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七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
专题 二元一次方程组的同解、错解、参数等问题
题型一 直接代入解，解决字母参数的问题
{x=−1 {3x+2y=m
【例题 1】（2022•天津模拟）已知 是二元一次方程组 的解，则 m﹣n 的值是
¿ y=1 nx−y=1
（ ）
A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣4【分析】将x和y的值代入方程组即可求出m和n的值，进而可得m﹣n的值．
{x=−1 {3x+2y=m
【解答】解：因为 是二元一次方程组 的解，
¿ y=1 nx−y=1
所以m＝﹣3+2＝﹣1，
﹣n﹣1＝1，n＝﹣2，
所以m﹣n＝﹣1+2＝1．
则m﹣n的值为1．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法．
{x=−2 {3x+2y=m
【变式1-1】（2022春•商水县期末）已知 是二元一次方程组 的解，则m+n的值是
y=1 nx−y=1
（ ）
A．﹣2 B．﹣5 C．1 D．﹣4
【分析】把方程组的解代入方程组得到关于m，n的方程组，求出m，n的值，代入代数式求值即可．
{−6+2=m
【解答】解：把方程组的解代入方程组得 ，
−2n−1=1
{m=−4
解得 ，
n=−1
∴m+n＝﹣4﹣1＝﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，把把方程组的解代入方程组得到关于 m，n的方程组是解题
的关键．
{ax−y=4 { x=2
【变式1-2】（2022秋•青岛期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则a+b
3x+b=4 y=−2
的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
{ x=2 {ax−y=4
【分析】将 代入二元一次方程组 即可解答．
y=−2 3x+b=4
{ x=2 {ax−y=4
【解答】解：将 代入二元一次方程组 ，
y=−2 3x+b=4
{2a+2=4
得 ，
6+b=4{ a=1
解得 ，
b=−2
所以a+b＝1﹣2＝﹣1，
故选A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟悉二元一次方程组的解法是解题的关键．
{x=2 {mx+ny=8
【变式1-3】（2022春•永川区期末）已知 是二元一次方程组 的解，则m+3n等于（
y=1 nx−my=1
）
A．9 B．6 C．5 D．12
{x=2 {mx+ny=8
【分析】将 代入二元一次方程组 ，再求m+3n即可．
y=1 nx−my=1
{x=2 {mx+ny=8
【解答】解：∵ 是二元一次方程组 的解，
y=1 nx−my=1
{2m+n=8①
∴ ，
2n−m=1②
①+②得，m+3n＝9，
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组与二元一次方程组的关系，用整体思
想解题是关键．
{x=2 {mx+ny=8
【变式1-4】（2022春•凤庆县期末）已知 是二元一次方程组 的解，则√2m−n的算术
y=1 nx−my=1
平方根（ ）
A．±2 B．2 C．4 D．√2
{x=2 {mx+ny=8 {m=3
【分析】将 代入 解得 ，再求√2m−n的算术平方根即可．
y=1 nx−my=1 n=2
{x=2 {mx+ny=8
【解答】解：∵ 是二元一次方程组 的解，
y=1 nx−my=1
{2m+n=8①
∴ ，
2n−m=1②
由①得，n＝8﹣2m③，
将③代入②得，m＝3，
将m＝3代入③得，n＝2，
∴2m﹣n＝2×3﹣2＝4，
∴√2m−n的算术平方根为2，故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，会求
算术平方根是解题的关键．
{2x−ay=1 {x=2
【变式1-5】（2022春•平舆县期中）关于x，y的方程组 的解是 ，则6a﹣b的平方根是
bx+ y=5 y=1
（ ）
A．4 B．±4 C．√3 D．±√3
{x=2
【分析】将 代入原方程组，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，将其代
y=1
入6a﹣b中，可求出6a﹣b的值，再求出6a﹣b的平方根即可得出结论．
{x=2 {2×2−a=1
【解答】解：将 代入原方程组得： ，
y=1 2b+1=5
{a=3
解得： ，
b=2
∴6a﹣b＝6×3﹣2＝16，
∴6a﹣b的平方根是±4．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及平方根，代入方程组的一组解，求出 a，b值是解题的关
键．
{2x+ y=● {x=5
【变式1-6】（2022秋•迎泽区校级月考）小亮求得方程组 的解为 ，由于不小心，滴
2x−y=12 y=★
上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（
）
A．5，2 B．5，﹣2 C．8，2 D．8，﹣2
【分析】根据方程的解的定义，把x＝5代入2x﹣y＝12，求得y的值，进而求出●的值，即可得到答案．
{2x+ y=● {x=5
【解答】解：∵方程组 的解为 ，
2x−y=12 y=★
∴把x＝5代入2x﹣y＝12，
得2×5﹣y＝12，
解得y＝﹣2，
把x＝5，y＝﹣2代入2x+y＝●，
得2×5﹣（﹣2）＝●，即●＝8，
∴这两个数分别为：8和﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程是解题的关
键．
{3x−y=m { x=1
【变式1-7】（2022春•武山县校级月考）关于x、y的方程组 的解是 ，则|m﹣n|的值
x+my=n y=−1
是 ．
【分析】将x＝1，y＝1代入方程组求出m与n的值，即可确定出所求式子的值．
{ m=2
【解答】解：将x＝1，y＝1代入方程组得： ，
1+m=n
解得：m＝2，n＝3，
则|m﹣n|＝|2﹣3|＝1．
故答案为：1
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
{ x=1 {x=2a
【变式1-8】（2022秋•海淀区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程x+y＝m， 和 都
y=a+8 y=1
是该方程的解．
（1）求a的值；
{x=b
（2） 也是该方程的一个解，求b的值．
y=b
【分析】（1）根据解得定义，代入可得1+a+8＝m，2a+1＝m，进而求出a＝8；
（2）将a＝8代入求出二元一次方程x+y＝m的两个解，进而确定m的值，代入求出b的值即可．
{ x=1 {x=2a
【解答】解：（1）∵ 和 都是关于x，y的二元一次方程x+y＝m的解．
y=a+8 y=1
∴1+a+8＝m，2a+1＝m，
解得a＝8；
{ x=1 {x=16
（2）当a＝8时，二元一次方程的解为 和 ，
y=16 y=1
∴m＝x+y＝17，
{x=b
又∵ 也是x+y＝17的解，
y=b
∴b+b＝17，17
即b= ．
2
【点评】本题考查二元一次方程（组）的解，理解解的定义是正确解答的前提．
{ax−by=−4 { x=2
【变式1-9】（2022春•东莞市校级期中）已知方程组 的解为 ．
bx+ay=−8 y=−2
（1）求a、b的值；
（2）求a﹣b的值及其算术平方根．
{ x=2
【分析】（1）将 代入方程组可得一个关于a，b的二元一次方程组，利用加减消元法解方程组
y=−2
即可得解；
（2）先根据（1）的结果求出a﹣b的值，再根据算术平方根的性质即可得结果．
{ax−by=−4 { x=2
【解答】解：（1）∵方程组 的解为 ，
bx+ay=−8 y=−2
{2a+2b=−4 { 2a+2b=−4①
∴ ，即 ，
2b−2a=−8 −2a+2b=−8②
由①+②得：4b＝﹣12，
解得b＝﹣3，
将b＝﹣3代入①得：2a﹣6＝﹣4，
解得a＝1，
故a＝1，b＝﹣3．
（2）由（1）已得：a＝1，b＝﹣3，
则a﹣b＝1﹣（﹣3）＝4，
∵22＝4，
∴a﹣b的算术平方根为2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和算术平方根，熟练掌握方程组的解法和算术平方根的性质是解
题的关键．
题型二 二元一次方程（组）同解问题
{5x+ y=3 {ax+2y=1
【例题2】（2021秋•昌图县期末）已知方程组 和 有相同的解，则a，b的值
x−2y=5 2x+by=8
为（ ）A．a＝﹣5，b＝3 B．a＝3，b＝﹣5 C．a＝5，b＝﹣3 D．a＝﹣3，b＝5
{5x+ y=3 {ax+2y=1
【分析】先求出方程组 的解，再代入方程组 可得关于a、b的方程组，解方程组
x−2y=5 2x+by=8
即可求解．
{5x+ y=3 { x=1
【解答】解：解方程组 ，得 ，
x−2y=5 y=−2
{ax+2y=1 {a−4=1
代入代入方程组 ，得 ，
2x+by=8 2−2b=8
解得a＝5，b＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，正确理解题意，然后根据题意得
到关于待定系数的方程组，解方程组是解答此题的关键．
{4x+ y=−5 { 3x−y=−9
【变式2-1】（2022春•禹州市期末）已知关于x，y的方程组 和 有相同的解，
ax−by=1 3ax+2by=18
则a2﹣b2的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．﹣4
【分析】根据方程组解的定义，先求出方程组的解，再把方程组的解代入含 a、b的方程组，求出a、
b，最后求出a2﹣b2．
{4x+ y=−5 { 3x−y=−9
【解答】解：∵方程组 和 有相同的解，
ax−by=1 3ax+2by=18
{4x+ y=−5 { ax−by=1
∴方程组 和 有相同的解．
3x−y=−9 3ax+2by=18
{4x+ y=−5 {x=−2
解方程组 得 ．
3x−y=−9 y=3
{x=−2 { ax−by=1
把 代入方程组 得，
y=3 3ax+2by=18
{−2a−3b=1
．
−6a+6b=18
{a=−2
解这个方程组，得 ．
b=1
∴a2﹣b2＝（﹣2）2﹣12＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组，掌握方程组的解法是解决本题的关键．{2x+3 y=19 {3x−2y=9
【变式2-2】（2022秋•北碚区校级期末）关于x，y的方程组 与 有相同的解，
ax+by=−1 bx+ay=−7
则a+4b−3的值为（ ）
A．−1 B．−6 C．−10 D．−12
{2x+3 y=19 {x=5 {ax+by=−1
【分析】解不等式组 ，可得出 ，将其代入 中，可求出a，b的值，再
3x−2y=9 y=3 bx+ay=−7
将a，b的值，代入a+4b−3中，即可求出结论．
{2x+3 y=19 {x=5
【解答】解：不等式组 的解为 ，
3x−2y=9 y=3
{x=5 {ax+by=−1 {5a+3b=−1
将 代入关于x，y的方程组 得： ，
y=3 bx+ay=−7 5b+3a=−7
{ a=1
解得： ，
b=−2
∴a+4b−3＝1+4×（﹣2）﹣3＝﹣10．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做
二元一次方程组的解”是解题的关键．
{5x+ y=3 {x−2y=5
【变式2-3】（2022春•营口期末）已知方程组 和 有相同的解，求a﹣5b的
ax+5 y=4 5x+by=1
平方根．
【分析】根据方程组的解的意义可求出x、y的值，进而得到a、b的值，再代入计算即可．
{5x+ y=3 {x−2y=5 {5x+ y=3①
【解答】解：方程组 和 的解也是方程组 的解，
ax+5 y=4 5x+by=1 x−2y=5②
{5x+ y=3①
解方程组 得，
x−2y=5②
{ x=1
，
y=−2
∴a＝14，b＝2，
∴a﹣5b＝14﹣10＝4，
∴a﹣5b的平方根，即4的平方根为±√4=±2．
【点评】本题考查平方根，二元一次方程组的解，理解平方根的定义以及二元一次方程组的解是正确解
答的前提．{2x−3 y=−10
【变式 2-4】（2022 春•沙坪坝区校级期中）已知关于 x，y 的方程组 和方程组
ax+by=14
{3x+2y=11
的解相同．
ay−bx=5
（1）这两个方程组的解；
（2）求2a+b的值．
【分析】（1）将两个方程组中的第一个方程联立可得一个二元一次方程组，求解即可；
（2）将两个方程组中的第二个方程联立，将（1）中求出的x，y代入即可求出a，b，即可求解．
{2x−3 y=−10 {3x+2y=11
【解答】解：（1）∵关于x，y的方程组 和方程组 的解相同，
ax+by=14 ay−bx=5
{2x−3 y=−10①
∴x，y满足 ，
3x+2y=11②
由①×2+②×3可得：
2（2x﹣3y）+3（3x+2y）＝﹣10×2+11×3，
13x＝13，
x＝1，
将x＝1代入①可得：
2﹣3y＝﹣10，
y＝4，
{x=1
∴两个方程组的解为 ，
y=4
{ax+by=14
（2）将两个方程组中的第二个方程联立可得 ，
ay−bx=5
{x=1 {a+4b=14③
将 代入可得 ，
y=4 4a−b=5④
由③+④×4可得：
a+4b+4（4a﹣b）＝14+5×4，
17a＝34，
a＝2，
将a＝2代入③可得：
2+4b＝14，
b＝3，
∴2a+b＝2×2+3＝7．【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的解法．
{3x−5 y=36
【变式 2-5】（2021 春•岳麓区校级期中）若关于 x，y 的二元一次方程组 与方程组
bx+ay=−8
{2x+5 y=−26
有相同的解，求：
ax−by=−4
（1）这两个方程组的相同解；
（2）求（2a+b）2021的值．
{2x+5 y=−26①
【分析】（1）根据题意联立 ，求出x，y的值；
3x−5 y=36②
{ x=2 {ax−by=−4
（2）把 代入 中进行计算，求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
y=−6 bx+ay=−8
{2x+5 y=−26①
【解答】解：由题意得： ，
3x−5 y=36②
①+②得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：
4+5y＝﹣26，
解得：y＝﹣6，
{ x=2
原方程组的解为： ，
y=−6
{ x=2
∴这两个方程组的解为： ；
y=−6
{ x=2 {ax−by=−4 {2a+6b=−4
（2）把 代入 中可得： ，
y=−6 bx+ay=−8 2b−6a=−8
{a+3b=−2①
化简得： ，
b−3a=−4②
①×3得：3a+9b＝﹣6③，
②+③得：10b＝﹣10，
解得：b＝﹣1，
把b＝﹣1代入②得：
﹣1﹣3a＝﹣4，
解得：a＝1，
∴（2a+b）2021＝（2﹣1）2021＝12021＝1，∴（2a+b）2021的值为1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握同解方程组是解题的关键．
{2x+ y=−2 {3x−y=12
【变式2-6】（2021春•荔浦市期中）已知方程组 和方程组 的解相同，
ax+by=−4 bx+ay=−8
求（5a+b）2的值．
{2x+ y=−2 { x=2 {ax+by=−4 {2a−6b=−4
【分析】先求出方程组 的解，再把 代入方程组 得出
3x−y=12 y=−6 bx+ay=−8 2b−6a=−8
求出a、b的值，再代入（5a+b）2求出答案即可．
{2x+ y=−2 {3x−y=12
【解答】解：∵方程组 和方程组 的解相同，
ax+by=−4 bx+ay=−8
{2x+ y=−2 { x=2
∴解方程组 得： ，
3x−y=12 y=−6
{ x=2 {ax+by=−4 {2a−6b=−4
把 代入方程组 得： ，
y=−6 bx+ay=−8 2b−6a=−8
7 5
解得：a= ，b= ，
4 4
7 5
∴5a+b＝5× + =10，
4 4
∴（5a+b）2＝102＝100．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方
程是解此题的关键．
{2x+ y=1 {bx−ay=8
【变式2-7】（2022春•德州期中）已知方程组 和方程组 的解相同．
ax−by=7 x+2y=−4
（1）求a，b的值．
（2）求|√a−a|+√a(b−√a)的值．
{ 2x+ y=1 {ax−by=7
【分析】（1）由同解方程可得 和 同解，先解出x、y，再求解a、b即可；
x+2y=−4 bx−ay=8
（2）将（1）所求代入所求的代数式即可求解．
{2x+ y=1 {bx−ay=8
【解答】解：（1）∵方程组 和方程组 的解相同，
ax−by=7 x+2y=−4
{ 2x+ y=1 {ax−by=7
∴ 和 同解，
x+2y=−4 bx−ay=8{ 2x+ y=1①
，
x+2y=−4②
①×2得，4x+2y＝2③，
③﹣②，得3x＝6，
∴x＝2，
将x＝2代入①可得y＝﹣3，
{ x=2
∴方程组的解为 ，
y=−3
{2a+3b=7④
∴ ，
2b+3a=8⑤
④×2得，4a+6b＝14⑥，
⑤×3得，6b+9a＝24⑦，
⑦﹣⑥，得5a＝10，
∴a＝2，
将a＝2代入④，得b＝1，
{a=2
∴方程组的解为 ；
b=1
（2）将a＝2，b＝1代入|√a−a|+√a(b−√a)可得，
|√2−2|+√2（1−√2）＝2−√2+√2−2＝0．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程的含义，利用
加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
题型三 方程组的解满足某一附加条件
{2x−5 y=3n+7
【例题3】（2022秋•峄城区校级期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解相等，则
x−3 y=4
n的值是（ ）
1 1
A．3 B．− C．1 D．
3 3
【分析】把x＝y代入方程组中进行计算即可解答．{2x−5 y=3n+7①
【解答】解：由题意得： ，
x−3 y=4②
解②得：x＝y＝﹣2，
把x＝y＝﹣2代入①得：2×（﹣2）﹣5×（﹣2）＝3n+7，
1
解得：n=− ，
3
∴故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是关键．
{ 4x+3 y=1
【变式 3-1】（2022•东平县校级开学）若方程组 的解x和y互为相反数，则a＝
ax+(1−a)y=3
．
{4x+3 y=1
【分析】先求出方程组 的解，将其代入ax+（1﹣a）y＝3中，可得出关于a的一元一次方
x+ y=0
程，解之即可求出a的值．
{4x+3 y=1 { x=1
【解答】解：方程组 的解为 ，
x+ y=0 y=−1
{ x=1
将 代入ax+（1﹣a）y＝3得：a﹣（1﹣a）＝3，
y=−1
解得：a＝2，
∴a的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做
二元一次方程组的解”是解题的关键．
{3x+5 y=a+2
【变式3-2】（2022秋•大渡口区校级期末）关于x，y的二元一次方程组 的解适合x+y＝
2x+3 y=a
10，则a的值为（ ）
A．14 B．12 C．6 D．﹣10
【分析】利用②×2﹣①，可找出x+y＝a﹣2，结合x+y＝10，可得出关于a的一元一次方程，解之即可
求出a的值．
{3x+5 y=a+2①
【解答】解： ，
2x+3 y=a②
②×2﹣①得：x+y＝a﹣2．又∵x+y＝10，
∴a﹣2＝10，
解得：a＝12，
∴a的值为12．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程的解，通过解二元一次方程组，找出 x+y＝10
是解题的关键．
{x+ y=5
【变式3-3】（2022春•镇江期末）若方程组 的解中，x的值比y的值大1，则k为（ ）
kx+ y=8
A．5 B．2 C．3 D．﹣2
【分析】根据二元一次方程组的解的定义解决此题．
【解答】解：由题意知，y+1+y＝5．
∴y＝2．
∴x＝y+1＝3．
∴3k+2＝8．
∴k＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解决本题的关键．
{x+ y=−a+1
【变式3-4】（2022秋•邢台期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解，也是二元一次方
x−y=3a+5
程x+2y＝﹣1的解，则a的值为（ ）
1
A．2 B．1 C． D．0
2
【分析】解原方程组后，根据同解方程得到含a的一元一次方程，就能求得此题结果了．
【解答】解：解原方程组得，
{ x=a+3
，
y=−2a−2
将其代入方程x+2y＝﹣1得，
a+3+2（﹣2a﹣2）＝﹣1，
解得a＝0，
故选：D．
【点评】此题考查了含有字母参数的方程（组）问题的解决能力，关键是能准确解方程（组）．{ 3x+2y=k
【变式3-5】（2022春•荣县校级期中）已知方程组 的解满足x+y＝5，求k的值．
2x+3 y=k+3
2k+3 2k+3
【分析】先计算①+②推出x+ y= ，再由x+y＝5得到 =5，据此求解即可．
5 5
【解答】解：①+②得：5x+5y＝2k+3，
2k+3
∴x+ y= ，
5
又∵x+y＝5，
2k+3
∴ =5，
5
解得k＝11．
【点评】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟知加减消元法是解题的关键．
{5x+3 y=2m−1
【变式3-6】（2022春•昌平区校级期中）已知关于x，y的方程组 的解中x与y的和为
x−y=−m+2
3，求m的值及此方程组的解．
【分析】根据题意先用含 m 的代数式表示出 x 和 y，再根据 x 与 y 的和为 3 求出 m 的值，代入
−m+5
{x=
8
，即可求解．
7m−11
y=
8
{5x+3 y=2m−1
【解答】解： ，
x−y=−m+2
−m+5
{x=
8
解得： ，
7m−11
y=
8
3m−3
∴x+y= ，
4
又∵x与y的和为3，
3m−3
∴ = 3，
4解得：m＝5，
−m+5
{x=
8
把m＝5代入 ，
7m−11
y=
8
{x=0
解得： ，
y=3
{x=0
∴方程组的解为：解得： ，
y=3
{x=0
∴m的值为5，方程组的解为解得： ．
y=3
【点评】本题考查了方程组的解的定义，以及解二元一次方程组，正确求得m的值是解决本题的关键．
{3x+5 y=2m
【变式3-7】（2022春•广州期中）已知关于x，y的方程组 的解满足x+2y＝2．
x+ y=m−1
（1）求m的值；
（2）化简：|√m−1|﹣|√m−2|．
【分析】（1）将方程组的两个方程相减可得2（x+2y）＝m+1，再将x+2y＝2代入即可求出m的值；
（2）将m的值代入后，再根据绝对值的意义化简即可．
{3x+5 y=2m①
【解答】解：（1） ，
x+ y=m−1②
①﹣②得，2x+4y＝m+1，即2（x+2y）＝m+1③，
将x+2y＝2代入③得，4＝m+1，
解得，m＝3；
（2）当m＝3时，
原式＝|√3−1|﹣|√3−2|
=√3−1﹣（2−√3）
=√3−1﹣2+√3
＝2√3−3．
【点评】本题考查二元一次方程组，绝对值，掌握二元一次方程组的解法以及绝对值的化简方法是正确
解答的前提．
【变式 3-8】（2022 春•广州期中）已知实数 a，b 满足√a+1+|a+b|＝0，且以关于 x，y 的方程组
{ ax+by=m
的解为横、纵坐标的点P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，求m的值．
2ax−by=m+1【分析】根据非负数的性质求出a，b的值，代入方程组求出x，y的值，根据点P（x，y）在第二、四
象限的角平分线上，得到x+y＝0，把x，y的值代入解方程即可得出答案．
【解答】解：∵√a+1≥0，|a+b|≥0，
∴a+1＝0，a+b＝0，
∴a＝﹣1，b＝1，
{ −x+ y=m
∴关于x，y的方程组为： ，
−2x−y=m+1
2m+1
{x=−
3
解得： ，
m−1
y=
3
∵点P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，
∴x+y＝0，
2m+1 m−1
∴− + = 0，
3 3
∴m＝﹣2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，非负数的性质，点的坐标，根据点P（x，y）在第二、四象
限的角平分线上，得到x+y＝0是解题的关键．
题型四 利用二元一次方程组解决错解问题
{ax+by=3 {x=2
【例题4】（2022春•石河子期末）已知方程组 ，甲正确地解得 ，而乙粗心地把c看错
5x−cy=1 y=3
{x=3
了，得 ，试求出a，b，c的值．
y=6
{x=2 {x=3
【分析】把 ， 代入方程ax+by＝3即可得到一个关于a，b的方程组，即可求得a，b的值，
y=3 y=6
{x=2
把 代入方程5x﹣cy＝1即可求得c的值．
y=3{2a+3b=3
【解答】解：根据题意得： ，
3a+6b=3
{ a=3
解得： ，
b=−1
{x=2
把 代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1，
y=3
解得：c＝3．
故a＝3，b＝﹣1，c＝3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键．
{ax+by=2
【变式 4-1】（2021春•柳南区校级期中）在解方程组 时，小明正确地解得方程组的解为
cx−7 y=8
{ x=3
，小刚因把c看错而解得方程组的解为
y=−2
{x=−2
，求a+b+c的值．
y=2
【分析】方程组的解适合每个方程，故小明的解可以代入两个方程；而小刚只看错了c，他的解可以代
入ax+by＝2；从而求出a、b、c得到答案．
{ x=3 {3a−2b=2①
【解答】解：把 代入方程组得 ，
y=−2 3c+14=8②
由②得c＝﹣2，
{x=−2
把 代入ax+by＝2得﹣2a+2b＝2③，
y=2
{3a−2b=2① {a=4
由 得 ，
−2a+2b=2③ b=5
∴a+b+c＝4+5+（﹣2）＝7．
【点评】本题考查了方程组解的概念：方程组的解适合每个方程，所以将解代入相应的方程就可以得出
答案．
{2x+ay=10①
【变式4-2】（2022春•陆河县期末）已知方程组 ，由于甲看错了方程①中a得到方程
bx−3 y=−3②
{ x=3 {x=−1
组的解为 ，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ．若按正确的a、b计算，求原方
y=−1 y=2
程组的解．【分析】把甲的结果代入②，乙的结果代入①组成方程组，求出解即可．
{ x=3 {x=−1
【解答】解：根据题意，可知 满足方程②， 满足方程①，
y=−1 y=2
{3b+3=−3
则 ，
−2+2a=10
{ a=6
解得： ，
b=−2
{ a=6 { 2x+6 y=10
把 ，代入原方程组为 ，
b=−2 −2x−3 y=−3
{x=−2
解得： 7 ，
y=
3
{x=−2
∴原方程组的解为： 7 ．
y=
3
【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
{ax+5 y=10
【变式4-3】（2021春•武城县期末）在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，
4x−by=−4
{x=−3 {x=5
而得解为 ，乙看错了方程组中的b，而得解为 ．求出原方程组的正确解．
y=−1 y=4
【分析】把甲的结果代入第二个方程求出b的值，把乙的结果代入第一个方程求出a的值，确定出方程
组，即可求出解．
{x=−3
【解答】解：把 代入4x﹣by＝﹣4，得：﹣12+b＝﹣4，即b＝8；
y=−1
{x=5
把 代入ax+5y＝10，得：5a+20＝10，即a＝﹣2，
y=4
{−2x+5 y=10①
方程组为 ，
x−2y=−1②
①+②×2得：y＝8，
把y＝8代入②得：x＝15，
{x=15
则方程组的解为 ．
y=8
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．{2ax+ y=5①
【变式4-4】（2022秋•霍邱县月考）已知关于x、y的二元一次方程组 ．
x−by=2②
（1）若a＝1，请写出方程①的所有正整数解；
{x=−2
（2）由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的b得到方程组的解
y=1
{x=1
为 ，求a、b的值及原方程组的解．
y=3
【分析】（1）将a＝1代入方程，分别令x＝1，x＝2，求出对应的y的值即可；
{x=−2 {x=1
（2）将 代入②式可求得a的值；将 代入①式可求得b的值；从而得出原方程组，进一
y=1 y=3
步解方程组即可．
【解答】解：（1）将a＝1代入方程可得：2x+y＝5，
当x＝1时，y＝3；
当x＝2时，y＝1；
当x＞2时，y＜1，没有符合条件的解；
{x=1 {x=2
∴该方程的正整数解为： ， ，
y=3 y=1
{x=−2
（2）将 代入②得：﹣2﹣b＝2，
y=1
解得：b＝﹣4，
{x=1
将 代入①得：2a+3＝5，
y=3
解得：a＝1，
{2x+ y=5①
∴原方程组为 ，
x+4 y=2②
③×4﹣④得：7x＝18，
18
解得：x= ④×2﹣③得：7y＝﹣1，
7
1
解得：y=− ，
7
18
{x=
7
∴原方程组的解为： ．
1
y=−
7【点评】本题考查了二元一次方程的整数解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程的关系是
解决本题的关键．
{ax+5 y=15，①
【变式4-5】（2022春•上蔡县期中）甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程
4x−by=−2②
{x=−3 {x=5
①中的a，得到方程组的解为 乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，试计算
y=−1 y=4.
1
a2015+（− b）2016．
10
{x=−3 {x=5
【分析】把 代入4x﹣by＝﹣2求出b，把 代入ax+5y＝15求出a，代入求出即可．
y=−1 y=4
{x=−3
【解答】解：根据题意把 代入4x﹣by＝﹣2得：﹣12+b＝﹣2，
y=−1
解得：b＝10，
{x=5
把 代入ax+5y＝15得：5a+20＝15，
y=4
解得：a＝﹣1，
1 1
所以a2015+（− b）2016＝（﹣1）2015+（− ×10）2016＝0．
10 10
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程，求代数式的值的应用，能求出 a、b的值
是解此题的关键．
{ax+ y=10
【变式4-6】（2021春•安居区期中）在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而
x+by=7
{x=1 {x=−1
得到方程组的解为 ，乙看错了方程组中的b，而得到方程组的解为
y=6 y=12
（1）甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？
（2）求出原方程组的正确解．
【分析】（1）将甲的解代入方程组中的第二个方程，求出b的值，将乙的解代入第一个方程求出a的
值；
（2）确定方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）将x＝1，y＝6代入第一个方程得：a+6＝10，解得：a＝4；代入第二个方程得：
1+6b＝7，解得：b＝1，
将x＝﹣1，y＝12代入第一个方程得：﹣a+12＝10，解得：a＝2；代入第二个方程得：12b﹣1＝7，解2
得：b= ．
3
2
所以，甲把a看成了4，乙把b看成了 ．
3
{2x+ y=10①
（2）方程组为： ，
x+ y=7②
①﹣②得：x＝3，
将x＝3代入②得：y＝4，
{x=3
则方程组的解为： ．
y=4
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是明确方程组的解即为能使方程左右两边相
等的未知数的值．
{ax+5 y=15(1)
【变式4-7】（2021春•九龙坡区校级期中）已知：甲、乙两人同解方程组 时，甲看错
4x=by−2(2)
{x=−2 { x=5
了方程（1）中的a，解得 ，乙看错了（2）中的b，解得 ，试求a+b的平方根．
y=1 y=−4
【分析】根据题意列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值，根据平方根的概念求出平方根即
可．
【解答】解：根据题意得，
{ −8=b−2
，
5a−20=15
{ a=7
解得， ，
b=−6
a+b＝1，
∴a+b的平方根为：±1．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解的定义，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的
值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组的解分别是哪一个．
题型五（拓展） 二元一次方程（组）正整数解问题{2x+ay=12
【例题5】若关于x，y的二元一次方程组 有整数解，则满足要求的所有整数a的个数
2x−y=0
为（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
【分析】两方程相减消去x表示出y，根据方程组有整数解确定出整数a的个数即可．
【解答】解：消去x得：（a+1）y＝12，
12
当a+1≠0，即a≠﹣1时，y= ，
a+1
6
可得x= ，
a+1
由方程组有整数解，得到a+1＝±1，±2，±3，±6
解得：a＝0，﹣2，1，﹣3，2，﹣4，5，﹣7，
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程左右两边相等的未知数
的值．
{ x+2y−6=0
【变式5-1】（2022秋•东宝区期末）已知关于x，y的方程组 ，若方程组的解中x恰
x−2y+mx+5=0
为整数，m也为整数，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3
1
【分析】利用加减消元法解关于x、y的方程组得到x= ，利用有理数的整除性得到2+m＝±1，从
2+m
而得到满足条件的m的值．
{ x+2y−6=0 ①
【解答】解： ，
x−2y+mx+5=0 ②
①+②得（2+m）x＝1，
1
解得x= ，
2+m
∵x为整数，m为整数，
∴2+m＝±1，
∴m的值为﹣1或﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组．
{mx−2y=10
【变式5-2】（2021秋•南岸区校级期中）m为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，则
3x−2y=0
m2＝（ ）
A．4 B．1或4或16或25
C．64 D．4或16或64
【分析】先求出方程组的解，再根据题意确定m的具体值，即可求解．
{mx−2y=10①
【解答】解： ，
3x−2y=0②
①﹣②得，（m﹣3）x＝10，
10
解得x= ，
m−3
10 15
将x= 代入②得，y= ，
m−3 m−3
∵方程组有整数解，m是正整数，
∴m＝2或4或8，
∴m2＝4或16或64，
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
{4x−3 y=6
【变式5-3】（2021春•沙坪坝区校级月考）已知m为整数，二元一次方程组 有整数解，则
6x+my=26
m的值为（ ）
A．4或﹣4或﹣5 B．4或﹣4或﹣13
C．4或﹣5或﹣13 D．4或﹣4或﹣5或﹣13
【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，根据m为整数且方程组有整数解确定出m的值即可．
{4x−3 y=6①
【解答】解：方程组 ，
6x+my=26②
②×2﹣①×3得：（9+2m）y＝34，
34
解得：y= ，
2m+9
①×m+②×3得：（4m+18）x＝6m+78，
6m+78
解得：x= ，
4m+18{4x−3 y=6 34
∵m为整数，二元一次方程组 有整数解，y= ，
6x+my=26 2m+9
∴9+2m＝±34或±17或±2或±1，
解得：m＝﹣13或±4或﹣5，
当m＝﹣13时，x＝0，此时符合题意；
当m＝4时，x＝3，此时符合题意；
当m＝﹣4时，x＝27，此时符合题意；
当m＝﹣5时，x＝﹣24，此时符合题意；
所以m的值为：4或﹣4或﹣5或﹣13．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
{mx+2y=10
【变式5-4】（2020春•雨花区校级月考）m为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，则
3x−2y=0
m2﹣1的值为（ ）
A．3或48 B．3 C．4或49 D．48
【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，由方程组的解为整数解确定出 m的值，代入原式计算即
可求出值．
{mx+2y=10①
【解答】解： ，
3x−2y=0②
①+②得：（m+3）x＝10，
10
解得：x= ，
m+3
10 15
把x= 代入②得：y= ，
m+3 m+3
由方程组为整数解，得到m+3＝±1，m+3＝±5，
解得：m＝﹣2，﹣4，2，﹣8，
由m为正整数，得到m＝2，
则原式＝4﹣1＝3，
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
{mx+2y=10
【变式5-5】（2022春•商水县期末）m为负整数，已知二元一次方程组 有整数解，则m的
3x+2y=0
值为 ．【分析】先解该方程组，再讨论符合条件的m值．
{mx+2y=10
【解答】解：方程组 可得，
3x+2y=0
10
{ x=
m−3
，
15
y=−
m−3
∵该方程组有整数解，
m﹣3是15和10的公约数，且m为负整数，
∴m﹣3＝﹣5，
解得m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了方程组的解相关问题的解决能力，关键是能准确运用相关知识进行求解、讨论．
{ x+ y=2
【变式5-6】（2022春•西区期中）若关于x、y的方程组 的解为整数，则满足条件的所有整
ax+2y=8
数a的值的和为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
4
【分析】把a看作已知数由加减消元法求得x= ，由方程组的解为整数，确定出a的值即可．
a−2
{ x+ y=2①
【解答】解： ，
ax+2y=8②
4
②﹣①×2得（a﹣2）x＝4，解得x= ，
a−2
{ x+ y=2
∵关于x、y的方程组 的解为整数，
ax+2y=8
∴a＝﹣2，0，1，3，4，6，
∴满足条件的所有a的值的和为﹣2+0+1+3+4+6＝12．
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
{kx+2y=10
【变式5-7】已知k为正整数，且关于x，y的二元一次方程组 有整数解，则2k+x+y的平方
3x−2y=0
根为 ．【分析】利用加减消元法易得x、y的解，由x、y均为整数可解得k的值于是得到结论．
{kx+2y=10①
【解答】解：关于x、y的方程组 ，
3x−2y=0②
10
①+②得，x= ，
3+k
10
把x= 代入②得，
3+k
15
y= ，
3+k
∵方程的解x、y均为整数，k是正整数，
∴3+k既能整除10也能整除15，即3+k＝5，
解得k＝2．
∴x＝2，y＝3，
∴2k+x+y＝9，
∴2k+x+y的平方根＝±3．
故答案为：±3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法．
{ x+ y=−1
【变式5-8】（2022春•合浦县期中）方程组 的解满足2x﹣ky＝10（k是常数），
3x−2y=7
（1）求k的值．
（2）直接写出关于x，y的方程（k﹣1）x+2y＝13的正整数解
【分析】（1）先求出方程组的解，再代入方程，即可求出k值；
（2）把k的值代入方程（k﹣1）x+2y＝13，再求出正整数解即可．
{ x+ y=−1 { x=1
【解答】解：（1）方程组 的解为： ，
3x−2y=7 y=−2
{ x=1
将 代入2x﹣ky＝10得：2+2k＝10，
y=−2
解得：k＝4；
（2）把k＝4代入方程（k﹣1）x+2y＝13得：3x+2y＝13，
13−3x
即y= ，
2
{x=1 {x=3
所以关于x，y的方程（k﹣1）x+2y＝13的正整数解为 ， ．
y=5 y=2【点评】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程和解二元一次方程，能求出 k的值是解此题的
关键．
{ x+2y−6=0
【变式5-9】（2022春•吴江区期末）已知关于x，y的方程组
x−2y+mx+5=0
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
【分析】（1）将x做已知数求出y，即可确定出方程的正整数解．
（2）将x+y＝0与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得x、y的值，再代入第二个方程中可得
m的值；
（3）当含m项为零时，取x＝0，代入可得固定的解；
（4）求出方程组中x的值，根据x恰为整数，m也为整数，确定m的值．
【解答】解：（1）方程x+2y﹣6＝0，x+2y＝6，
解得：x＝6﹣2y，
当y＝1时，x＝4；当y＝2时，x＝2，
{x=2 {x=4
方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解为： ， ；
y=2 y=1
{ x+ y=0 {x=−6
（2）由题意得： ，解得 ，
x+2y−6=0 y=6
{x=−6 13
把 代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m =− ；
y=6 6
（3）x﹣2y+mx+5＝0，
（1+m）x﹣2y＝﹣5，
∴当x＝0时，y＝2.5，
{ x=0
即固定的解为： ，
y=2.5
{ x+2y−6=0①
（4） ，
x−2y+mx+5=0②
①+②得：2x﹣6+mx+5＝0，
（2+m）x＝1，
1
x= ，
2+m∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m是1的约数，
2+m＝1或﹣1，
m＝﹣1或﹣3．
【点评】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的
解是本题的关键．
