条射线，每个小角为 ，利用∠AOB内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射
15
mα nα pα m n p
线，第一种第m被倍小角为 ，第二种n倍小角 ，与第三种p倍小角 相同，则 = = ，先
10 12 15 10 12 15
看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共
重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在∠AOB中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多
28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．
【解题过程】
设锐角∠AOB=α
α
第1种是将∠AOB分成10等份；中间由9条射线，每个小角为 ，
10α
第2种是将∠AOB分成12等份；中间由11条射线，每个小角为 ，
12
α
第3种是将∠AOB分成15等份，中间由14条射线，每个小角为 ，
15
设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，
mα nα pα
第一种第m倍小角为 ，第二种n倍小角 ，与第三种p倍小角 相同
10 12 15
m n p
则 = = ，
10 12 15
先看三种分法中同时重合情况m:n:p=10:12:15除OA，OB外没有重合的，
再看每两种分法重合情况
第1种, 第2种, m:n=5:6，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，
第1种,第3种，m:p=2:3，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，
第2种,第3种, n:p=4:5,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，
在∠AOB中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，
1
29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28= ×28×(28+1)=406个角．
2
故选择：B．
10．（2022·全国·七年级课时练习）已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、B）．下列
说法：①若点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；③若
AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若
AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算正确结论即可.
【解题过程】
解：（1）如图1所示：
∵点C为线段AB的中点，
1
∴AC＝BC＝ AB，
2又∵AB＝4cm，
∴AC＝2cm，
∴结论①正确；
（2）如图2所示：
∵AC ＝1，AB＝4，
1
1
∴AC = AB，
1 4
∴点C 为线段AB的四等分点
1
又∵AC ＝1，
2
1
∴AC = AB
2 4
又∵点C 在AB的反向延长线上，
2
∴点C 不是线段AB的四等分点，
2
∴结论②错误；
（3）如图3所示：
点C为线段AB上的一动点，
∴AB＝AC+BC，
又∵AB＝4cm，
∴AC+BC＝4cm，
∴结论③正确；
（4）如图4所示：
若点C在AB的延长线上时，
AC +BC ＞AB，
1 1
∵AB＝4，
∴AC +BC ＝AB+2BC ＞4cm，
1 1 1
若点在AB的反向延长线上时，
AC +BC ＞AB，
2 2∵AB＝4，
∴AC +BC ＝AB+2AC ＞4cm，
2 2 2
∴结论④正确；
（5）如图5所示：
若点C在线段AB的延长线时，且AC ＝6cm，有
1
AC +BC ＝8cm，
1 1
若点C在线段AB的反向延长线时，且AC ＝2cm，有
2
AC +BC ＝8cm，
2 2
∴结论⑤错误．
综合所述；正确结论是①、③、④，
故选：C．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向
分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是
_______平方米．
【思路点拨】
根据题干分析可得：每切一刀，就增加2个正方体的面的面积，由此只要求出一共切了几刀，即可求出一
共增加了几个正方体的面的面积，再加上原来正方体的表面积，就是这60块长方体的表面积之和．沿水平
方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4
刀，所以一共切了2+3+4=9刀，所以表面积一共增加了9×2=18个正方体的面，由此即可解答问题．【解题过程】
解：沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小
块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，
所以这60个小长方体的表面积之和是：2×2×6+9×2×2×2=24+72=96（平方米）
故答案是96．
1
12．（2022·全国·七年级课时练习）已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝ ∠COD，OE平分∠COD，设
3
∠AOB＝β，则∠BOE＝_____．（用含β的代数式表示）
【解题过程】
解：如图1，
∵∠AOB＝β，OC是∠AOB的平分线，
1
∴∠COB= β，
2
1
∵∠BOD＝ ∠COD，
3
1 1 3
∴∠BOD＝ ∠COB= β，∠COD= β，
4 8 8
∵OE平分∠COD，
1 3
∴∠EOD= ∠COD= β，
2 16
3 1 5
∠BOE＝ β+ β= β；
16 8 16
如图2，∵∠AOB＝β，OC是∠AOB的平分线，
1
∴∠COB= β，
2
1
∵∠BOD＝ ∠COD，
3
1 1 3
∴∠BOD＝ ∠COB= β，∠COD= β，
2 4 4
∵OE平分∠COD，
1 3
∴∠EOD= ∠COD= β，
2 8
3 1 1
∠BOE＝ β- β= β；
8 4 8
1 5
故答案为： β或 β
8 16
13．（2022·江苏·七年级专题练习）已知在数轴上有A、B、C三点，表示的数分别是-3，7，x，若AC=4
，点M、N分别是AB、AC的中点，则线段MN的长度为______．
【思路点拨】
根据两点间的距离可得x=1或-7，当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，1时，得到点M表示的数为
2，点N的坐标是-1；当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，-7时，则点M表示的数为2，点N的坐标
是-5，然后分别计算MN的长．
【解题过程】
解： AB=7-（-3）=10；
∵AC=4，
∴|x-（-3）|=4，
∴x-（-3）=4或（-3）-x=4，∴x=1或-7；
当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，1时，如图1，
∵点M、N分别是AB、AC的中点，
1 1
∴AM=BM= AB=5，AN=CN= AC=2，
2 2
∴MN=AM-AN=5-2=3；
当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，-7时，如图2，
∵点M、N分别是AB、AC的中点，
1 1
∴AM=BM= AB=5，AN=CN= AC=2，
2 2
∴MN=AM+AN=5+2=7；
∴MN=7或3．
14．（2022·江西吉安·七年级期末）射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，
∠AOB=60°，∠AOD=40°，∠AOB =3∠BOC，则∠COD的度数为________．
【思路点拨】
分四种情况画图分别进行解答，即①OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的外部，②OD在∠AOB的外
部，OC在∠AOB的外部，③OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的内部，④OD在∠AOB的内部，OC在
∠AOB的内部．
【解题过程】
解：①当OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的外部，如图1所示；
∵∠AOB=60°，∠AOD=40°，∠AOB=3∠BOC，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=60°-40°=20°，
1 1
∠BOC= ∠AOB= ×60°=20°，
3 3
∴∠COD=∠BOC+∠BOD=20°+20°=40°；②当OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的外部，如图2所示；
∠COD=∠DOA+∠AOB+∠BOC=40°+60°+20°=120°；
③当OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的内部，如图3所示；
∠COD=∠AOD+∠AOC=∠AOD+（∠AOB-∠BOC）=40°+（60°-20°）=80°；
④当OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的内部时，OC与OD重合，不符合题意；
所以，∠COD的度数为40°或80°或120°，
故答案为：40°或80°或120°．
15．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，数轴上有两点A,B，点C从原点O出发，以每秒1cm的速度在
线段OA上运动，点D从点B出发，以每秒4cm的速度在线段OB上运动．在运动过程中满足OD=4AC，
AB
若点M为直线OA上一点，且AM−BM=OM，则 的值为_______．
OM【思路点拨】
设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的
关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M
在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由
AB
AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算 的值即可．
OM
【解题过程】
解：设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），
即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；
AB b−a m
∴ = = =1
OM m m
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；
AB b−a b−a −4a−a 5
∴ = = = =
OM m a+b a−4a 3
③若点M在线段OA上时，如图3所示：a+b a−4a
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：m= = =−a
3 3
∵此时m＜0，a＜0，
∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；
而m＜0，b-a＞0，
因此，不符合题意舍去，
AB 5
综上所述， 的值为1或 ．
OM 3
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算：
(1)45°10′﹣21°35′20′′；
(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；
(3)42°16′+18°23′×2．
【思路点拨】
（1）根据度分秒之间的进率即可解答；
（2）根据度分秒之间的进率即可解答；
（3）先计算乘法，再计算加法即可．
【解题过程】
（1）解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′．
（2）解：48°39′+67°31′﹣21°17′
=116°10′-21°17′
=94°53′．
（3）解：42°16′+18°23′×2
=42°16′+36°46′=79°2′．
17．（2022·全国·七年级单元测试）如图，平面内有两个点A，B．应用量角器、圆规和带刻度的直尺完成
下列画图或测量：
（1）经过A，B两点画直线，写出你发现的基本事实；
（2）利用量角器在直线AB一侧画∠ABC=40°；
（3）在射线BC上用圆规截取BD＝AB（保留作图痕迹）；
（4）连接AD，取AD中点E，连接BE；
（5）通过作图我们知道．AB=BD，AE=DE，观察并测量图形中的角，写出一组你发现的两个角之间
可能存在的数量关系．
【思路点拨】
（1）直接过AB两点画直线即可；
（2）用量角器直接画图即可；
（3）以B为圆心，BA长度为半径画圆即可；
（4）用带刻度的直尺量出AD长度取中点即可；
（5）用量角器测量各个角度大小即可；
【解题过程】
（1）画图如下，基本事实：两点确定一条直线
（2）画图如下；
（3）画图如下；
（4）画图如下；
（5）不唯一，正确即可．
例如：∠BDA=∠BAD，∠ABE=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°等
或18．（2022·山东菏泽·七年级期中）如图①②③是将正方体截去一部分后得到的几何体．
（1）根据要求填写表格：
图 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
①
②
③
（2）猜想f，v，e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个几何体有2021个顶点，4035条棱，试求出它的面数．
【思路点拨】
（1）根据图形数出即可．
（2）根据（1）中结果得出f+v-e=2．
（3）代入f+v-e=2求出即可．
【解题过程】
解：（1）图①，面数f=7，顶点数v=9，棱数e=14，
图②，面数f=6，顶点数v=8，棱数e=12，
图③，面数f=7，顶点数v=10，棱数e=15，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）f+v-e=2．
（3）∵v=2021，e=4035，f+v-e=2
∴f+2021-4035=2，
f=2016，
即它的面数是2016．
19．（2022·全国·七年级课时练习）晚饭后，小明准备外出散步，出发时看了一下时钟，时间是18时多，
时针与分针成90°角，散步完回家，小明又看了一下钟，还不到19时，而时针与分针又恰好成90°角，小
明外出了多少分钟？
【思路点拨】方法1 ：以18时为标准状态，分针比时针落后30小格（30分钟）．设出发的时间为6时x分，由于分针
1 1
每分钟走1小格，时针每分钟走 小格，因此分针走了x 小格，时针走了 x小格．依题意，若时针与
12 12
分针初次形成90°角，则分针比时针落后15小格．
方法2： 将该问题看作是钟面上分针追及时针的问题．时针每小时旋转30°，即每分钟旋转0.5°；分针每
小时旋转360°，即每分钟旋转6°．由于分针旋转速度比时针快，依题可得，前一个时针与分针的夹角90°
可看成分针滞后时针90°，后一个时针与分针的夹角90°可看成分针超前时针90°．
【解题过程】
【方法1】设出发的时间为6时x分．
根据题意，可列出方程：
x
30−x+ =15
12
180
解得x= ．
11
180
即出发的时间为6时 分．
11
设回家的时间为6时y分，此时时针与分针再次成90°角，分针比时针超前15小格，即重叠后再加90°
1
角．根据题意，可列出方程：y= y=30+15．
12
540
解得y=
11
540
即回家的时间为6时 分．
11
540 180 360 8
所以小明外出的时间为 − = =32 （分）．
11 11 11 11
8
答：小明外出时间为32 分．
11
【方法2】设小明外出时间为x分钟，则在这一过程中，时针旋转(0.5x) °，分针旋转(6x)°．根据题意，可
列出方程：6x−0.5x=90×2
360 8
解得x= =32
11 11
8
答：小明外出时间为32 分．
1120．（2022·全国·七年级课时练习）已知，点O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE是∠AOD的平分
线．
（1）如图1，若∠COE=63°，求∠BOD的度数；
（2）如图2，OF是∠BOC的平分线，求∠EOF的度数；
1
（3）如图3，在（2）的条件下，OP是∠BOD的一条三等分线，∠DOP= ∠BOD，若
3
∠AOC+∠DOF=∠EOF，请直接写出∠FOP的度数．（不用写过程）
【思路点拨】
（1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOD度数，根据BOD=180°-∠AOD可得∠BOD度
数；
1 1 1
（2）由角平分线得出∠AOE= ∠AOD= (∠AOC+90°)，∠BOF= (∠BOD+90°)，继而由∠EOF=180°-
2 2 2
∠AOE-∠BOF得出结论．
1
（3）∠DOF=45°- ∠BOD，结合已知∠AOC+∠DOF=∠EOF和∠AOC+∠BOD=90°可求∠BOD=60°，再由
2
∠FOP=∠DOF+∠DOP即可解答．
【解题过程】
解：（1）∵∠COD=90°，∠COE=63°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=27°，
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠DOE=54°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-54°=126°；
答：∠BOD的度数为126°；
（2）∵OE是∠AOD的平分线，1 1
∴∠AOE= ∠AOD= (∠AOC+90°)
2 2
∵OF是∠BOC的平分线，
1 1
∴∠BOF=∠COF= ∠BOC= (∠BOD+90°)，
2 2
1
∴∠EOF=180°−∠AOE−∠BOF= (∠AOC+∠BOD)，
2
∵∠AOC+∠BOD=180°−90°=90°，
1
∴∠EOF= ×90°=45°，
2
答：∠EOF的度数为45°；
（3）由（2）得∠EOF=45°，
∵∠AOC+∠DOF=∠EOF=45°，
∴∠DOF=45°-∠AOC，
1 1
又∵∠DOF=∠COD−∠COF=90°− (∠BOD+90°)=45°− ∠BOD，
2 2
1
∴45°−∠AOC=45°− ∠BOD，
2
1
∴∠AOC= ∠BOD，
2
∵∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠AOC=30°，∠BOD=60°，
∴∠DOF=45°−30°=15°，
1
∵∠DOP= ∠BOD，
3
∴∠DOP=20°，
∴∠FOP=∠DOF+∠DOP=15°+20°=35°．
21．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，
折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A′,B′处．
①如图2，若A′,B′恰好重合于点O处，MN= cm，②如图3，若点A′落在B′的左侧，且A′B′=20cm，求MN的长度；
③若A′B′=ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B′处，在重合部分B′N上沿绳子垂直方向剪断，将绳
子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．
【思路点拨】
1 1 1
（1）①根据MN=MO+NO= AO+ BO= AB即可求解；
2 2 2
1 1
②根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM= AA'，BN= BB'，再由MN= AB–（AM+ BN）即可
2 2
求解；
1 1
③根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM= AA'，BN= BB'，然后分两种情况点A′落在点B′的
2 2
左侧，点A′落在点B′的右侧，根据MN= AB–（AM+ BN）即可求解；
（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，得出绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段，然后分6中
1
情况讨论，根据AN=AP+ PP'即可求解．
2
【解题过程】
1 1 1
解：（1）①MN=MO+NO= AO+ BO= AB=30；
2 2 2
②因为AB=60 cm，A′B′=20 cm，
所以AA′+BB′=AB - A′B′=60 - 20=40 cm．
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，1 1
所以AM= AA'，BN= BB'．
2 2
1 1 1 1
AM+ BN= AA'+ BB'= (AA'+BB')= ×40=20cm．
2 2 2 2
所以MN= AB–（AM+ BN）=60 - 20=40 cm．
1 1
③因为M、N分别为AA′、BB′的中点，所以AM= AA'，BN= BB'．
2 2
（ⅰ）如图，若点A′落在点B′的左侧，
AA′+BB′=AB - A′B′=(60– n) cm．
1 1
AM+ BN= AA'+ BB'
2 2
1 1 ( n)
= (AA'+BB')= ×(60−n)= 30− cm．
2 2 2
( n) ( n)
所以MN= AB–（AM+ BN）=60− 30− = 30+ cm．
2 2
（ⅱ）如图，若点A′落在点B′的右侧，
AA′+BB′=AB + A′B′=(60 +n)cm．
1 1
AM+ BN= AA'+ BB'
2 2
1 1 ( n)
= (AA'+BB')= ×(60+n)= 30+ cm．
2 2 2
( n) ( n)
所以MN= AB–（AM+ BN）=60− 30+ = 30− （cm）．
2 2
( n) ( n)
综上，MN的长度为 30+ cm或 30− cm．
2 2
（2）如图，∵三段的长度由短到长的比为3：4：5，
3 4 5
∴60× =15，60× =20，60× =25，
3+4+5 3+4+5 3+4+5
故绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段
当B'P'=15，PP'=20，AP=25时，
1 1
AN=AP+ PP'=25+ ×20=35；
2 2
当B'P'=15，PP'=25，AP=20时，
1 1
AN=AP+ PP'=20+ ×25=32.5；
2 2
当B'P'=20，PP'=15，AP=25时，
1 1
AN=AP+ PP'=25+ ×15=32.5；
2 2
当B'P'=20，PP'=25，AP=15时，
1 1
AN=AP+ PP'=15+ ×25=27.5；
2 2
当B'P'=25，PP'=20，AP=15时，
1 1
AN=AP+ PP'=15+ ×20=25；
2 2
当B'P'=25，PP'=15，AP=20时，
1 1
AN=AP+ PP'=20+ ×15=27.5．
2 2
综上AN所有可能的长度为：25 cm或27．5 cm或32．5 cm或35cm．
22．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为
c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+(c−9) 2=0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运
动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．
（1）a=________，b=________，c=________．
（2）点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC=13，求x的值．
（3）点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每
秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．
【思路点拨】
（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值；
（2）由题意知，依次求出PC、PB的长，再进行分类讨论即可：当P从B到A时，当P从A到C时，当P从
C到B时，三种情况分类讨论．
2 2 4
（3）以点从为PN中点时，当0 ．
3
16
（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5），解得t= ．
7
4
当点N为PM中点时，t> ．
326
（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t= ．
17
16 26
综上所述，t的值为1， 或 ．
7 17
23．（2022·河北唐山·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．
将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求
∠CON的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之
间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过 程中，第t秒时．直
线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________秒（直接写出结果）
【思路点拨】
（1）先根据角平分线的定义求出∠BOM的度数，继而根据平角的定义求得∠COM，继而根据
∠CON=∠COM+∠MON求解即可；
（2）结论：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根据平角定义先求出∠AOC的度数，继而根据角的和差得到
90°-∠AOM=60°-∠NOC，由此求解即可；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分ON的反向延长线OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC两种情
况分别画出图形进行解答即可.
【解题过程】
解：（1）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC=120°，
∵OM恰好平分∠BOC，
1
∴∠BOM= ∠BOC=120°÷2=60°，
2
∴∠COM=180°−∠AOC−∠BOM=180°−60°−60°=60°，∴∠CON=∠COM+∠MON=60°+90°=150°；
（2）∠AOM-∠NOC=30°，
理由如下：如图，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=60°，
∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，
∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
1
如图，当ON的反向延长线OF平分∠AOC时，∠AOF= ∠AOC=30°，
2
∴∠BON=∠AOF=30°，
∴ON旋转的角度是90°+180°+30°=300°，
∴10x=300，
∴x=30；
1
如图，当ON平分∠AOC时，∠CON= ∠AOC=30°，
2∴ON旋转的角度是90°+30°=120°，
∴10x=120，
∴x=12，
综上，x=30或x=12，
即此时三角板绕点O旋转的时间是30或12秒．
故答案为：30或12．
24．（2022·浙江·七年级专题练习）【阅读理解】
1
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝ ∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，
2
1
如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝ ∠BOC，称射线OC是射线OA的伴
2
1
随线；同时，由于∠BOD＝ ∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．
2
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若∠AOB的度数是
α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是 ．（用含α的
代数式表示）
（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【思路点拨】
（1）根据伴随线定义即可求解；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；
②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．
【解题过程】
解：（1）如图，∵ 射线是OA的伴随射线，
1
∴∠AOC= ∠BOC,
2
1 1
∴∠AOC= ∠AOB= ×120°=40° ，
3 3
∵ 同理，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，
1 1
∴∠BON= ∠AOB= α ,
3 3
∵ 射线OC是∠AOB的平分线，
1 1
∴∠BOC= ∠AOB= α ,
2 2
1 1 1
∴∠NOC=∠BOC−∠BON= α− α = α，
2 3 6
α
故答案为：40°,
6180
（2）射线OD与OA重合时，t＝ ＝36（秒）
5
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20，
∴t＝20；
若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20，
∴t＝25；
所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．
②相遇之前：
（i）如图1，
1
OC是OA的伴随线时，则∠AOC＝ ∠COD
2
1
即 3t＝ （180﹣5t﹣3t）
2
90
∴t＝
7
（ii）如图2，
OC是OD的伴随线时，
1
则∠COD＝ ∠AOC
2
1
即180﹣5t﹣3t＝ ×3t
2
360
∴t＝
19
相遇之后：
（iii）如图3，OD是OC的伴随线时，
1
则∠COD＝ ∠AOD
2
1
即5t+3t﹣180＝ （180﹣5t）
2
180
∴t＝
7
（iv）如图4，
1
OD是OA的伴随线时，则∠AOD＝ ∠COD
2
1
即180﹣5t＝ （3t+5t﹣180）
2
∴t＝30
90 360 180
所以，综上所述，当t＝ , , ， 30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随
7 19 7
线．
