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【单元测试】2022-2023学年七年级数学下册分层训练AB卷（人教版）
【单元测试】第八章 二元一次方程组
（B 卷·能力提升练）
（测试时间：90分钟；卷面满分：100分）
班级 姓名 学号 分数
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（2023春·七年级单元测试）在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据由两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组进行判断即可．
【详解】解：A.是二元一次方程组；
B.是二元一次方程组；
C.是二元一次方程组；
D.不是二元一次方程组；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组是由两个共含有两个未知数，未知
数的次数是1，且都是整式的方程组成是解题的关键．
2．（2023春·七年级单元测试）已知 是二元一次方程组 的解，则 的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的解的定义，将 代入方程组，进而求得 的值，进而即可求解．【详解】解：∵ 是二元一次方程组 的解，
∴
即 ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．二元一次方程组的
两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
3．（2023春·七年级单元测试）小明求得方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了墨水，
刚好遮住了两个数 和 ，则这两个数分别为（ ）
A． 和2 B． 和4 C．2和 D．2和
【答案】D
【分析】根据方程解得定义，把 代入 可求出x的值，进而求出 的值，即可求出答案．
【详解】解：将 代入方程 得： ，
解得： ，
将 代入方程 中，
，
即两个数为2和 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，知道方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是
解题的关键．
4．（2022春·四川绵阳·七年级校联考期中）若一个关于x，y的二元一次方程组的解为 ，则这
个二元一次方程可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对方程组的解进行变形，运用加减消元法消去t即可解答．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为 ，
∴②变形为 ③，
①﹣③得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和加减消元法，正确理解方程组的解的定义是解答本题的关键．
5．（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）对于二元一次方程组 我们把x，y的系数和方程右边
的常数分离出来组成一个矩阵： 用加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组中各方
程中未知数的系数进行变换的过程．如解二元一次方程组 时，我们用加减消元法消去x，得到
的矩阵为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用加减消元法将二元一次方程组 ， ， 得到 ，再根据已知条
件得到最后结果即可．
【详解】解：解二元一次方程组 时，我们用加减消元法 ， 得到 ，
则得到矩阵为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（2022秋·河北·七年级校联考期末）小丽跟几个同学去看电影，电影院准备了如下三种小食品餐供观众
选择购买，若小丽和她的同学们一共买了 个汉堡， 杯可乐， 包薯片，则买 餐的份数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 套餐买了 份，设 套餐买了 份，设 套餐买了 份，找到等量关系，列出方程，解出方
程，即可．
【详解】设 套餐买了 份，设 套餐买了 份，设 套餐买了 份，
根据题意可得： ，
解得： ，
∴买 餐的份数是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法：代入消元法和加减消
元法．
7．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）《九章算术》中有这样的问题：今有5只雀、6只燕，分别聚集
而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量
为1斤．问雀、燕每只各重多少？（注：该问题中的一斤 两）设每只雀重 两，每只燕重 两，下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知4只雀 只燕等于5只燕 只雀，5只雀、6只燕重量为1斤，设每只雀重 两，
每只燕重 两，据此列出方程组即可求解．
【详解】解：设每只雀重 两，每只燕重 两，根据题意得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找到等量关系列出方程是解题的关键．
8．（2022春·河南漯河·七年级校考期中）若关于x、y的二元一次方程组 与 的解相
同，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先解方程组 ，再把方程组的解代入 和 ，求出a、b的值，代入计
算即可．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组 与 的解相同，
∴方程组 的解满足四个方程，
解方程组 得， ，
把 分别代入 和 得，， ，
解得， ， ；
∴ ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解和算术平方根，解题关键是明确同解方程的意
义，熟练掌握解二元一次方程组的步骤．
9．（2022春·河南漯河·七年级统考期末）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上
落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思就是说，有一群乌鸦要到树林休息，如果每棵树上落坐有三只乌鸦，
则有五个落在地上；如果每棵树上落坐有五只乌鸦，则有一棵树没有乌鸦落坐，请你动脑筋，鸦树各几
何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设诗句中谈到的鸦为x只，树为y棵，利用“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵
树”分别得出方程 ， 进而求出即可．
【详解】解：设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组，
，
故选B．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键．
10．（2022春·河北衡水·七年级校考期末）如图，直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝150°．∠EOB比
∠COE大90°，设∠COE＝x°，∠EOB＝y°，则可得到的方程组为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“∠AOD＝150°，∠EOB比∠COE大90°”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：∵∠AOD＝150°，
∴∠COE+∠EOB＝∠BOC＝∠AOD＝150°，
由题意可得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查对顶角相等和由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等
量关系，列出相应的方程组．
二、填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分）
11．（2022春·广东惠州·七年级惠州一中校考期中）已知方程 是二元一次方程，则
_____．
【答案】3
【分析】根据未知数的次数是1列式求出m和n的值，然后代入所给代数式计算即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．
12．（2022春·北京·七年级校考期末）下列方程中：① ，② ，③ ，④
，⑤ ；其中是二元一次方程的是______（只填序号）．
【答案】①③##③①
【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：① 是二元一次方程；
② 中含有未知数的项的次数不是1，不是二元一次方程；
③ 是二元一次方程；④ 不是整式方程，因此不是二元一次方程；
⑤ 仅含有一个未知数，不是二元一次方程；
综上，是二元一次方程的有：①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查二元一次方程的识别，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且
含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
13．（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）已知关于x，y的方程组 的解是 ，则方程组
的解为：_______．
【答案】
【分析】将 代入 得 ，由①-②得关于 的代数式
⑤，再利用整体思想，设 ，可将原方程化简为： ，由③-④得关
于 的代数式⑥，由⑤、⑥消元即可得出m、n的值，即可求出方程的解．
【详解】解：将 代入 ，
得 ，
由①-②得 ，
设 ，原方程化简为： ，由③-④得：
将⑤代入⑥得：
整理得： ；
∴ ，即 ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键在于灵活运用整体思想，消元思想．
14．（2022秋·广东佛山·七年级校考期中） 的取值与代数式 的对应值如下表：根据表中信息：
… 0 1 2 3 …
… 9 7 5 3 1 …
可以得出： __________， ___________.
【答案】
【分析】根据表格正确列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】根据表中的信息可得：当 ， ；当 时， ，
解得
【点睛】本题考查了代数式求值，解二元一次方程组，理解表格的意义是解题关键．
15．（2022春·浙江杭州·七年级校联考期中）已知关于x，y的二元一次方程组 有下列说法：①当x与y相等时，解得 ；②当x与y互为相反数时，解得 ；③若 ，则 ；④无
论k为何值，x与y的值一定满足关系式 ，其中正确的序号是_____．
【答案】①②③④
【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据 列出方程，求出k即可判断；②根据互为相反数的
两个数的和为0，列出方程，求出k即可判断；③把底数统一化成k，等式左右两边的底数相同时，指数也
相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出k；④在原方程中，我们消去k，即可得到x，y的关系．
【详解】解： ，
由②得： ③，
把③代入①中，得： ④，
把④代入③中，得： ，
∴原方程组的解为 ．
①当x与y相等时， ，
即 ，
解得： ，
∴①正确；
②∵方程的两根互为相反数，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴②正确；
③ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
将方程组的解代入得： ，
解得： ，
∴③正确；
④ ，
得 ，
即 ．
∴④正确．
综上所述，①②③④都正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握用加减法求解二
元一次方程组是解题的关键．
16．（2022春·重庆铜梁·七年级校考期中）一个有 的余水量的圆柱形蓄水池有5个进出水口，每个进
出水口匀速进水或出水；每天早晨6点，水池开始进水或出水，如果开放2个进水口和3个出水口，8小时
将水池注满，如果开放3个进水口和2个出水口，2小时将水池注满．随着天气转冷，居民的用水量减
少，每天早晨6点时，水池的余水量达到了40%，若只开2个进水口和1个出水口，那么从早晨6点开始
经过_______小时将水池注满．
【答案】 ##
【分析】根据题意设进水口每小时进水量为x，出水口每小时出水量为y，总水量为s，可列出二元一次方
程组，解出x，y，再设注满水需要t小时，列出一元一次方程，即可求出所需时间．
【详解】解：设：进水口每小时进水量为x，出水口每小时出水量为y，总水量为s，
解得 ，设：注满水需要t小时，
解得 ，
∴经过 小时将水池注满．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，根据题目意思，设出未知数，列出方程是解答
本题的关键．
17．（2022秋·重庆南岸·七年级统考期末）在一个 的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线
上的三个数之和相等，得到的 的方格称为一个三阶幻方．如图，方格中填写了一些数和字母，为使该
方格构成一个三阶幻方，则 的值是______．
【答案】27
【分析】根据题意可得关于x、y的方程，继而进行求解即可得答案．
【详解】根据题意可得：
解得 ，
∴ ，
故答案为：27．
【点睛】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．
18．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级统考期末） 年冬，重庆新冠疫情期间，某火锅店举办“云端火锅，共抗疫情”活动，将火锅底料及菜品打包成“便利火锅包”送至附近小区大门处，由居民自行前往提取．
根据菜品种类分为A、 、 三类，三个品类成本价分别是 元， 元， 元．且A类和 类火锅的标
价一样，该店对这三个品类全部打 折销售．若三个品类的销量相同，则火锅店能获得 的利润，此时
A品类利润率为 ．若A、 、 三类销量之比是 ，则火锅店销售A、 、 类便利火锅包的总利
润率为_______．（利润率 ）
【答案】
【分析】可设A、B、C三类的标价分别为x元，x元，y元，根据所给的条件可列出三元一次方程组，解方
程组得出相应的x，y的值，从而可求解．
【详解】解：设A、B、C三类的标价分别为x元，x元，y元，依题意得：
，
解得： ，
故B类的利润率为： ，
C类的利润率为： ，
当A、B、C三类销量之比是 ，则火锅店销售A、B、C类便利火锅包的总利润率为：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系列出方程组．
三、解答题（本大题共8个小题，共54分；第19-22每小题6分，23-24每小题7分，25-26
每小题8分）
19．（2022春·甘肃金昌·七年级校考期中）用适当的方法解下列方程组：
(1)(2)
(3)用代入法解
(4)用加减法解
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据加减消元法求解即可；
（2）根据加减消元法求解即可；
（3）根据代入消元法的步骤求解即可；
（4）根据加减消元法的步骤求解即可；
【详解】（1）解： ，
由②-①，得： ，
将 代入①，得： ，
解得： ，
故原方程组的解为： ；
（2）解：由3×①-②，得： ，
解得： ，
将 代入①，得： ，
解得： ，
故原方程组的解为： ；
（3）解：
由②得： ，
将③代入①，得： ，
解得： ，
将 代入③，得： ，
故原方程组的解为： ；
（4）解：
由3×①-2×②，得： ，
解得： ，
将 代入①，得： ，
解得： ，
故原方程组的解为： ；
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法解方程组的步骤是解题关键．
20．（2022春·广东惠州·七年级惠州一中校考期中）已知关于x，y的方程组 与
有相同的解．(1)求a，b的值；
(2)求 的立方根．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）依据题意将方程重新联立求得x，y值，进而联立求得a，b的值；
（2）利用立方根的意义解答即可．
【详解】（1）∵关于x，y的方程组 与 有相同的解，
∴ ，
解方程组得： ．
∴ 是方程组 的解，
∴ ，
解方程组得： ．
∴ ；
（2）∵ ，
∴
，
∵8的立方根为2，
∴ 的立方根为2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，立方根的意义，熟练掌握解二元一次方程
组的解法是解题的关键．21．（2022春·广东韶关·七年级校考期末）在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的
，而得解为 ；乙看错了方程组中的 ，而得解为 .
(1)求出原方程组的正确解．
(2)甲把 看成数是多少？乙把 看成的数是多少？
【答案】(1)
(2)甲把 看成的数是 ，乙把 看成的数是
【分析】（1）根据题意，把 代入 ，求出b的值，把 代入 ，求出a的
值，进而，求出原方程组的解；
（2）根据题意，把 代入 ，求出a的值，把 代入 ，求出b的值，即
可.．
【详解】（1）∵在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 ，而得解为 ，
∴把 代入 ，得： ，
解得： ，
∵乙看错了方程组中的 ，而得解为 ，
∴把 代入 ，得： ，
解得： ，∴原方程组是：
，得： ，
解得： ，
把 代入①，得： ，
解得： ，
∴原方程组的正确解是： ；
（2）∵在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 ，而得解为 ，
∴把 代入 ，得： ，
解得： ，
∵乙看错了方程组中的 ，而得解为 ，
∴把 代入 ，得： ，
解得： ，
答：甲把 看成的数是 ，乙把 看成的数是 ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的概念和解二元一次方程组，掌握解的意义和解二元一次方程
组的步骤，是解题的关键．
22．（2022秋·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）阅读以下材料：
解方程组： ．
小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：解：由①得 ③，将③代入②得：
(1)请你替小亮补全完整的解题过程；
(2)请你用这种方法解方程组： ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可；
（2）由①得 代入②得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
【详解】（1）解：由①得 ③，
将③代入②得： ，
解得 ，
将 代入③得： ，
解得 ，
∴方程组的解为 ；
（2）解： ，
由①得 ③，
将③代入②得： ，
解得 ，
将 代入③得： ，
解得 ，∴方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23．（2022春·广东佛山·七年级校考期中）某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可
获得毛利润3600元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按
标价出售少收入多少元？
【答案】(1)购进A型服装45件，购进B型服装30件
(2)服装店比按标价出售少收入1410元
【分析】（1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，
按标价售出后可获得毛利润3600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用少收入的钱数=每件A型服装少挣的钱数×销售数量+每件B型服装少挣的钱数×销售数量，即可
求出结论．
【详解】（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得： ，
解得：
答：购进A型服装45件，购进B型服装30件；
（2）
=450+960
（元）．答：服装店比按标价出售少收入1410元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方
程组是解题的关键．
24．（2022春·四川绵阳·七年级校联考期中）面对当前疫情形势，某工厂迅速反应，研发出两种新型口罩
和消毒液．已知1平方米甲型布料可以制成20个A型口罩和10个B型口罩．1平方米乙型布料可以制成
10个A型口罩和20个B型口罩，现需要制作1500个A型口罩和1800个B型口罩．为了支援某灾区，现
有消毒液19吨．计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，一次运完，甲型车一次满载2吨，乙型车一次满
载3吨，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)恰好需要甲，乙布料各多少平方米？
(2)在运送消毒液时，请你设计所有可能的租车方案．
【答案】(1)恰好需要40平方米甲型布料，70平方米乙型布料
(2)共有3种租车方案，方案1：租用8辆甲型车，1辆乙型车；方案2：租用5辆甲型车，3辆乙型车；方
案3：租用2辆甲型车，5辆乙型车
【分析】（1）设恰好需要x平方米甲型布料，y平方米乙型布料，根据题意列二元一次方程组即可解答；
（2）设计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，然后根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况确定
a，b的值即可解答．
【详解】（1）解：设恰好需要x平方米甲型布料，y平方米乙型布料，
根据题意得： ，解得： ．
答：恰好需要40平方米甲型布料，70平方米乙型布料．
（2）解：设计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆
根据题意得： ，
∴ ．
又∵a，b均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用8辆甲型车，1辆乙型车；
方案2：租用5辆甲型车，3辆乙型车；方案3：租用2辆甲型车，5辆乙型车．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，理解题意正确列出二元一次方程组和二
元一次方程是解答本题的关键．
25．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）（1）如图1，宽为48cm的长方形由8个形状、大小相同的小
长方形拼成，其中一个小长方形的面积为______ ；
（2）如图1，图2，都是由8个形状、大小相同的小长方形拼（围）成的大矩形，且图2中的阴影部分
（小矩形）的面积为 ，则小长方形的长为______cm；
（3）如图3，在长方形 中放置9个形状、大小相同的小长方形，求所有阴影部分面积的和．（说
明：图中的单位为cm）
【答案】（1）540；（2）5；（3）738
【分析】（1）设这8个大小一样的小长方形的长为 ，宽为 ，根据图形中线段的关系可得方程；
（2）设这8个大小一样的小长方形的长为 ，宽为 ．根据图1中3个长度=5个宽度，及小矩形的
边长为1cm列出方程组；
（3）设小长方形宽为 ，长为 ，由图可知大长方形长为 ，宽为 ，根据题中
数据列出方程组求解即可．
【详解】解：（1）设这8个大小一样的小长方形的长为 ，宽为 ．
，
解得 ，
∴一个小长方形的面积为 ，
故答案为：540；（2）设这8个大小一样的小长方形的长为 ，宽为 ，由图可知，中间小正方形是边长为 的
小正方形，
，
解得 ，
∴小长方形的长为5cm；
故答案为：5；
（3）设小长方形宽为 ，长为 ，
由图可知大长方形长为 ，宽为 ，
则 ，
解得 ，
∴大长方形的宽为48cm，
所有阴影部分面积的和 ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的
关键．
26．（2022秋·福建福州·七年级统考期末）福清市某批发商对一种商品按销售量分三部分制定销售单价，
如表：
销售量 单价
不超过100件的部分 5元/件
超过100件不超过200件的部分 4元/件
超过200件的部分 3元/件
(1)求购买180件这种商品需要多少元？
(2)某人购买这种商品花了1080元，求他购买了这种商品多少件？(3)若某人花了 元，恰好购买了 件这种商品，求 的值．
【答案】(1) 元
(2) 件
(3)
【分析】（1）利用总价等于单价乘以数量，结合表格中的数据，列式计算即可；
（2）设购买这种商品 件，根据花费的费用，求出 的取值范围，列出一元一次方程，进行求解即可．
（3）分 ， ， ，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴购买商品需要费用： （元），
答：购买180件这种商品需要820元．
（2）设购买这种商品 件，
当 时，购买商品需要费用： （元），
∵ ，
∴ ．
依题意得： ．
解得： ；
答：购买了这种商品260件．
（3）①若 ，则 ，不符合题意，舍去
②若 ，则 ，
解得： ；
当 时， ，而 ，符合条件．
③若 ，则 ，
解得： ；
当 时， ，不符合条件，舍去．
综上， ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键．注意，分
类讨论．
