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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.3公式法
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020 秋•泰山区期末）下列各式：①﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y），②﹣x2+y2＝（﹣x+y）
1 1
（x+y），③x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2，④x2+x+ =（x+ ）2中，分解因式正确的个数有（ ）
4 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别计算这4个算式即可得到答案．
【解析】①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），不符合题意；
②﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y﹣x）（y+x）＝（﹣x+y）（x+y），符合题意；
③（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，不符合题意；
1 1 1 1
④x2+x+ =x2+2•x• +（ ）2＝（x+ ）2，符合题意．
4 2 2 2
故选：B．
2．（2021秋•芝罘区期末）下列不能使用平方差公式因式分解的是（ ）
A．﹣16x2+y2 B．b2﹣a2 C．﹣m2﹣n2 D．4a2﹣49n2
【分析】根据平方差公式的结构特征逐个进行判断即可．
【解析】A．﹣16x2+y2＝y2﹣16x2＝（y+4x）（y﹣4x），因此选项A不符合题意；
B．b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a），因此选项B不符合题意；
C．﹣m2﹣n2＝﹣（m2+n2），不能利用平方差公式，因此选项C符合题意；
D.4a2﹣49n2＝（2a+7n）（2a﹣7n），因此选项D不符合题意；
故选：C．
3．（2021秋•重庆期末）下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 B．4a2﹣12a+9＝（2a+3）2
C．ab2﹣c2＝a（b2﹣c2） D．（x+3）2﹣4＝（x+5）（x+1）
【分析】A、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可作出判断；B、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可作出判断；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式利用平方差公式分解得到结果，即可作出判断．
【解析】A、原式＝（x﹣2）2，不符合题意；
B、原式＝（2a﹣3）2，不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝（x+3+2）（x+3﹣2）＝（x+5）（x+1），符合题意．
故选：D．
4．（2020秋•大兴区期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b﹣1）＝ma+mb﹣m
B．﹣a2+9b2＝﹣（a+3b）（a﹣3b）
C．m2﹣m﹣2＝m（m﹣1）﹣2
1
D．2x+1＝x（2+ ）
x
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解析】A．从左到右的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．（2021•杭州）因式分解：1﹣4y2＝（ ）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解析】1﹣4y2
＝1﹣（2y）2
＝（1﹣2y）（1+2y）．
故选：A．
6．（2020春•相城区期末）若代数式x2﹣mx+4因式分解的结果是（x+2）2，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．±4
【分析】根据完全平方公式因式分解即可得结果．【解析】因为（x+2）2＝x2+4x+4
所以m的值为：﹣4．
故选：A．
7．（2020秋•南安市期末）已知x+y＝3，xy＝1，则x2﹣xy+3y的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【分析】先将已知条件化为x＝3﹣y，再将x＝3﹣y，xy＝1，代入代数式计算可求解．
【解析】∵x+y＝3，
∴x＝3﹣y，
∵xy＝1，
∴原式＝（3﹣y）x﹣xy+3y
＝3x﹣xy﹣xy+3y
＝3（x+y）﹣2xy
＝3×3﹣2×1
＝9﹣2
＝7，
故选：A．
8．（2021春•罗湖区校级期末）已知a，b，c为△ABC三边，且满足ab+bc＝b2+ac，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
【分析】将已知式子因式分解为（a﹣b）（b﹣c）＝0，则有a＝b或b＝c，即可判断三角形的形状．
【解析】∵ab+bc＝b2+ac，
∴ab﹣ac＝b2﹣bc，即a（b﹣c）＝b（b﹣c），
∴（a﹣b）（b﹣c）＝0，
∴a＝b或b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：C．
9．（2019秋•闵行区期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
x2
①x2﹣2x﹣1；② −x+1；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2
4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【解析】①x2﹣2x﹣1，无法运用公式法分解因式，故此选项不符合题意；x2 1
② −x+1＝（ x﹣1）2，故此选项符合题意；
4 2
③﹣a2﹣b2，无法运用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
④﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故此选项符合题意；
⑤x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，故此选项符合题意；
故选：C．
10．（2020秋•曾都区期末）在把多项式m2﹣2mn﹣3n2因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过
变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式＝m2﹣2mn+n2﹣4n2＝（m﹣n）2﹣4n2＝（m+n）（m﹣
3n），像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式a2﹣6ab+5b2因式分解的
结果是（ ）
A．（a+5b）（a+b） B．（a﹣5b）（a+b）
C．（a+5b）（a﹣b） D．（a﹣5b）（a﹣b）
【分析】在原式的基础上加9b2，再减去4b2，然后先利用完全平方公式，再利用平方差公式分解即可．
【解析】a2﹣6ab+5b2
＝a2﹣6ab+9b2﹣4b2
＝（a﹣3b）2﹣4b2
＝（a﹣3b+2b）（a﹣3b﹣2b）
＝（a﹣b）（a﹣5b），
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•锡山区模拟）分解因式：2x2﹣8＝ 2 （ x ﹣ 2 ）（ x + 2 ） ．
【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．
【解析】2x2﹣8＝2（x2﹣4）
＝2（x﹣2）（x+2）．
故答案为：2（x﹣2）（x+2）．
12．（2021•饶平县校级模拟）因式分解：4a3﹣16a＝ 4 a （ a + 2 ）（ a ﹣ 2 ） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解析】原式＝4a（a2﹣4）＝4a（a+2）（a﹣2），
故答案为：4a（a+2）（a﹣2）
13．（2021秋•双台子区期末）因式分解：4x3﹣x＝ x （ 2 x + 1 ）（ 2 x ﹣ 1 ） ．
【分析】先提取公因式x，再用平方差公式即可．【解析】4x3﹣x
＝x（4x2﹣1）
＝x（2x+1）（2x﹣1），
故答案为：x（2x+1）（2x﹣1）．
14．（2021•阿荣旗模拟）分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝ ﹣ y （ 3 x ﹣ y ） 2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解析】原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（3x﹣y）2，
故答案为：﹣y（3x﹣y）2
15．（2020秋•东平县校级月考）若多项式x2+ax+6可分解为（x+2）（x+b）．则a﹣b的值为 2 ．
【分析】直接利用多项式乘法进而得出a，b的值进而得出答案．
【解析】∵多项式x2+ax+6可分解为（x+2）（x+b），
∴x2+ax+6＝x2+（b+2）x+2b，
则a＝b+2，2b＝6，
解得：b＝3，a＝5，
故a﹣b＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
16．（2017秋•涪城区校级期末）已知2m2﹣3m＝5，则4m4﹣12m3+9m2+1993的值为 201 8 ．
【分析】将要求得式子的前三项用完全平方公式进行因式分解，再将2m2﹣3m＝5代入计算即可得答案．
【解析】∵2m2﹣3m＝5
∴4m4﹣12m3+9m2+1993
＝（2m2﹣3m）2+1993
＝52+1993
＝25+1993
＝2018
故答案为：2018．
m2 m
17．（2021秋•霍林郭勒市期末）分解因式1+m+ = (1+ ) 2 ．
4 2
【分析】用完全平方公式分解因式．
m2 m
【解析】1+m+ =(1+ ) 2；
4 2
m
故答案为：(1+ ) 2．
218．（2021秋•海淀区期末）在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为
2 x ．（写出一个即可）
【分析】根据完全平方公式的特征即可解答．
【解析】在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为：2x，
故答案为：2x（答案不唯一）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•鲤城区期末）因式分解：
（1）4x2y﹣4xy2+y3．
（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解析】（1）原式＝y（4x2﹣4xy+y2）
＝y（2x﹣y）2；
（2）原式＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣b2）
＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．
20．（2021春•奉化区校级期末）分解因式：
（1）9x2﹣1．
（2）4xy2﹣4x2y﹣y3．
【分析】（1）根据平方差公式的结构特征进行因式分解即可；
（2）先提公因式﹣y，再利用完全平方公式进行分解即可．
【解析】（1）9x2﹣1＝（3x+1）（3x﹣1），
（2）4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）＝﹣y（2x﹣y）2．
21．（2010春•东阳市期末）因式分解：
（1）a2b﹣2ab2+b3
（2）（2x+y）2﹣y2．
【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式即可作答；
（2）先利用平方差公式，再提取公因式即可．
【解析】（1）a2b﹣2ab2+b3，
＝b（a2﹣2ab+b2），（1分）
＝b（a﹣b）2（2分）；（2）（2x+y）2﹣y2，
＝（2x+y+y）（2x+y﹣y），
＝4x（x+y）．（1分）
22．（2020春•扬中市期中）先阅读，再分解因式：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2
﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+64分解因式．
【分析】根据材料，找出规律，再解答．
【解析】x4+64，
＝x4+16x2+64﹣16x2，
＝（x2+8）2﹣16x2，
＝（x2+8）2﹣（4x）2，
＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）．
23．（2020春•郏县期末）阅读理解
我们知道：多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项
式（如a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：
a2+6a+8＝（a+3）2﹣1＝（a+2）（a+4）．
请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣27；（2）a2+3a﹣28；（3）x2﹣（2n+1）x+n2+n．
【分析】根据题目的条件，先将多项式凑成完全平方的形式，再根据实际情况解答．
【解析】（1）x2﹣6x﹣27，
＝x2﹣6x+9﹣36，
＝（x﹣3）2﹣62，
＝（x﹣3﹣6）（x﹣3+6），
＝（x+3）（x﹣9）；
（2）a2+3a﹣28，
3 3
＝a2+3a+（ ）2﹣（ ）2﹣28，
2 2
3 121
＝（a+ ）2− ，
2 4
3 11 3 11
＝（a+ − ）（a+ + ），
2 2 2 2＝（a﹣4）（a+7）；
（3）x2﹣（2n+1）x+n2+n，
1 1
＝x2﹣（2n+1）x+（n+ ）2﹣（n+ ）2+n2+n，
2 2
1 1
＝（x﹣n− ）2﹣（ ）2，
2 2
1 1 1 1
＝（x﹣n− − ）（x﹣n− + ），
2 2 2 2
＝（x﹣n﹣1）（x﹣n）．
24．（2021春•仪征市期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A．提取公因式；
B．平方差公式；
C．两数和的完全平方公式；
D．两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接
写出因式分解的最后结果 （ x ﹣ 2 ） 4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）从第三步的结果得出结论；
（2）观察最后结果中的x2﹣4x+4是否还能因式分解，得出结论；
（3）设x2+2x＝y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解．
【解析】（1）由y2+8y+16＝（y+4）2得出运用了两数和的完全平方公式，
故选C．
（2）∵x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴分解不彻底，（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4．
故答案为：不彻底；（x﹣2）4．（3）设x2+2x＝y，
原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2+2x+1）2
＝[（x+1）2]2
＝（x+1）4．
