文档内容
专题 03 三角函数的应用(五大题型+题型综合专训)
目录;
题型1：仰角、俯角问题
题型2：方位角问题
题型3：坡度坡比问题
题型4：其他问题
题型5：三角函数综合
+题型综合专训
题型1：仰角、俯角问题
1．某火箭从地面 处发射，当火箭达到 点时，从位于地面 处雷达站测得 、 的距离是 米，仰角
为 ，此时火箭 的高度是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
2．如图，热气球的探测器显示，从热气球 处看一栋楼顶部 处的仰角为 ，看这栋楼底部 处的俯角
为 ，热气球 处与楼的水平距离为 ，则这栋楼的高度为（ ）
1A． B． C． D．
3．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得
圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面O处
成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得 米，仰角为 ，3秒后，飞船直线上升
到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为 ．点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处
相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少 ． 结果精确到1米；参考数据： ，
A．332 B．333 C．334 D．335
题型2：方位角问题
4．王英同学从 地沿北偏西 方向走 到 地，再从 地向正南方向走 到 地，此时王英同学
离 地（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的
方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的
最短距离是（ ）
A．12海里 B．6 海里 C．12 海里 D．24 海里
26．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔 海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到
达位于灯塔P的南偏东 方向上的B处，则海轮行驶的路程 的值为（ ）
A． 海里 B． 海里
C． 海里 D． 海里
题型3：坡度坡比问题
7．如图，若坡角 ，则斜坡 的坡度为（ ）
A． B． C． D．2
8．某人沿着坡度为 的山坡前进了100米，则此人所在的位置升高了（ ）
A．100米 B． 米 C．50米 D．
9．如图，大坝横截面的迎水坡 的坡比为 ∶ ，即 ∶ ∶ ，若坡面 长度 米，则坡面
的水平宽度 长为（ ）
3A． B． C． D．
题型4：其他问题
10．近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送
货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座 的高 为 ，上部显示屏 的长度为
，侧面支架 的长度为 ， ， ，则该机器人的最高点F距地面 的
高度约为( ) ．（参考： ， ， ）
A．143 B．77 C．62 D．158
11．如图，某农林部门用钢管为垂直于地面的树木进行加固．已知钢管 、 的长度相等，钢管 与
地面所成角 ，钢管落地点间距 长6米，则固定点 离地面的高度 为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
12．马路边上有一棵树 ，树底 距离护路坡 的底端 有3米，斜坡 的坡角为60度，小明发现，
下午2点时太阳光下该树的影子恰好为 ，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的
部分影子落在斜坡 上的 处，且 ，如图所示，线段 的长度为（ ）
4A． B． C． D．
题型5：三角函数综合
13．设0°＜∠A＜∠B＜90°，下列说法中错误的是（ ）
A．sinA＜sinB B．cosA＜cosB
C．若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB D．若sinA＝cosB，则∠A+∠B＝90°
14．小明在学习直角三角形的三角函数时发现：
如图1，在 中， 所对的边分别是a、b、c，
∵ ， （ ）
∴ ．小明猜想：在锐角三角形中也有相同的结论．
(1)如图2，在锐角三角形 中， 所对的边分别是a、b、c，请你运用直角三角形的三角函
数的有关知识验证 ；
(2)请你运用（1）中的结论完成下题：如图3，在南海某海域一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏西
的方向上，随后货轮以80海里/小时的速度按北偏东 的方向航行，两小时后到达C处，此时又测得灯
塔A在货轮的北偏西 的方向上，求此时货轮与灯塔A的距离．
15．阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互
5唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．
我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对 ．如图1，在 中， ，顶角 的正
对记作 ，这时 底边 腰 ．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定
的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)计算： ______；
(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是______；
(3)如（3）图，已知 ， ，其中 为锐角，试求 的值．
题型综合专训
一、单选题
1．已知 两点，若点 对点 的仰角为 ，那么 对 的俯角是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，为测河两岸相对两抽水泵 的距离，在距 点 的 处 ，测得 ，则
间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，小明在点 处测得树的顶端 仰角为 ，同时测得 ，则树的高度 为（ ）
6A． B． C． D．
4．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗
杆 的高度与拉绳 的长度相等，小明先将 拉到 的位置，测得 为水平线），测角
仪 的高度为 米，则旗杆 的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度 为 ，根据以上条件，可
以列出的方程为 （ ）
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意
图
相关数据
A． B．
C． D．
6．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在
7高为12米的建筑物DE的顶部测得信号发射塔AB顶端的仰角∠FEA＝56°，建筑物DE的底部D到山脚底
部C的距离DC＝16米，小山坡面BC的坡度（或坡比）i＝1：0.75，坡长BC＝40米（建筑物DE、小山坡
BC和网络信号发射塔AB的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB与水平线DC垂直），则信号发射塔AB
的高约为 （ ）（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）
A．71.4米 B．59.2米 C．48.2米 D．39.2米
7．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳， ，
厘米，则内槽宽 的长为（ ）
A． 厘米 B． 厘米 C． 厘米 D． 厘米
8．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后 公里”问题，电力公司在
改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为 的山坡 的平台 上（如图），测得
米， 米， 米，则铁塔 的高度约为（ ）（参考数据：
）
8A． B． C． D．
9．数学实践活动课中小明同学测量某建筑物 的高度，如图，已知斜坡 的坡度为 ，小明在
坡底点 处测得建筑物顶端 处的仰角为 ，他沿着斜坡行走 米到达点 处，在 测得建筑 物顶端
处的仰角为 ，小明和建筑物的剖面在同一平面内，小明的身高忽略不计．则建筑物的 高度约为
（ ）（参考数据： ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
10．图1是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩
天轮．如图2，小嘉从摩天轮最低处 出发先沿水平方向向左行走37米到达点 ，再经过一段坡度为
，坡长为26米的斜坡 到达点 ，然后再沿水平方向向左行走50米到达点 ．在 处小嘉操作
一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点 的正上方点 时，测得点 处的俯角为 ，摩天轮最高处
的仰角为 ． 所在的直线垂直于地面，垂足为 ，点 、 、 、 、 、 、 在同一平面内，
则 的高度约为（ ）米．（结果精确到1米，参考数据： ， ， ，
， ， ）
9A．117 B．120 C．122 D．130
二、填空题
11．在倾斜角为 的斜坡上植树，若要求两棵树的水平距离为 ，则斜坡上相邻两树的坡面距离为
．
12．如图，为了绿化荒山，在坡角 的山坡上修建扬水站（ ），扬水站中出水口 的高度 为
现在打算从山脚下的机井房 沿山坡铺设水管，则铺设水管 的长度为 用含 的三角
函数表示）
13．如图，大楼 的底部右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 ，在小楼的顶端D处测得障
碍物边缘点C的俯角为 ，测得大楼顶端A的仰角为 （点B，C，E在同一水平直线上），已知
，则障碍物B，C两点间的距离为 米．（结果保留根号）
14．如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为16米，在B处，E处分别测得CD
10顶部点D的仰角为30°，60°，则CD的高度为 米．
15．如图，已知斜坡 长 ，坡角（即 ）为 ， ，现计划在斜坡中点D处挖去
部分斜坡，修建一个平行于水平线 的休闲平台 和一条新的斜坡 ．若修建的斜坡 的坡度为
3∶1，休闲平台 的长是 m．
16．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东 方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24海
里到达B处，这时测得灯塔P在北偏东 方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔
P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是 海里．
17．如图．某同学为测量宣传牌的高度 ，他站在距离教学楼底部E处9米远的地面C处，测得宣传牌
的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上），然后，小
明沿坡度 的斜坡从C走到F处，此时 正好与地面 平行．他在F处又测得宣传牌顶部A的仰角
为45°，则宣传牌 的高度约为 米（结果精确到0.1米， ）．
1118．长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久．图1是某款长嘴壶
模型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身 ， ，壶嘴 ，且
， ， ，则 ，如图2，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A
转动壶身，当恰好倒出茶水时， ，则此时出水口F到桌面的距离为 cm．
三、解答题
19．如图，为了测量某建筑物的高 ，在距离 点 米的 处安置测角仪，测得点 的仰角 为 ，
已知仪器的高 米，求建筑物的高 .
20．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距12米的D处测得广告牌顶部A的仰角为37°，测得广
告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
12tan37°≈0.75）
21．海中有一小岛S，该岛周围 内有暗礁．今有快艇以 的速度向正北航行，在A处看小岛S
在船的北偏东 方向，航行40分钟后到达B处，在B处看小岛S在船的北偏东 方向．
(1)A到B的距离是______ ；
(2)求该快艇继续向北航行有触礁危险吗？说明理由．（参考数据： ， ，
）
22．如图， ，斜坡 的长为 米，坡度 ，在点 处测得旗杆顶端的仰角为 ，点 到
旗杆底部 的距离为 米．
(1)求斜坡 的坡角 的度数；
(2)求旗杆顶端离地面的高度 的长．（结果精确到0.1米）
23．为为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千
米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，
无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的
13俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．
(1)求限速道路AB的长（精确到1米）；
(2)如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ）
24．为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
(1)测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡 ，山的高度即为三段坡面的铅直高度
之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆 的一端放在坡面起始端A处，直杆 沿坡面 方向放置，在直杆
另一端N用细线系小重物G，当直杆 与铅垂线 重合时，测得两杆夹角 的度数，由此可得山
坡AB坡角 的度数．请直接写出 之间的数量关系．
(2)测量山高
同学们测得山坡 的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为 ；为求 ，小
熠同学在作业本上画了一个含 角的 （如图3），量得 ．求山高 ．（
，结果精确到1米）
(3)测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
14如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于 的顶端，当 与铅垂线 重合时，转动直杆 ，使点
N，P，D共线，测得 的度数，从而得到山顶仰角 ，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得
山顶仰角 ；画一个含 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 厘米， 厘米，再画一个含
的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 厘米， 厘米．已知杆高MN为 米，求山高 ．
（结果用不含 的字母表示）
15
