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专题 4.3 一次函数应用（专项训练）
1．（临漳）某油箱容量为60升的汽车，加满汽油后行驶了100千米时，油箱中的汽油大
约消耗了 ，如果加满汽油后汽车行驶的路程为 x千米，油箱中剩余油量为y升，则y
与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝0.12x B．y＝60+0.12x
C．y＝﹣60+0.12x D．y＝60﹣0.12x
【答案】D
【解答】解：∵60× ÷100＝0.12（升/千米），
∴y＝60﹣0.12x，
故选：D．
2．（2021 秋•桓台县期末）如图 1，在长方形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿
B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动
时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的函数图象如图2所示，则长方
形ABCD的面积为（ ）
A．48cm2 B．24cm2 C．12cm2 D．6cm2
【答案】A
【解答】解∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，
当点P在点B，C之间运动时，△ABP的面积随时间x的增大而增大，
由图2知，当x＝3时，点P到达点C处，
∴BC＝3×2＝6（cm）；
学科网（北京）股份有限公司当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
由图2可知，点P从点C运动到点D所用时间为7﹣3＝4（s），
∴CD＝2×4＝8（cm），
∴长方形ABCD的面积＝8×6＝48（cm2）．
故选：A
3．（2021秋•涡阳县期末）某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可
获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共
100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100
台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） y＝﹣20x+14000（25≤x≤100，且x为正整数）
（2）A型电脑进货25台，B型电脑进货75台，销售利润最大为13500元
【解答】解：（1）由题意可得，A型电脑的总利润为：120x，B型电脑的总利润为：
140（100﹣x），
∴A、B电脑的总利润：y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣20x+14000，
又B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
∴100﹣x≤3x，
解得：x≥25，
∴自变量x的取值范围为：25≤x≤100，且x为正整数，
∴y＝﹣20x+14000（25≤x≤100，且x为正整数）；
（2）∵y＝﹣20x+14000，且﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵25≤x≤100，且x为正整数，
∴x＝25时，y有最大值为：﹣20×25+14000＝13500，
∴A型电脑进货25台，B型电脑进货75台，销售利润最大为13500元
4．（2022春•濮阳期末）抗击疫情，我们在行动．某药店销售 A型和B型两种型号的口
学科网（北京）股份有限公司罩，销售一箱A型口罩可获利100元，销售一箱B型口罩可获利120元．该药店计划一
次购进两种型号的口罩共80箱，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍．设购
进A型口罩x箱，这80箱口罩的销售总利润为y 元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型口罩各多少箱，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）∵B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，
∴80﹣x≤3x，
解得x≥20，
根据题意得：y＝100x+120（80﹣x）＝﹣20x+9600，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣20x+9600（x≥20）；
（2）在y＝﹣20x+9600中，
∵﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝20时，y取最大值，最大值是﹣20×20+9600＝9200（元），
此时80﹣x＝80﹣20＝60（箱），
答：商店购进A型口罩20箱，购进B型口罩60箱，才能使销售利润最大，最大利润是
9200元
5．（2022•碑林区校级开学）2020年初新型冠状肺炎的爆发及蔓延牵动了全国人民的心，
也增强了大家的防护意识，因此，日常生活中开展科学、规范的防护工作显得十分重
要．某社区为防控疫情传播，保障社区人员的生命安全，计划购买大量消毒液用于日常
消毒．经了解，甲、乙两个销售公司推出的购买优惠方案如下：甲公司规定：每瓶消毒
液一律按标价的八五折出售；乙公司规定：每瓶消毒液按标价出售，若购买数量超过20
瓶则超出的部分打七折．已知每瓶消毒液的标价为10元，若该社区计划购买消毒液共x
（x＞20）瓶，购买甲公司消毒液所需费用为y 元，购买乙公司消毒液所需费用为y
1 2
元．
（1）分别求y 、y 与x之间的函数关系式；
1 2
（2）若该社区计划购买消毒液共65瓶，则选择哪一家销售公司比较合算？
【解答】解：（1）由题意知，y ＝10×0.85x＝8.5x，
1
学科网（北京）股份有限公司当0≤x≤20时，y ＝10x，
2
当x＞20时，y ＝10×20+0.7×10（x﹣20）＝7x+60，
2
；
（2）当x＝65时，y ＝8.5×65＝552.5，
1
y ＝7×65+60＝515，
2
∵552.5＞515，
∴选择乙销售公司比较合算．
6．（2022春•子洲县期末）某学校准备安装云南批柜式空调（A型）和挂壁式空调（B
型）．已知A型空调的单价为5000元台，B型空调的单价为3000元/台．为响应国家号
召，有两家商场分别推出了优惠套餐．
甲商场：A型空调和B型空调均打八折出售；
乙商场：A型空调打九折出售，B型空调打七折出售．
若该学校需要购买A型空调和B型空调共16台（两种空调都要购买），且只在其中一
家商场购买，则该学校选择在哪家商场购买更划算？
【解答】解：设购买A型空调x台，则购买B型空调（16﹣x）台，在甲商场购买的费
用为w甲 元，在乙商场购买的费用为w乙 元，
由题意可得，w甲 ＝[5000x+3000（16﹣x）]×0.8＝1600x+38400，
w乙 ＝5000x×0.9+3000（16﹣x）×0.7＝2400x+33600，
当w甲 ＞w乙 时，1600x+38400＞2400x+33600，
解得x＜6；
当w甲 ＝w乙 时，1600x+38400＝2400x+33600，
解得x＝6；
当w甲 ＜w乙 时，1600x+38400＜2400x+33600，
解得x＞6；
答：当购买A型空调小于6台时，选择乙商场购买更划算；当购买A型空调等于6台
时，选择甲、乙两商场购买一样划算；当购买A型空调大于6台且小于16台时，选择
甲商场购买更划算．
7．（2022春•涿州市期末）某校要印刷一批课外阅读资料，在甲印刷厂不管一次印刷多少
页，每页收费0.1元；在乙印刷厂，一次印刷页数不超过20时，每页收费0.12元；一次
学科网（北京）股份有限公司印刷页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．设该校需要印刷资料的页数为x（x＞
20，且 x 为整数），在甲印刷厂实际付费为 y （元），在乙印刷厂实际付费为 y
1 2
（元）．
（1）分别求出y ，y 与x的函数关系式；
1 2
（2）印刷页数为多少时，两家店收费一样？
（3）当费用不一样的时候，去哪家印刷厂比较合算？
【解答】解：（1）根据题意得：y ＝0.1x，
1
y ＝0.12×20+0.09（x﹣20）＝0.09x+0.6，
2
答：y ＝0.1x，y ＝0.09x+0.6；
1 2
（2）由0.1x＝0.09x+0.6得：x＝60，
∴印刷页数为60时，两家店收费一样；
（3）当0.1x＜0.09x+0.6时，
解得：x＜60，
∴20＜x＜60时，到甲印刷厂比较合算；
当0.1x＞0.09x+0.6时，
解得：x＞60，
∴x＞60时，到乙印刷厂比较合算；
综上所述，20＜x＜60时，到甲印刷厂比较合算；x＞60时，到乙印刷厂比较合算
8（2022春•覃塘区期末）为了加强市民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户
每月的用水量不超过6吨时，水价为每吨2元；超过6吨时，超过的部分按每吨3元收
费．该市某户5月份用水量为x吨，应交水费为y元．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）如果该户5月份应交水费27元，那么该户5月份的用水量是多少吨？
【解答】解：（1）根据题意可知，当0＜x≤6时，y＝2x．
当x＞6时，y＝2×6+3（x﹣6）＝3x﹣6，
∴y与x的函数表达式为：y＝ ；
（2）因为当0＜x≤6时，y＝2x，此时y的最大值为2×6＝12（元），
学科网（北京）股份有限公司而12＜27，所以该用户5月份用水量超过6吨．
将y＝27代入y＝3x﹣6中，得27＝3x﹣6，解得x＝11．
答：5月份该户用水量为11吨．
9．（2022春•雄县期末）某旅游风景区，门票价格为 a元/人，对团体票规定：10人以
下（包括10人）不打折，10人以上超过10人部分打b折，设团体游客x人，门票费用
为y元，y与x之间的函数关系如图所示，
（1）填空：a＝ ；b＝ ．
（2）请求出y与x之间的函数关系式；
（3）导游小王带A旅游团到该景区旅游，付门票费用2720元（导游不需购买门票），
求A旅游团有多少人？
【解答】解：（1）由图象可知，
a＝800÷10＝80，
b＝ ×10＝8，
故答案为：80，8；
（2）设y＝kx，
①当0≤x≤10时，
∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），
∴10k＝800，
∴k＝80，
∴y＝80x，
当x＞10时，设y与x之间的函数关系式是y＝kx+m，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
解得， ，
即当x＞10时，y与x之间的函数关系式是y＝64x+160；
∴y＝ ．
（3）∵2720＞800，
∴将y＝2720代入y＝64x+160，得，
2720＝64x+160，
解得，x＝40，
即A旅游团有40人．
10．（2020秋•宁波期末）已知A，B两地相距240千米，早上9点甲车从A地出发去B
地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程y（千米）与时间
x（小时）的函数关系如图所示，则下列描述不正确的是（ ）
A．甲车的速度是60千米/小时
B．乙车的速度是90千米/小时
C．甲车与乙车在早上10点相遇
D．乙车在12：00到达A地
【答案】C
【解答】解：由题意可知，
甲车的速度是：240÷4＝60（千米/小时），故选项A不合题意；
学科网（北京）股份有限公司乙车的速度是：60÷（ ）＝90（千米/小时），故选项B不合题意；
设甲出发x小时后两车相遇，则60x+90（x﹣ ）＝240，
解得x＝ ，
所以甲车与乙车在早上10时48分相遇，故选项C符合题意；
乙车到达A地的时间为：10+（240﹣60）÷90＝12（时），故选项D不合题意；
故选：C．
11．（2021秋•城阳区期末）中国最美公路，揽括了平原、丘陵、盆地、山地、高原等景
观，其中川藏公路南线是中国最受欢迎的自驾路线．已知川藏公路途经 A、B两地，甲
车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地匀速开往A地，两车同时
到达各自的目的地．如图是甲、乙两车离B地的距离y（km）与甲车的行驶时间x（h）
的函数图象．
请根据图象回答下列问题：
（1）A、B两地相距 km；
（2）求乙车离B地的距离y与x之间的函数关系式；
（3）相遇后，经过多久两车相距60km？
【答案】（1） 360 （2）y＝90x﹣180； （3）0.4小时
【解答】解：（1）由题意得，A、B两地相距360m；
故答案为：360；
（2）设乙车离B地的距离y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得 ，
解得： ，
∴y＝90x﹣180；
学科网（北京）股份有限公司（3）甲车的速度为：360÷6＝60（km/h），
设相遇的时间为x，根据题意，得60x+90x﹣180＝360，
解得：x＝3.6，
设甲车出发m小时后，相遇后两车相距60km
根据题意，得60m+90m﹣180＝360+60，
解得：m＝4，
4﹣3.6＝0.4（小时），
答：相遇后，经过0.4小时两车相距60km．
12.（2020•瑶海区校级模拟）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀
速行驶，相向而行，到两车相遇时停止．甲车行驶一段时间后，因故停车 0.5小时，故
障解除后，继续以原速向B地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间 x
（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲 、V乙 ．
（2）求m的值．
（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇．
【答案】（1）甲的速度是60km/h 乙的速度是80km/h （2）m的值是70
（3）提前 小时
【解答】解：（1）由图可得，
，
学科网（北京）股份有限公司解得， ，
答：甲的速度是60km/h 乙的速度是80km/h；
（2）m＝（1.5﹣1）×（60+80）＝0.5×140＝70，
即m的值是70；
（3）甲车没有故障停车，则甲乙相遇所用的时间为：180÷（60+80）＝ ，
若甲车没有故障停车，则可以提前：1.5﹣ ＝ （小时）两车相遇，
即若甲车没有故障停车，可以提前 小时两车相
13．（2021春•满洲里市期末）已知A地有蔬菜200t，B地有蔬菜300t，现决定将这些蔬菜
全部调运给C，D两地，C，D两地分别需要调运蔬菜240t和260t．其中从A地运往
C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨
15元和18元．设从B地运往C地的蔬菜为x吨．设A，B两个蔬菜基地的总运费为w
元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案．
【答案】w＝2x+9200，总运费最小的调运方案是从A地运往C地200吨，B地运往C地
40吨，B地运往D地260吨
【解答】解：设从B地运往C地的蔬菜为x吨，则从B地运往D地的蔬菜为（300﹣x）
吨，从A地运往C地的蔬菜为（240﹣x）吨，从A地运往D地的蔬菜为（x﹣40）吨．
w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200，
由题意得， ，
解得40≤x≤240，
∵w＝2x+9200，k＝2＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝40时，总运费w有最小值9280元，240﹣x＝200，x﹣40＝0，300﹣x＝260，
学科网（北京）股份有限公司答：w与x之间的函数关系式是w＝2x+9200，总运费最小的调运方案是从A地运往C地
200吨，B地运往C地40吨，B地运往D地260吨．
14．（2021•永嘉县校级模拟）新冠肺炎疫情牵动人民的心，为打赢这场没有硝烟的
战“疫”，甲，乙两公司向A，B两城市运送防疫物资，已知甲，乙两公司共有防疫物
资400吨，其中甲公司防疫物资比乙公司防疫物资多80吨，
（1）求甲，乙两公司分别有多少吨防疫物资．
（2）现A城市急需防疫物资220吨，B城市急需防疫物资180吨．甲，乙两公司到A，
B两城市的防疫物资运费如表：
运费（元/吨）
甲公司 乙公司
A城市 32 30
B城市 20 24
①若总运费不超过10800元，求甲公司运往A城市防疫物资至多为多少吨？
②国家出台支持每吨防控政策，对甲公司运往A城市的防疫物资的运费每吨财政补贴a
元，乙公司运往B城市的运费每吨财政补贴b元，其余路线运费不变，已知a+b＜6，若
总运费的最小值为10080元，求a的值．
【答案】（1）甲公司有240吨防疫物资，乙公司有160吨防疫物资 （2）①140
②a＝4
【解答】解：（1）设甲公司有x吨防疫物资，乙公司有y吨防疫物资，
依题意，得： ，
解得： ．
答：甲公司有240吨防疫物资，乙公司有160吨防疫物资．
（2）①设甲公司运往A城市防疫物资m吨，则甲公司运往B城市防疫物资（240﹣m）
吨，乙公司运往A城市防疫物资（220﹣m）吨，乙公司运往B城市防疫物资160﹣
（220﹣m）＝（m﹣60）吨，
依题意，得：32m+20（240﹣m）+30（220﹣m）+24（m﹣60）≤10800，
解得：m≤140．
答：甲公司运往A城市防疫物资至多为140吨．
学科网（北京）股份有限公司②设总运费为w元，则w＝（32﹣a）m+20（240﹣m）+30（220﹣m）+（24﹣b）（m
﹣60）＝（6﹣a﹣b）m+9960+60b，
∵a+b＜6，
∴6﹣a﹣b＞0，
∴w值随m值的增大而增大．
又∵A城市急需防疫物资220吨，乙公司有160吨防疫物资，
∴m≥220﹣160＝60，
∴当m＝60时，w取得最小值，最小值为60（6﹣a﹣b）+9960+60b＝10320﹣60a．
∵总运费的最小值为10080元，
∴10320﹣60a＝10080，
∴a＝4．
答：a的值为4．
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