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专题 03 一次函数的综合与新定义型探究问题的六种模型
目录
题型一：一次函数含参数中的图象和性质..............................................................................................................1
题型二：一次函数中的规律探究问题......................................................................................................................4
题型三：一次函数中求线段和最值问题..................................................................................................................7
题型四：一次函数中折叠的综合问题....................................................................................................................16
题型五：一次函数中的新定义型综合问题............................................................................................................28
题型六：一次函数中分段函数探究问题................................................................................................................34
题型一：一次函数含参数中的图象和性质
1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数 的判断，正确的是（ ）
A．当 时，该函数图象经过一、三、四象限
B．点 ，点 在该函数的图象上，若 ，则
C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则
D．若关于 的方程 的解是 ，则 的图象恒过点
【答案】D
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交
点问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性，一次函数的平移等知识，利用一次函数的性质
判断选项A；利用一次函数的增减性判断选项B；利用一次函数的平移判断选项C；利用一次函数与一元
一次方程的关系判断选项D即可．
【详解】解：一次函数 中， ，则函数图象经过二、四象限，当 时，该函数图象与y
轴交于负半轴，该函数图象经过二、三、四象限，故选项A错误；
一次函数 中， ，则y随x的增大而减小，由 ，得 ，但是 、 的值
与0的大小不能比较，故选项B错误；
函数 的图象向右平移2个单位后，新函数解析式为 ，由新函数图象
经过原点，得 ，解得 ，故选项C错误；
若关于 的方程 的解是 ，则 的图象恒过点 ，故选项D正确．
故选：D．2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象与 轴交于点
B．当 时，点 、 在图象上，则
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象经过定点
【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过
的象限、比较一次函数值的大小
【分析】本题主要考查了求一次函数值、判断一次函数图像的增减性、比较函数值大小、判断一次函数图
像经过的象限等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．将 代入函数解析式并计算 的值，
即可判断选项A；结合 ，易得该一次函数图像的增减性，再进行比较即可判断选项B；根据该函数的
的值，即可确定该函数图象经过的象限，即可判断选项C；计算当 时的函数值，即可判断选项
D．
【详解】解：A、对于函数 ，当 时， ，即图象与 轴的交于点 ，故选项正
确，不符合题意；
B、对于函数 ，因为 ，所以 随着 的增大而减小，点 、 在图象上，且
，则 ，故本选项正确，不符合题意；
C、当 时，则函数 的图象经过第二、三、四象限，但是当 时，则函数
的图象经过第一、二、三象限，本选项错误，符合题意；
D、 对于函数 ，当 时， ，即图象经过定点 ，故选项正确，不符
合题意；
故选：C．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）关于 的函数 ，给出下列结论：
①当 时，此函数是一次函数；
②无论 取什么值，函数图象必经过点 ；
③若图象经过二、三、四象限，则 的取值范围是 ；
④若函数图象与 轴的交点始终在正半轴，则 的取值范围是 ．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征；①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限，则 ， ，即可求解；④函数
图象与x轴的交点始终在正半轴，则 ，即可求解．
【详解】①根据一次函数定义：当 时， ，
所以函数为一次函数，故①正确；
② ，故函数过 ，故②正确；
③图象经过二、三、四象限，则 ， ，
解得： ，故③正确；
④函数图象与轴的交点始终在正半轴，则 ，
解得： ，故④正确．
综上所述正确结论的序号是①②③④；
故选：D．
4．（23-24八年级下·山东聊城·期末）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
①当 时，该函数是正比例函数；
②若点 在该函数图象上，且 ，则 ；
③若该函数不经过第四象限，则 ；
④不论 取何值时，该函数图象必过定点 ．
A．①②④ B．③④ C．①②③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数、正比例函数的定义
【分析】本题考查正比例函数的定义、一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握
一次函数的图象与性质是解答的关键．根据一次函数的定义、正比例函数的定义、一次函数的图象与性质、
一次函数图象上点的坐标特征逐项分析求解即可．
【详解】解：当 时， ，该函数是正比例函数，正确，故①符合题意；
若点 在该函数图像上，且 ，
，
∴ 随 的增大而增大，则 正确，故②符合题意；
若该函数不经过第四象限，则 ．
∴ 原说法错误，故③不符合题意；
令 ，则 该函数恒过定点 ，正确，故④符合题意；
故符合题意的有①②④，
故选：A．
5．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数 （k为常数），有下列结论：①当 时，此函数是一次函数；
②无论k取什么值，函数图象必经过点 ；
③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是 ：
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题、识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特
点，确定函数与系数之间的关系，进而求解．
①根据一次函数定义即可求解；②根据 即可求解；③图象经过二、三、四象限或
二，四象限，则 ，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则 ，即可
求解
【详解】① 时， ，因自变量x前面的系数不为0，则函数为一次函数，故①正确；
② 无论k取什么值， 时，总有 ，故函数过 ，故②正确；
③图像不经过第一象限，即图象经过二、三、四象限或二，四象限，则 ，解得： ，故③
错误；
④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则 ，解得： ，故④正确．
故选：C．
题型二：一次函数中的规律探究问题
6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直
线 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过 点作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于
点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 依次进行下去，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次
函数图象上点的坐标特征可得出点 等的坐标，根据坐标的变化找出变化
规律“ ， ， ， （ 为自然数）”，
依此规律结合 即可找出点 的坐标．
【详解】解：当 时， ，
所以点 的坐标为 ．
当 时， ，
所以点 的坐标为 ．
同理可得 ， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， （ 为自然数）．
因为 ，
所以点 的坐标为 ，即 ．
故选：C．
7．（24-25八年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，如图所示，
依次作正方形 ，正方形 ，…，正方形 ，使得点 ， ， ，……，在直线l上，
点 ， ， ，…，在y轴正半轴上，则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变
化找出变化规律 （ 为正整数）是解题的关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点 的坐标，同理可得出 、 、 、…及 、 、 、 …的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律 （ 为正整数），依
此规律即可得出结论．
【详解】解：当 时，由 ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
为正方形，
，
同理可得： ， ， ， ，…，
， ， ， ，…，
（ 为正整数），
点 的坐标为： ，
故选：C．
8．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线 与 轴相交于点 ，过点 作x轴的平行线交
直线 于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，再过点 作x轴的平行线交直线
于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，…，依此类推，得到直线 上的
点 、 ， ，…，与直线 上的点 ， ， ，…，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出 的
长的规律，对于直线 ，令 求出 的值，确定出 纵坐标，即为 的纵坐标，代入直线
中求出 的横坐标，即可求出 的长，由 与 的横坐标相等得出 的横坐标，代入
求出纵坐标，即为 的纵坐标，代入直线 中求出 的横坐标，即可求出 的长，同
理求出 ， ， ，归纳总结即可得到 的长．
【详解】解：对于直线 ，令 ，求出 ，即 ，
轴，
的纵坐标为 ，将 代入 中得： ，即 ，
，
轴，
的横坐标为 ，
将 代入直线 中得： ，即 ，
与 的纵坐标为 ，
将 代入 中得： ，即 ，
，
同理 ， ， ，
则 的长为 ．
故答案为： ．
题型三：一次函数中求线段和最值问题
9．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，点 是直线 上的动点，
， 是 轴上的两点，则当 取最小值时，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查一次函数的性质，对称点的坐标，最短路径问题，一次函数解析式，正确确定出 点的
位置是解题的关键．
根据直线 的性质作点 关于直线 的对称点交 轴于点 ，连接 交直线 于一点即是点 ，
此时的值最小，求出直线 的解析式，联立直线 即可求解．
【详解】由题意可得直线 是第一三象限的角平分线，
∴作点 关于直线 的对称点交 轴于点 ，连接 交直线 于一点即是点 ，此时的值最小，
即是线段 ，∵点 ，
∴点 ，即 ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
10．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内
有一动点 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和轴对称—最短路径问题，熟练运用一次函数的性质解
决问题是本题的关键．
先根据动点 ，利用参数法求出即点 在直线 上，再找出点 关于直线
对称点为 ，根据根据将军饮马模型可知当A、B、P三点在同一直线上时，
取最小值，求出 长即可解题．
【详解】解：∵设动点 为 ；又因为动点 ，
∴ ，∴ ，即点 在直线 上，
如图，
直线 与x轴、y轴分别交于 、 两点，
易得直线 与x轴、y轴分别交于 、 ，
∴ ，
∴ 关于直线 对称点为 ，
连接 ， ，作 轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当A、B、P三点在同一直线上时， 取最小值，最小值为 ．
11．（24-25八年级下·北京·期中）如图，点 在 轴上，直线 与两坐标轴分别交于 ， 两
点， ， 分别是线段 ， 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和一
次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
作点 关于 轴的对称点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点 ，连接 ， ，连接 ，则的最小值即为 的长度，分别求出 ， 和 的长度，根据 ，
可得 ，求出 的长度，即可确定 的最小值．
【详解】解：作点 关于 轴的对称点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点 ，连接 ， ，
连接 ，如图所示：
则 的最小值即为 的长度，
点 在 轴上，
点 坐标为 ，
直线 与两坐标轴分别交于 ， 两点，
令 ，则 ，
点 坐标为 ，
令 ，则 ，
点 坐标为 ，
， ， ，
，
，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
12．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为
线段 上的两个动点，点P的坐标为 ，则 的周长的最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定 周长最小
时，M，N的位置．
作点P关于y轴的对称点 ，点P关于直线 的对称点N，连接 ，交 于点C，交y轴于点
D，连接 ，此时， 的周长最小，为 的长；，求出 的长，即可解得．
【详解】由直线的函数表达式，得点 ， ，
，
则 ．
点P的坐标为 ，
， ，
如图，
作点P关于y轴的对称点 ，点P关于直线 的对称点N，则 ，
连接 ，交 于点C，交y轴于点D，
此时， 的周长最小，
的周长 ．
连接 ，由对称可知，
，
， ，
∴点N的坐标为 ．
，
的周长的最小值为 ．故答案为 ．
13．（25-26九年级上·天津·开学考试）如图1，一次函数 的图象与坐标轴交于点 平分
交 轴于点 ，垂足为D．
(1)点 的坐标为___________，点 的坐标为___________；
(2)点D的坐标为___________
(3)如图2，点 是线段 上的一点，点 是线段 上的一点，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将 ， ，分别代入 求解即可；
（2）通过角平分线的性质证明 ，通过勾股定理求出 ， 及 的长度，即可
得到点 坐标，再由 ，即可求出点 的坐标；
（3）由 平分 ， 可得 ， 关于 对称，即 ，由此可得 到 轴距
离即为所求．
【详解】（1）解：将 代入 得 ，
；
将 代入 得 ，
；
（2）解：由（1）可知： ，
如图，设 长为 ，则 ，
平分 ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，
．
在 中， ，即 ，
解得 ，
，
；
，
， ，
，
即 ，
解得 ，
将 代入 得 ，
解得 ，
．（3）解：如图，连接 ，
由（2）知： ，
点 ， 关于 对称，
，
，
∴当 三点共线，且 轴时， 的值最小，
即 到 轴距离为 最小值，
由（2）知： ，
的最小值为 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，对称的性质，解题关键是熟练掌握一
次函数的性质，掌握角平分线的性质及求线段和最值的方法．
14．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点．
(1)求 、 两点的坐标．
(2)若点 是第一象限内的直线 上的一个动点，则当点 运动到什么位置（求出点 的坐
标）时， 的面积是 ．
(3)在（2）成立的情况下，点Р在线段 上，且到 轴的距离为 、点 是直线 上的动点，如图 ，
求 的最小值．【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数综合，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，勾股定理，
以及三角形的面积公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．
（1）分别令 与 为 求出对应 与 的值，即可求出 、 两点的坐标；
（2）根据三角形面积公式，可得 的值，将 代入直线 ，得到 ，即可确定出 的坐标；
（3）先利用一次函数的性质求得 ，作 关于 的对称点 ，连接 ，当 、 、
三点共线时， 的值最小，进而利用勾股定理及轴对称的性质即可得解．
【详解】（1）解： ，
令 ，得到 ；
令 ，得到 ，解得 ，
∴ ， ；
（2）解：由（1）知 ，
，
点 是第一象限内的直线 上，且 ，即
，
当 时，得 ，
∴ ，
；
（3）解∶令 中， ，则 ，
解得 ，
∴ ，
如图，作 关于 的对称点 ，连接 ，当 、 、 三点共线时， 的值最小，∵ ， ，
∴ 的最小值： ．
题型四：一次函数中折叠的综合问题
15．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，连接
．将 沿过点 的直线折叠，使点 落在 轴上的点 处，折痕所在的直线交 轴正半轴于点 ，
则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查的是勾股定理和折叠的性质，掌握用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的
关键．根据勾股定理即可求出 的长，然后根据折叠的性质，可得： ， ，从而求出
的长，设 ，则 ，再根据勾股定理列方程即可求出 的值，从而求出
点坐标．
【详解】解： 点 ，
，
根据勾股定理：
根据折叠的性质： ，-
设 ，则
根据勾股定理：
即：
解得：
点坐标为 ，
故答案为： ．
16．（24-25八年级上·全国·期中）如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C
是x轴上一动点，连接 ，将 沿 所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，灵活应用轴对称的性质，勾
股定理解题是关键．
分两种情况讨论：当A点落在y轴正半轴上 处时，在 中， ，求出m；
当A点落在y轴负半轴上 处时，连结 ，
在 中， ，求出m；即可求解．
【详解】解：∵ ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
如图1，当A点落在y轴正半轴上 处时，连结 ，∵A与 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
如图2，当A点落在y轴负半轴上 处时，连结 ，
由对称可得， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述：C点坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
17．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线 与 轴， 轴分别相交于点 和点
B，M是 上一点，若将 沿 折叠，则点 恰好落在 轴上的点 处．求：(1)求A、B的坐标；
(2)求 的面积．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解
是解题的关键：
（1）分别令 ，求出A、B的坐标即可；
（2）设 ，勾股定理求出 的长，等积法求出 的值，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，解得 ，
∴ ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵翻折，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ，
解： ，
∴ ．
18．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别相交于点 、 ，C是线段 上一点，将 沿着 折叠，点O落在点D，连接 ．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)若 ，求点D的坐标；
(3)点P是平面内一点，若 ，请直接写出直线 的函数解析式．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）若 ，即 ，则 ，设点 ，由翻折得：
，即 ，即 ，利用
消元思想求解即可．
（3）分点P在 上方与下方两种情况，添加辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得出相关
线段的长度，即可求解．
【详解】（1）解：将 、 代入直线 得：
，
解得： ，
∴ ；
（2）解：若 ，即 ，则 ，
设点 ，由翻折得： ，
即 ，
即 ，
即 ，
上述两式相减并整理得： ，
则 ，
解得： ，
则 ，
即点 ；
（3）解：分两种情况：
若点P在直线 的上方，令 ， 轴于点M，如图，
， ，
是等腰直角三角形， ，
，
又 ，
，
又 ， ，
，
， ，
，
，
设直线 的函数解析式为 ，
将 和 代入，得： ，
解得 ，
直线 的函数解析式为 ；同理，若点P在直线 的下方，构造 ，如图，
可得 ，直线 的函数解析式为 ．
综上可知，直线 的函数解析式为 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合问题，坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
两条直线的交点问题等，熟练掌握一次函数的图象和性质，以及分类讨论思想是解题的关键．
19．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、
轴分别交于点 ， ，点 在 轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上
的点 处．
(1)点 的坐标是________， 的长为________；
(2)求直线 的解析式；
(3)点 是 轴上一动点，若 ，请求出点 的坐标；
(4)在第一象限内是否存在点 ，使 为等腰直角三角形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ；5
(2)
(3) 或(4) 或 或
【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标，则可得到 的长，然后依据勾股定理可求得
的长；
（2）由折叠的性质可得到 ， ，可得D的坐标，设 ，则 ，然后
在 中，依据勾股定理即可求解；
（3）设点M的坐标为 ，则 ，根据 ，建立方程求解即可；
（4）分三种情况：若 ；若 ， ；若 ， ，分别
利用全等三角形的判定及性质求解即可．
【详解】（1）解：对于 ，
当 时， ，
∴点B的坐标为 ；
即 ，
当 时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，
即 ，
∴ ；
故答案为： ；5
（2）解：由折叠的性质得： ， ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴点C的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得：，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）解：设点M的坐标为 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： 或16，
∴点M的坐标为 或 ；
（4）解：存在，理由如下：
若 ，如图，过点P作 轴于点G，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此时点P的坐标为 ；
若 ， ，如图，过点P作 于点H，同理 ，
∴ ，
此时点P的坐标为 ；
若 ， ，如图，过点P作 轴于点M， 轴于点N，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设点P的坐标为 ，
∴ ，
解得： ，
此时点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题
的关键．
20．（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点
，点 ．P是边 上的一点（点P不与点A，O重合），沿着 折叠该纸片，得点O的对应
点C．
(1)填空：如图①，当点C在边 上时，点P的坐标为________， 的面积为________；
(2)如图②，当 轴时， 与 交于点D，求点D的坐标；
(3)设点A到直线 的距离为d，在折叠过程中，当 时，求 的长（直接写出结果即可）．
【答案】(1) ， ；
(2)
(3) 或8
【分析】（1）根据折叠的性质，得 ， ， 设 ，
则 ，结合 ，得到 ，得到 ，解答即可．
（2）根据折叠的性质，结合 轴，证明四边形 是正方形，再利用三角形的中位线定理，解答
即可．
（3）解答时，分 轴和不平行x轴两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵点 ，点 ，
∴ ，
根据折叠的性质，得 ，
设 ，
则
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴点 ，
故答案为： ；
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：∵点 ，点 ，
∴ ，
根据折叠的性质，得 ，
设 ，
则 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
（3）解：当 轴时，
∵点 ，点 ，
∴ ，
根据折叠的性质，得 ，
设 ，
则 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，此时 ；
∴ ；
当 不平行x轴时，如图所示，
过点A作 于点G，根据题意，得 ，
设 的交点为M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，根据勾股定理，得 ，
解得 ，
此时 ，
故 或8．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，正方形的判定
和性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题
的关键．
题型五：一次函数中的新定义型综合问题
21．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）定义：若两个实数 满足 ，则 与 互为“和谐数”，
点 为“和谐点”．
(1)若 为“和谐点”，求 的值．
(2)已知点 是关于 的一次函数 和 的图象的交点，是否存在实数 ，使
点 为“和谐点”？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，新定义运算．
（1）根据“和谐点”的定义列式计算即可；
（2）先求出 ，进而求出 ，根据“和谐点”的定义列式计算即可．
【详解】（1）解： 为“和谐点”，
，
；
（2）解：存在．
是关于 的一次函数 和 图象的交点，
，
解得 ．
将 代入 ，得 ．点 为“和谐点”，
，
解得 ，
存在 的值为 ，使点 为“和谐点”．
22．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点A 和点B ，给出如下
定义：若 ，则称B为A的雅值点，例如：点 的雅值点为点 ．
(1)点 的雅值点坐标是 ；若点A的雅值点为 ，则点A的坐标是 ；
(2)如图1，点C、点D是y轴上的动点，若点D的雅值点E在直线 上， 的面积为 ，求
点C的坐标；
(3)点M是直线 上一点，点N是点M的雅值点，若x轴上存在点P，使得 是等腰直角三角形
且 ，请求出满足条件的P点坐标．
【答案】(1) ，
(2)点 的坐标为 或
(3)点 的坐标为 或
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，勾股定理，理解新定义熟练掌握勾股定理的计算和解方程组是
解答本题的关键．
（1）根据雅值点定义进行计算填空即可；
（2）设点 的坐标为 ，则点 的雅值点 ，利用点 在一次函数图象上求出 值，得到
点 坐标，设点 坐标为 ，则 ，利用 的面积为 ，列出方程求出 值即可得到点
坐标；
（3）设点 坐标为 ，则 ，设点 ，利用勾股定理分别写出则
， ，，利用等腰直角三角形边的关系列出方程组求出
值即可得到点 坐标．
【详解】（1）解：根据雅值点的定义，点 的雅值点坐标是 即： ，
设 ，由点A的雅值点为 ，可知 ，可得：
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ， ；
（2）设点 的坐标为 ，则点 的雅值点 ，
∵点 在直线 图象上，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ．
设点 坐标为 ，则 ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得： 或1，
∴点 的坐标为 或 ．
（3）如图，设点 坐标为 ，则 ，设点 ，
则 ，
，，
∵ 是等腰直角三角形且 ，
∴ ， ，
则 ，
整理得： ，
即： ，
化简为： ，即： ，
∴ ，可得 ，
∴ 或
∴点 的坐标为 或 ．
23．（23-24八年级下·广东深圳·期中）阅读理解：
【新定义】对于线段 和 点Q，定义：若 ，则称点Q为线段 的“等距点”；特别地，若
，则称点Q 是线段 的“完美等距点”．
【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为 ，点 是直线
上一动点．
(1)已知4个点： ，以上这四个点中 是线段 的“等距点” ， 是
线段 的“完美等距点”（填写大写字母）．
(2)若点P 在第三象限，且 ，点H在y轴上，且H是线段 的“等距点”，求点H的坐标；
(3)当 ，是否存在这样的点N，使点N是线段 的“等距点”且为线段 的“完美等距点”，请直
接写出所有这样的点P的坐标．
【答案】(1)B，C，E；B
(2)H点的坐标为(3)P点的坐标为 或
【分析】本题是一次函数综合题，考查了新定义、等腰直角三角形的性质、两点之间的距离公式和勾股定
理等知识，本题综合性强，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键．
（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断；
（2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论；
（3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论．
【详解】（1）∵ ，
∴
∴B是线段 的等距点；
∵ ，
∴
∴C是线段 的等距点；
∵ ，
∴
∴D不是线段 的等距点；
∵ ，
∴
∴E是线段 的等距点；
∵
∴ ，
∴B是线段 的完美等距点；
（2）∵点 是直线 上一动点
∴
∴
∴
∵点P 在第三象限，
∴
设H的坐标为
∴
∵∴ ，解得：
∴H的坐标为
（3）存在；
∵点N是线段 的“等距点”， 点A 的坐标为 ，
∴
∴设N的坐标为
∵点 是直线 上一动点
∴
∴ ， ，
∵点N为线段 的“完美等距点”，
∴
∴ ，解得
∵点N为线段 的“完美等距点”，
∴
∴ 为等腰直角三角形
∴
∵ ，
∴ ，解得 或
当 时，
当 时，
∴P点的坐标为 或 ；
题型六：一次函数中分段函数探究问题
24．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）某班数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数
的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
(1)如表是y与x的几组对应值，其中 ________；
x … 0 1 2 3 4 5 …y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 …
(2)如图，在平面直角坐标系 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，
请画出该函数图象的另一部分；
(3)观察函数图象发现：
①该函数图象的最低点坐标是________；
②当 时，y随x的增大而________．
(4)进一步探究：不等式 的解集是________．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)① ；②减小
(4) 或
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题．
（1）计算出当 对应的函数值，从而可以求得 的值；
（2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象即可求得；
（4）观察函数图象，可以得到满足题意的 的取值范围．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ；
（2）先描点，再画出该函数图象的另一部分，下图为所求：（3）该函数图象的最低点坐标是 ；
当 时，y随x的增大而减小；
故答案为： ；减小；
（4）依题意 ，
则 或 ，
解得 或 ，
故答案为： 或 ．
25．（24-25八年级下·河南商丘·期末）研究新函数 ，可以通过一次函数的图象和性质的学习过
程来探究新函数．
(1)补全下表：
x … 0 1 2 3 …
_______ _______
y … 1
_ _
(2)根据（1）中的数据在下图中画出函数图象；
(3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质．
①该函数的最大值为________；
②若方程 有两个解，则k的取值范围是________；
③请你再写出一条该函数的性质．【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)①1；② ；③根据图象可知，当 时，y随x的增大而大；当 时，y随x的增大而减小
【分析】本题主要考查了一次函数性质、一次函数的图象等知识点，掌握数形结合是解题的关键．
（1）分别将 代入 ，计算即可；
（2）根据表格数据，描点，即可画出函数图象；
（3）①根据函数图象即可解答；②根据函数图象即可解答；③根据函数图象即可解答．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ， ；
（2）解：函数图象如下：
（3）解：①根据函数图象，该函数的最大值为 ；
②根据函数图象，若方程 有两个解，则k的取值范围是 ；
③当 时，y随x的增大而大；当 时，y随x的增大而减小．
26．（24-25八年级下·北京·期末）请同学们探究函数 的图象，通过列表、描点、面图，观察
图象，并利用函数性质解决问题．
(1)画出函数 的图象．
①列表：x … 0 1 2 …
y … 3 1 1 3 …
请补全表格：
②根据表格的数据，请在平面直角坐标系中描出对应点并连线，画出该函数图象．
(2)利用函数 的图象，探索函数性质并解决问题：
①写出该函数的一条性质______：
②当 时，y的取值范围是______．
③若点 与 是函数 图象上的两个点，若对于 ， ，都有
则a的取值范围是______．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)①函数图象关于 对称；② ；③ 或
【分析】题目主要考查函数图象的性质，画函数图象，理解题意，结合图象求解是解题关键．
（1）①根据题意代入计算填表即可；②结合表格，描点、连线即可；
（2）①根据函数图象写出性质即可；②根据函数图象确定取值范围；③根据函数图象及题意即可确定取
值范围．
【详解】（1）解：①当 时， ，
当 时， ，
补全表格如下：
x … 0 1 2 …
y … 3 1 1 3 …
②函数图象如图所示：
（2）①函数图象关于 对称（答案不唯一），
故答案为：函数图象关于 对称；
②由函数图象得，当 时， ，
故答案为： ；③∵ ，
∴ ，
∵对于 ， ，都有 ，
∴结合图象得： 或 ，
故答案为： 或 ．
27．（24-25八年级下·山东临沂·期末）某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数
的图象、性质及应用进行了探究，探究过程如下：
(1)作出函数 的图象．
①列表：
… 0 1 …
… 0 2 1 0 …
其中，表格中 的值为 ；
②描点：根据表格数据，以自变量 的值为横坐标，以相应的函数值 为纵坐标，在平面直角坐标系中描
出相应的点；
③连线：画出该函数的图象．
(2)观察函数 的图象，请你写出该函数的两条性质：① ；② ．
(3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点 与 都在函数
的图象上，总有 ，则 的取值范围为 ．
【答案】(1)① ；②见解析；③见解析
(2)①图象关于直线 成轴对称；②当 时， 随 增大而增大
(3) 或
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系．
（1）依据题意，结合函数的解析式及表格数据即可计算判断得解；
（2）根据函数图象的增减性和最值求解；
（3）根据“跟对称轴越近函数值越大”列不等式求解．【详解】（1）解：①当 时， ，
故答案为：1；
②③图象如下：
（2）解：①图象关于直线 成轴对称；
②当 时， 随 增大而增大．
故答案为：①图象关于直线 成轴对称；
②当 时， 随 增大而增大．
（3）解：由题意，结合图象可，得图象上的点离对称轴直线 越近函数值越大，
又∵点 与 都在函数 的图象上，总有 ，
∴ ，
∴ 或 ．
故答案为： 或 ．
