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专题 03 一次函数的综合与新定义型探究问题的六种模型
目录
题型一：一次函数含参数中的图象和性质..............................................................................................................1
题型二：一次函数中的规律探究问题......................................................................................................................4
题型三：一次函数中求线段和最值问题..................................................................................................................7
题型四：一次函数中折叠的综合问题....................................................................................................................16
题型五：一次函数中的新定义型综合问题............................................................................................................28
题型六：一次函数中分段函数探究问题................................................................................................................34
题型一：一次函数含参数中的图象和性质
1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数 的判断，正确的是（ ）
A．当 时，该函数图象经过一、三、四象限
B．点 ，点 在该函数的图象上，若 ，则
C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则
D．若关于 的方程 的解是 ，则 的图象恒过点
2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象与 轴交于点
B．当 时，点 、 在图象上，则
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象经过定点
3．（2024八年级上·全国·专题练习）关于 的函数 ，给出下列结论：
①当 时，此函数是一次函数；
②无论 取什么值，函数图象必经过点 ；
③若图象经过二、三、四象限，则 的取值范围是 ；
④若函数图象与 轴的交点始终在正半轴，则 的取值范围是 ．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
4．（23-24八年级下·山东聊城·期末）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）①当 时，该函数是正比例函数；
②若点 在该函数图象上，且 ，则 ；
③若该函数不经过第四象限，则 ；
④不论 取何值时，该函数图象必过定点 ．
A．①②④ B．③④ C．①②③④ D．①②③
5．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数 （k为常数），有下列结论：
①当 时，此函数是一次函数；
②无论k取什么值，函数图象必经过点 ；
③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是 ：
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：一次函数中的规律探究问题
6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直
线 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过 点作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于
点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 依次进行下去，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，如图所示，
依次作正方形 ，正方形 ，…，正方形 ，使得点 ， ， ，……，在直线l上，
点 ， ， ，…，在y轴正半轴上，则点 的坐标为（ ）A． B．
C． D．
8．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线 与 轴相交于点 ，过点 作x轴的平行线交
直线 于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，再过点 作x轴的平行线交直线
于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，…，依此类推，得到直线 上的
点 、 ， ，…，与直线 上的点 ， ， ，…，则 的长为 ．
题型三：一次函数中求线段和最值问题
9．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，点 是直线 上的动点，
， 是 轴上的两点，则当 取最小值时，点 的坐标为 ．
10．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内
有一动点 ，则 的最小值为 ．
11．（24-25八年级下·北京·期中）如图，点 在 轴上，直线 与两坐标轴分别交于 ， 两
点， ， 分别是线段 ， 上的动点，则 的最小值为 ．12．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为
线段 上的两个动点，点P的坐标为 ，则 的周长的最小值为 ．
13．（25-26九年级上·天津·开学考试）如图1，一次函数 的图象与坐标轴交于点 平分
交 轴于点 ，垂足为D．
(1)点 的坐标为___________，点 的坐标为___________；
(2)点D的坐标为___________
(3)如图2，点 是线段 上的一点，点 是线段 上的一点，求 的最小值．
14．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点．(1)求 、 两点的坐标．
(2)若点 是第一象限内的直线 上的一个动点，则当点 运动到什么位置（求出点 的坐
标）时， 的面积是 ．
(3)在（2）成立的情况下，点Р在线段 上，且到 轴的距离为 、点 是直线 上的动点，如图 ，
求 的最小值．
题型四：一次函数中折叠的综合问题
15．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，连接
．将 沿过点 的直线折叠，使点 落在 轴上的点 处，折痕所在的直线交 轴正半轴于点 ，
则点 的坐标为 ．
16．（24-25八年级上·全国·期中）如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C
是x轴上一动点，连接 ，将 沿 所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ．
17．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线 与 轴， 轴分别相交于点 和点
B，M是 上一点，若将 沿 折叠，则点 恰好落在 轴上的点 处．求：(1)求A、B的坐标；
(2)求 的面积．
18．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别
相交于点 、 ，C是线段 上一点，将 沿着 折叠，点O落在点D，连接 ．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)若 ，求点D的坐标；
(3)点P是平面内一点，若 ，请直接写出直线 的函数解析式．
19．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、
轴分别交于点 ， ，点 在 轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上
的点 处．
(1)点 的坐标是________， 的长为________；
(2)求直线 的解析式；(3)点 是 轴上一动点，若 ，请求出点 的坐标；
(4)在第一象限内是否存在点 ，使 为等腰直角三角形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
20．（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点
，点 ．P是边 上的一点（点P不与点A，O重合），沿着 折叠该纸片，得点O的对应
点C．
(1)填空：如图①，当点C在边 上时，点P的坐标为________， 的面积为________；
(2)如图②，当 轴时， 与 交于点D，求点D的坐标；
(3)设点A到直线 的距离为d，在折叠过程中，当 时，求 的长（直接写出结果即可）．
题型五：一次函数中的新定义型综合问题
21．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）定义：若两个实数 满足 ，则 与 互为“和谐数”，
点 为“和谐点”．
(1)若 为“和谐点”，求 的值．
(2)已知点 是关于 的一次函数 和 的图象的交点，是否存在实数 ，使
点 为“和谐点”？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
22．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点A 和点B ，给出如下
定义：若 ，则称B为A的雅值点，例如：点 的雅值点为点 ．(1)点 的雅值点坐标是 ；若点A的雅值点为 ，则点A的坐标是 ；
(2)如图1，点C、点D是y轴上的动点，若点D的雅值点E在直线 上， 的面积为 ，求
点C的坐标；
(3)点M是直线 上一点，点N是点M的雅值点，若x轴上存在点P，使得 是等腰直角三角形
且 ，请求出满足条件的P点坐标．
23．（23-24八年级下·广东深圳·期中）阅读理解：
【新定义】对于线段 和 点Q，定义：若 ，则称点Q为线段 的“等距点”；特别地，若
，则称点Q 是线段 的“完美等距点”．
【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为 ，点 是直线
上一动点．
(1)已知4个点： ，以上这四个点中 是线段 的“等距点” ， 是
线段 的“完美等距点”（填写大写字母）．
(2)若点P 在第三象限，且 ，点H在y轴上，且H是线段 的“等距点”，求点H的坐标；
(3)当 ，是否存在这样的点N，使点N是线段 的“等距点”且为线段 的“完美等距点”，请直
接写出所有这样的点P的坐标．
题型六：一次函数中分段函数探究问题
24．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）某班数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数
的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
(1)如表是y与x的几组对应值，其中 ________；
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 …
(2)如图，在平面直角坐标系 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，
请画出该函数图象的另一部分；(3)观察函数图象发现：
①该函数图象的最低点坐标是________；
②当 时，y随x的增大而________．
(4)进一步探究：不等式 的解集是________．
25．（24-25八年级下·河南商丘·期末）研究新函数 ，可以通过一次函数的图象和性质的学习过
程来探究新函数．
(1)补全下表：
x … 0 1 2 3 …
_______ _______
y … 1
_ _
(2)根据（1）中的数据在下图中画出函数图象；
(3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质．
①该函数的最大值为________；
②若方程 有两个解，则k的取值范围是________；
③请你再写出一条该函数的性质．
26．（24-25八年级下·北京·期末）请同学们探究函数 的图象，通过列表、描点、面图，观察
图象，并利用函数性质解决问题．(1)画出函数 的图象．
①列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 1 1 3 …
请补全表格：
②根据表格的数据，请在平面直角坐标系中描出对应点并连线，画出该函数图象．
(2)利用函数 的图象，探索函数性质并解决问题：
①写出该函数的一条性质______：
②当 时，y的取值范围是______．
③若点 与 是函数 图象上的两个点，若对于 ， ，都有
则a的取值范围是______．
x … 0 1 2 …
y … 3 1 1 3 …
27．（24-25八年级下·山东临沂·期末）某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数
的图象、性质及应用进行了探究，探究过程如下：
(1)作出函数 的图象．
①列表：
… 0 1 …… 0 2 1 0 …
其中，表格中 的值为 ；
②描点：根据表格数据，以自变量 的值为横坐标，以相应的函数值 为纵坐标，在平面直角坐标系中描
出相应的点；
③连线：画出该函数的图象．
(2)观察函数 的图象，请你写出该函数的两条性质：① ；② ．
(3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点 与 都在函数
的图象上，总有 ，则 的取值范围为 ．
