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专练 03 选择题-压轴（20 题）
1．如图，BH是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，P，D分别是BH和AB上的任意一点，连
接PA，PC，PD，CD．给出下列结论：①PA＝PC；②PA+PD≥CD；③PA+PD的最小值是 ；④若PA
平分∠BAC，则△APH的面积为12．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
解：∵BA＝BC，BH是角平分线，
∴BH⊥AC，AH＝CH，
∴PA＝PC，故①正确，
∴PA+PD＝PD+PC≥CD，故②正确，
根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，即C，P，D共线时，PA+PD的值最小，最小值为CD，
在Rt△ABH中，AB＝10，AH＝6，BH＝ ＝ ＝8，
∵ •AB•CD＝ •AC•BH，
∴CD＝ ＝ ，
∴PA+PD的最小值为 ，故③正确，
如图，过点P作PT⊥AB于T．
在△PAT和△PAH中，
，
∴△PAT≌△PAH（AAS），∴AT＝AH＝6，PT＝PH，
设PT＝PH＝x，
在Rt△PTB中，则有（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴S ＝ ×AH×PH＝ ×3×6＝9，故④错误，
△APH
故选A．
【点睛】
本题主要考查了轴对称最短问题、等腰三角形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识点，证
明BH垂直平分线段AC以及灵活参数构建方程解决问题成为解答本题的关键．
2．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交
EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S ，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
正方形ABCD
A． B． C． D．
【答案】B
解：∵AH=3DH，且S ，
正方形ABCD
∴AH2＋DH2=AD2=21
即（3DH）2＋DH2=21解得：DH= ，
∴AH=
由全等三角形的性质可得AE=DH=CG= ，CG：FG=AE：EH=1:2
∴正方形EFGH的边长EH=AH－AE= ，S =2S
△FGN △CGN
∵AH∥CF
∴∠HEN=∠FCM
∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF
∴ AEM≌ CGN， AHN≌ CFM
∴S = S ，S = S
△AEM △CGN △AHN △CFM
∴S = S －S = S －S =S = S = × =
四边形MFGN △CFM △CGN △AHN △AEM 四边形EMNH 正方形EFGH
∵S =2S
△FGN △CGN
∴S =S ＋S ＋S
阴影 △MNF △AEM △CGN
= S ＋2S
△MNF △CGN
= S ＋S
△MNF △FGN
= S
四边形MFGN
=
故选B．
【点睛】
此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质和各图形的
面积公式是解决此题的关键．
3．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，
BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）A． B．2 C．2 D．3
【答案】A
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
4．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一
条直线上，连接BD，BE，以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE．
∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE．本结论正确．
②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°．
∴BD⊥CE．本结论正确．
③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．
∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．
④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2．
∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE= AD，即DE2=2AD2．
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2．
而BD2≠2AB2，本结论错误．综上所述，正确的个数为3个．故选C．
5．如图，直线l：y＝﹣ x+ +3 与x轴交于点A，与经过点B（﹣2，0）的直线m交于第一象限
内一点C，点E为直线l上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接DC、DE、BE，若∠DEC＝
2∠DCE，∠DBE＝∠DEB，则CD2的值为（ ）
A．20+4 B．44+4
C．20+4 或44﹣4 D．20﹣4 或44+4
【答案】C
解：过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，
∵点B（﹣2，0），且点D为点B关于y轴的对称点，
∴D（2，0）
∴BD=4
又∠DBE＝∠DEB，∴DE=BD=4
对于直线l：y＝﹣ x+ +3 ，当x=0时，y= +3 ；当y=0时，x= +3
∴OH= +3 ，AO= +3
∴
∴
∴
∴
又
∴ ，
∴
∴
设直线DF所在直线解析式为
把 ，D（2，0）代入得，
解得，
∴直线DF所在直线解析式为
联立 ，
解得，
∴F( ， )∴
在Rt△DFE中，
∴
①当E在F下方时，如图1，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM，
∵EM=DE
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴DC=DM
在Rt△DFM中，
∴
②当点E在F的上方时，如图2，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM，
∵EM=DE
∴
又∵ ，
∴
∴DC=DM
∴在Rt△DFM中，
∴
综上所述， 或
故选：C
【点睛】
本题是一次函数的综合题；灵活应用勾股定理，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ，…都是菱形，点 …都在x轴
上，点 ，…都在直线 上，且 ，则点
的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：分别过点 作 轴的垂线，交于 ，再连接
如下图：，
，
，
在 中，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
的纵坐标为： ，横坐标为 ，
， ，
四边形 ， ， ， 都是菱形，
， ， ， ，
的纵坐标为： ，代入 ，求得横坐标为2，
，的纵坐标为： ，代入 ，求得横坐标为5，
， ，
， ，
， ，
， ；
， ，
，
则点 的横坐标是： ，
故选：A．
【点睛】
本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出
菱形的边长，得出系列 点的坐标，找出规律是解题的关键．
7．如图1，在矩形ABCD中，E是CD上一点，动点P从点A出发沿折线AE→EC→CB运动到点B时停
止，动点Q从点A沿AB运动到点B时停止，它们的速度均为每秒1cm．如果点P、Q同时从点A处开始
运动，设运动时间为x（s），△APQ的面积为ycm2，已知y与x的函数图象如图2所示，以下结论：
①AB＝5cm；②cos∠AED＝ ；③当0≤x≤5时，y＝ ；④当x＝6时，△APQ是等腰三角形；⑤当
7≤x≤11时，y＝ ．其中正确的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
解：图2知：当 时y恒为10，
∴当 时，点Q运动恰好到点B停止，且当 时点P必在EC上，
故①正确；
∵当 时点P必在EC上，且当 时，y逐渐减小，
∴当 时，点Q在点B处，点P在点C处，此时
设 则
在 中，由勾股定理得：
解得：
故②正确；
当 时，由 知点P在AE上，过点P作 如图：故③正确；
当 时，
不是等腰三角形，故④不正确；
当 时，点P在BC上，点Q和点B重合，
故⑤ 不正确；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图像，理解题意，读懂图像信息，灵活运用所学知识是解题关键，属于中
考选择题中的压轴题.
8．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P，P，连接PP 交OA于M，交
1 2 1 2
OB于N，若∠AOB=40°，则∠MPN的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
【答案】B
解：∵ 与 关于 对称
∴ 垂直平分
∴ 平分
∴
∵
∴
同理可得，
∴
∴ ．故选：B
【点睛】
本题考查了轴对称的性质、垂直平分线的性质、对顶角的性质、平角定义、角的和差、等量代换以及三角
形内角和定理，体现了逻辑推理的核心素养．
9．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．27° B．59° C．69° D．79°
【答案】D
解：如图所示：
∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3＋∠C＋∠CDB＝180°，
∴∠3＋∠C＝180°−74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴20°＋2∠3＋106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠C＝106°-∠3＝79°．
故选：D．【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理，并能进
行推理计算是解决问题的关键．
10．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折
痕EF的长为（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】C
过点F做 交AD于点H．
∵四边形 是四边形 沿EF折叠所得，
∴ED=BE，CF= ，∵ED=BE，DE=AD-AE=9-AE
∴BE=9-AE
∵ ，AB=3，BE=9-AE
∴
∴AE=4
∴DE=5
∴
∴ ， ,
∴
∴BF=5，EH=1
∵ ，HF=3，EH=1
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
11．如图，正方形 的边长为10， ， ，连接 ，则线段 的长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：延长DH交AG于点E∵四边形ABCD为正方形
∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°
在△AGB和△CHD中
∴△AGB≌△CHD
∴∠BAG=∠DCH
∵∠BAG＋∠DAE=90°
∴∠DCH＋∠DAE=90°
∴CH2＋DH2=82＋62=100= DC2
∴△CHD为直角三角形，∠CHD=90°
∴∠DCH＋∠CDH=90°
∴∠DAE=∠CDH，
∵∠CDH＋∠ADE=90°
∴∠ADE=∠DCH
在△ADE和△DCH中
∴△ADE≌△DCH
∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°
∴EG=AG－AE=2，HE= DE－DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°
在Rt△GEH中，GH=
故选B．
【点睛】
此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定
及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
12．如图，直线 与直线 相交于点 ，直线 与 轴交于点 ，一动点 从点 出发，先沿平行于 轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，改为垂直于 轴的方向运动，到达直线 上的点
处后，再沿平行于 轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，又改为垂直于 轴的方向运动，到达直
线 上的点 处后，仍沿平行于 轴的方向运动……照此规律运动，动点 依次经过点 ， ， ， ，
， ， 则 的长度为（ ）
A． B． C．2020 D．4040
【答案】B
解：由直线直线l：y=x+1可知，P（-1,0）A（0，1），
1
根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等以及直线l、l 的解析式可
1 2
知，B（1，1），A（1，2），B（3，2），A（3，4），B（7，4），A（7，8），
1 1 2 2 3 3
AB=2-1，AB=4-2=2，AB=8-4=4，…AB=2n-2（n-1）
1 1 2 2 3 3 n n
当n=2020时， =22020-22019=2×22019-22019=22019（2-1）=22019．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合运用以及等腰三角形的知识．掌握平行于x轴的直线上点的纵坐标相等,平
行于y轴的直线上点的横坐标相等成为解答本题的关键．
13．已知函数 若 ，则下列说法错误的是（ ）
A．当 时， 有最小值0.5 B．当 时， 有最大值1.5
C．当 时， 有最小值1 D．当 时， 有最大值2【答案】B
解：如图，作出函数图，
当n-m=1时，
当a、b均大于1时，b-a=1，
当a、b均小于等于1时，
，
则 = ，
则b-a= ，
当a≤1，b＞1时，
则0＜a≤1，1＜b＜2，
则 ，
∴ ，
当a=1，b=2时有解，故不存在，
∴b-a最小值为 ，b-a的最大值为1；
故A正确，B错误；
当b-a=1时，
当a、b均大于1时，n-m=1，
当a、b均小于等于1时，
，
当0＜a≤1且1＜b＜2时，
，
当 时为最大值1，当 接近0时取值无限接近2但小于2，
故n-m最大值为2，最小值为1，则C、D正确，
故选B．【点睛】
本题考查了一次函数综合，充分理解题意，结合函数图像，分类讨论是解题的关键．
14．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线 上的一条动线段且 （Q在P的下方），
当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（ ， ） C．（0，0） D．（1，1）
【答案】A
解：作点B关于直线y=x的对称点 （0,1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向
下平移 单位后，得 （2,0），连接 交直线y=x于点Q，如下图所示．
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 且 ，
∴当 值最小时， 值最小．
根据两点之间线段最短，即 三点共线时， 值最小．
∵ （0,1）， （2,0），∴直线 的解析式 ，∴ ，即 ，
∴Q点的坐标为（ ， ）．
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题．
15．如图，直线 与 轴交于点 ，以 为斜边在 轴上方作等腰直角三角形 ，将直线沿
轴向左平移，当点 落在平移后的直线上时，则直线平移的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
如下图，过B作x轴垂线，垂足为D，记平移后的直线与x轴的交点为C，
对于直线 ，令y=0，解得x=4，∴A点坐标为(4,0)
∴OA=4
∵△OAB为等腰直角三角形，BD⊥x轴
∴易得OD=2，BD=2
∴B(2,2)；
设平移后的直线为： ，把B(2,2)代入得2=1+b，解得b=1，
所以平移后的直线解析式为 ，令其y=0得
解之得x=-2
∴C(0,-2)，
∴OC=2
∴平移的距离为OA+OC=4+2=6．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查一次函数图象的平移的相关性质和求一次函数与x轴的交点坐标．其关键是要知道平移前后
两直线解析式中的k相等
16．如图，等腰Rt△ABC中，BC＝ ，以边AC为斜边向右做等腰Rt△ACD，点E是线段CD的中点，
连接 AE．作线段CE关于直线AC的对称线段CF，连接BF，并延长BF交线段AE于点G，则线段BG
长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
解：建立如图所示坐标系，使BC与x轴重合，AC与y轴重合，
∵ ABC和 ACD都是等腰直角三角形，且BC= ，
∴AC=BC= ，AB= ，AD=CD= ，
可将各点坐标表示出来，A(0， )，B( ，0)，C(0,0)，D( , ),
∴点E为CD中点，故E的坐标为( , ),
又∵CF为CE关于AC的对称线段，故F的坐标为( , ),
设直线BF的解析式为：y=kx+b，将B点、F点坐标代入，
，解得： ，∴直线BF的解析式为： ，
设直线AE的解析式为：y=mx+n，将A点、E点坐标代入，
，解得： ，
∴直线BF的解析式为： ，
直线BF与AE相交于点G，
，解得： ，即G( , )，
线段BG的长度为： ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考察了直角坐标系与几何图形的结合、求一次函数解析式、两直线交点、用勾股定理求坐标系中
两点距离，解题的关键在于求出各点的坐标．
17．如图， ， AD、BD、CD分别平分 外角 、内角 、外角 .以下
结论:① :② ；③ ；④ :⑤ .其
中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC= ∠EAC，∠DCA= ∠ACF，
∵∠EAC=∠ACB+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠ACD）
=180°- （∠EAC+∠ACF）
=180°- （∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
=180°- （180°-∠ABC）
=90°- ∠ABC，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°- ∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，
∵BD平分∠ABC，
∴ ∠ABC=∠DBC，
∵∠DCF=∠DBC＋∠BDC，∴∠DCF＞∠DBC，
∴∠ADC＞ ∠ABC∴⑤错误；
即正确的有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的
推理能力，有一定的难度．
18．设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，
则 的值是( )
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式= ．
故选B．
【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据
算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．
19．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点 ，第二
次运动到点 ，第三次运动到 ，…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点 的坐
标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P（1，1），第二次运动到点P（2，0），第三次运
1 2
动到P（3，﹣2），第四次运动到P（4，0），第五运动到P（5，2），第六次运动到P（6，0），…，
3 4 5 6
结合运动后的点的坐标特点，
可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；
∵2022÷6＝337，
∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，
故选：D．
【点睛】
本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
20．如图，在 中， 是边 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，点 是直线 上的
一个动点，若 ，则 的最小值为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴PC+PB=PA+PB，
∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值，
∴PB+PC的最小值=AB=5．
故选：A
【点睛】
本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键．
