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专题 01 菱形的性质与判定(基础题型)
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被三条直线所截，内错角相等
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的判定、全等三角形的判定方法、平行线的性质、菱形的判定分别判断即
可．
【详解】
解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故为假命题；
B、两边及其中一边的对角分别相等满足SSA，则两个三角形不一定全等，故为假命题；
C、两条平行线被三条直线所截，内错角相等，故为假命题；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为真命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，掌握三角形全等的判定方法，垂径定理，平行四边形的判
定，平行线的性质是解题的关键．
2．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
【答案】A
【分析】
根据菱形的性质和平行四边形的性质逐一判断即可．
【详解】
解：A.菱形的对角线互相垂直，而平行四边形的对角线不一定垂直，故本选项符合题意；
B.菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故本选项不符合题意；
C.菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
D.菱形和平行四边形的对角都相等，故本选项不符合题意．
故选A．【点睛】
此题考查的是菱形的性质和平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解
决此题的关键．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．五边形的内角和为720°
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．三角形的外角和为360°
【答案】D
【分析】
根据菱形的判定方法，五边形的内角和及三角形外角和的求法分析判断即可．
【详解】
A、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故本选项说法错误；
B、五边形的内角和为 ，故本选项说法错误；
C、一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故本选项说法错误；
D、三角形的外角和为360°，故本选项说法正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的判定方法、五边形的内角和及三角形外角和的求法，解题的关键是熟练掌
握上述所学知识点．
4．下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（ ）．
A．一组邻边相等的平行四边形 B．一条对角线平分一组对角的四边形
C．四条边都相等的四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形
【答案】B
【分析】
由菱形的判定性质，即可得到答案．
【详解】
选项A、C、D均为菱形的判定定理，故正确；
选项B，一条对角线平分一组对角，和菱形每一条对角线平分一组对角的性质相悖
∴选项B错误故选：B．
【点睛】
本题考察了菱形判定定理的知识；求解的关键是熟练并准确掌握菱形判定定理，即可完成
求解．
5．下列说法中不正确的是（ ）
A．平行四边形的对角相等 B．菱形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相平分 D．菱形的对角线互相垂直且相等
【答案】D
【分析】
根据平行四边形与菱形的性质分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、平行四边形的对角相等，此说法正确，故此选项不符合题意；
B、菱形的四条边都相等，故此选项说法正确，不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，此说法正确，故此选项不符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直平分，故此选项说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了平行四边形与菱形的性质，熟练掌握平行四边形与菱形的性质是解题的关键．
6．如图过菱形对角线的交点的任意一条直线，把菱形分成两个梯形，这两个梯形全等的理
由是（ ）
A．因为菱形是轴对称图形
B．因为菱形是中心对称图形
C．因为菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．因为菱形对角线相等且互相平分
【答案】B
【分析】
根据菱形是中心对称图形可知过菱形对角线的交点的任意一条直线，把菱形分成两个梯形，
这两个梯形全等．【详解】
解：∵菱形是中心对称图形，
∴过菱形对角线的交点的任意一条直线分成两个梯形全等．
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，熟记性质以及中心对称图形的定义是解答本题的关键．
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．若菱形ABCD的对角线的长分别为6，8，则该菱形的边长为10
B．若菱形ABCD的一个内角为60°，且其中一条对角线长为3，则该菱形的边长为3
C．若☉O经过菱形OABC的顶点A，B，C，则该菱形的一个内角为60°
D．若菱形ABCD的对角线相等，则∠ABC=60°或120°
【答案】C
【分析】
逐一进行判断即可．
【详解】
A. 若菱形ABCD的对角线的长分别为6，8，根据勾股定理可知菱形的边长为5，故该选项
错误；
B. 若菱形ABCD的一个内角为60°，且其中较长的对角线长为3，则该菱形的边长不为3，
故该选项错误；
C. 若☉O经过菱形OABC的顶点A，B，C，则 都是等边三角形，所以该菱
形的一个内角为60°，故该选项正确；
D. 若菱形ABCD的对角线相等，菱形ABCD是正方形，则∠ABC=90°，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查真命题，掌握菱形的有关性质是关键．
8．已知某菱形的周长为 ，高为 ，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用菱形的性质求出菱形的边长为2，再利用菱形的面积=底 高即可
【详解】
解：菱形的边长： ．
菱形的面积： ．
【点睛】
本题主要是考题菱形的性质与面积，易出现求面积时不懂的把菱形当作平行四边的面积来
求．
9．下列各命题是真命题的是（ ）
A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线 B．平行四边形一定是中心对称图形
C．有一个内角为 的平行四边形是菱形 D．三角形的外角等于它的两个内角之和
【答案】B
【分析】
根据矩形的性质、轴对称图形和中心对称图形的概念、三角形的外角性质判断即可．
【详解】
解：A、矩形的对称轴是任意一边的垂直平分线，两条对角线所在的直线不一定是矩形的
对称轴，本选项是假命题；
B、平行四边形一定是中心对称图形，本选项是真命题；
C、有一个内角为60°的平行四边形不一定是菱形，本选项是假命题；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，本选项是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题
的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．如图，菱形 中， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】
由菱形得到AB=AD，进而得到∠ADB=∠ABD，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题
的关键．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48
【答案】B
【分析】
根据菱形的对角线的长度即可直接计算菱形ABCD的面积．
【详解】
解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，
∴菱形ABCD的面积＝ BD×AC＝ ×8×6＝24．
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，理解菱形面积等于对角线乘积的一半是解题
的关键．
12．菱形的边长是 ，一条对角线的长为 ，则另一条对角线的长为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】
根据菱形性质得出OB＝OD＝3cm，OA＝OC，AC⊥BD，由勾股定理求出OA，即可得出答案．
【详解】
如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5cm，OB＝OD＝ BD＝3cm，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得：OA＝ ＝4cm，
∴AC＝2OA＝8cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
13．若菱形的较长对角线为24cm，面积为120cm2，则它的周长为（ ）
A．50cm B．51cm C．52cm D．56cm
【答案】C
【分析】
由菱形的面积公式求出另一条对角线的长，再根据勾股定理求出边长，周长即可求出．
【详解】
解：设另一对角线为x，则 ×24x=120，
解得x=10cm，∴菱形边长= =13cm，
∴周长为13×4=52cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查菱形的面积等于对角线乘积的一半和勾股定理，需要熟练掌握．
14．在菱形ABCD中，若AB＝2，则菱形的周长为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
根据菱形的四边相等，即可求出其周长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，
∴菱形的周长=2×4=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查菱形的性质、周长等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
15．若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（ ）
A．96 B．48 C．24 D．12
【答案】C
【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S＝ ×6×8＝24．
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的面积的计算．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成
菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD
于F，则EF的长为（ ）.
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
由在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=8，可求得菱形的面积与边长，
继而求得答案．
【详解】
解：∵在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，
∴OB= BD=3，OA= AC=4，AC⊥BD，
∴AB= =5，
∵S = AC•BD=AB•EF，
菱形ABCD
∴EF= = =4.8．
故选B．
17．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边长为6，它的一边 在 轴上，且
的中点是坐标原点，点 在 轴正半轴上，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由菱形的性质可得AB=AD=CD=6，AB∥CD，由勾股定理可求DO的长，即可求点C坐标．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=CD=6，AB∥CD
∵AB的中点是坐标原点，
∴AO=BO=3，
∴DO= =3 ，
∴点C坐标（6，3 ）．
故选D．
【点睛】
本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
18．如图，已知菱形 ， ，则 角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据菱形的对边平行，得到 ，进而得出 ，再根据菱形对角线平分
一组对角，得出 角度.
【详解】
解：∵ ∴ ，又∵菱形对角线平分一组对角，∴ .
故选：B.
【点睛】
本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：对边平行，对角线平分一组对角，是解题的
关键.
19．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断▱ABCD是菱形的
为（ ）
A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝∠BOC D．∠BAD＝∠ABC
【答案】C
【分析】
在平行四边形基础上，菱形的判定方法有：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角
线互相垂直的平行四边形是菱形．据此逐个选项分析即可
【详解】
A、由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，则此项不符题意
B、由 中 可推得 ，可以证明 为矩形，但不能判定
为菱形，则此项不符题意
C、当 时，因为 ，所以 ，
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知 是菱形，则此项符合题意
D、由平行四边形的性质可知， ，故当 时，可推
出 ，从而可判定 为矩形，则此项不符题意
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键．
20．如图，菱形 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用菱形的性质得出 ， ，进而结合平行四边形的性质得出答
案．
【详解】
解： 四边形 是菱形，
， ，
，
，
．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质，正确得出 的度数是解题关键．
21．如图，菱形 中， ，则 （ ）A．130° B．125° C．120° D．150°
【答案】D
【分析】
根据BA=BC，得到∠BCA=15°，∠B=150°，利用菱形的对角相等求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠B=∠D，
∴∠BCA=∠1，
∵ ，
∴∠BCA=15°，
∴∠B=180°-∠BCA-∠1=150°，
∴∠D=150°；
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质
是解题的关键．
22．如图，菱形 的对角线 ， ，则菱形 的周长等于（ ）
A．14 B．20 C．24 D．28
【答案】B
【分析】
设菱形 的对角线相交于点 ，根据菱形的性质及勾股定理解得AB的长即可解题．【详解】
设菱形 的对角线相交于点 ，
，
且
菱形 的周长为： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
键．
23．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边
形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC=BD D． ，AD＝BC
【答案】B
【分析】
由题知AC⊥BD，所以只要所给选项能使四边形ABCD为平行四边形即可．
【详解】A、只有AB＝CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
B、据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由OA＝OC，OB＝OD可判定四边形ABCD为
平行四边形，再由AC⊥BD可得四边形ABCD为菱形；
C、只有AC=BD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
D、 ，AD＝BC不能判定四边形ABCD为平行四边形；
故只有B选项的条件可判定四边形ABCD为菱形．
故选：B．
【点睛】
此题考查菱形的判定，菱形的基本判定方法有三个：一、一组邻边相等的平行四边形是菱
形；二、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；三、四条边相等的四边形是菱形 ．其中第
一、二两种判定方法都需要先判定四边形是平行四边形．
24．如图，在菱形 中，过顶点 作 交对角线 于点 ，已知
，则 的大小为（ ）．
A．20° B．25° C．65° D．75°
【答案】C
【分析】
根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可．
【详解】
解：在菱形 中，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是根据菱形的邻角互补进行解答．
25．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则
线段DE的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】
利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高
即可．
【详解】
解：记AC与BD的交点为 ，
菱形 ,菱形的面积
菱形的面积
故选D．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分
和学会用等面积法是解题关键．
26．如图，四边形 是菱形，点E，F分别在 边上，添加以下条件不能判定
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理AAS可判定B，三角形全等判
定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．
【详解】
解: ∵四边形 是菱形，
∴AB=AD,∠B=∠D,
A. 添加 可以，
在 ABE和 ADF中，
△ △
，
∴ (SAS)，
故选项A可以；
B.添加 可以，
在 ABE和 ADF中
△ △
，
∴ (AAS)；
故选项B可以；
C. 添加 不可以，条件是边边角故不能判定；
故选项C不可以；
D. 添加 可以，
在 ABE和 ADF中
△ △
，
∴ (SAS)．
故选项D可以；
故选择C．
【点睛】本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，菱形性质是解
题关键．
27．如图，在 中，M，N是 上两点， ，连接 ， ， ，
，添加一个条件，使四边形 是菱形，这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由平行四边形的性质可知：OA=OC，OB=OD，再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行
四边形，由对角线互相垂直的平行四边形可得到菱形．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
A选项、∵ ，则OM=ON=OA=OC，即AC=MN，
∴平行四边形AMCN是矩形，不符合题意；
B选项、 ，不能判断平行四边形AMCN是菱形，不符合题意；
C选项、∵BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形；D选项、∵ ，
∴ ，
∴AM∥CN，不能判断平行四边形AMCN是菱形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题．
28．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若 ，则菱形ABCD的周长
为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
【分析】
根据中位线的性质求出 的长度，再由菱形四条边相等的性质运算周长即可．
【详解】
∵E，F分别是AD，BD的中点
∴ 为 的中位线
∴
又∵ 是菱形
∴
∴
故答案选：D.
【点睛】
本题主要考查了中位线的性质，菱形的性质，熟悉掌握中位线的比值关系是解题的关键．29．如图，在 中， ，将 沿 折叠，使点 落
在边 上的点 处，并且 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先判定四边形 是菱形，再根据菱形的性质计算．
【详解】
解：设 ，
根据C′D∥BC，
∴∠C′DE=∠DEC=∠DEC′，
∴EC′=DC′，
∵EC=EC′，
∴C′D=EC，
可得四边形 是菱形；
即 中，
，
，
；
故可得 ；解得 ．
故选：A．
【点睛】
本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作
图形的折叠，易于找到图形间的关系．
30．如图1，点F从边长为5的菱形ABCD的顶点A出发，沿折线A-D-B以1cm/s的速度匀
速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积 与时间 之间的函数关系如图2所示，
则 的值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】C
【分析】
过点D作DH⊥BC，利用函数图象可得到 ，可求出 的长度，再利用勾股
定理求出 的长，即可求出 的运动路程，从而求得 的值．
【详解】
∵菱形的边长为5，过点D作DH⊥BC，如图：
∴当x=5时，y=7.5，
∴DH=3，
∴ ，
∴
Rt BDH中，可得 ，
∴AD+DB=
故选：C
【点睛】
本题主要考查了函数的几何应用，其中涉及到的知识点有菱形的性质，勾股定理，函数图
象的性质等知识点，从函数图像中分析出关键信息是解题的关键
31．如图，已知菱形ABCD中，∠A=60°，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交
BC的延长线于点F．连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．5
【答案】C
【分析】
连接AC交BD于O点，求出EF的长，再求出EM、DM的长，在Rt△DMF中利用勾股定理
即可求解．
【详解】
如图，连接AC交BD于O点，
∴AC⊥BD
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形
∴AD=BD＝4，
∵E点是AD中点∴AE=CF=2
又AE CF
∴四边形AEFC是平行四边形
∴
∵E点是AD中点，∠ADM=60°，EF⊥BD
故∠DEM=30°
∴DM= DE=1，EM=
∵AD=4，OD=2
∴AO=
∴AC=4 =EF
∴MF=EF-EM=3
在Rt△DMF中DF=
故选C．
【点睛】
此题主要考查菱形内的线段求解，解题的关键是熟知菱形的性质、等边三角形的性质及勾
股定理的运用．
32．如图，菱形 的对角线 、 相交于点O， ，垂足为E，
， ，则 的长为______．【答案】
【分析】
直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面
积法得出答案．
【详解】
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
在 中，由等面积法得： ,
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的高的求法（等面积法），熟记性
质与定理是解题关键．
33．菱形 中，对角线 ，则菱形的高等于___________．
【答案】
【分析】
过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE．
【详解】
解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB= BD=12，OA= AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC= =13，
∵S = ，
菱形ABCD
∴ ，
解得：AE= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱
形的四条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直．
34．尺规作图：如图，已知线段a，线段b及其中点．
求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．作法：①作直线m，在m上任意截取线段 ；
②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；
③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；
④分别连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD就是所求作的葵形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明： ，
四边形ABCD是_______________．
，
四边形ABCD是菱形（____________________________）（填推理的依据）．
【答案】（1）作图见解析；（2）平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形
【分析】
（1）根据题干中提示的步骤，逐步作图即可；
（2）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明即可．
【详解】
（1）按照步骤，作图如图所示：（2）证明： ，
四边形ABCD是平行四边形．
，
四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查尺规作图-作菱形，以及理论证明，掌握基本作图的方法，以及菱形的判定定理是
解题关键．
35．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足
∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）根据题意可证明 ，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边
形为平行四边形”证明即可；
（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然
后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】
（1）证明：在 AOE 和 COD中，
△ △
∴ ．
∴OD＝OE．又∵AO＝CO，
∴四边形AECD 是平行四边形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO为AC的垂直平分线， ．
∴平行四边形 AECD是菱形．
∵AC＝8，
．
在 Rt△COD 中，CD＝5，
，
∴ ，
，
∴四边形 AECD 的面积为24．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱
形的面积计算公式是解题关键．
36．如图，在平行四边形 中， ， 相交于点 ，点 ， 在 上，且
．连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，连接 ， ，判断四边形 的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）四边形 是菱形，理由见解析．
【分析】
（1）根据SAS即可证明；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断．
【详解】
（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
又 ，
，
，
又 ，
（SAS）；
（2）解：四边形 是菱形
理由如下：
， ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的
关键是熟练掌握基础知识，属于中考常考题型．
37．已知，如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且
∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．求证：四边形DBFC是菱形．【答案】见解析
【分析】
根据题意AC⊥BD，∠FCA＝90°，易证BD∥CF．再根据∠CBF＝∠DCB，即证明CD∥BF，即四
边形DBFC是平行四边形．由角平分线的性质可知∠CBF＝∠CBD，即易证∠CBD＝∠DCB，
说明CD＝BD，即证明四边形DBFC是菱形．
【详解】
证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，
∴∠AEB＝∠ACF，
∴BD∥CF．
∵∠CBF＝∠DCB．
∴CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
∵BC平分∠DBF，
∴∠CBF＝∠CBD，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴CD＝BD，
∴四边形DBFC是菱形．
【点睛】
本题考查菱形的判定，平行线的判定和性质，平行四边形的判定，角平分线的性质．熟练
利用各知识点证明是解答本题的关键．
38．如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点O，点E，F在 上，且
．（1）求证： ；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形 是菱形；并给予证明．
【答案】（1）见解析；（2）补充的条件是： ，证明见解析．（答案不唯一）
【分析】
（1）由四边形 是平行四边形，可得 ，再证明
，从而可得答案；
（2）补充的条件是： ．（答案不唯一） 由四边形 是平行四边形，可得
， ，再证明 ，证明四边形 是平行四边形，从而可得
结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
（2）补充的条件是： ．（答案不唯一）
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．∵ ，
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
又∵ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，掌握以
上知识是解题的关键．
39．如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F．求证：AE＝
CF．
【答案】见解析
【分析】
先由菱形的性质得到 ， ，再由 证得 ，即可得
出结论．
【详解】
解：证明：∵四边形 是菱形，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，，
．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三
角形的判定与性质是解题的关键．
40．如图，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作 且
，连接 交 于点F，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)若菱形 的边长为2， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】
（1）根据菱形对角线互相平分的性质证得 ，再结合 ，证明四边形AOED
是平行四边形，最后根据平行四边形对边相等及菱形四边相等的性质解题即可；
（2）由菱形的四边相等及 ，证明 是等边三角形，根据菱形对角线互
相垂直的性质，由勾股定理，分别计算AO、BO的长，根据平行四边形对角线互相平分的
性质，解得OF的长，最后由勾股定理解得AF的长，即可解题．
【详解】
（1）菱形 中，AO=OC，BO=OD，四边形AOED是平行四边形
又
（2）
是等边三角形，AC=2，
四边形AOED是平行四边形
中，
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等
知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
41．在Rt ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE
的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【答案】（1）见解析；（2）10
【分析】
（1）由题意易得∠AFE＝∠DBE，AE＝DE，BD＝CD，进而可证△AFE≌△DBE，然后可得四边
形ADCF是平行四边形，最后根据菱形的判定可求证；
（2）连接DF，由题意可得四边形ABDF是平行四边形，进而可得DF＝AB＝5，然后根据菱
形的面积计算公式求解即可．
【详解】
（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝ BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝ AC•DF＝10．【点睛】
本题主要考查平行四边形与菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形与菱形的性质与判定
是解题的关键．
42．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D
作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
【答案】（1）见解析；（2）四边形BECD是菱形，见解析
【分析】
（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形．
【点睛】
本题主要考查平行四边形及菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形及菱形的性质与判定
是解题的关键．
