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专题 03 三角函数的应用(五大题型+题型综合专训)
目录;
题型1：仰角、俯角问题
题型2：方位角问题
题型3：坡度坡比问题
题型4：其他问题
题型5：三角函数综合
+题型综合专训
题型1：仰角、俯角问题
1．某火箭从地面 处发射，当火箭达到 点时，从位于地面 处雷达站测得 、 的距离是 米，仰角
为 ，此时火箭 的高度是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题；在 中，由 ，可求得 ，即
可得出答案．
【解析】解：由题意得， 米，
在 中，
解得： ，
∴火箭 的高度是 米．
故选：A．
2．如图，热气球的探测器显示，从热气球 处看一栋楼顶部 处的仰角为 ，看这栋楼底部 处的俯角
1为 ，热气球 处与楼的水平距离为 ，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点 作 于点 ，根据题意得 ， ， ，再解直角三角
形即可解答．
【解析】解：如图，过点 作 于点 ，
由题意得 ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
，即这栋楼的高度为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了仰角俯角问题，用辅助线构建直角三角形是解题的关键．
3．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得
圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面O处
2成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得 米，仰角为 ，3秒后，飞船直线上升
到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为 ．点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处
相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少 ． 结果精确到1米；参考数据： ，
A．332 B．333 C．334 D．335
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题,勾股定理．根据题意可得： ，先在
中，利用含 角的直角三角形的性质求出 ， 的长，从而求出 的长，然后在
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出 的长，进行计算即可解答．熟练掌握锐角三角函
数的定义是解题的关键．
【解析】解：由题意得： ，
在 中， 米， ，
米 ，
米 ，
米，
米，
在 中， ，
米，
米，
3飞船从 到 处的平均速度 ．
故选：D．
题型2：方位角问题
4．王英同学从 地沿北偏西 方向走 到 地，再从 地向正南方向走 到 地，此时王英同学
离 地（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过点 作 ，交 于点 ．在 中， ，
， ，
．
【易错点分析】不会画图，“ 地沿北偏西 方向”应该在 地建立方向坐标，“ 地向正南方向”应
该在 地建立方向坐标，要根据需要建立方向坐标．
5．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的
方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的
最短距离是（ ）
4A．12海里 B．6 海里 C．12 海里 D．24 海里
【答案】B
【分析】过点 作 ，利用 ，结合锐角三角函数，列式计算即可．
【解析】解：如图，过点 作 ，
由题意，得： ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
故选B
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
6．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔 海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到
达位于灯塔P的南偏东 方向上的B处，则海轮行驶的路程 的值为（ ）
5A． 海里 B． 海里
C． 海里 D． 海里
【答案】C
【分析】根据方向角的概念可知 ，由锐角三角函数的定义求出 的值，在 中根据
求出 的值，由 即可得出结论．
【解析】解：由题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ （海里）
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟知方向角的概念是解答此题的关键．
题型3：坡度坡比问题
7．如图，若坡角 ，则斜坡 的坡度为（ ）
6A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了坡度的定义，根据坡度是坡角的正切值，即可求解．
【解析】解：坡角 ，则斜坡 的坡度为 ，
故选：B．
8．某人沿着坡度为 的山坡前进了100米，则此人所在的位置升高了（ ）
A．100米 B． 米 C．50米 D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，已知了坡度，可求出坡角的度数，进而根据坡面长求出铅直高
度即此人垂直升高的距离．
【解析】解：如图， 中， 米， ，
∴ ， 米．
即此人所在的位置比原来升高了50米，
故选：C．
9．如图，大坝横截面的迎水坡 的坡比为 ∶ ，即 ∶ ∶ ，若坡面 长度 米，则坡面
的水平宽度 长为（ ）
7A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据坡度的概念得到 ，根据勾股定理计算即可．
【解析】解： 坡面 的坡度为 ： ，
，即 ，
由勾股定理得， ，
则 ，
解得 ，
故斜坡的水平宽度 的长为 米．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡面的铅直高度 和水平
宽度 的比是解题的关键．
题型4：其他问题
10．近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送
货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座 的高 为 ，上部显示屏 的长度为
，侧面支架 的长度为 ， ， ，则该机器人的最高点F距地面 的
高度约为( ) ．（参考： ， ， ）
A．143 B．77 C．62 D．158
8【答案】A
【分析】通过作垂线或平行线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解析】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 ，过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
，
机器人的最高点 距地面 的高度为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
11．如图，某农林部门用钢管为垂直于地面的树木进行加固．已知钢管 、 的长度相等，钢管 与
地面所成角 ，钢管落地点间距 长6米，则固定点 离地面的高度 为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】根据题意可得： ， 然后在 中， 利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解
9答．
【解析】由题意得： ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， 米，
∴ (米)，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关
键．
12．马路边上有一棵树 ，树底 距离护路坡 的底端 有3米，斜坡 的坡角为60度，小明发现，
下午2点时太阳光下该树的影子恰好为 ，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的
部分影子落在斜坡 上的 处，且 ，如图所示，线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出 ，延长 ，交 于点 ，根据30度角的直角三角
形即可求出结果．
【解析】解： 同时刻1米长的竹竿影长为0.5米， 米，
树 的高度是6米；
延长 ，交 于点 ，
，
10，
，
米，
米，
米，
线段 的长度为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线得到 的影长．
题型5：三角函数综合
13．设0°＜∠A＜∠B＜90°，下列说法中错误的是（ ）
A．sinA＜sinB B．cosA＜cosB
C．若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB D．若sinA＝cosB，则∠A+∠B＝90°
【答案】B
【分析】根据正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，任意锐角的正弦值等于它的
余角的余弦值，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、∵0°＜∠A＜∠B＜90°，
∴sinA＜sinB，故A正确，不符合题意；
B、∵0°＜∠A＜∠B＜90°，
∴cosA＞cosB，故B错误，符合题意；
C、∵∠A+∠B＝90°，
∴sinA＝cosB，故C正确，不符合题意；
D、∵sinA＝cosB，0°＜∠A＜∠B＜90°，
∴∠A+∠B＝90°，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，锐角三角函数的增减性，熟练掌握互余两角三角函数的关
系，以及锐角三角函数的增减性是解题的关键．
14．小明在学习直角三角形的三角函数时发现：
11如图1，在 中， 所对的边分别是a、b、c，
∵ ， （ ）
∴ ．小明猜想：在锐角三角形中也有相同的结论．
(1)如图2，在锐角三角形 中， 所对的边分别是a、b、c，请你运用直角三角形的三角函
数的有关知识验证 ；
(2)请你运用（1）中的结论完成下题：如图3，在南海某海域一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏西
的方向上，随后货轮以80海里/小时的速度按北偏东 的方向航行，两小时后到达C处，此时又测得灯
塔A在货轮的北偏西 的方向上，求此时货轮与灯塔A的距离．
【答案】(1)见解析
(2)货轮距灯塔A的距离为 海里
【分析】（1）过点A作 于点D，过点B作 于点H，在 中表示出 ，在
中表示出 ，即可求证；
（2）由（1）中所得结论可推出： ，据此即可求解．
【解析】（1）解：过点A作 于点D，过点B作 于点H
在 中，∵ ，
12∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴
同理可得
∴
（2）解：由题意可得
∴ ，
∵ ，
∴
∴ 海里．
此时货轮距灯塔A的距离为 海里．
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．构造直角三角形是解题关键．
15．阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互
唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．
我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对 ．如图1，在 中， ，顶角 的正
对记作 ，这时 底边 腰 ．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定
的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)计算： ______；
(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是______；
13(3)如（3）图，已知 ， ，其中 为锐角，试求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，
理解新定义是解此题的关键．
（1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即可；
（2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）由 ，令 ，则 ， ，在 上取点 ，使
，连接 ，作 ， 为垂足，表示出 的长，再计算出 ，最后由
正对的定义即可求解．
【解析】（1）解：根据正对定义可得：
当顶角为 时，等腰三角形底角为 ，则三角形为等边三角形，
底边 腰长 ，
故答案为：1；
（2）解：当 接近 时，底边长接近0，由定义知 接近0，
当 接近 时，等腰三角形的底接近腰的 倍，由定义知 接近 ，
的正对值 的取值范围是 ，
故答案为： ；
（3）解：如图：
14在 中， ，
令 ，则 ， ，
在 上取点 ，使 ，连接 ，作 ， 为垂足，
∴ ，
， ，
．
题型综合专训
一、单选题
1．已知 两点，若点 对点 的仰角为 ，那么 对 的俯角是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到B对A的仰角为 ．
【解析】解：如图，
∵A对B的俯角为 ，
∴B对A的仰角为 ．
故选A．
【点睛】本题主要考查了仰角和俯角的定义，解决本题的关键是要熟练掌握仰角和俯角的定义．
2．如图，为测河两岸相对两抽水泵 的距离，在距 点 的 处 ，测得 ，则
15间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在 中， ，由此可以求出 之长．
【解析】解：在 中，
，
．
又 ， ，
．
故选： ．
【点睛】此题考查了正切的概念和运用，关键是把实际问题转化成数学问题，把它抽象到直角三角形中来．
3．如图，小明在点 处测得树的顶端 仰角为 ，同时测得 ，则树的高度 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由锐角三角函数定义得 ，即可得出答案．
【解析】解：在 中， ， ， ，
16．
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
4．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗
杆 的高度与拉绳 的长度相等，小明先将 拉到 的位置，测得 为水平线），测角
仪 的高度为 米，则旗杆 的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据 ，列出方程即可解决问题．
【解析】解：设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，
∴
∴ ，
∴（1- ）x=1，
∴x= ．
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
5．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度 为 ，根据以上条件，可
以列出的方程为 （ ）
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
17测量目标示意
图
相关数据
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得
FH＝x−10，得到CE＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【解析】过D作DH⊥EF于H，
则四边形DCEH是矩形，
∴HE＝CD＝10，CE＝DH，
∴FH＝x−10，
∵∠FDH＝α＝45°，
∴DH＝FH＝x−10，
∴CE＝x−10，
∵tanβ＝tan50°＝ ＝ ，
∴x＝（x−10）tan 50°，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的
关键．
6．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在
高为12米的建筑物DE的顶部测得信号发射塔AB顶端的仰角∠FEA＝56°，建筑物DE的底部D到山脚底
部C的距离DC＝16米，小山坡面BC的坡度（或坡比）i＝1：0.75，坡长BC＝40米（建筑物DE、小山坡
BC和网络信号发射塔AB的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB与水平线DC垂直），则信号发射塔AB
的高约为 （ ）（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）
18A．71.4米 B．59.2米 C．48.2米 D．39.2米
【答案】D
【分析】延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，可得四边形EDGH是矩形，根据小山坡面BC的坡度i＝
1：0.75，即 ，求得BG＝32，CG＝24，再根据三角函数即可求出信号发射塔AB的高．
【解析】解：如图，延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，
∵ED⊥DG，
∴四边形EDGH是矩形，
∴GH＝ED＝12，
∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即 ，
设BG＝4x，CG＝3x，则BC＝5x，
∵BC＝40，
∴5x＝40，
解得x＝8，
∴BG＝32，CG＝24，
∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，
BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，
19在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，
∴AH＝EH•tan56°≈40×1.48≈59.2，
∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．
答：信号发射塔AB的高约为39.2米．
故选：D．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
7．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳， ，
厘米，则内槽宽 的长为（ ）
A． 厘米 B． 厘米 C． 厘米 D． 厘米
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到 （厘米）， ，过点 作
于 ，解直角三角形即可得到结论．
【解析】解： 厘米，点 是两根钢条的中点，
（厘米），
，
，
过点 作 于 ，
， ，
，
内槽宽 的长为 厘米，
故选：A．
20【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
8．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后 公里”问题，电力公司在
改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为 的山坡 的平台 上（如图），测得
米， 米， 米，则铁塔 的高度约为（ ）（参考数据：
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，得到GF=BC=5，设DF=3k，CF=4k，解直角三角形得到结
论．
【解析】解：延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，
则四边形BGFC是矩形
∴GF=BC=5，
∵山坡CD的坡度为1：0.75，
∴设DF=3k，CF=4k，
∴CD=5k=35，
∴k=7，
∴DF=21，BG=CF=28，
∴EG=GF+DF+DE=5+21+19=45，
∵∠AED=52.5°，
∴AG=EG•tan52.5°=45×1.30=58.5，
∴AB=AG-BG=30.5米，
21答：铁塔AB的高度约为30.5米．
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，
通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
9．数学实践活动课中小明同学测量某建筑物 的高度，如图，已知斜坡 的坡度为 ，小明在
坡底点 处测得建筑物顶端 处的仰角为 ，他沿着斜坡行走 米到达点 处，在 测得建筑 物顶端
处的仰角为 ，小明和建筑物的剖面在同一平面内，小明的身高忽略不计．则建筑物的 高度约为
（ ）（参考数据： ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】D
【分析】如图，过F点作FH⊥CD，垂足为H，作FG⊥EB，垂足为G.利用坡度先求出FG与EG，设
DE=CD=x，表示出FH，CH，再利用三角函数即可解得.
【解析】如图，过F点作FH⊥CD，垂足为H，作FG⊥EB，垂足为G.
根据题意易知DC=DE，EF=13m，∠CFH=35°，HF=GD，HD=FG
∵斜坡 的坡度为 ，且EF=13m
故FG=5m，EG=12m
设DE=CD=x，则FH=DE+EG=x+12，CH=CD-HD=CD-FG=x-5
22在直角三角形CHF中，
解得x≈44.7
故选D
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键在于能够画出辅助线.
10．图1是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩
天轮．如图2，小嘉从摩天轮最低处 出发先沿水平方向向左行走37米到达点 ，再经过一段坡度为
，坡长为26米的斜坡 到达点 ，然后再沿水平方向向左行走50米到达点 ．在 处小嘉操作
一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点 的正上方点 时，测得点 处的俯角为 ，摩天轮最高处
的仰角为 ． 所在的直线垂直于地面，垂足为 ，点 、 、 、 、 、 、 在同一平面内，
则 的高度约为（ ）米．（结果精确到1米，参考数据： ， ， ，
， ， ）
A．117 B．120 C．122 D．130
【答案】B
【分析】作CN⊥OD于N，FM⊥AB于M，分别解△EFD和△AFM，即可求出 的高度．
【解析】解：作CN⊥OD于N，FM⊥AB于M，
∵坡度为 ，坡长为26米，
23∴ ， 米， 米，
∴ 米， 米，
∵∠MFD=∠FDE=58°，
，
， 米， 米，
，
， 米，
米，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练作辅助线，构建直角三角形，利用坡比和三角
函数求值．
二、填空题
11．在倾斜角为 的斜坡上植树，若要求两棵树的水平距离为 ，则斜坡上相邻两树的坡面距离为
．
【答案】
【分析】由题意可知 ，利用 角的余弦即可求出 的长．
【解析】解： ， ，
24，
米，
米，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 坡度坡角问题，还要学生联系实际知道坡面距离就是斜坡的长，
也就是直角三角形的斜边，水平距离就是其直角边，所以学生学习时要多联系实际，不可死学．
12．如图，为了绿化荒山，在坡角 的山坡上修建扬水站（ ），扬水站中出水口 的高度 为
现在打算从山脚下的机井房 沿山坡铺设水管，则铺设水管 的长度为 用含 的三角
函数表示）
【答案】
【分析】在 中，根据 ，再根据 ，然后进行计算即可．
【解析】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ （m），
则铺设水管 的长度为 m；
故答案为： ．
25【点睛】本题考查解直角三角形的应用 坡度坡角问题，解题的关键是记住锐角三角函数的定义，属于中
考常考题型．
13．如图，大楼 的底部右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 ，在小楼的顶端D处测得障
碍物边缘点C的俯角为 ，测得大楼顶端A的仰角为 （点B，C，E在同一水平直线上），已知
，则障碍物B，C两点间的距离为 米．（结果保留根号）
【答案】
【分析】过D作DF⊥AB，交AB于点F，过C作CG⊥DF，交DF于点G，可得四边形FBED与四边形
CGDE为矩形，由AB-BF求出AF的长，在直角三角形AFD中，利用锐角三角函数定义求出FD的长，在
直角三角形CGD中，利用锐角三角函数定义求出GD的长，由FD-DG求出FG的长，即为BC的长．
【解析】解：如图，过点D作 于点F，过点C作 于点G，则四边形 与 矩
形，
∴ ，
由题意可知， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，即 ，
解得 ，
26∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
14．如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为16米，在B处，E处分别测得CD
顶部点D的仰角为30°，60°，则CD的高度为 米．
【答案】
【分析】作BF⊥CD于点F，设DF＝x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角
△DCE中用x表示出CE的长，然后根据BF−CE＝AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．
【解析】作BF⊥CD于点F，设DF＝x米，
在Rt△DBF中，tan∠DBF＝ ，则BF＝ ，
在Rt△DCE中，DC＝x＋CF=x+AB＝3＋x，
27在Rt△DCE中，tan∠DEC＝ ，则EC＝ ．
由BF−CE＝AE，得 x− ＝16
解得：x＝ ，
则CD＝ ＋3＝( )米．
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相
关线段的长度，列方程求解．
15．如图，已知斜坡 长 ，坡角（即 ）为 ， ，现计划在斜坡中点D处挖去
部分斜坡，修建一个平行于水平线 的休闲平台 和一条新的斜坡 ．若修建的斜坡 的坡度为
3∶1，休闲平台 的长是 m．
【答案】20
【分析】由三角函数的定义，即可求得AC与BC的长，又由坡度的定义，即可求得EH的长，继而求得休
闲平台DE的长．
【解析】解：如图，延长 交 于点H,
28在 中， ， ，
∴ ，
∵点D为 中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵斜坡 的坡度为： ，
∴ ，
∴ ，即休闲平台 的长是 ．
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用问题，在生活当中利用三角函数来解决实际问题，熟练掌
握三角函数的基本知识，是解决本题的关键．
16．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东 方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24海
里到达B处，这时测得灯塔P在北偏东 方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔
P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是 海里．
【答案】
【分析】过点P作 ⊥射线 于C，由等腰三角形的判定和性质可得 ，再由正弦三角函数解
即可.
【解析】解：如图，过点P作 ⊥射线 于C，则 即为所求距离，
29由图可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ 海里，
在 中： 海里，
故答案为： .
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握正弦的概念是解题关键．
17．如图．某同学为测量宣传牌的高度 ，他站在距离教学楼底部E处9米远的地面C处，测得宣传牌
的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上），然后，小
明沿坡度 的斜坡从C走到F处，此时 正好与地面 平行．他在F处又测得宣传牌顶部A的仰角
为45°，则宣传牌 的高度约为 米（结果精确到0.1米， ）．
【答案】5.5
【分析】过点F作 于G，可得四边形 是矩形，则 ；在 中可求
30得 的长，在 中可求得 的长，从而可得 的长，也即 的长；分别在
中求出 的长，由 即可求得结果．
【解析】解：如图，过点F作 于G，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ；
在 中， ，则 （米），
∴ 米；
在 中， ，则 米，
∴ 米；
在 中， ，
则 （米），
在 中， ，
∴ 米
∴ （米）
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握题中的坡度、仰角的含义，并能熟练地解直角三角形是解
题的关键．
18．长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久．图1是某款长嘴壶
31模型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身 ， ，壶嘴 ，且
， ， ，则 ，如图2，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A
转动壶身，当恰好倒出茶水时， ，则此时出水口F到桌面的距离为 cm．
【答案】
【分析】过点D作 ，交 于点G，过点A作 ，利用勾股定理求出 即可得出
，再由当 ，过D点作 ，垂足为 ，过 点作 ，垂足
为 ，构造 ， ，解三角形即可。
【解析】解：如图，过点D作 ，交 于点G，过点A作 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
解得： （负值已舍去）
32∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
当 ，过D点作 ，垂足为 ，过 点作 ，垂足为 ，
∴ ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
33∴ ，
∴ ，
∴ ，即则此时出水口F到桌面的距离为 ．
故答案为① ，② ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添
加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题
19．如图，为了测量某建筑物的高 ，在距离 点 米的 处安置测角仪，测得点 的仰角 为 ，
已知仪器的高 米，求建筑物的高 .
【答案】建筑物的高 为 .
【分析】利用锐角三角函数关系得出AE的长，即可得出AB的长．
【解析】如图所示：过点 作 于点 ，
由题意可得： ，
则 ，
解得： ，
故 （ ）.
答：建筑物的高 为 .
34【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，得出AE的长是解题关键．
20．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距12米的D处测得广告牌顶部A的仰角为37°，测得广
告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）
【答案】广告牌 的高度为 米
【分析】利用CD及正切函数的定义求得BC，AC长，把这两条线段相减即为AB长．
【解析】解：根据题意，可知
， ， 米， ．
在 中， ，得
米．
在 中， ，得
米．
∴ ．
答：广告牌 的高度为 米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
21．海中有一小岛S，该岛周围 内有暗礁．今有快艇以 的速度向正北航行，在A处看小岛S
35在船的北偏东 方向，航行40分钟后到达B处，在B处看小岛S在船的北偏东 方向．
(1)A到B的距离是______ ；
(2)求该快艇继续向北航行有触礁危险吗？说明理由．（参考数据： ， ，
）
【答案】(1)20
(2)该快艇继续向北航行不会有触礁危险，见解析
【分析】（1）根据速度、时间、路程之间的关系即可求解；
（2）过点 作 于 ，由题意得， ，设 ，在 中求出
即可解答．
【解析】（1）解：（1）由速度、时间、路程之间的关系可得， ，
故答案为：20；
（2）解：该快艇继续向北航行不会有触礁危险，理由如下：
过 作 ，
，
设 ，在直角三角形 中，
∴
∴ ，
∴
该快艇继续向北航行不会有触礁危险．
36【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，掌握锐角三角形函数的定义并灵活运用是解题的
关键．
22．如图， ，斜坡 的长为 米，坡度 ，在点 处测得旗杆顶端的仰角为 ，点 到
旗杆底部 的距离为 米．
(1)求斜坡 的坡角 的度数；
(2)求旗杆顶端离地面的高度 的长．（结果精确到0.1米）
【答案】(1)
(2)16.0米
【分析】（1）过点 作 于点 ，由 ，可得 ；
（2）由 、 知 米，再由 可得答案．
【解析】（1）∵
∴
（2）作 垂足为
37在 中，
在矩形 中
在Rt BCE中
△
∴
∴ （米）
答： 的长是 米
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念和坡度
坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．为为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千
米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，
无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的
俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．
(1)求限速道路AB的长（精确到1米）；
(2)如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ）
38【答案】(1)1507米
(2)超速，见解析
【分析】（1）由三角函数定义求出AE、AB，即可得出答案；
（2）求出该汽车的速度，即可得出结论．
【解析】（1）根据题意，得∠CAB=37°，CD=220米，∠DAB=30°，∠DBA=45°，
如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，
∵CD∥AB，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE=DF，CD=EF，
∵∠DBA=45°，
∴DF=BF，
设DF=BF=CE=x米，
在Rt△ADF中，∠DAF=30°，DF=x米，
∴AF=DF÷tan30°= DF= x（米），
∴AE=AF-EF=（ x-220）米，
在Rt△AEC中，∠CAE=37°，
∵CE=AE•tan37°，
∴x=（ x-220）×0.75，
解得x=60（3 +4）=（180 +240）米，
∴AE= x-220=（320+240 ）米，
FB=x=（180 +240）（米），
∴AB=AE+EF+FB
39=320+240 +220+180 +240
=780+420
≈1507（米），
答：限速道路AB的长约为1507米；
（2）∵1分20秒= 小时，
∴该汽车的速度约为：1507÷ ≈67.8km/h＞60km/h，
∴该车超速．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握三角函数定义是解题的关键．
24．为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
(1)测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡 ，山的高度即为三段坡面的铅直高度
之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆 的一端放在坡面起始端A处，直杆 沿坡面 方向放置，在直杆
另一端N用细线系小重物G，当直杆 与铅垂线 重合时，测得两杆夹角 的度数，由此可得山
坡AB坡角 的度数．请直接写出 之间的数量关系．
(2)测量山高
同学们测得山坡 的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为 ；为求 ，小
熠同学在作业本上画了一个含 角的 （如图3），量得 ．求山高 ．（
，结果精确到1米）
(3)测量改进
40由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于 的顶端，当 与铅垂线 重合时，转动直杆 ，使点
N，P，D共线，测得 的度数，从而得到山顶仰角 ，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得
山顶仰角 ；画一个含 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 厘米， 厘米，再画一个含
的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 厘米， 厘米．已知杆高MN为 米，求山高 ．
（结果用不含 的字母表示）
【答案】(1) ；
(2)山高 为69米；
(3)山高 的高为 米．．
【分析】（1）利用互余的性质即可求解；
（2）先求得 ，再分别在 、 、 中，解直角三角形即可求解；
（3）先求得 ， ，在 和 中，分别求得 和 的长，得到方程
，据此即可求解．
【解析】（1）解：由题意得 ，
41∴ ；
（2）解：在 中， ．
∴ ，
在 中， ， 米，
∴ (米)，
在 中， ， 米，
∴ (米)，
在 中， ， 米，
∴ (米)，
∴山高 (米)，
答：山高 为69米；
（3）解：如图，由题意得 ， ，
设山高 ，则 ，
42在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ，山高
答：山高 的高为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角
形的问题是解答此类题的关键．
43
