专题03三角形证明之两线——中垂线和角平分线（原卷版）-重难点突破八年级数学下册常考题专练（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

专题 03 三角形证明之两线——中垂线和角平分线中档题巩固 题型一 线段的垂直平分线 1．如图所示，在 中， 是 的中垂线， ， 的周长为 ，则 的周长是 ． 2．如图， ，若 和 分别垂直平分 和 ，则 ． 3．如图，在 中， ，线段 的垂直平分线交 于点 ， 的周长是 ，则 的长为 ． 4．如图， 的斜边 的中垂线 与 交于点 ， ， ，则 的面积为 ． 5．如图，在 中， 边的中垂线 ，分别与 边和 边交于点 和点 ， 边的中垂线 ，分别与 边和 边交于点 和点 ，又 周长为16，且 ，则 的长为 A．13 B．14 C．15 D．16 6．如图， 是 的角平分线，点 在射线 上， 是线段 的中垂线交 于 ，过点 作 的垂线交 于点 ．若 ， ，则 ． 7．如图，在 中，点 是边 ， 的垂直平分线的交点，若 ， ，则 的周长是 A．13 B．15 C．18 D．21 8．如图，在 中， ， ， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，则 的长为 ．9．如图， 中， 平分 ， 且平分 ， 于 ， 于 ． （1）判断 与 的数量关系，并说明理由； （2）如果 ， ，求 、 的长． 10．已知，如图， 是 平分线上的一点， ， ，垂足分别为 ， ．求证： （1） ； （2） 是 的垂直平分线． 11．已知：如图，在 中， ， ，点 是 的中点， ，垂足为点 ， 交 的延长线于点 ，求证： （1） ； （2） 垂直平分 ． 题型二 角平分线12．如图，已知正方形 的边长为1，连接 、 ， 平分 交 于点 ，则 ． 13．如图， 平分 ， 于 ， 于 ， ， ．若 ，则 ． 14．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ． （1）求证： ； （2）探究：若 ，那么 等于哪两条线段长的和呢？说明理由． 15．如图，长方形纸片 中， ．对折长方形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ；展平 后再过点 折叠长方形纸片，使点 落在 上的点 ，折痕 与 相交于点 ；再次展平，连接 ， ，延长 交 于点 ．有如下结论： ① ；② ；③ ；④ 是等边三角形；⑤ 为线段 上一动点， 是 的中点，则 的最小值是 ．其中正确结论的有 个．16．如图，点 是 的中点， ， ， 平分 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，四个结论中成立的是 A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 17．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ， ，垂足为 ．若 ，则 的长为 A．3 B． C． D． 18．在四边形 中， ， ， ， ， ， 平分 交 、 于 、 ，则 的面积为 ． 19．如图，四边形 中，对角线 平分 ， ， ，则 的度数为A． B． C． D． 20．完成下列各题． （1）问题背景，如图1，在 中， ， ， 的平分线交直线 于点 ， 过点 作 ，交直线 于点 ，请探究线段 与 的数量关系． （2）类比探索，在（1）中，若把 改为 的外角的平分线，其他条件不变（如图 ，（1）中的结 论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，说明理由． （3）拓展延伸，若 ，其他条件均不变（如图 ，请你探究 与 的数量关系． 21．（1）如图1，在 中， 平分 交 于 ， 于 ， 于 ，则有相等 关系 ， ． （2）如图2，在（1）的情况下，如果 ， 的两边分别与 、 相交于 、 两 点，其它条件不变，那么又有相等关系 ，请加以证明． （3）如图 3，在 中， ， ， ， 平分 交 于 ， ， ，求四边形 的周长．22．如图，在 中， ， 是 的一条角平分线．点 、 、 分别在 、 、 上，且四边形 是正方形． （1）求证：点 在 的平分线上； （2）若 ， ，求 的长． 23．如图，在 中， ， ，点 是 内一点， ， ，点 是 延长线上一点， ． （1）求证： ． （2）求 的度数． （3）试猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论． 24．探究角平分线定理：（1）在横线上分别填上适当的条件和理由． 已知，如图， 是 的角平分线，点 是射线 上任意一点， 于 点， 于 点，求证： ． 证明： ， ， ． 是 的角平分线， ． 在 与 中， ， ． ． 从而我们得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． （2）利用角平分线的性质解决以下两个问题： ①如图，在 中， 与 的角平分线交于 点，过 点作 于 点，若 的面 积为 ，周长为 ， 的长度为 ，求 、 、 的关系． ②如图，在 中， 平分 交 于 点，求证： ． 题型三 尺规作图25．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是 A． 是 的平分线 B． C．点 、 到 的距离不相等 D． 26．如图，在 中， 平分 ，按如下步骤作图： 第一步，分别以点 、 为圆心，以大于 的长为半径在 两侧作弧，交于两点 、 ； 第二步，连接 分别交 、 于点 、 ； 第三步，连接 、 ． 若 ， ， ，则 的长是 A．2 B．4 C．6 D．8 27．已知：如图，在 中， ， ． （1）尺规作图：作 的垂直平分线交 于点 ，垂足为 ，连接 ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证： 是等腰三角形． 28．在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容． （1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整： 角平分线性质定理：角平分线上的点到 的距离相等．角平分线判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在 ． （2）老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把 内容补充完整 已知：如图1，点 是 内一点， ， ，垂足分别为 、 ，且 ，求证： 点 在 的 上 （3）请你完成证明过程： （4）知识运用：如图2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加 油站可选择的位置共有 处．