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专题 03 与二次根式运算有关的综合问题的六种模型
目录
题型一：二次根式的混合运算问题..........................................................................................................................1
题型二：含二次根式的整体代入求值......................................................................................................................6
题型三：二次根式的分母有理化..............................................................................................................................8
题型四：复合二次根式的化简................................................................................................................................14
题型五：二次根式运算中的新定义型问题............................................................................................................22
题型六：二次根式运算中的规律探究问题............................................................................................................27
题型一：二次根式的混合运算问题
1．计算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关
键．
先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．2．计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先根据二次根式的除法法则计算，再二次根式的性质化简即可；
（2）根据二次根式的乘法以及二次根式的加减法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
3．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）利用二次根式的乘法法则化简然后合并同类二次根式即可；
（2）先计算除法，然后合并同类二次根式即可．
（3）先根据乘法公式去括号，再合并即可求解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式
．
4．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解题的关键．
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用乘法分配律解答即可；
（3）先把括号的二次根式化为最简，然后运算除法解答即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类二次根式解答即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；（4）解：
．
5．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)1
【分析】本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此
题的关键．
（1 ）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的性质进行计算即可；
（2 ）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
（3 ）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算，最后算除法即可；
（4 ）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：；
（4）解：
．
6．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)1
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式、立方根的混合运算和实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和最简
二次根式的意义并正确运用去括号法则．
（1）先去绝对值，分别计算化简根式，合并即可求出值；
（2）先利用完全平方公式化简，将除法转化为乘法，再将根式化简合并即可求出值；
（3）先化简根式，再计算即可求值；
（4）先化简根式去括号，再计算即可求值．
【详解】（1）解：原式
；（2）解：原式
；
（3）解：原式
（4）解：原式
．
题型二：含二次根式的整体代入求值
7.已知， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴ ，
故选：B．
8．若 ，则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】略
9.已知 ， ，则代数式 的值是 ；
【答案】
【分析】根据题中条件，利用二次根式性质化简，代入求值即可得到答案．【详解】解： ， ，
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键．
10.已知 ， ，则代数式 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
利用整体代入的方法可简化计算．利用平方差公式把原式变形为 ，然后利用整体代入
的方法计算．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
11．已知实数 满足 ，求 的值．
【答案】2022
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式有意义的条件得到 ，据此化简二
次根式得到 ，则 ．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可知 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．12．已知： ，求 的值．
【答案】
【分析】根据 进行计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，正确根据完全平方公式得到
是解题的关键．
题型三：二次根式的分母有理化
13．小丽在解决问题：已知 ，求 的值．
她采用的解法为： ， ， ，
， ， ．
请根据小丽的解题方法解决下列问题：
(1) ________ ； ________．
(2)化简： ．
(3)若 ，请按照小丽的方法求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) ．【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值
是解题的关键．
（ ）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可；
（ ）将式子中的每一个分式进行分母有理化，即可求解；
（ ）仿照题例求解即可．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：
；
（3）解： ，
，
，
，
，
∴ ．
14．化简 ．
解： ．
请回答下列问题：
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果
① ________；
② ________．(2)应用：化简 ．
【答案】(1)① ，②
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练的进行计算是解题的关键．
（1）利用分母有理化进行计算即可；
（2）先进行分母有理化，然后进行计算即可得到答案；
【详解】（1）解：① ；
②
（2）解：原式
．
15．我们知道形如 的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：
这样的化简过程叫做分母有理化．我们把
叫做 的有理化因式， 叫做 的有理化因式，完成下列各题．
(1)化简： ________；
(2)计算： ；
(3)计算：
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本
题的关键．
（1）根据题目所给例子进行分母有理数即可；
（2）根据题目所给例子进行分母有理化即可；
（3）根据题意找出相应规律，然后计算求解即可．
【详解】（1）解：
故答案为：
（2）
；
（3）∵ ，
，
∴
∴原式
．
16．阅读材料：像 ； ； 两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ， 与
， 与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： ．
解答下列问题：(1) 与_____互为有理化因式，将 分母有理化得_____；
(2)①比较大小： _____ （填入 ， ， 或 中的一种）；
②计算下列式子的值： ；
(3)已知正整数a，b满足 ，求a，b的值．
【答案】(1) ，
(2)① ；②
(3) ，
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及分母有理化，理解有理化因式，掌握二
次根式的运算法则是解题关键．
（1）根据有理化因式的额定义和分母有理化求解即可；
（2）①根据有理化因式得到 ， ，即可比
较大小；
②仿照题意根据分母有理化的方法得到 ，再把所求式子裂项求解即可；
（3）先分母有理化，再合并同类二次根式，得到 ， ，即可求解．
【详解】（1）解： 与 互为有理化因式，
，
故答案为： ， ；
（2）解：① ， ，
， ，
，
，
，
故答案为： ；
②∵，
．
（3）解：
，
，
，
，
， ，
．
17．阅读下列解题过程：
；
；请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，化简：
；
；
(2)利用上面提供的解法，请计算： ．
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】本题考查了利用平方差公式对分母进行有理化，熟悉相关运算法则是解题的关键．
（1）根据题目的运算法则计算，即可得答案；
（2）根据规律，化简求值即可．
【详解】（1）解： ；
；
（2）解：
．
题型四：复合二次根式的化简
18．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．设 （其中
、 、 、 均为正整数），则有 ， ， ．这样可以把部
分 的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解∴ 决下列问题：
(1)当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
， ______；
(2)计算： ．【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关
运算法则是解题的关键．
（1）根据 ，比较对应项系数即可．
（2）根据 ，得 ；根据
得 ，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有 ，
， ．这样小明就找到了一种把 化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索
并解决下列问题．
【实践探究】
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，则
________， ________；
（2）若 ，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简 ________．
【答案】（1） ； ；（2） 或 ；（3）
【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关
运算法则是解题的关键．
（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）根据题意，展开得到 ，然后根据 ，m，n为正整数进行求解；
（3）先设 ，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
故答案为： ； ．
（2）
由
得 ，
又 ，m，n为正整数或
（3）设 ，m，n为正整数
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
20．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
若设 （其中 、 、 、 均为整数），
则有 ， ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法，请你仿照小
明的方法探索并解决下列问题：
(1)若 ，当 、 、 、 均为整数时，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
______， ______；
(2)若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值；
(3)化简： ．
【答案】(1) ，
(2) 的值为 或
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，
读懂材料明确题意是解题关键．
（1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出 、 ；
（2）在（1）的基础上，求出 ， ，根据 ， ， 均为整数，分两种情况求出 ， ；
（3）设 ，两边平方并结合题意计算得出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解： ，，( ， ， ， 均为整数），
， ，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，( ， ， 均为整数），
， ，
，
① ， ， ，
② ， ， ，
综上所述： 或 ；
（3）解：设 ，
则
，
∴原式 ．
21．形如 的化简，只要找到两个正数a，b，使 ， ，即 ，
，那么便有 ．
例如：化简 ．
解： ，这里 ， ，由于 ，
∴ ．
请仿照上例解下列问题：(1)填空： ________， ________， ________；
(2)化简： （请写出计算过程）；
(3)化简：
【答案】(1) ； ；
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键：
（1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可；
（2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可；
（3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解： ；
；
；
（2）解： ，
∴ ， ， ，
∴ ；
（3）原式
．
22．王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一
道题．先阅读，再回答问题．
(1)小青编的题，观察下列等式：直接写出以下算式的结果：
① ______；
② （ 为正整数） ______；
(2)小明编的题，由二次根式的乘法可知：
， ， （ ， ）再根据平方根的定
义可得：
， ， （ ， ）；
直接写出以下算式的结果：
① ______；
② ______；
(3)王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：
；
(4)小丽看到王老师选出的题后，发现困扰自己很久的一道题有了解决办法，请你尝试帮她解决：
题目：若实数 、 满足条件 ，求 的值．
【答案】(1)① ；②
(2)① ；②
(3)
(4)
【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的性质及运算，掌握分母有理化，二次根式的化简是解本题
的关键．
（1）①根据题干提供的方法进行分母有理化即可；
②根据题干提供的方法进行分母有理化即可；
（2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可；
（3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简 ，最后利用平方差公式
计算即可；
（4）把原式变形为 ，进一步变形得到 ，利用非负数的性质求出a、b的值，再分母有理化即可得到答案．
【详解】（1）解：①
；
故答案为： ；
②
；
故答案为： ；
（2）解：①
；
故答案为： ；
②
；
故答案为： ；（3）解：
；
（4）解；∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
题型五：二次根式运算中的新定义型问题
23．若最简二次根式 与 是同类二次根式．
(1)求a的平方根；
(2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“ ”如下： ，如： ，
请求 的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化
简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键．
（1）根据同类二次根式的定义得出 ，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可；
（2）先根据新运算求出 ，再根据新运算求出 的值即可．
【详解】（1） 最简二次根式 与 是同类二次根式，
，
解得 ，
的平方根是 ；
（2） ，
，
．
24．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：
，如 ．
(1)填空， ．
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据定义得到 计算即可．（2）根据定义得到 ，代入方程计算即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
故答案为：3．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故x的值为 ．
【点睛】本题考查了新定义运算，分母有理化，解一元一次方程，熟练掌握新定义的运算法则是解题的关
键．
25．定义：已知 都是实数，若 ，则称 与 是关于3的“实验数”．
(1)4与是______关于3的“实验数”， 与______是关于3的“实验数”．
(2)若 ，判断 与 是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) 与 是关于3的“实验数”．理由见解析．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的
“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
（1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”；
（2）把 代入计算 与 的和，根据所求得结果即可判断．
【详解】（1）解： ，
所以 与 是关于 的“实验数”，
，
所以 与 是关于 的“实验数”
故依次填： ， ；（2）解： 与 是关于 的“实验数”．理由如下：
∵ ，
∴
∴ 与 是关于 的“实验数”．
26．定义：若两个二次根式a，b满足 ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于8的共轭二次根式，则 ．
(2)若 与 是关于4的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算．
（1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案；
（2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵a与 是关于8的共轭二次根式，
∴ ．
∴ ．
（2）解：∵ 与 是关于4的共轭二次根式，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
27．定义：若 ， 是有理数，则称 与 是关于c的“美好数”例如：
，则称 与 是关于 的“美好数”．
(1) 关于 的“美好数”是______；
(2)化简： ；
(3)若 是 关于 的“美好数”，请直接写出 的值．【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点
的应用是解题的关键．
（ ）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解；
（ ）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解；
（ ）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出 ，再把 变形为 ，最后代
入求值即可．
【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得，
则 关于 的“美好数”是 ，
故答案为： ；
（2）解：
；
（3）解： 关于 的“美好数” ，
∴
．
28．我们定义：一个整数能表示成 （ 、 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是
“完美数”．理由：因为 ．所以5是“完美数”．
【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成 （ 、 是整数）的形式_____；（2）已知 （ 、 是整数， 是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件
的一个 值，并说明理由．
【探究问题】（3）已知 ，求 的值是_____
【实际应用】（4）已知 ， ， 满足 ，求 ．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3） ；（4）
【分析】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，二次根式的性质，读懂题目信息，理解“完美数”的
定义并熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据“完美数”的定义即可求解；
（2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解；
（3）利用配方法和非负数的性质即可求解；
（4）利用配方法和非负数的性质即可求解．
【详解】（1）由条件可知 ；
故答案为： ；
（2）
，
由条件可知 ，即 ．
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
解得 ， ，
则 ．
故答案为：4．
（4）由条件可转化为 ，
， ， ，
．
题型六：二次根式运算中的规律探究问题
29.先观察下列等式，再回答问题：
①②
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果：
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
(3)计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解
题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键．
（1）根据题目所给的例题可知 可化为 ，计算即可得出答案；
（2）利用根据前面等式的规律求解；
（3）根据题意可化为 ，根据有理数加法计算即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：
（2）第n个式子为： ；
（3）．
30．观察下列各个等式：
第①个等式： ；
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ；
……
按以上等式规律，解决下面的问题：
(1)写出第⑤个等式： ．
(2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】此题考查了二次根式的运算，根据题意找到规律是解题的关键．
（1）根据题目提供的规律写出答案即可；
（2）根据题目中的规律得到答案，再利用二次根式的性质进行计算证明即可．
【详解】（1）根据题意：
第①个等式： ；
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ；
则第⑤个等式：
故答案为：
（2）
故答案为：
证明如下：
左边∵n为大于或等于1的整数，
∴
∴左边 右边.
成立.
31．观察下列各式及验证过程： ，
验证 ； ，
验证 ，
验证
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为任意的自然数，且 表示的等式，并给出证明．
【答案】(1) ，验证见解析
(2) ，验证见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右
两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质 ，把根号内的移到根号
外；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、
分母之间的关系可得： ．
【详解】（1）
验证：；
（2） ．
验证：
．
32．观察下列各式并解答问题：
； ； ……
(1)计算： ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）．
【答案】(1)
(2) （n为正整数）
【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简，
（1）总结规律，按规律解答；
（2）根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论．
【详解】（1）解：∵ ；
；
，
……
∴ ；（2）解：根据（1）得到 ，
证明：
．
33．观察下列等式：
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ……
(1)按照你所发现的规律，请你写出第 个等式： ；
(2)计算： ；
(3)利用这一规律计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究：
（1）根据已有等式，写出第4个等式即可；
（2）根据二次根式的性质结合已知，进行求解即可；
（3）根据二次根式的性质，结合相关规律，进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，第 个等式为： ；
故答案为： ；
（2） ；
故答案为：
（3）由题意，可知第 个式子为： ，
∴
．
34．观察下列等式：
……
(1)请你根据上述规律填空： ______；
(2)①把你发现的规律用含有 的等式表示出来： ______；
②证明①中的等式是正确的，并注明 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；②证明见解析；（n为大于1的自然数）【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解
决本题的关键．
（1）仔细观察从上式中找出规律即可；
（2）①归纳总结得到一般性规律，写出即可；
②利用二次根式的性质及化简公式证明即可．
【详解】（1）解：根据前3个式子，可得 ；
故答案为： ；
（2）解：①由前面式子得出： ；
故答案为： ；
②证明：等式左边 右边， 为大于1的自然数．
