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专题4.3 正比例函数（知识讲解）
【学习目标】
y kx
1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数 的图象；
2. 理解并掌握正比例函数的性质，解决简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一、正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
y kx k k k
一般的，形如 （ 为常数，且 ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中 叫做
比例系数.
2、正比例函数的等价形式
y x
（1）、 是 的正比例函数；
y kx k k
（2）、 （ 为常数且 ≠0）；
y x
（3）、若 与 成正比例；
y
k
（4）、 x （ k 为常数且 k ≠0）.
要点二、正比例函数的图象与性质
y kx k k
正比例函数 （ 是常数， ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为
y kx k y kx x
直线 .当 ＞0时，直线 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着 的增
y k y kx x
大 也增大；当 ＜0时，直线 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着 的增
y
大 反而减小.
要点三、待定系数法求正比例函数的解析式
y kx k k k
由于正比例函数 （ 为常数， ≠0 ）中只有一个待定系数 ，故只要有一对
x y k
， 的值或一个非原点的点，就可以求得 值.
【典型例题】
类型一、正比例函数的定义
1．已知自变量为x的函数y＝mx＋2－m是正比例函数，则m＝________，该函
数的解析式为________．【答案】2; y＝2x
【分析】根据正比例函数的定义可得答案．
解：m≠0，2-m=0，
∴m=2，
该函数的解析式为y=2x．
故答案为2；y=2x．
【点拨】解题关键是掌握正比例函数的定义条件．正比例函数y=kx的定义条件是：k
为常数且k≠0，自变量次数为1．
举一反三：
【变式1】已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝_____．
【答案】-1
【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0．
解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点拨】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx
的定义条件是：k为常数且k≠0．
【变式2】若函数 是正比例函数，则 =_______.
【答案】-2
【分析】根据形如y=kx（k≠0）是正比例函数，可得答案
解： 函数 是正比例函数，
解得：
故答案为
【点拨】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握概念是解题的关键．
【变式3】若函数 是关于 的正比例函数，则常数m的值是
__________．
【答案】
【分析】根据正比例函数的定义列出式子计算求出参数m的值．
解：∵函数y=（m-2）x+4-m2是关于x的正比例函数,∴4-m2=0且m-2≠0,
解得,m=-2或m=2（不符合题意,舍去）．
故答案为：m=-2．
【点拨】本题考查的是正比例函数的定义,一般地,形如y=kx（k是常数,k≠0）的函数叫
做正比例函数,其中k叫做比例系数．
类型二、正比例函数的图象
2．如图所示，三个正比例函数的图象分别对应的表达式：① ，② ，
③ .则a，b，c的大小关系是________.
【答案】
【分析】根据正比例函数图象的性质分析．
解：首先根据图象经过的象限，得a＞0，b＞0，c＜0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞a＞c．
故答案为b＞a＞c．
【点拨】了解正比例函数图象的性质：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增
大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，
则|k|越大．
举一反三：
【变式1】如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，
③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为_____．
【答案】a＜c＜b
【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．
解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．
则b＞c＞a，
故答案为a＜c＜b．
【变式2】正比例函数 的图象经过第一、三象限，求m的值．
【答案】2
【分析】根据正比例函数的定义和图象经过象限得到关于m的方程和m的取值范围，
即可求解．
解：∵函数函数 为正比例函数，
∴ ，
∴ ，
又∵正比例函数的图像经过第一、三象限，
∴m＞0，
∴
【点拨】本题考查了正比例函数的定义和性质，注意正比例函数是一次函数，自变量
次数为1，熟知正比例函数图象与性质是解题关键．
【变式3】函数 的图象经过的象限是_____．
【答案】一、三
【分析】直接利用一次函数的性质得出其经过的象限．
解：函数 的图象经过一三象限，
故答案为一、三
【点拨】本题考查的是一次函数，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.
类型三、正比例函数性质
3 已知正比例函数的图像经过点M(−2 , 1)、A(x y )、B(x y )，如果x
分析：根据正比例函数的图象经过点M（﹣2，1）可以求得该函数的解析式，然后根
据正比例函数的性质即可解答本题．详解：设该正比例函数的解析式为y=kx，则1=﹣2k，得：k=﹣0.5，∴y=﹣
0.5x．∵正比例函数的图象经过点A（x，y）、B（x，y），x＜x，∴y＞y．
1 1 2 2 1 2 1 2
故答案为＞．
点拨：本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题
意，利用正比例函数的性质解答．
举一反三：
【变式1】已知正比例函数 ，当 时，对应的y的取值范围是
，且y随x的减小而减小，则k的值为________．
【答案】
【分析】先根据题意判断直线经过点（-3，-1）、（1， ），再用待定系数法求出解
析式即可．
解：因为y随x的减小而减小，所以当 时， ；当 时， ．把
代入 ，得 ，解得 ．
【点拨】此题考查正比例函数的性质，根据y随x的减小而减小判断直线经过点
（-3，-1）、（1， ）是解答此题的关键．
【变式2】如图，A是正比例函数y= x图象上的点，且在第一象限，过点A作AB⊥y
轴于点B，以AB为斜边向上作等腰直角三角形ABC，若AB=2，则点C的坐标为_______．
【答案】（1，4）．
【分析】根据 得出点A的横坐标，根据正比例函数图象上点的坐标特征，得出点A的坐标，根据等腰直角三角形的性质，即可得到点C的坐标.
解：∵A是正比例函数 图象上的点，且在第一象限，
∴点A的横坐标是2，
当x=2时，y=3，
∴点A的坐标为（2，3），
∵过点A作AB⊥y轴于点B，以AB为斜边向上作等腰直角三角形ABC，
∴点C到AB的距离为1，AB的一半是1，
∴点C的坐标是（1，4）
故答案为（1，4）．
【点拨】考查正比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等，综合性比
较强.
类型四、正比例函数的解析式
3 已知y与x成正比例，当x=8时，y=﹣12，则y与x的函数的解析式为_____．
【答案】y=- x
【分析】根据题意可得y=kx，再把x=8时，y=-12代入函数，可求k，进而可得y与x
的关系式．
解：设y=kx，
∵当x=8时，y=-12，
∴-12=8k，
解得k=- ，
∴所求函数解析式是y=- x；
故答案为:y=- x．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解成正比例的关系的
含义．
【变式1】点 在正比例函数图像上，过点 作 轴的垂线，垂足是 ，若，则此正比例函数的解析式是________.
【答案】 或
【分析】设 由题意可得 得到A的坐标，将之代入正比例解
析式中求得k值，即可得解.
解：设 由题意可得
故点A的坐标为 ,设正比例函数解析式为 ，
，
解得 ，
所以这个函数的解析式为 或
故答案为 或 .
【点拨】本题考查了正比例函数，能灵活应用待定系数法求解析式是解题关键.
【变式2】已知正比例函数 图象经过点（2，－4）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）图象上两点A（ ， ）、B（ ， ），如果 ，比较 ， 的大小．
【答案】(1) （2）
【分析】（1）利用待定系数法把（2，-4）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到
解析式；.
（2）根据正比例函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小，即可判断．
解：（1）∵正比例函数 经过点（2，-4），
∴ ，解得 ，
∴这个正比例函数的解析式为：
（2）∵ ，∴y随x的增大而减小，
∵ ，∴ .【点拨】此题考查了用待定系数求正比例函数的关系式，判断点是否在函数的图象上
及正比例函数的性质，解（1）的关键是能正确代入即可；解（2）的关键是：熟记当k＜0
时，y随x的增大而减小，当k＞0时，y随x的增大而增大．
类型四、正比例函数的综合运用
1．如图，已知四边形ABCD是正方形，点B，C分别在直线 和 上，
点A，D是x轴上两点.
（1）若此正方形边长为2，k=_______.
（2）若此正方形边长为a，k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；
若会发生变化，求出a的值.
【答案】（1） ；（2）k的值不会发生变化，理由见解析
【分析】（1）由边长可得AB，进而根据y=2x求出OA，得到OD，再根据边长为2
得到CD，代入y=kx中即可；
（2）根据正方形的边长a，运用正方形的性质表示出C点的坐标，再将C的坐标代入
函数中，从而可求得k的值．
解：（1）
正方形边长为2，
.在直线 中，
当 时，
，将 代入 中，
得 ，解得 .
（2）k的值不会发生变化理由： 正方形边长为a
，
在直线 中，当 时， ，
.
将 代入 中，得 ,
解得 ，
∴k值不会发生变化.
【点拨】本题主要考查正方形的性质与正比例函数的综合运用，是一道比较好的题目，
难度适中．灵活运用正方形的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知正比例函数y＝(k＋3)x．
(1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限；
(2)k为何值时，y随x的增大而减小；
(3)k为何值时，函数图象经过点(1，1) ．
【答案】（1）k＞－3；（2）k＜－3；（3）k＝－2．
【分析】(1)根据正比例函数的性质，由于函数的图象经过第一、三象限，所以k＋3＞
0；
(2)要使得y随x的增大而减小，则k＋3＜0；
(3)要使得函数图象经过点(1，1)，则x＝1，y＝1满足函数关系式．
解：(1)、由题意知k＋3＞0，∴k＞－3．
(2)、由题意知k＋3＜0，∴k＜－3．
(3)、把x＝1，y＝1代入y＝(k＋3)x中，得1＝k＋3，
∴k＝－2．
【变式2】已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，
垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；
（2）在x轴上能否找到一点M，使△AOM是等腰三角形？若存在，求点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣ x；（2）当点M的坐标为（﹣ ，0）、（ ，0）、（6，
0）或（ ，0）时，△AOM是等腰三角形．
【分析】（1）根据点A的横坐标、△AOH的面积结合点A所在的象限，即可得出点
A的坐标，再利用待定系数法即可求出正比例函数的表达式；
（2）分OM＝OA、AO＝AM、OM＝MA三种情况考虑，①当OM＝OA时，根据点A
的坐标可求出OA的长度，进而可得出点M的坐标；②当AO＝AM时，由点H的坐标可求
出点M的坐标；③当OM＝MA时，设OM＝x，则MH＝3﹣x，利用勾股定理可求出x值，
进而可得出点M的坐标．综上即可得出结论．
解：（1）∵点A的横坐标为3，△AOH的面积为3，点A在第四象限，
∴点A的坐标为（3，﹣2）．
将A（3，﹣2）代入y＝kx，
﹣2＝3k，解得：k＝﹣ ，
∴正比例函数的表达式为y＝﹣ x．
（2）①当OM＝OA时，如图1所示，
∵点A的坐标为（3，﹣2），
∴OH＝3，AH＝2，OA＝ ＝ ，
∴点M的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）；
②当AO＝AM时，如图2所示，∵点H的坐标为（3，0），
∴点M的坐标为（6，0）；
③当OM＝MA时，设OM＝x，则MH＝3﹣x，
∵OM＝MA，
∴x＝ ，
解得：x＝ ，
∴点M的坐标为（ ，0）．
综上所述：当点M的坐标为（﹣ ，0）、（ ，0）、（6，0）或（ ，0）
时，△AOM是等腰三角形．
