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专题 4.3 一次函数的图象
1. 理解函数图象的概念，明确其是由满足函数表达式的所有点组成的图形。
教学目标 2. 掌握作一次函数图象的一般步骤，能独立、熟练地绘制出一次函数的图象。
3. 初步理解一次函数的代数表达式与图象间的对应关系，培养数形结合意识。
1.重点
教学重难点
（1）核心是熟练掌握绘制一次函数图象的方法与一般步骤。（2）关键在于理解一次函数的代数表达式（y=kx+b）与其图象（直线）之间的内在
联系。
2.难点
（1）难以深入理解并灵活运用一次函数表达式中k和b的符号对图象位置的影响。
（2）不易将图象所呈现的几何特征（如倾斜方向、与轴交点）与代数表达式的性质
精准转化。
知识点01 正比例函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知一点可以作图，也可求出解析式；
3）交y轴于点（0，0），交x轴于点（0，0）；
4）过象限、增减性
y=kx 过原点（0,0）的一条直线
k值
大致图象
经过象限 经过第一、三象限 经过第二、四象限
增减性 随 的增大而增大 随 的增大而减小
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点
的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵
坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个 x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置
的高低.
【即学即练1】
1.（24-25八年级下·湖北孝感·期末）关于正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象经过第二、四象限
C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误．
【详解】A、当 时， ，∴正比例函数 的图象必经过点 ，选项A不符合题意；
B、∵ ，
∴正比例函数 的图象经过第一、三象限，选项B不符合题意；
C、∵ ，
∴ 随 的增大而增大，选项C符合题意；
D、当x=0时， ，且 随 的增大而增大，
∴当x>0时， ，选项D不符合题意．
故选：C．
知识点02 一次函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知两点可以作图，也可求出解析式；
3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（ ，0）；
4）过象限、增减性
（过一、二象限） （过三、四象限） （过原点）
（过一、三象限）
随 的增大而增大
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
（过二、四象限）
随 的增大而减小
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点
的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵
坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个 x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置
的高低.
【即学即练2】
6．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）已知点 均在一次函数 的图象上，点
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过二、三、四象限 B．点 在第二象限C． D．与x轴的交点坐标为(0,1)
【答案】C
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、比较一次函数值
的大小
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质直接判断A即可；将A、B代入
解析式，求出m、n的值，得出点C的坐标即可判定B；根据m、n的值即可判断C；把 代入函数解析
式，求出与x轴的交点坐标即可判断D；掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A错误，不符合题意；
把 分别代入 得：
， ，
∴点C的坐标为 ，
∴点 在第三象限，故B错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C正确，符合题意；
把 代入 得： ，
解得： ，
(1 )
∴与x轴的交点坐标为 ,0 ，故D错误，不符合题意．
2
故选：C．
2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数 的图象，并完成下列问题：
(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ；
(2)观察图象，当 时，y的取值范围是 ；
(3)将直线 沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式．
【答案】(1)4
(2)(3) 或
【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各
点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
（1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可；
（2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论；
（3）根据平移的规律求得即可．
【详解】（1）解：一次函数 的图象如图：
令 ，解得 ，令 ，则 ，
∴直线与x轴交点坐标为(2,0)，与y轴交点坐标为 ，
∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ，
故答案为：4；
（2）解：由图可知，当 时，y的取值范围为 ，
故答案为： ；
（3）解：将直线 沿y轴平移3个单位长度得 ，即 或 ．
题型01 正比例函数的图象和性质
【典例1】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数 的图象，下列叙述错误的是（ ）
A．点 在这个图象上 B．函数值 随自变量 的增大而减小
C．当 增加1时， 增加2 D．图象经过一、三象限
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握正比例函数 中k的几何意义及函数的增减性、图象所在象限等知识点．
根据正比例函数的性质，依次分析各选项；将点代入函数验证是否在图象上，依据k的符号判断增减性和
所在象限，通过计算自变量变化时函数值的变化量判断选项正误．
【详解】选项 把 代入 得 所以点 在这个图象上，A正确．
选项 在正比例函数 中， 根据正比例函数性质，函数值y随自变量x的增大而增大，而非
减小，B错误．
选项 当x增加1时，设原来的x为 对应的y为 变化后的x为 对应的y为
则 即y增加2，C正确．
选项 因为 所以正比例函数 的图象经过第一、三象限，D正确．
故选：B．
【变式1】（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小
C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的图象及性质，根据正比例函数的图象及性质逐项判断即可．
【详解】解：A、正比例函数 的图象是一条直线，故本选项的结论错误；
B、y随x的增大而增大，故本选项的说法错误；
C、当 时， ，
∴图象必经过点 ，故本选项的说法正确；
D、图象经过第一、三象限，故本选项的说法错误．
故选：C
【变式2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）关于正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限
C． 随 的增大而减小 D．不论 取何值，总有
【答案】C
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数图象和性质，是解题的关键．正
比例函数 ，当 直线经过一、三象限， 随 的增大而增大；当 直线经过二、四象限，
随 的增大而减小．根据正比例函数 的性质，逐一分析各选项的正误即可．
【详解】解：A. 当 时， ，故图象经过点 ，而非 ，选项A错误；
B. 正比例函数 的图象经过的象限由 的符号决定，因 ，图象经过第二、四象限，而非第一、三象限，选项B错误；
C. 当 时， 随 的增大而减小，正比例函数 中 ，故 随 的增大而减小，选项C正
确；
D. 当 时， ，此时 不满足 ；当 时， ，故选项D错误．
故选：C．
【变式3】（24-25八年级下·河南周口·期末）关于正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限
C． 随 的增大而增大 D．不论 为何值，总有
【答案】B
【分析】本题考查正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的一般形式 ，当 时，图象经过第
二、四象限，且 随 的增大而减小．通过代入点坐标验证选项，结合函数性质逐一排除错误选项即可．
【详解】A．当 时， ，图象不经过点 ，错误；
B．因 ，函数图象经过第二、四象限，正确；
C．因 ， 随 的增大而减小，错误；
D．当 时， ，此时 不小于0，错误．
故选：B．
题型02 一次函数的图象和性质
【典例2】（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）对于一次函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．图像不经过第三象限
B．点 在直线 上
C．图像与直线 平行
D．若点 ， 在该函数图像上，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的
关系，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可．
【详解】解：A．∵ ， ，
∴一次函数 的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项正确，不符合题意；
B．∵ 时， ，
∴函数图像必经过点 ，故本选项正确，不符合题意；
C．∵ 与 的k均为 ，
∴ 的图像与直线 平行，故本选项正确，不符合题意；D．∵ ， ，
∴y随x的增大而减小，
∵点 ， 在该函数图像上，且 ，
∴ ，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【变式1】（25-26九年级上·重庆长寿·开学考试）将一次函数 的图象向下平移2个单位后，下列
对得到的新图象描述正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与直线 平行
C．点 在函数图象上
D．图象经过第一、二、三象限
【答案】B
【分析】本题考查了函数的平移，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象的平移和性质是解题的关键．
先根据“上加下减”求出新的函数解析式，再根据一次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：将一次函数 的图象向下平移2个单位后，新的函数解析式为 ，
A、因为 ，则y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
B、因为 ，所以图象与直线 平行，故该选项符合题意；；
C、当 时， ，因此点 不在函数图象上，故该选项不符合题意；
D、因为 ， ，所以函数图象经过第一、三、四象限，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．它的图像经过点 B． 的值随 值的增大而增大
C．它的图像经过第一、二、四象限 D．它的图像与 轴交点
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图像，对选项依次判断即可．
【详解】A、当 时， ，选项错误，不符合题意；
B、 ， 的值随 值的增大而减小，选项错误，不符合题意；
C、它的图像经过第一、二、四象限，选项正确，符合题意；
D、当 时， ，解得 ，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式3】（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过 B．它的图象经过第一、二、三象限C．y的值随x值的增大而增大 D．当 时，
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐
一分析各选项的正误是解题的关键．
【详解】解： 当 时， ，
，
一次函数 的图象不经过点 ，选项A不符合题意；
B． ， ，
一次函数 的图象经过第二、三、四象限，选项B不符合题意；
C． ，
的值随x值的增大而减小，选项C不符合题意；
D．当 时， ，
解得： ，
当 时， ，选项D符合题意．
故选：
题型03 比较一次函数值的大小
【典例3】（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）已知点 ， 在直线 上，则m，n
的大小关系 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．根据一次函
数的性质即可解决问题．
【详解】解：∵ 中，
∴ 随 的增大而减小，
∵点 ， 在直线 上，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）已知一次函数 图像上有三个点
则 大小关系 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解决本题的关键 ．由一次函数中 ，可判断该函数中y随x的增大而减小，由三个点的横坐标即可判断大小 ．
【详解】解：∵一次函数 中 ，
∴该函数中y随x的增大而减小，
∵该函数图像上有三个点 ，
且 ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式2】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）已知点 和点 在一次函数
的图象上，则 ．（填“ ”，“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数函数值比较大小，解题的关键是熟知一次函数的增减性．根据一次函数
的增减性求解即可．
【详解】解：∵一次函数解析式为 ，且 ，
∴该一次函数的函数值y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式3】（24-25八年级上·江苏·期末）设点 和点 是直线 上的两个点，
则 的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，
根据 可得 ，再根据一次函数图象的性质解答即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴一次函数 的函数值 随自变量 的增大而减小.
∵ ,
∴ .
故答案为： .
题型04 根据一次函数的性质判定经过的象限
【典例4】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）一次函数 的图象经过第 象限．
【答案】一、三、四
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，根据k、b的正负即可确定一次函数 经过的象限．【详解】解：∵ ， ，
∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限，
故答案为：一、三、四．
【变式1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）当 时，一次函数 的图象不经过第 象限．
【答案】二
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记一次函数图象在各象限的特征是解题的关键．
根据一次函数得图象与系数的关系即可解答本题．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、三象限．
∴一次函数 的图象与y轴交于负半轴．
∴该一次函数图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限．
故答案为：二．
【变式2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象不经
过第 象限．
【答案】二
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质即可得出答案，掌握一次函数的
图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴一次函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
【变式3】（24-25八年级下·青海玉树·期末）正比例函数 的图象经过原点和第一、三象限，则直线
经过第 象限．
【答案】一，二，四
【分析】本题考查判断直线经过的象限，根据正比例函数 的图象经过原点和第一、三象限，得到
，再根据直线的解析式，判断直线经过的象限即可．
【详解】解：∵正比例函数 的图象经过原点和第一、三象限，
∴ ，
∴ ， ，
∴直线过第一，二，四象限；
故答案为：一，二，四
题型05 已知一次函数经过的象限求参数
【典例5】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）已知直线 不经过第一象限，则实数b可以是
．（填一个即可）
【答案】0（答案不唯一）【分析】直线 不经过第一象限，则 ，选择一个数即可．
本题考查了图象的分布条件，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：直线 不经过第一象限，则 ，
故答案为：0（答案不唯一）．
【变式1】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）一次函数 的图像不经过第三象限，则 的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像是解决本题的关键．
由一次函数的图像不经过第三象限，则可得该函数与y轴非负半轴相交，即可求解．
【详解】解：∵一次函数 的图像不经过第三象限，
∴可知该函数与y轴非负半轴相交，
∴ ，
则 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数 的图象经过第一、三、四象限，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据题意可得到关于 的不等式组，然后解不等式组
即可，熟练掌握是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、三、四象限，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【变式3】（24-25八年级下·河北唐山·期末）已知一次函数 的图象图象经过第一、二、
四象限，则k满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．一次函数
的图象经过第一、二、四象限时，需满足斜率 （使函数从左到右下降）且截距 （使图
象与 轴正半轴相交），分别分析给定函数的斜率和截距的条件即可．
【详解】 一次函数 的图象图象经过第一、二、四象限，
且 ，
解得 ．
故答案为： ．题型06 利用一次函数增减性求值
【典例6】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知函数 ，当 时，y的最大值是
．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的增减性，利用增减性即可求出最大值．
【详解】一次函数 中， ，y随x增大而减小．
故当 时， ．
故答案为： ．
【变式1】（24-25七年级下·北京顺义·期末）已知 ，若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的性质，先求得当 时， ，再根据一次函数的增减性求解即可．
【详解】解：当 时， ，
∵ 中， ，
∴y随x的增大而减小，
∴当 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【变式2】（24-25八年级下·天津河东·期末）已知函数 ．当 时， 的取值范围是
【答案】
【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，一次函数的增减性，先根据解析式可得y随x增大而减小，
再分别求出 和 时的函数值即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为 ， ，
∴y随x增大而减小，
在 中，当 时， ，当 时， ，
∴当 时， ，
故答案为： ．
【变式3】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）已知一次函数 ，当 时，函数 的最大值
是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据 时， 随 的增大而减小解答即可求解，掌握一次函数的
性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 随 的增大而减小，∵ ，
∴当 时， 取最大值， ，
故答案为： ．
题型07 根据一次函数增减性求参数
【典例7】（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）一次函数 的函数值y随x的增大而减小，
则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一次函数的性质，当一次函数 （ ， 为常数， ）中 时，函数值 随
的增大而减小，本题中 ，据此列不等式求解 的取值范围．本题主要考查了一次函数的性质，熟
练掌握一次函数 （ ）中 的取值对函数增减性的影响是解题的关键．
【详解】解： 一次函数 的函数值 随 的增大而减小，
，∵
∴解得 ．
故答案为： ．
【变式1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）若一次函数 的函数值 随 的增大而增
大，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，对一次函数 ，根据当 时， 随 的增大而增大，
得出 ，计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵一次函数 的函数值 随 的增大而增大，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）一次函数 图象上有两点 、
，当 时，有 ，那么 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．先根据当 时，
有 可得 随 的增大而减小，则可得 ，再解不等式即可得．
【详解】解：∵一次函数 图象上有两点 、 ，当 时，有 ，∴对于这个一次函数， 随 的增大而减小，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式3】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）直线 ，函数y随x的增大而增大，且图象经
过一，三，四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数增减性求参数，因为函数y随x的增
大而增大，且图象经过一，三，四象限，故 ，解出m的取值范围，即可作答．
【详解】解：∵直线 ，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，
∴
解得 ，
故答案为：
题型08 一次函数图象与坐标轴的交点问题
【典例8】（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）直线 与x轴的交点坐标为 ．与y
轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握，即可解题，根据一次函数的性质，与x轴的交点即
纵坐标为0，与y轴的交点坐标即横坐标为0，代入即可得解．
【详解】解：根据题意得：当 时， ，
解得： ，
当 时， ，
故答案为： ； ．
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，与
轴的交点坐标为 ，与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【答案】 9
【分析】本题考查一次函数图象性质．分别令 ， 可求与x轴和y轴交点，根据直角三角形的面积
计算方法即可求得一次函数与坐标轴围成的三角形的面积．
【详解】解：当 时， ，解得 ，一次函数图象与 轴的交点坐标为 ．
当 时， ，
一次函数图象与 轴的交点坐标为 ．
故一次函数与坐标轴围成的三角形面积为 ．
故答案为： ， ，9．
【变式2】（24-25八年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系 中，直线 与 轴的交点坐标
为 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键．
分别令 ，求出直线 与 轴的交点坐标，即可求解面积．
【详解】解：当 时， ，
解得： ，
∴与 轴的交点坐标为 ，
当 ，
∴与 轴的交点坐标为 ，
∴与两坐标轴围成的三角形的面积为： ，
故答案为： ， ．
【变式3】（25-26八年级上·河北衡水·开学考试）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴的交点分
别为A、B，则 的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，令 ，则 ，令 ，则 ，可得
，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当 时， ，
，即 ，
当 时， ，
即 ，
由勾股定理得， ，
故答案为：10．
题型09 一次函数图象的平移问题
【典例9】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将一次函数 的图象向
上平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数
解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．根据平移的规律得到平移后直线的解析式为 ，
然后把原点的坐标代入求值即可．
【详解】解：将一次函数 的图象向上平移2个单位后，得到 ，
把 代入，得到： ，
解得 ．
故答案为： ．
【变式1】（25-26九年级上·广东惠州·开学考试）直线 向下平移1个单位长度得到的直线的解
析式是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，
上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系，根据平移规律直接得出结论即可．
【详解】解：直线 向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是 ，
故答案为： ．
【变式2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）直线 向下平移4个单位可得直线 ，再向
左平移2个单位可得直线
【答案】
【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解
题的关键．
根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．
【详解】解：直线 向下平移4个单位可得直线 ，再向左平移2个单位可得直线
，即 ，
故答案为： ，【变式3】（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知直线 平行于直线 ，且在y轴上
的截距为 ，那么该直线的解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查两条直线相交或平行问题，根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出
k，根据“在y轴上的截距为 ”计算求出b值，即可得解．
【详解】解：∵直线 平行于直线 ，
∴ ．
又∵直线 在y轴上的截距为 ，
∴ ，
∴这条直线的解析式是 ．
故答案为： ．
题型10 两个一次函数图象共存问题
【典例10】（24-25八年级下·云南保山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象大致是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数 （k为常数， ），当 时，y
随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小；当 ，图象与y轴的正半轴相交，当 ，图象
与y轴的负半轴相交，当 ，图象经过原点，据此求解即可．
【详解】解：∵ 中 ，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，
∴函数图象与y轴的负半轴相交，
∴一次函数 经过第一，三，四象限．
故选：C．
【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）一次函数 （a为常数， ）的图象可能是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一次函数的解析式判断其图象是解题的关键．根据一次函数的
性质可得，一次函数 经过点 ，据此逐项分析即可判断．
【详解】解：一次函数 ，
当 时， ，
∴一次函数 经过点 ，
只有C符合题意
故选：C．
【变式2】（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数 （ 是常数，且 ）的图
象与正比例函数 的图象可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象
与性质以及正比例函数的图象与性质．
分别对每个选项中一次函数 中的 与正比例函数 中的 的符号进行判断是否一致即可．
【详解】解：A、由图象可得一次函数 中 ，正比例函数 中 ，矛盾，故本选项不符
合题意；
B、由图象可得一次函数 中 ，正比例函数 中 ，矛盾，故本选项不符合题意；
C、由图象可得一次函数 中 ，正比例函数 中 ，矛盾，故本选项不符合题意；
D、由图象可得一次函数 中 ，正比例函数 中 ，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式3】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）若一次函数 与 ，满足 ，
且已知 没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图象和性质，由 没有意义可得 ，即
可得直线 与直线 相交，再根据 可知直线 与 轴的交点在直线
与 轴的交点上方，综合各选项即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ 没有意义，
∴ ，
∴直线 与直线 相交，
又∵ ，
∴直线 与 轴的交点在直线 与 轴的交点上方，
综上各选项，只有选项 符合题意，
故选： ．
题型11 一次函数中的规律探究问题
【典例11】（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线 与 轴相交于点 ，过点 作x轴的
平行线交直线 于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，再过点 作x轴的平行线
交直线 于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，…，依此类推，得到直线
上的点 、 ， ，…，与直线 上的点 ， ， ，…，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出 的
长的规律，对于直线 ，令 求出 的值，确定出 纵坐标，即为 的纵坐标，代入直线
中求出 的横坐标，即可求出 的长，由 与 的横坐标相等得出 的横坐标，代入求出纵坐标，即为 的纵坐标，代入直线 中求出 的横坐标，即可求出 的长，同
理求出 ， ， ，归纳总结即可得到 的长．
【详解】解：对于直线 ，令 ，求出 ，即 ，
轴，
的纵坐标为 ，
将 代入 中得： ，即 ，
，
轴，
的横坐标为 ，
将 代入直线 中得： ，即 ，
与 的纵坐标为 ，
将 代入 中得： ，即 ，
，
同理 ， ， ，
则 的长为 ．
故答案为： ．
【变式1】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知直线a： ，直线b： 和点
，过点P作y轴的平行线交直线a于点 ，过点 作x轴的平行线交直线b于点 ，过点 作y轴
的平行线交直线a于点 ，过点 作x轴的平行线交直线b于点 ……按此作法进行下去，则点 的横
坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横
坐标变化规律，根据规律求解即可．
【详解】解： ，点 在直线 上，，
轴，
点 的纵坐标为1，
点 在直线 上，
，
，
，即点 的横坐标为 ，
同理可得，点 的横坐标为 ，
点 的横坐标为 ，
点 的横坐标为 ，
点 的横坐标为 ，
点 的横坐标为 ，
点 的横坐标为 ，
，
点 的横坐标为 ，
令 ，
，
点 的横坐标为 ，
故答案为： ．
【变式2】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）正方形 ， ， 按如图的方式
放置， ， ， 和点 ， ， 分别在直线 和 轴上，则点 的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，分别求出点 的横坐标，
可得点 的横坐标为 ，即得点 的横坐标为 ，进而即可求解，找到点的坐标变
化规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线 ，当 时， ，，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
，
∴点 的横坐标为 ，
把 代入 ，得 ，
，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
，
∴点 的横坐标为 ，
同理可得， ，
∴点 的横坐标为 ，
,
点 的横坐标为 ，
设 ，则 ，
∴② ①，得 ,
即 ，
∴点 的横坐标为 ，
∴点 的横坐标是 ，
故答案为： ．
【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线 ，分别过 轴上的点
，作垂直于 轴的直线交 于点 ，将 ，四边形
、四边形 的面积依次记为 ，则 ．【答案】
【分析】本题考查了正比例函数解析式与坐标轴的几何规律题，掌握梯形的面积公式是解题的关键．
根据梯形的面积公式求解出 的函数解析式即可．
【详解】解：当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
则 ，
由题意知得 ，
根据梯形的面积公式得， ，
，
故我们可以得出 ，
∵当 均成立，
∴ 成立，
故答案为： ．
题型12 画一次函数的图象
【典例12】（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴交
于点 ．(1)求点 的坐标；
(2)在图中画出该一次函数的图象．
【答案】(1)点 的坐标为
(2)见解析
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．
（1）直接计算当 时 的值即可；
（2）求出一次函数 的图象与 轴的交点，结合 点连线即可．
【详解】（1）当 时， ，
∴点 的坐标为 ；
（2）当 时， ，
解得 ，
即一次函数 的图象与 轴交于 ，
该一次函数的图象如下：
【变式1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系 中，函数 的图象与x轴
交于点A，与y轴交于点B，直线 与 的图象交于第一象限某一点C．(1)请在平面直角坐标系内画出函数 的图象；
(2)若 ，求k的值；
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，
三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
（1）根据一次函数 ，其图象是一条直线，画其图象时只需找两个点，再由两点确定一条直线可画
出图象；
（2）利用三角形面积公式求得 的面积，进而求得 ，利用面积公式求得C的横坐标，代入
即可求得纵坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象是一条直线，
当 时，解得 ；
当 时，解得 ，
∴直线与坐标轴的两个交点分别是 和 ，
其图象如下：
；
（2）解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
把 代入 得， ，
∴ ，
把C的坐标代入 得， ．
【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数 ．
______
x 0
_
______
y 0
_
(1)请完成下列表格，并在如图所示平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(2)请根据函数图象直接写出当 时，x的取值范围．
【答案】(1) ，2，见解析
(2)
【分析】（1）根据解析式，确定函数值，自变量的值即可；
（2）根据函数的性质解答即可．
本题考查了求函数值，自变量的值，函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）解： ，得 时， ；当 时， ，解得 ，填表
如下：，
故答案为： ，2．
画图象如下：
（2）解：由 ，
当 时， ，
解得 ．
【变式3】（24-25八年级下·吉林·阶段练习）画出函数 的图象．
… 0 1 …
… 1 …
(1)根据列表， ．
(2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接．
(3)点 ， ， 中，在函数 图象上的点是 （填“ ”“ ”或“ ”）．
(4)若点 在函数 的图象上，求出 的值．
【答案】(1)
(2)见解析(3)C
(4)5
【分析】本题考查画一次函数图像，列表，描点，判断点是否在函数上：
（1）将值代入求解即可得到答案；
（2）根据表描点，连线即可得到答案；
（3）将点代入求解，比较判断即可得到答案；
（4）将点代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴
故答案为：
（2）解：描点并连接，画出图象如下：
（3）解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴点C在函数 图象上，点A、B不在函数 图象上，
故答案为：C
（4）解：∵点 在函数 的图象上，
∴ ，
解得： ．
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数 的图象不经过第四象限，那么 一定满足
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质解答即可求解，掌握一次函数的
图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 图形不经过第四象限，
∴ ，
当此函数图象经过原点时， ，
当此函数图象不经过原点时， ，
∴ ，
故选： ．
2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）点 ，点 是一次函数 图象上的两个点，
则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质得到 随 的增大而减小，即可求解，掌握一
次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∵点 ，点 是一次函数 图象上的两个点，且 ，
∴ ，
故选：A．
3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）关于函数 ，下列判断正确的是（ ）
A．图象必过点 和 B．图象经过第一、第三象限
C．y随x的增大而减小 D．不论x为何值，总有
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数图象的性质，根据正比例函数图象上的坐标特征，正比例函数图象的性质
对各选项分析判断求解．
【详解】解：A、当 时， ；当 时， ，故图象不过点 ，A选项错误；
B、函数 的图象经过第二、第四象限，B选项错误；
C、 ，y随x的增大而减小，C选项正确；
D、当 时， ，D选项错误．
故选：C．
4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列关于函数 的描述错误的是（ ）
A．函数图象不经过第二象限B．函数图象与直线 平行
C．函数图象在y轴上的截距是1
D．函数值y随着自变量x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数的图象及性质逐项判断即可．
【详解】解：A、函数 的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故本选项的描述正确；
B、函数 的图象与直线 平行．故本选项的描述正确；
C、令 ，则 ，则函数图象在y轴上的截距是 ．故本选项的描述错误；
D、函数值y随着自变量x的增大而增大．故本选项的描述正确．
故选：C
5．（25-26八年级上·全国·期中）正比例函数 的图象如图所示，则 的图象大致是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的图象的判断，熟练掌握一次函数图象是解题关键．
首先根据正比例函数 的图象，得出k的取值范围；再根据k的取值范围，判断 ，即
可解答．
【详解】解： 正比例函数 的图象在第二、四象限，
，
一次函数 经过第一、二、四象限，
故选B．
6．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）已知将正比例函数 的图象向上平移5个单位长度得到一
次函数 的图象，下列结论错误的是（ ）
A．
B．一次函数 的图象经过点C．对于一次函数 ，当 时，
D．若点 ， 均在一次函数 的图象上，则
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律（上加下减）及一次函数的性质（图象上点的坐标特征、函
数的增减性），解题的关键是熟练掌握一次函数图象平移规律和增减性，准确验证各选项．
先根据“上加下减”的平移规律确定m的值，得到一次函数解析式；再验证选项A的m值是否正确，选项
B中代入点的横坐标看纵坐标是否匹配，选项C中结合 和函数增减性判断y的范围，选项D中根据k
值判断增减性，再通过横坐标大小比较函数值大小，找出错误结论．
【详解】解：根据一次函数图象“上加下减”的平移规律，正比例函数 向上平移5个单位得
，故 ．
A、由平移规律计算得 ，此选项不符合题意；
B、将 代入 ，得 ，故图象经过点 ，此选项不符合题意；
C、∵ 中 ， 随 增大而减小，当 时， ，
∴ 时， ，此选项不符合题意；
D、∵ ， 随 增大而减小，又 ，
∴ ，此选项符合题意；
故选：D．
二、填空题
7．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）一次函数 的截距是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是掌握截距的定义：直线 与 轴
相交于点 ， 叫做 在 轴上的截距，简称截距．
【详解】解：一次函数 的截距是 ．
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）将直线 向上平移3个单位长度后的函数表达式为
．
【答案】
【分析】根据一次函数图象上下移动时解析式的变化规律求解即可．
本题考查了一次函数图象与几何变化，熟练掌握一次函数图象平移时，解析式的变化规律；上加下减，左
加右减，是解题的关键．
【详解】解：将直线 向上平移3个单位长度后的函数表达式为 ．
故答案为： ．9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知 ，若y的取值范围是 ，则x的最小值为
．
【答案】
【分析】根据 ， ，利用正比例函数的性质，解答即可．
本题考查了正比例函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：由正比例函数解析式为 ，
故y随x的增大而增大．
又 ，
故当 时，x取得最小值，且 ，
解得： ．
故答案为： ．
10．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）已知一次函数 （m为常数）的图象与y轴交点在x
轴的下方，写出一个符合要求的m的正整数值： ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，依据题意，由一次函数为
（m为常数），可得一次函数 （m为常数）的图象与y轴交点为 ，又因为
一次函数 （m为常数）的图象与y轴交点在x轴的下方，则 ，结合m为正整数，进而
可以判断得解．
【详解】解：由题意， 一次函数为 （m为常数），
一次函数 （m为常数）的图象与y轴交点为
又 一次函数 （m为常数）的图象与y轴交点在x轴的下方，
又 为正整数，
或
符合要求的m的正整数值： （答案不唯一 ）．
故答案为： （答案不唯一 ）
11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）若点 ， 都在函数 的图像上，
则 与 的大小关系是： （填“<，=或>”）【答案】
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，一次函数的性质， ，推出y随x的增大
而增大是解题的关键．根据非负数的性质得即可 ，根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴函数y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）不论k为何值，一次函数 的图
像恒过一定点，则该定点的坐标 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图像和性质，将 转化为
，进而得到 ，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵不论k为何值，一次函数 的图像恒过一定点，
∴
解得： ，
∴一次函数 的图像恒过点 ；
故答案为： ．
三、解答题
13．（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知 关于 的函数 ．
(1)若 是 的正比例函数，求 的值；
(2)若 ，求该函数图象与 轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了正比例函数、一次函数的定义等知识点，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解
题的关键．
（1）根据正比例函数的定义即可得出m的值；（2）当 时，函数为一次函数 ，令 ，即可得出图象与x轴的交点坐标．
【详解】（1）解： 关于 的函数 是 的正比例函数，
，解得 ．
（2）解：当 时，该函数的表达式为 ，
令 ，得 ，解得： ，
当 时，函数图象与 轴的交点坐标为 ．
14．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点
A、B，求：
(1)点A、B的坐标；
(2) 的面积（O为原点）．
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数与两坐标轴的交点坐标是解题关键．
（1）分别令 ， ，解方程即可得出A、B的坐标；
（2）利用三角形面积公式即可得答案．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得 ，
∴ ；
令 ，则 ，
∴ ；
（2）解： ．
15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）若正比例函数 的图象经过点 ，
时， ．
(1)求m的取值范围；
(2)若该函数图象上有 三个点，则 从小到大排列为______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）根据当 时， ，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
（2）利用一次函数的增减性即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数 的图象经过点 ， 时， ．
∴ ，
解得 ．
（2）解：由（1）可知函数y随x的增大而减小，
∵该函数图象上有 三个点， ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数 ，完成下列问题：
(1)画出一次函数 的图象；
(2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______；
(3)将直线 沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各
点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
（1）画出函数图象；
（2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可；
（3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出与x轴的交点即可．
【详解】（1）解：令 ，解得 ，令 ，则 ，
一次函数 的图象如图：（2）令 ，解得 ，令 ，则 ，
直线与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ，
函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ；
故答案为：4；
（3）将直线 沿y轴向下平移3个单位长度，得 ，即 ，
令 ，则 ，解得 ，
平移后的直线与x轴的交点坐标为
17．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知y与x成正比例，当 时， ．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)请判断点 是否在这个函数的图像上，并说明理由；
(3)如果 ， 是这个函数图像上的两点，请比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)不在，见解析
(3)
【分析】本题考查了正比例函数的性质、求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）把 代入 ，得到 ，结合点 的坐标即可判断；
（3）根据正比例函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为 ．
由题意得， ，解得 ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：不在，理由如下：
把 代入 ，得 ．∵ ，
∴点 不在这个函数的图像上．
（3）解：∵ ，
∴y随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
18．（24-25八年级下·广东惠州·期末）实践与研究：
x … 1 2 3 …
… …
x … 0 2 3 4 …
… …
(1)根据列表，在同一直角坐标系中画出函数 和 的图象．
(2)观察两个函数图象， 的图象可以由 的图象怎么变换得到？
(3)当直线 向右平移1个单位与直线 重合，试确定b的值．
【答案】(1)见解析
(2) 的图象可以由 的图象向右平移1个单位长度得到
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的图象、一次函数的性质、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌
握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
（1）依据题意，根据表格数据计算即可列表，进而描点即可作图得解；
（2）依据题意，结合（1）所作图象，观察两个函数图象，进而可以判断得解；
（3）依据题意，由直线 向右平移1个单位，可得平移后的直线为 ，结合平移后的直线与 重合，进而计算可以得解．
【详解】（1）解：完成表格如下：
x … 1 2 3 …
… 2 4 6 …
x … 0 2 3 4 …
… 2 4 6 …
在同一直角坐标系中画出函数 和 的图象，如下：
（2）解：由题意，结合（1）所作图象，观察两个函数图象，
∴ 的图象可以由 的图象向右平移1个单位长度得到．
（3）解：∵直线 向右平移1个单位，
∴平移后的直线为 ，即 ．
又∵平移后的直线与 重合，
∴ ．
∴ ．
19．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知 是一次函数，
(1)求 的值；
(2)若点 均在该一次函数的图象上，试比较 ， 的大小关系，并说明理由．
(3)将点 向下平移3个单位长度，得到点 ，恰好点 在该一次函数图象上，求一次函数的图象与线段 有交点时 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据一次函数的定义，得 1且 ，解答即可；
（2）根据题意，得 ，根据一次函数的增减性，解答即可．
（3）根据平移确定点 代入 ，确定坐标，根据解析式解答即可．
本题考查了一次函数的定义，平移，一次函数的性质，熟练掌握性质和定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由于 是一次函数，
∴ 且 ，
∴ ，且 ，
解得 或 且 ，
故 ．
（2）解：根据题意，得 ，
，
故y随x的增大而减小，
又点 均在该一次函数的图象上，
且 ，
故 ．
（3）解：根据题意，得 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ， ，
设 与y轴的交点为E，∵ 过定点 ，且与 有交点，
∴ ，或 ，
∴ 或 ，
∵ 与 有交点的范围是直线高于直线 ，低于直线
∴ ．
20．（24-25八年级下·四川自贡·期末）某数学兴趣小组根据初中学习函数的经验，对函数 的图象
与性质进行了探究．下面是小组的探究过程，请仔细阅读并解答问题．
(1)请把下表补充完整，并在平面直角坐标系中描出各组对应的点，画出该函数的图象．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 0 0 1 …
(2)根据函数图象回答下列问题．
①当 ______时，y有最小值为______
②请写出该函数的一条性质：______．
(3)若 的图象与直线 没有交点，则k的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)① ， ；②见解析
(3)
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，画一次函数图象，求函数值等等，正确画出对应的函数图
象是解题的关键．
（1）将 代入 求出函数值，即可填表格，再用描点连线即可作图；
（2）①根据题意画出图象，根据图象可得最值；②根据图象写出性质即可；
（3）由于直线 是一条平行于 轴的直线，则由图象可得当直线 与 轴交点在点 下方时，
的图象与直线 没有交点，即可求解 的取值范围．
【详解】（1）解：当 时， ，则补充表格如下：
x … 0 1 2 3 …y … 1 0 0 1 …
函数图象，如图所示：
（2）解：①根据图象可知，当 时， 最小值为： ，
故答案为： ， ；
② 时， 随 增大而减小；
， 随 增大而增大；（答案不唯一，任选一条回答即可）；
（3）解：∵直线 是一条平行于 轴的直线，
∴由图象可得当直线 与 轴交点在点 下方时， 的图象与直线 没有交点，
∴ ，
故答案为： ．
