文档内容
专题 01 菱形的性质与判定
考点一 根据菱形的性质与判定求角度 考点二 根据菱形的性质与判定求线段长
考点三 根据菱形的性质与判定求面积 考点四 根据菱形的性质与判定求动点中的最值问题
考点五 根据菱形的性质与判定求折叠问题 考点六 根据菱形的性质与判定无刻度作图
考点一 根据菱形的性质与判定求角度
例题：（2021·重庆·西南大学附中八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，过点D
分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AE＝CF．
（1）求证四边形ABCD为菱形；
（2）若点E是AB的中点，求∠A的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先由AD∥BC，且AD＝BC得出四边形ABCD为平行四边形，再根据ASA证得△ADE≌△CDF，得出
AD=CD即可得出结论；
（2）根据菱形的性质得出AD=AB，结合已知从而得出AE= AD，再利用直角三角形的性质即可得出答案；
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，且AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵DE⊥ AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF，
∴AD=CD
∴四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
如图，连接
∵点E是AB的中点，
∴ 是等边三角形，
∴∠A=
【点睛】
本题考查了菱形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，含有30°的直角三角形的性质等知识；熟练掌
握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·新疆师范大学附属中学一模）如图， 是 的角平分线，过点 作 交 于点 ，
交 于点 ．（1）求证：四边形 是菱形；
（2）如果 ， ，求 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BDE=35°．
【解析】
【分析】
（1）由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；
（2）先根据三角形的内角和定理得出 ，再由菱形的性质可求解．
【详解】
（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又四边形 为平行四边形，
∴四边形 为菱形．
（2） ， ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ．【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，掌握菱形的判定定理是本题的关键．
2．（2021·浙江宁波·八年级期末）已知：如图，在四边形 中， ．点 在对角线 上，
且 ，
（1）求证： ；
（2）连接 ，交 于点 ，若 ，四边形 周长为 ，求 的大小．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质得出 ，根据 即可证明 ；
（2）证明四边形 是菱形．由勾股定理求出 ，由直角三角形的性质可得出 的度数，则可
得出答案．
【详解】
解：证明：（1） ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
．
（2） ，
，
，
四边形 是平行四边形，，
四边形 是菱形．
， ，
四边形 周长为16，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是证明
和四边形 为菱形．
考点二 根据菱形的性质与判定求线段长
例题：（2022·河北保定·八年级期中）如图，在 ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接
AE.
(1)求证：四边形AEBD是菱形；
(2)连接DE交AB于点F，若 ， ，求AD的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】【分析】
（1）证四边形AEBD是平行四边形，再因为BE＝BD，即可由菱形的判定定理得出结论；
（2）连接DE交AB于F，根据四边形AEBD是菱形，得出AB⊥DE，从而证得∠EDC ＝∠EFB＝90°.得用
勾股定理即可求解．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD BC，AD＝BC，
∵DB＝DA， BE＝BD，
∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BE＝BD，
∴四边形AEBD是菱形
(2)
解：如图，连接DE交AB于F，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，
∴∠EFB＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB DC.
∴∠EDC ＝∠EFB＝90°.
∵DC＝ ，DC：DE＝1：3，
∴DE＝ .
在Rt△EDC中，根据勾股定理可得∴AD＝ .
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，菱形的判定与
性质是解题词的关键．
【变式训练】
1．（2022·上海·八年级专题练习）已知，如图，在
▱
ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝
DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若四边形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出 ， ，证出 ，则四边形 是平行四边形，由
，即可得出四边形 是菱形；
（2）由菱形的性质得出 ， ，证出 是等边三角形，得出 ．
(1)
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形；
(2)
解： 菱形 的周长为16，
， ，，
是等边三角形，
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；解题的关键
是熟练掌握菱形的判定与性质．
2．（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学一模）如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线分别交 、
于点 、 ，连接 、 ．
(1)求证：四边形 是菱形．
(2)当AB 4，BC 8时，求线段EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用EF是AC的垂直平分线，可得∠EAC=∠ECA，∠CAF=∠FCA，在矩形中有 ，即有
∠ECA=∠CAF，∠ECF=∠CFD，即可证得∠CFD=∠EAF，则有 ，再结合 ，AE=EC，可
证四边形AFCE是菱形；
（2）根据（1）的结论，平行四边形AFCE是菱形，即有EF、AC相互垂直平分，根据菱形的性质可得
BE=BC-AE，利用矩形的性质可求出AC，则有OA，在Rt△ABE中，利用勾股定理，有 ，
即可解得AE，在Rt△AOE中，利用勾股定理，有 ，根据AE=5，OA= ，可得OE=
，即有EF= ．
(1)证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，AF=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠CAF=∠FCA，
∵在矩形中有 ，
∴∠ECA=∠CAF，∠ECF=∠CFD，
∴∠EAC=∠ECA=∠CAF=∠FCA，
∴∠ECF=∠EAF，
∴∠CFD=∠EAF，
∴ ，
再结合 ，可知四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=EC，
∴平行四边形AFCE是菱形；
(2)
根据（1）的结论，平行四边形AFCE是菱形，
∴EF、AC相互垂直平分，且AE=EC=CF=FA，
∴EF=2OE，AC=2OA，
∵BC=8，AB=4，
∴BE=BC-EC=8-EC=8-AE， ，
∴OA= ，
在Rt△ABE中，利用勾股定理，有 ，
即： ，解得：AE=5，
∴在Rt△AOE中，利用勾股定理，有 ，
根据AE=5，OA= ，可得OE= ，
∴EF= ．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、垂直平分线的性质、矩形的性质和勾股定理等知识，利用垂直平分线的性
质证得四边形AECF是菱形是解答本题的关键．考点三 根据菱形的性质与判定求面积与周长
例题：（2022·四川·德阳五中三模）如图，在四边形 中， ， 于点O，点E是
延长线上一点， ， 于点F．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 平分 ， ， ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)33
【解析】
【分析】
（1）先证明它是平行四边形，再证明是菱形；
（2）先设 ，再用x表示AE，利用勾股定理建立方程即可求解．
(1)
∵ ， 于点O，
∴ ，
∵ ，
∴四边形AECD是平行四边形，
由AD=CD，
∴四边形AECD是菱形．
(2)
如图，∵ 于点F，
∴∠AFC=90°，
又∵AC⊥BD，
∴∠BOA=90°，
∵ 平分 ， ，∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴设 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵菱形AECD中，OD=OE，
∴ ，
∴ ．
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等内容，解题关键
是牢记相关概念，能利用勾股定理建立方程．
【变式训练】
1．（2022·贵州贵阳·一模）如图，已知四边形 中，对角线 ， 相交于点O，且 ，
，过点O作 ，分别交 ， 于点E，F．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)52
【解析】
【分析】
（1）先证四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥CB，则可证得△AOE≌△COF（ASA）；
（2）由△AOE≌△COF（ASA），可得OE＝OF＝5，BO＝12，利用勾股定理求出BF＝13，继而求得周长．
(1)
证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF， ，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
(2)
解：∵△OAE≌△OCF， ， ，
∴OE＝OF＝5，BO＝DO＝12，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是菱形，
∴ ，
∴四边形BCFE的周长＝13×4＝52．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质和勾股定理，解题关键是熟记相关性质，熟练运
用这些判定与性质推理证明．
2．（2022·甘肃武威·三模）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ADC＝90°，∠ABC的平分线BE交CD
于点E，交对角线AC于点O，OA＝OC，连接AE．(1)求证：四边形ABCE是菱形；
(2)若BC＝5，CD＝8，求四边形ABCE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)20
【解析】
【分析】
（1）利用AAS证明△ABO≌△CEO可得BO＝EO，即可证明四边形ABCE是平行四边形，由角平分线的定
义可得∠CBE＝∠ABE＝∠CEB，即可得CB＝CE，进而可证明结论；
（2）由菱形的性质可求解CE＝AE＝5，DE＝3，利用勾股定理可求解AD的长，再利用菱形的面积公式计
算可求解．
(1)
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CEO，∠BAO＝∠ECO，
在△ABO和△CEO中，
∴△ABO≌△CEO（AAS），
∴BO＝EO，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝∠CEB，
∴CB＝CE，
∴四边形ABCE为菱形；
(2)
解：∵四边形ABCE是菱形，BC＝5，∴AE＝CE＝BC＝5，
∵CD＝8，
∴DE＝CD−CE＝8−5＝3，
∵∠ADE＝90°，
∴AD＝ ＝ ＝4，
∴S ABCE＝CE•AD＝5×4＝20．
四边形
【点睛】
本题主要考查菱形的判定，角平分线的定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明四边形ABCE是
平行四边形是解题的关键．
3．（2022·云南·一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线MN与
AD、CB的延长线分别交于点M、N，连接CM，AN，且 ．
(1)求证：四边形ANCM是菱形；
(2)若四边形ANCM周长为12， ，求四边形ANCM的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用平行四边形的性质，通过证明 ，得到四边形ANCM是平行四边形，再根据
，即可判定；
（2）根据四边形ANCM周长为12，得到 ，由勾股定理可得 ，由
，可得 ，从而求得 ，即可求解．
(1)证明：平行四边形ABCD中， ，
∴
又∵
∴ （ASA）
∴ ，
∴四边形ANCM是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形ANCM是菱形；
(2)
解：由四边形ANCM周长为12可得 ，
∵ ， ，
∴
由勾股定理可得： ，
四边形ANCM的面积为
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理以及完全平方公式的应用，解题的关键是熟
练掌握相关基础性质．
考点四 根据菱形的性质与判定解决动点中的最值问题
例题：（2022·湖南娄底·中考真题）菱形 的边长为2， ，点 、 分别是 、 上的
动点， 的最小值为______．【答案】
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最
小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为
FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形 的边长为2， ，
中，
PQ+QC的最小值为
故答案为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）如图，菱形 的 边在 轴上，顶点 坐标为
，顶点 坐标为 ，点 在 轴上，线段 轴，且点 坐标为 ，若菱形 沿 轴
左右运动，连接 、 ，则运动过程中，四边形 周长的最小值是________．【答案】13+
【解析】
【分析】
由题意可知AD、EF是定值，要使四边形 周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮
马”模型，根据点E关于AD的对称点为O，过点A作AF∥DF，当O，A，F 三点共线时，
1 1
AE+DF=OA+AF=OF，为所求线段和的最小值，再求四边形 周长的最小值．
1 1
【详解】
∵点 坐标为 ，点 坐标为 ，
∴OC＝4，OD＝3，
∴在Rt COD中，CD＝ 5，
△
∵四边形 是菱形，
∴AD＝CD＝5，
∵ 坐标为 ，点 在 轴上，线段 轴，
∴EF＝8，
连接OA，过点A作AF∥DF交EF于点F，
1 1
则四边形ADFF 是平行四边形，FF=AD=5，
1 1∴EF=EF-FF=3，
1 1
∵点E，O关于AD对称，
∴OA=AE，
当O，A，F 三点共线时，AE+DF=OA+AF=OF，为所求线段和的最小值，
1 1 1
在Rt△OEF 中，OF＝ ，
1 1
∴四边形 周长的最小值：
AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ OF＝5＋8＋ ＝13+ ．
1
【点睛】
本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角
形，平移图形全等性，轴对称性质．
2．（2022·辽宁大连·一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在对角线AC和
边AD上，连接DE，EF，若AC=4，BD=2，则DE，EF之和的最小值为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点D作DH⊥AB，垂足为H．因为EF+DE=EF′+DE，推出当D、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+DE的值最小．
【详解】
解：∵菱形ABCD中，AC=4，BD=2，
∴AO=OC=2，BO=OD=1，
∴AD=AB= ，
如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点D作DH⊥AB，垂足为H．
∵S ABD= •AO•BD= •AB•DH，
△
∴DH= ，
∵EF+DE=EF′+DE，
∴当D、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+DE的值最小，最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查的是菱形的性质，轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利
用对称解决最短问题．
考点五 根据菱形的性质与判定解决折叠问题
例题：（2022·山西·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上
的点，将 沿EF折叠，使点 的对应点 落在边 上，若 ，则 的长为______．【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据菱形性质和 ，可得 ， ， ，过点 作 于点 ，
于点 ，过点 于点 ，得矩形 ，然后利用含 度角的直角三角形可得
，得 ，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：在菱形 中， ， ， ，
，
如图，过点 作 于点 ， 于点 ，过点 于点 ，
得矩形 ，如图所示：
， ，
， ，
， ，
由翻折可知： ， ，
，
，
，，
解得 ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
，
，
在 中，根据勾股定理，得： ，
，
解得 ，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查勾股定理求线段长，涉及到翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，
熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南·麻栗坡县第二中学一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝45°，点E在边AB上，将
BCE沿CE折叠．若点B的对应点B′落在AD边所在的直线上，则BE的长为________．
△【答案】4或
【解析】
【分析】
分两种情况，第一种情况，由折叠性质可知： = CB= CD，可知E点与A点重合，BE=AB，第二种情
况，由折叠性质可知，BC= ，得∠B=∠ E= 45°，再证∠A E = 90°，设BE= E= x，得
，即可得答案．
【详解】
解：
第一种情况，如上图，由折叠性质可知： = CB= CD，
∴在AD线上仅D点符合题意，
∵∠B=∠D= 45°，
∴E点与A点重合，BE=AB，
∴BE=4；
第二种情况，如上图，由折叠性质可知，BC= ，
∴∠B=∠ E= 45°，
∵在菱形中BC=CD= ，∴∠D=∠B=∠ D= 45°，AD BC，∠ AE=∠B= 45°，
∴∠A E=∠D C+∠E C= 90°，
∴A = E，
设BE= E= x，则 ， ，
解得： ，
故答案为：4或 ．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、菱形的性质、一元一次方程的解法，解题的关键是注意两种情况．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接
BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A′B⊥AD时，∠A'DE的度数为 ______．
【答案】15°##15度
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得 ，可证 是等边三角形，由等边三角形的性质可得 垂直平分 ，
，由折叠的性质可得 ，可得 ，即可求解．
【详解】
解：如图，连接 ， ，四边形 是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
垂直平分 ， ，
，
，
将 沿着 折叠得到 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，证明 是等边三角形是解题的关键．
考点六 根据菱形的性质与判定无刻度作图
例题：（2022·江西吉安·九年级期末）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使 ．取
CD的中点F，连接EF，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留画图痕迹）．
(1)在图1中作出△CEF中CF边上的中线；
(2)在图2中作出BC的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】（1）连接AC和BD交于点O，连接OE交CD于点G，EG即为所求；
（2）连接AC和BD交于点O，连接FO并延长交AB于点M，连接MC交BD于点N，连接AN并延长，交
BC于点H，点H即为所求.
(1)
解：如图，EG即为所求；
(2)
解：如图，点H即为所求；
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质，灵活运用所学知识解决问题.
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·二模）如图，菱形ABCD及点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）如图1，若点P在AB上，请在CD上作出点Q，使CQ=AP；
（2）如图2，若点P在菱形ABCD外，请在菱形外作点Q，使△CQD≌△APB．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接 ， 交于点 ，连接 延长 交 于点 ，点 即为所求．
（2）连接 ， 交于点 ，延长 交 的延长线于 ，连接 交 的延长线于 ，连接 ，
连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，点 即为所求．
【详解】
解：（1）如图1中，点 即为所求．
（2）如图2中，点 即为所求．
【点睛】
本题考查作图 复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是作出菱形的对称中心 ，属于中考常考题型．
2．（2022·江苏盐城·二模）如图，在 中，点N在BC上， ，BM平分 交AD于点
M，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．(1)在图1中，过点A画出 中BM边上的高AP，并证明你的结论；
(2)在图2中，过点C画出C到BM的垂线段CQ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AN即可，根据菱形的性质与判定证明即可；
（2）连接 ，交于点 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 交 于点 ，则线段 即为所求．
(1)
如图1，AP即为所求 中BM边上的高；
证明：∵BM平分 ，
∴ ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵ ，
∴ 是菱形，
∴ ，
即AP为 中BM边上的高；(2)
如图2，连接 ，交于点 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 交 于点 ，则线段 即为
所求．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AE∥CN，
∴∠AEO=∠CNO，
∵∠AOE=∠CON，
∴△AOE≌△CON（AAS），
∴OE=ON，
∴四边形ANCE是平行四边形，
∴AN∥CE，
∵AN⊥BM，
∴CE⊥BM，即CQ⊥BM．
【点睛】
本题考查了无刻度直尺作图，平行线的性质与判定，菱形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．一、选择题
1．（2022·广东·珠海市拱北中学八年级期中）已知菱形的两条对角线的长分别为8和10，则菱形的面积为
（ ）
A．160 B．80 C．40 D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半，计算求值即可．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线的长分别为8和10，
∴菱形的面积 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的面积，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题关键．
2．（2022·重庆·西南大学附中九年级期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作 于点
E，连接OE．若 ， ，则DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边上的中线性质得AC＝2OE＝2 ，则OA＝ AC＝ ，再由勾股定理得OB＝ ，则BD＝2OB＝2 ，然后由菱形面积求出AE的长，即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝AB＝3，OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，
∵AE⊥CD，
∴∠AED＝∠AEC＝90°，
∴AC＝2OE＝2 ，
∴OA＝ AC＝ ，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝ ，
∴BD＝2OB＝2 ，
∵S ABCD＝CD•AE＝ AC•BD＝ ×2 ×2 ＝2 ，
菱形
∴AE＝ ，
∴DE＝ ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解
题的关键．
3．（2022·海南省直辖县级单位·二模）如图，菱形纸片 中， ，P为 中点，折叠菱形纸
片 ，使点C落在 所在的直线上，得到经过点D的折痕 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】
【分析】
连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到 ABD为等边三角形，利用三线合一得到DP为角平分线，得到
∠ADP＝30°，进而求出∠PDC＝90°，由折△叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理
即可求出所求角的度数．
【详解】
解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在 DEC中，∠DEC＝180°−∠CDE−∠C＝75°，
故△选：B．
【点睛】
此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质以及内角和定理，熟练掌握折叠的性
质是解本题的关键．
4．（2022·河北·八年级期中）如图，在菱形 中， ， ．动点 从点 出发，以1
个单位长度/秒的速度沿 方向向点 运动，同时，动点 从点 出发沿 方向向点 运动，它们同时
到达目的地，则运动到（ ）秒时 ．A．3或 B．3 C． D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
分两种情形求解即可：①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3秒；②如图1中，当OP=PQ时，想办
法构建方程即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO=CO，BC//AD，
∵ ，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠BAO=∠DAO=30°，
∴BO= AB=3，
∴CO=AO= ，
设点Q的运动速度为x单位/秒，由题意得
，
解得x= ，
经检验x= 符合题意．
①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3 ÷ =3秒；
②如图1中，当OP=PQ时，作PH⊥OA于H，则QH=OH．在Rt APH中，PA=t，∠PAH=30°，
△
∴PH= t，
∴AH= t，
∴OH=3 - t，
∵QH= （ t-3 ），
∴ （ t-3 ）=3 - t，
解得t= ，
综上所述，当t=3秒或 秒时，OP=PQ．
故选A．
【点睛】
本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（2022·甘肃武威·中考真题）如图1，在菱形 中， ，动点 从点 出发，沿折线
方向匀速运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的
函数图象如图2所示，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为 解答即可．
【详解】
解：在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为 ，
∴△ABD的面积
解得：a=
故选B
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
二、填空题6．（2022·江苏·徐州市第十三中学三模）如图，在菱形 中， 、 分别为 、 的中点，若
，则菱形 的周长为______．
【答案】16
【解析】
【分析】
由三角形中位线定理可求 长为 长的2倍，那么菱形 的周长等于 ，由此问题得解．
【详解】
解：∵点 ， 分别为 ， 的中点， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴菱形 周长为： ．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了菱形的四边相等的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质．熟记各
性质是解答本题的关键．
7．（2022·上海市张江集团中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点A、B分别为A（－3，0）、B（0，
－4），点C在x轴上，若四边形ACBD是菱形，则点D的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由菱形的性质得BD=AC=BC， ，设OC=x，则BD=BC=AC=OA+OC=3+x，然后在Rt△OBC中，由
勾股定理得：x2+42=（3+x）2，解得 ，即可解决问题．
【详解】
解：如图，∵四边形ACBD是菱形，∴BD=AC=BC， ，
∵A（-3，0）、B（0，-4），
∴OA=3，OB=4， 设OC=x，则BD=BC=AC=OA+OC=3+x，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：x2+42=（3+x）2，
解得： ，
∴BD=3+ = ，
∴点D的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的
关键．
8．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）如图，在 中， 分别是 上的点，
，将 沿 所在的直线翻折，使点 的对应点 与点 重合，且点 落在点 处，连接 ，
若 ， ，则 ________．
【答案】
【解析】【分析】
过 点作 的垂线交 延长线于点 ，根据翻折的性质证明 ，根据全等的性质，证明
四边形 是菱形，根据菱形的性质得到 、 的长度，根据平行线的性质得到
，根据含 角的直角三角形三边关系，即可求出 ， 的长度，根据勾股定理即
可求出 的长度．
【详解】
解：过 点作 的垂线交 延长线于点
∵翻折
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
在 和 中
∵
∴
∴ ，
∵
∴
∴
又∵
∴四边形 是平行四边形∵
∴平行四边形 是菱形
∵
∴ 是等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了翻折、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性
质、含 角的直角三角形三边关系、勾股定理等知识点，正确作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股
定理求线段长是解答本题的关键．
9．（2022·陕西·中考真题）如图，在菱形 中， ．若M、N分别是边 上的动点，
且 ，作 ，垂足分别为E、F，则 的值为______．
【答案】【解析】
【分析】
连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以及
，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可．
【详解】
解：连接AC交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO= ，AD//BC，
∴
在Rt 中，AB=4，BO= ，
∵ ，
∴
过点M作MG//BD交AC于点G，
∴ ,
∴
又
∴ ，
∴四边形MEOG是矩形，
∴ME=OG，
又
∴∴
在 和 中，
,
∴ ≌
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的
关键．
10．（2022·上海市张江集团中学八年级期中）如图，在 ABCD和 BEFG中，AB＝AD，BG＝BE，点
A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
延长GP交CD于点H，根据AB＝AD，BG＝BE，得出四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，由菱形的
性质证明△DPH≌△FPG，得出DH=GF，进而得出△CHG为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得出
CP⊥HG，∠PCG=60°，再利用直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：如图，延长GP交CD于点H，在 ABCD和 BEFG中，AB＝AD，BG＝BE，
∴四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，
∴CD=CB，GF=GB，CD∥AE，GF∥AE，
∴CD∥GF，
∴∠DHP=∠FGP，
∵∠DPH=∠FPG，DP=FP，
∴△DPH≌△FPG（AAS），
∴DH=GF，PH=PG，
∴DH=GB，
∴CH=CG，
∴CP⊥PG，
∴∠HCG=2∠PCG，
∵∠ABC=60°，
∴∠HCG=180°-∠ABC=120°，
∴∠PCG=60°，
∴∠CGP=30°，
∴CG=2PC，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质，等腰
三角形的性质，直角三角形的性质是解决问题的关键．
三、解答题
11．（2022·四川广元·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为
AB中点，连接CE．
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【答案】(1)见详解
(2)△ABC的面积为
【解析】
【分析】
（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得 ，则有△BCE是等边三角形，然后可
得△ACB是直角三角形，则 ，进而问题可求解．
(1)
证明：∵AB CD，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∵AB＝2CD，E为AB中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形AECD是平行四边形，∵DA=DC，
∴四边形AECD是菱形；
(2)
解：由（1）知： ，
∵∠D＝120°，
∴ ，
∵E为AB中点，
∴ ，
∴△BCE是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质与
判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
12．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为
BC的中点
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)连接BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】【分析】
（1）由直角三角形的性质可得 ，且 ，可证四边形 是平行四边形，即可得结论；
（2）由角平分线的性质和平行线的性质可得 ，可证四边形 是等腰梯形，可得
，由勾股定理可求 的长，即可得 的长．
(1)
证明： ，点 为 的中点，
，
，且 ，
四边形 是平行四边形，且 ，
四边形 是菱形；
(2)
解：如图，
，
四边形 是梯形，
平分 ，
，
，
，
四边形 是菱形，四边形 是等腰梯形，
，
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求证 ．
13．（2022·广东深圳·三模）如图，在四边形 中， ，对角线 的垂直平分线与边 、
分别相交于点 、 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求菱形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)68
【解析】
【分析】
（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM=ON，由OB=OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出
结论；
（2）由菱形的性质得出BM=BN=DM=DN，OB= BD，OM= MN，由勾股定理得BM的长，即可得出答案．
(1)
证明：∵AD∥BC，
，
是对角线 的垂直平分线，
， ，
和 中，
，，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形；
(2)
解： 四边形 是菱形，
， ，
，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
菱形 的周长 ．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；
熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．（2022·浙江金华·九年级期中）如图， 中， 、 分别是 、 的中点， ，过点
作BF//CE，交 的延长线于点 ．
(1)求证：四边形 是菱形．
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)【解析】
【分析】
（1）跟了中点的性质及平行线的性质即可求证结论．
（2）根据（1）中菱形的性质可得 是等边三角形，过点 作 于点 ，利用勾股定理即可求
得答案．
(1)
证明： 、 分别是 、 的中点，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是菱形．
(2)
由 知 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
过点 作 于点 ，如图所示，
，在 中，
， ， ，
，
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理的应用、三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的判定及性质是解
题的关键．
15．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点
E，连接DE．
(1)如图1，若 ，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明 ，得出DE=BC，得出四
边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形；
（2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据
∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出 ；
（ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出 ，得出 ，证明 ，
再证明 ，即可证明结论．
(1)
证明：∵DC=BC，CE⊥BD，∴DO=BO，
∵ ，
∴ ， ，
∴ （AAS），
∴ ，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
(2)
（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴ ．
（ⅱ）连接EF，∵EG⊥AC，
∴ ，
∴ ，
∵
∵AE=AF，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
，
∴ （AAS），．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，
直角三角形的性质，作出辅助线，得出 ，得出 ，是解题的关键．
16．（2021·江西南昌·八年级期末）如图，点 为线段 上一点且不与 ， 两点重合，分别以 ，
为边向 的同侧做锐角为60°的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，连接 ，若 ，作出线段 的中点 ；
（2）在图2中，连接 ，若 ，作出线段 的中点 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AF，BD交于点O，连接DF，连接CO延长CO交DF于点M，点M即为所求．
（2）连接AD，BF，延长AD交BF的延长线于E，连接CE，DF交于点N．点N即为所求．
【详解】
解：（1）
如图点 为 的中点
（2）如图点 为 的中点
【点睛】
本题考查作图−复杂作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中线等知识，解题的
关键是利用三角形中线的定义，平行四边形的性质解决问题．
17．（2022·浙江宁波·八年级期中）问题原型
(1)如图1，在菱形 中， ， 于E，F为 中点，连结 ， ．试猜想 的形
状，并说明理由．
(2)如图2，在 中， 于E，F为 中点，连结 ， ．试猜想 的形状，并说明理
由．
(3)如图3，在 中，F为 上一点，连结 ，将 沿 折叠，点C的对应点为 ．连结 并
延长交 于G，若 ，求证：F为 中点．
(4)如图4，直角坐标系中有 ，点A与原点重合，点B在x轴正半轴上， 与y轴交于点E．将其
沿过A的直线折叠，点B对应点 恰好落在y轴上，且折痕交 于M， 交 于点N．若 的
面积为48， ， ，求点M的坐标和阴影部分面积（直接写出结果）．
【答案】(1) 是等边三角形
(2) 是等腰三角形
(3)证明见解析(4)
【解析】
【分析】
（1）连接 ，证明 和 是等边三角形，进而证明 ，证明 ，从而得
出 ，进而得出结果；
（2）取 的中点，连接 ，直线 交 于 ，证明四边形 是平行四边形， ，进而
得出 是 的中位线，进一步得出 是等腰三角形；
（3）由条件推出 ，进而得出四边形 是平行四边形，从而 ，进而证明
，进一步得出结论；
（4）根据条件求得 ， ，从而求得 的解析式，求出 的解析式，从而求得点 坐标，
求出 的解析式，从而求得 点坐标，从而求得 的长，求出 和 的面积，进而求得阴影
部分面积．
(1)
如图1，
连接 ，
四边形 是菱形，
，
，
是等边三角形，
， ，
，，
同理可得： 是等边三角形，
， ，
点 是 的中点，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
是等边三角形；
(2)
如图2，
是等腰三角形，理由如下：
取 的中点，连接 ，直线 交 于 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
点 是 的中点， 是 的中点，
，
，四边形 是平行四边形，
，
点 是 的中点，
，
，
，
即： 是等腰三角形；
(3)
证明：由（2）知： ， ，
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
，
，
即：点 是 的中点
(4)
由 得，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，，
，
直线 的解析式为： ，
，
直线 的解析式为： ，
由 得，
，
， ，
，
，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了菱形性质，平行四边形性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求一次函数解析式等知识，解决
问题的关键是作辅助线，构造线段垂直平分线．
