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专题 03 三角形证明之两线——中垂线和角平分线中档题巩固
题型一 线段的垂直平分线
1．如图所示，在 中， 是 的中垂线， ， 的周长为 ，则 的周长是
19 ．
【解答】解： 中， 是 的中垂线，
， ，
的周长 ①
则 的周长为 ②
把①代入②得 的周长
故答案为：19．
2．如图， ，若 和 分别垂直平分 和 ，则 ．
【解答】解： 垂直平分 ，
，
，
同理： ，
，
，
，，
．
故答案为： ．
3．如图，在 中， ，线段 的垂直平分线交 于点 ， 的周长是
，则 的长为 3 ．
【解答】解： 线段 的垂直平分线交 于点 ，
，
的周长 ，
，又 ，
，
故答案为：3．
4．如图， 的斜边 的中垂线 与 交于点 ， ， ，则 的面积为 4
．
【解答】解： 垂直平分线线段 ，
，
，，
， ，
，
．
故答案为4．
5．如图，在 中， 边的中垂线 ，分别与 边和 边交于点 和点 ， 边的中垂线 ，
分别与 边和 边交于点 和点 ，又 周长为16，且 ，则 的长为
A．13 B．14 C．15 D．16
【解答】解： 是线段 的中垂线， 是线段 的中垂线，
， ，
周长为16，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
6．如图， 是 的角平分线，点 在射线 上， 是线段 的中垂线交 于 ，过点 作
的垂线交 于点 ．若 ， ，则 3 7 ．【解答】解：连接 ，过 作 于 ， 交 于 ， 交 于 ，
是线段 的中垂线，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
平分 ， ， ，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
故答案为：37．
7．如图，在 中，点 是边 ， 的垂直平分线的交点，若 ， ，则 的周长是
A．13 B．15 C．18 D．21
【解答】解：连接 ，
点 是边 ， 的垂直平分线的交点，
， ，
，
，
，
，
的周长是 ，
故选： ．
8．如图，在 中， ， ， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点
， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，则 的长为 5 ．
【解答】解：
连接 、 、过 作 于 ，
在 中， ， ， ，
， ，
，
的垂直平分线 ，
同理 ，
，
同理 ，，
故答案是：5．
9．如图， 中， 平分 ， 且平分 ， 于 ， 于 ．
（1）判断 与 的数量关系，并说明理由；
（2）如果 ， ，求 、 的长．
【解答】（1）解： ，理由如下：
连接 ， ，
平分 ， ， ，
， ，
且平分 ，
，
在 与 中，
，
，
；
（2）解：在 和 中，
，
，
，设 ，则 ，
， ， ， ，
，
解得： ，
， ．
10．已知，如图， 是 平分线上的一点， ， ，垂足分别为 ， ．求证：
（1） ；
（2） 是 的垂直平分线．
【解答】解：（1）证明： 是 平分线上的一点， ， ，
，
在 与 中，
，
，
；
（2）证明： 是 平分线上的一点，
由（1）知， ，在 与 中，
，
，
， ，即 是 的垂直平分线．
11．已知：如图，在 中， ， ，点 是 的中点， ，垂足为点 ，
交 的延长线于点 ，求证：
（1） ；
（2） 垂直平分 ．
【解答】证明：（1） ，
，
， ，
，
在 和 中，
，，
，
点 是 的中点，
，
；
（2）连接 交 于 点，
点 是 的中点，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，垂直平分 ．
题型二 角平分线
12．如图，已知正方形 的边长为 1，连接 、 ， 平分 交 于点 ，则
．
【解答】解：设 、 交于点 ，过 作 于 ，
四边形 是正方形，
，
平分 交 于点 ，
，
在 和 中
，
，
，
正方形 的边长为1，
，
，
，
，
，另法：因为四边形 是正方形，
，
平分 交 于点 ，
，
，
，
，
，
正方形 的边长为1，
，
，
正方形 的边长为1，
，
，
故答案为： ．
13．如图， 平分 ， 于 ， 于 ， ， ．若 ，则
4 ．
【解答】解： 平分 ， ， ，，
， ，
，
即 ，
解得 ．
故答案为：4．
14．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）探究：若 ，那么 等于哪两条线段长的和呢？说明理由．
【解答】解：（1）如图1，延长 到 ，使 ，连接 ，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
在 上取 ，连接 ，
在 与△ 中 ，
△ ，
， ，
，
，在 与△ 中， ，
△ ，
，
，
；
（2）结论： ，
如图2，在 上取 ，连接 ，
， ，
，
平分 ，
，
在 与△ 中， ，
△ ，
，
，
，
，
，
．
15．如图，长方形纸片 中， ．对折长方形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ；展平后再过点 折叠长方形纸片，使点 落在 上的点 ，折痕 与 相交于点 ；再次展平，连接
， ，延长 交 于点 ．有如下结论：
① ；② ；③ ；④ 是等边三角形；⑤ 为线段 上一动点， 是
的中点，则 的最小值是 ．其中正确结论的有 3 个．
【解答】解：在 中， ，
，
，故①正确，
，
，故②错误，
，
，
，
，
为等边三角形，故④正确．
，
， ，
， ，
是 的中位线，
，故③不正确．
连接 ． ， ，、 关于 对称，
，
，
、 、 共线时， 的值最小，最小值 ，故⑤正确，
故答案为：3．
16．如图，点 是 的中点， ， ， 平分 ，下列结论：① ；②
；③ ；④ ，四个结论中成立的是
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
【解答】解：过 作 于 ，如图，
， 平分 ，
， ， ；
而点 是 的中点，
，所以③错误；
，
， ，所以②正确；
，所以④正确；
，所以①正确．
故选： ．17．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ， ，垂足为 ．若
，则 的长为
A．3 B． C． D．
【解答】解：如图．过点 作 于 ．
平分 ， ， ，
，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
，
，
故选： ．
18．在四边形 中， ， ， ， ， ， 平分 交 、
于 、 ，则 的面积为 ．【解答】解：过点 作 于 ，
又 平分 ， ，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又 ， ，
等腰直角三角形 中， ，
中， ，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积 ．
故答案为 ．
19．如图，四边形 中，对角线 平分 ， ， ，则 的度数为A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，过 作 于 ， 于 ， 于 ，
平分 ， 于 ， 于 ，
，
又 ， ，
， ，
平分 ，
又 于 ， 于 ，
，
，
平分 ，
，
平分 ，
，
，
故选： ．
20．完成下列各题．（1）问题背景，如图1，在 中， ， ， 的平分线交直线 于点 ，
过点 作 ，交直线 于点 ，请探究线段 与 的数量关系．
（2）类比探索，在（1）中，若把 改为 的外角的平分线，其他条件不变（如图 ，（1）中的结
论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，说明理由．
（3）拓展延伸，若 ，其他条件均不变（如图 ，请你探究 与 的数量关系．
【解答】解：（1） ．理由如下：
如图1，延长 、 交于 点．
，交直线 于 ，
．
平分 ，
，
，
，
，
．
中， ， ，
，
， ，
，
在 和 中，，
，
，
；
（2）结论 仍然成立．理由如下：
如图2，延长 、 交于点 ．
， ， ，
，
又 ， ，
，
，
．
，
，
又 ，
，
，
，
；
（3） ．理由如下：
如图3，延长 、 交于点 ．
， ， ，
，
又 ， ，
，
，
．，
，
又 ，
，
，
，
．
21．（1）如图1，在 中， 平分 交 于 ， 于 ， 于 ，则有相等
关系 ， ．
（2）如图2，在（1）的情况下，如果 ， 的两边分别与 、 相交于 、 两
点，其它条件不变，那么又有相等关系 ，请加以证明．
（3）如图 3，在 中， ， ， ， 平分 交 于 ，
， ，求四边形 的周长．【解答】（1）证明： 平分 ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ；
（2）解： ；
证明如下：由（1）得 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3）由（2）可知 ，， 平分 交 于 ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
， ，
，
，
四边形 的周长 ．
22．如图，在 中， ， 是 的一条角平分线．点 、 、 分别在
、 、 上，且四边形 是正方形．
（1）求证：点 在 的平分线上；
（2）若 ， ，求 的长．【解答】（1）证明：过点 作 ，
是 的一条角平分线，
，
四边形 是正方形，
，
，
是 的角平分线，即点 在 的平分线上；
（2）解： 在 中， ， ，
，
设 ， ， ，
，
解得： ，
，
．23．如图，在 中， ， ，点 是 内一点， ， ，点
是 延长线上一点， ．
（1）求证： ．
（2）求 的度数．
（3）试猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：在 和 中，
，
；
（2）解： ， ，
，
， ，
，
，
，
，；
（3）解： ，
理由如下：在线段 上截取 ，连接 ，
， ，
是等边三角形，
．
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
，
．
24．探究角平分线定理：（1）在横线上分别填上适当的条件和理由．
已知，如图， 是 的角平分线，点 是射线 上任意一点， 于 点， 于 点，求证： ．
证明： ， ，
．
是 的角平分线，
．
在 与 中，
，
．
．
从而我们得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
（2）利用角平分线的性质解决以下两个问题：
①如图，在 中， 与 的角平分线交于 点，过 点作 于 点，若 的面
积为 ，周长为 ， 的长度为 ，求 、 、 的关系．
②如图，在 中， 平分 交 于 点，求证： ．
【解答】（1）证明：如图1中，， ，
．
是 的角平分线，
．
在 与 中，
，
，
．
故答案为： ， ．
（2）解：如图2中，连接 ，过点 作 于 ， 于 ．
， 分别平分 ， ， ， ， ，
， ，
，，
，
．
（3）证明：如图3中，过点 作 于 ， 于 ．
平分 ， ， ，
，
，
．
题型三 尺规作图
25．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是
A． 是 的平分线 B．
C．点 、 到 的距离不相等 D．
【解答】解：根据尺规作图的画法可知： 是 的角平分线．、 是 的平分线， 正确；
、 ， 正确；
、点 、 到 的距离相等， 不正确；
、 ， 正确．
故选： ．
26．如图，在 中， 平分 ，按如下步骤作图：
第一步，分别以点 、 为圆心，以大于 的长为半径在 两侧作弧，交于两点 、 ；
第二步，连接 分别交 、 于点 、 ；
第三步，连接 、 ．
若 ， ， ，则 的长是
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：由作法得 垂直平分 ，
， ， ，
平分 ，
为等腰三角形，
，
，
四边形 为菱形，
，
，即 ，
．
故选： ．
27．已知：如图，在 中， ， ．
（1）尺规作图：作 的垂直平分线交 于点 ，垂足为 ，连接 ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证： 是等腰三角形．
【解答】解：（1）如图所示： 是 的垂直平分线．
（2） ，
，
，
是 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
28．在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容．
（1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整：
角平分线性质定理：角平分线上的点到 这个角的两边 的距离相等．
角平分线判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在 ．
（2）老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把
内容补充完整
已知：如图1，点 是 内一点， ， ，垂足分别为 、 ，且 ，求证：
点 在 的 上
（3）请你完成证明过程：
（4）知识运用：如图2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加
油站可选择的位置共有 处．【解答】解：（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上，
故答案为：这个角的两边；角平分线上；
（2）已知：如图1，点 是 内一点， ， ，垂足分别为 、 ，且 ，求
证：点 在 的平分线上．
故答案为： ；平分线上；
（3）如图：作射线 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
是 的平分线，即点 在 平分线上；
（4）如图2， 、 、 、 即为所求，
故答案为：4．
