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专题03 乘法公式
考向一、完全平方公式
考向二、完全平方公式的几何背景
考向三、平方差公式
考向四、平方差公式的几何背景
一、完全平方公式
1．（2021·江苏淮安·七年级期末）计算： （ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河南郑州·七年级期末）已知x+2y=6，xy=3，则 等于（ ）
A．8 B．12 C．24 D．25
3．（2021·河北唐山·七年级期末）对于等式 ，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正
确是（ ）
甲：无论 和 取何值，等式均不能成立．
乙：只有当 时，等式才能成立．
丙：当 或 时，等式成立．
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人说法均不正确
4．（2021·上海奉贤·七年级期末）若二次三项式x2+kx+9是完全平方式，则k的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．±3
5．（2021·辽宁沈阳·七年级期末）式子 加上哪一项后得 （ ）A． B． C． D．0
6．（2022·湖南岳阳·七年级期末）已知a，b为实数，满足ab>0，且 ，当a－b为整数时，ab
的值为（ ）
A． 或 B．1或 C． 或1 D． 或
7．（2021·上海奉贤·七年级期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正
确是（ ）
A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断
8．（2013·北京朝阳·七年级期末）已知a+b＝3，a2+b2＝5，则ab的值是__．
9．（2022·上海宝山·七年级期末）计算： ________．
10．（2021·广东茂名·七年级期末）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（x﹣y）2﹣3y2+1，其中x＝﹣1，y
．
二、完全平方公式的几何背景
1．（2021·四川甘孜·七年级期末）如图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四
块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为 ；
① ；② ；③ ．（2）由图2可以直接写出 ， ， 之间的一个等量关系是 ；
（3）根据（2）中的结论，解决下列问题： ， ，求 的值．
2．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小
正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，拼第3个正方形需要16个小正方形……按照这样的方法拼成
的第 个正方形比第 个正方形多________个小正方形．
3．（2021·广东梅州·七年级期末）阅读理解：“若 满足 ，求 的
值”．
解：设 ，
则 ， ，
那么 ．
解决问题：(1)若 满足 ，求 的值；
(2)若 满足 ，求 的值；
(3)如图，正方形ABCD的边长为 ，AE=14，CG=30，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和
MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．
三、平方差公式
1．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）（a﹣d） D．（a+b）（2a﹣b）
2．（2021·贵州毕节·七年级期末）若 ，且 ，则 等于（ ）．
A．7 B．6 C．5 D．8
3．（2021·陕西·清涧县教学研究室七年级期末）三个连续的偶数，若中间一个为 ，则它们的积是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·湖南·明德华兴中学七年级期末）定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么
就称这个正整数为“明德数”．如： ， ， ，因此1，3，5这三个数都是“明德
数”．则介于1到200之间的所有“明德数”之和为 ( )
A．10000 B．40000 C．200 D．2500
5．（2021·陕西咸阳·七年级期末）若 ，则 的值为（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
6．（2021·山东潍坊·七年级期末）计算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）的结果为（ ）
A．235+2 B．264+1 C．264﹣1 D．232﹣17．（2021·河北邯郸·七年级期末）若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m的值是
（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
8．（2013·江苏盐城·七年级期末）若 ，则 的值是__________．
9．（2022·上海浦东新·七年级期末）计算： ．
10．（2021·甘肃白银·七年级期末）用简便方法计算： ．
四、平方差公式的几何背景
1．（2021·新疆·七年级期末）如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余
部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·山东聊城·七年级期末）如图1，在边长为 的正方形中剪去一个边长为 的小正方形 ，
把剩下部分拼成一个梯形（如图 ，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）A． B．
C． D．
3．（2021·浙江丽水·七年级期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部
分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是
_______．（请填上正确的序号）
1．（2021·山东·曹县教学研究室七年级期末）若三角形的一边长为 ，该边上的高为 ，则此三
角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·贵州铜仁·七年级期末）计算（1 ）（1 ）……（1 ）（1 ）的值是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广西崇左·七年级期末）计算 结果等于（ ）
A．1 B．316-216 C．332+232 D．332－232
4．（2021·上海普陀·七年级期末）计算： ＝____________．5．（2021·陕西·吴堡县教学研究室七年级期末）若 ，则 _______．
6．（2018·湖南株洲·七年级期末）若多项式9a2﹣ka+25是一个完全平方式，则k＝_____．
7．（2021·湖南郴州·七年级期末）已知 ，则 ___________．
8．（2021·安徽宿州·七年级期末）已知实数 满足 ，则 的
值是______．
9．（2021·四川成都·七年级期末）已知|x﹣1|+|y+2|＝0，则（2x+y）（2x﹣y）＝___．
10．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）设 为正整数，若 是完全平方数，则 ________．
11．（2021·广东茂名·七年级期末）已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝___．
12．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）已知实数 满足 ，则
___________．
13．（2021·辽宁沈阳·七年级期末）计算：3（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1，它的结果的个位数字是
___．
14．（2021·山东潍坊·七年级期末）根据 ， ，
，…的规律，则计算 的结果可表示为
______．
15．（2021·上海黄浦·七年级期末）已知a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：
（1）a2+b2；（2）a﹣b．
16．（2021·贵州铜仁·七年级期末）先化简，再求值： ，其中 ，
．
17．（2021·贵州毕节·七年级期末）计算：
（1）
（2）
18．（2021·贵州·毕节三联学校七年级期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图
1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是______．（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
(2)若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值；
(3)用简便计算： ．
19．（2020·贵州铜仁·七年级期末）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用
后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如
下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是
；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
20．（2021·辽宁沈阳·七年级期末）若 满足 ，求 的值．阅读下面求解的
方法：
解：设 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
（1）若 满足 ，求 的值；
（2）如图，正方形 中， 、 分别是 、 上的点，且 ， ，长方形 的面
积是 ，分别以 、 为边作正方形，若 ，则① ， （用含 的代数式表示）；②直接写出图中阴影部分的面积．
21．（2021·安徽阜阳·七年级期末）如图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四
块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式 之间的等量关系为_______；
（2）运用你所得到的公式解答下列问题：
①若 为实数，且 ， ，求 的值．
②如图3， ，分别表示边长为 的正方形的面积，且 三点在一条直线上，若
，求图中阴影部分的面积．
22．（2021·广东佛山·七年级期末）阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到
某些数学公式．（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数
学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形
纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
