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专题 4.3 一次函数的图象
1. 理解函数图象的概念，明确其是由满足函数表达式的所有点组成的图形。
教学目标 2. 掌握作一次函数图象的一般步骤，能独立、熟练地绘制出一次函数的图象。
3. 初步理解一次函数的代数表达式与图象间的对应关系，培养数形结合意识。
1.重点
教学重难点
（1）核心是熟练掌握绘制一次函数图象的方法与一般步骤。（2）关键在于理解一次函数的代数表达式（y=kx+b）与其图象（直线）之间的内在
联系。
2.难点
（1）难以深入理解并灵活运用一次函数表达式中k和b的符号对图象位置的影响。
（2）不易将图象所呈现的几何特征（如倾斜方向、与轴交点）与代数表达式的性质
精准转化。
知识点01 正比例函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知一点可以作图，也可求出解析式；
3）交y轴于点（0，0），交x轴于点（0，0）；
4）过象限、增减性
y=kx 过原点（0,0）的一条直线
k值
大致图象
经过象限 经过第一、三象限 经过第二、四象限
增减性 随 的增大而增大 随 的增大而减小
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点
的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵
坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个 x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置
的高低.
【即学即练1】
1.（24-25八年级下·湖北孝感·期末）关于正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象经过第二、四象限
C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有
知识点02 一次函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知两点可以作图，也可求出解析式；3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（ ，0）；
4）过象限、增减性
（过一、二象限） （过三、四象限） （过原点）
（过一、三象限）
随 的增大而增大
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
（过二、四象限）
随 的增大而减小
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点
的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵
坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个 x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置
的高低.
【即学即练2】
6．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）已知点 均在一次函数 的图象上，点
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过二、三、四象限 B．点 在第二象限
C． D．与x轴的交点坐标为(0,1)
2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数 的图象，并完成下列问题：
(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ；
(2)观察图象，当 时，y的取值范围是 ；
(3)将直线 沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式．题型01 正比例函数的图象和性质
【典例1】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数 的图象，下列叙述错误的是（ ）
A．点 在这个图象上 B．函数值 随自变量 的增大而减小
C．当 增加1时， 增加2 D．图象经过一、三象限
【变式1】（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小
C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限
【变式2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）关于正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限
C． 随 的增大而减小 D．不论 取何值，总有
【变式3】（24-25八年级下·河南周口·期末）关于正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限
C． 随 的增大而增大 D．不论 为何值，总有
题型02 一次函数的图象和性质
【典例2】（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）对于一次函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．图像不经过第三象限
B．点 在直线 上
C．图像与直线 平行
D．若点 ， 在该函数图像上，则
【变式1】（25-26九年级上·重庆长寿·开学考试）将一次函数 的图象向下平移2个单位后，下列
对得到的新图象描述正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与直线 平行
C．点 在函数图象上
D．图象经过第一、二、三象限
【变式2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）对于函数 ，下列结论正确的是（ ）A．它的图像经过点 B． 的值随 值的增大而增大
C．它的图像经过第一、二、四象限 D．它的图像与 轴交点
【变式3】（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过 B．它的图象经过第一、二、三象限
C．y的值随x值的增大而增大 D．当 时，
题型03 比较一次函数值的大小
【典例3】（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）已知点 ， 在直线 上，则m，n
的大小关系 ．
【变式1】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）已知一次函数 图像上有三个点
则 大小关系 ．
【变式2】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）已知点 和点 在一次函数
的图象上，则 ．（填“ ”，“ ”或“ ”）
【变式3】（24-25八年级上·江苏·期末）设点 和点 是直线 上的两个点，
则 的大小关系是 ．
题型04 根据一次函数的性质判定经过的象限
【典例4】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）一次函数 的图象经过第 象限．
【变式1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）当 时，一次函数 的图象不经过第 象限．
【变式2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象不经
过第 象限．
【变式3】（24-25八年级下·青海玉树·期末）正比例函数 的图象经过原点和第一、三象限，则直线
经过第 象限．
题型05 已知一次函数经过的象限求参数
【典例5】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）已知直线 不经过第一象限，则实数b可以是
．（填一个即可）
【变式1】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）一次函数 的图像不经过第三象限，则 的取
值范围是 ．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数 的图象经过第一、三、四象限，则
的取值范围是 ．【变式3】（24-25八年级下·河北唐山·期末）已知一次函数 的图象图象经过第一、二、
四象限，则k满足的条件是 ．
题型06 利用一次函数增减性求值
【典例6】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知函数 ，当 时，y的最大值是
．
【变式1】（24-25七年级下·北京顺义·期末）已知 ，若 ，则 的取值范围是 ．
【变式2】（24-25八年级下·天津河东·期末）已知函数 ．当 时， 的取值范围是
【变式3】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）已知一次函数 ，当 时，函数 的最大值
是 ．
题型07 根据一次函数增减性求参数
【典例7】（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）一次函数 的函数值y随x的增大而减小，
则m的取值范围是 ．
【变式1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）若一次函数 的函数值 随 的增大而增
大，则 的取值范围是 ．
【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）一次函数 图象上有两点 、
，当 时，有 ，那么 的取值范围是 ．
【变式3】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）直线 ，函数y随x的增大而增大，且图象经
过一，三，四象限，则m的取值范围是 ．
题型08 一次函数图象与坐标轴的交点问题
【典例8】（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）直线 与x轴的交点坐标为 ．与y
轴的交点坐标为 ．
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，与
轴的交点坐标为 ，与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【变式2】（24-25八年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系 中，直线 与 轴的交点坐标
为 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【变式3】（25-26八年级上·河北衡水·开学考试）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴的交点分
别为A、B，则 的长为 ．题型09 一次函数图象的平移问题
【典例9】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将一次函数 的图象向
上平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则 的值为 ．
【变式1】（25-26九年级上·广东惠州·开学考试）直线 向下平移1个单位长度得到的直线的解
析式是 ．
【变式2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）直线 向下平移4个单位可得直线 ，再向
左平移2个单位可得直线
【变式3】（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知直线 平行于直线 ，且在y轴上
的截距为 ，那么该直线的解析式是 ．
题型10 两个一次函数图象共存问题
【典例10】（24-25八年级下·云南保山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象大致是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）一次函数 （a为常数， ）的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数 （ 是常数，且 ）的图
象与正比例函数 的图象可能的是（ ）A． B． C． D．
【变式3】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）若一次函数 与 ，满足 ，
且已知 没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
题型11 一次函数中的规律探究问题
【典例11】（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线 与 轴相交于点 ，过点 作x轴的
平行线交直线 于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，再过点 作x轴的平行线
交直线 于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，…，依此类推，得到直线
上的点 、 ， ，…，与直线 上的点 ， ， ，…，则 的长为 ．
【变式1】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知直线a： ，直线b： 和点
，过点P作y轴的平行线交直线a于点 ，过点 作x轴的平行线交直线b于点 ，过点 作y轴
的平行线交直线a于点 ，过点 作x轴的平行线交直线b于点 ……按此作法进行下去，则点 的横
坐标为 ．【变式2】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）正方形 ， ， 按如图的方式
放置， ， ， 和点 ， ， 分别在直线 和 轴上，则点 的横坐标是 ．
【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线 ，分别过 轴上的点
，作垂直于 轴的直线交 于点 ，将 ，四边形
、四边形 的面积依次记为 ，则 ．
题型12 画一次函数的图象
【典例12】（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴交
于点 ．(1)求点 的坐标；
(2)在图中画出该一次函数的图象．
【变式1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系 中，函数 的图象与x轴
交于点A，与y轴交于点B，直线 与 的图象交于第一象限某一点C．
(1)请在平面直角坐标系内画出函数 的图象；
(2)若 ，求k的值；
【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数 ．
______
x 0
_
______
y 0
_(1)请完成下列表格，并在如图所示平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(2)请根据函数图象直接写出当 时，x的取值范围．
【变式3】（24-25八年级下·吉林·阶段练习）画出函数 的图象．
… 0 1 …
… 1 …
(1)根据列表， ．
(2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接．
(3)点 ， ， 中，在函数 图象上的点是 （填“ ”“ ”或“ ”）．
(4)若点 在函数 的图象上，求出 的值．
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数 的图象不经过第四象限，那么 一定满足
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）点 ，点 是一次函数 图象上的两个点，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）关于函数 ，下列判断正确的是（ ）
A．图象必过点 和 B．图象经过第一、第三象限
C．y随x的增大而减小 D．不论x为何值，总有
4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列关于函数 的描述错误的是（ ）
A．函数图象不经过第二象限
B．函数图象与直线 平行
C．函数图象在y轴上的截距是1
D．函数值y随着自变量x的增大而增大
5．（25-26八年级上·全国·期中）正比例函数 的图象如图所示，则 的图象大致是
（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）已知将正比例函数 的图象向上平移5个单位长度得到一
次函数 的图象，下列结论错误的是（ ）
A．
B．一次函数 的图象经过点
C．对于一次函数 ，当 时，
D．若点 ， 均在一次函数 的图象上，则
二、填空题
7．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）一次函数 的截距是 ．
8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）将直线 向上平移3个单位长度后的函数表达式为
．
9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知 ，若y的取值范围是 ，则x的最小值为．
10．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）已知一次函数 （m为常数）的图象与y轴交点在x
轴的下方，写出一个符合要求的m的正整数值： ．
11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）若点 ， 都在函数 的图像上，
则 与 的大小关系是： （填“<，=或>”）
12．（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）不论k为何值，一次函数 的图
像恒过一定点，则该定点的坐标 ．
三、解答题
13．（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知 关于 的函数 ．
(1)若 是 的正比例函数，求 的值；
(2)若 ，求该函数图象与 轴的交点坐标．
14．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点
A、B，求：
(1)点A、B的坐标；
(2) 的面积（O为原点）．
15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）若正比例函数 的图象经过点 ，
时， ．
(1)求m的取值范围；
(2)若该函数图象上有 三个点，则 从小到大排列为______．
16．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数 ，完成下列问题：
(1)画出一次函数 的图象；
(2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______；
(3)将直线 沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标．
17．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知y与x成正比例，当 时， ．(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)请判断点 是否在这个函数的图像上，并说明理由；
(3)如果 ， 是这个函数图像上的两点，请比较 与 的大小．
18．（24-25八年级下·广东惠州·期末）实践与研究：
x … 1 2 3 …
… …
x … 0 2 3 4 …
… …
(1)根据列表，在同一直角坐标系中画出函数 和 的图象．
(2)观察两个函数图象， 的图象可以由 的图象怎么变换得到？
(3)当直线 向右平移1个单位与直线 重合，试确定b的值．
x … 1 2 3 …
… 2 4 6 …
x … 0 2 3 4 …
… 2 4 6 …
19．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知 是一次函数，
(1)求 的值；
(2)若点 均在该一次函数的图象上，试比较 ， 的大小关系，并说明理由．
(3)将点 向下平移3个单位长度，得到点 ，恰好点 在该一次函数图象上，求一次函数
的图象与线段 有交点时 的取值范围．20．（24-25八年级下·四川自贡·期末）某数学兴趣小组根据初中学习函数的经验，对函数 的图象
与性质进行了探究．下面是小组的探究过程，请仔细阅读并解答问题．
(1)请把下表补充完整，并在平面直角坐标系中描出各组对应的点，画出该函数的图象．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 0 0 1 …
(2)根据函数图象回答下列问题．
①当 ______时，y有最小值为______
②请写出该函数的一条性质：______．
(3)若 的图象与直线 没有交点，则k的取值范围是______．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 0 0 1 …
