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专题 01 平面直角坐标系中的图形面积问题的四种模型
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题型一：与面积有关的点的位置不定产生多解......................................................................................................1
题型二：直接利用面积公式求图形的面积..............................................................................................................5
题型三：利用补形法或分割法求图形的面积........................................................................................................11
题型四：与图形面积相关的点的存在性问题........................................................................................................15
题型一：与面积有关的点的位置不定产生多解
1．如果 ， ，点 在 轴上且三角形的面积是 ， 点坐标是 ；若点 在 轴
上，且 为直角三角形， 点坐标是
【答案】 或 或
【分析】对于求点 坐标，根据三角形面积公式，以 为底， 到 轴距离为高计算；求点 坐标，分
和 两种直角情况，利用直角三角形性质或勾股定理求解．本题主要考查了坐标与
图形性质以及直角三角形的性质，熟练掌握三角形面积公式和直角三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解： 设 ，
，
，
点 到 轴距离为 ，
，
，
，
或 ，
或 ，
或 ；
设 ，
情况一： ，
，，
， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
或 （舍去），
；
情况二： ，
，
，
， ， ，
， ， ，
，
，
，
；
情况三： ，
根据勾股定理， ，即 ，
解得 ，
此时点 与点 重合，无法构成三角形，故舍去，
故答案为： 或 ； 或 ．
2．已知 ， ，点 在 轴上，且三角形 的面积是2，则点 的坐标是 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为 ，则 ，根据三角形
的面积是2，得到 ，解之即可得到答案．
【详解】解：设点P的坐标为 ，则 ，∵三角形 的面积是2，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴点P的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
3．如图，在平面直角坐标系中， 为原点， ， ，且满足 ，过点A作
轴于点 ．若 轴上存在点 ，满足三角形 和三角形 的面积相等，则点 的坐标为
．
【答案】 或
【分析】本题考查算术平方根、平方数的非负性及坐标与图形，直角坐标系内求三角形面积；利用坐标确
定线段的长度是解题的关键．先求 得出点A、B坐标，进而求出 ，根据题意求出结论即
可．
【详解】解： ，
，
，
， ，
，
，
，
或 ．
故答案为： 或 ．4．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点为 ， ， 点D是x轴上一个动点，当
的面积等于 的面积时，点D的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形性质，关键是要分两种情况讨论．
求出 的面积 ，当D在x轴正半轴上时，由三角形面积公式得到 ，因此
，当D在x轴负半轴上时，同理求出 ，于是得到 ， ，即可得到D的坐
标．
【详解】解：根据题意可得： 的面积 ，
设 交x轴于M，
当D在x轴正半轴上时，
∵ 的面积 的面积 的面积 的面积 ，，
，
当D在x轴负半轴上时，
同理求出 ，
根据图象可得 ，
， ，
∴ 的坐标是 或 ，
故答案为： 或 ．
5．定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅
垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积” ．例如，三点坐标分别为 ， ，
，则“水平底” ，“铅垂高”h＝6，“矩面积” ．若 ， ，
三点的“矩面积”为20，则 ．
【答案】5或
【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据矩面积的定义表示出“水平底”a和铅垂高h，利用分类讨论对
其铅垂高h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解．
【详解】解：∵“水平底” ，“矩面积”为20，
∴“铅垂高” ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故答案为：5或 ．
题型二：直接利用面积公式求图形的面积
6．如图，已知点 是平面直角坐标系内的三点，求三角形 的面积．【答案】
【分析】本题考查直角坐标系中三角形的面积求法，以 为底并求出点A到 的距离从而求面积是解题
的关键．过点A作 轴，交x轴于点D，求出 和 ，再用面积公式求解即可．
【详解】解：过点A作 轴，交x轴于点D．
，
．
，
，
．
7．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ，且a，b满足 ，已知点
C的坐标为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求三角形ABC的面积．
【答案】(1) ，
(2)5
【分析】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关
键是熟练掌握绝对值、算术平方根的非负性．（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得 ， 的值；
（2）根据 ， 的值可以确定点A、 的坐标，进而求得 ， 的距离，即可求得 的面积．
【详解】（1）解： ，
， ，
， ；
（2）解： ， ，
点 ，点 ，
又 点 ，
， ，
．
8．如图，在平面直角坐标系中已知 ， ， ．
(1)求点 到 轴的距离；
(2)求 的面积；
(3)点 在 轴上，当 的面积为6时，请求出点 的坐标．
【答案】(1)3
(2)18
(3) 或
【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，两点之间距离的计算，几何图形面积的计算，掌握平面直
角坐标系的知识是关键．
（1）根据点到坐标轴的距离的计算求解即可；
（2）根据两点之间距离的计算得到 ，点 到直线 的距离为 ，根据三角形面积的计算公式求解
即可；
（3）设点 的坐标为 ，根据三角形面积公式计算即可求解．
【详解】（1）解： 点 的坐标为 ，点 到 轴的距离 ；
（2）解： 点 ，点 ，
，
又 点 到直线 的距离 ，
（平方单位）；
（3）解：设点 的坐标为 ，
，
，
解得： ，或 ，
点 的坐标为 或 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， 其中a，b满足 ．
(1)填空： ，
(2)如果在第三象限内有一点 ，请用含m的式子表示 的面积
(3)在（2）条件下，当 时，在y轴上有一点P，使得 的面积与 的面积相等，请求出点P
的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了非负数的和为零的性质，三角形的面积等；
（1）由非负数的和为零的性质得 ， ，即可求解；
（2）由三角形面积得 ，即可求解；
（3）由三角形面积得 ，即可求解；
理解非负数的和为零的性质，会在平面直角坐标系中求三角形的面积是解题的关键．【详解】（1）解： ，
， ，
， ，
故答案为： ， ；
（2）解：由（1）得
， ，
，
；
（3）解：当 时，
，
，
，
解得： ，
点P的坐标为 或 ．
10．如图， ， ， 三点的坐标分别为 ， ， ．
(1)求三角形 的面积 ；
(2)过点 作直线 平行于 轴，点 为直线 上任意一点，试猜想三角形 的面积 与三角形
的面积 的关系，并证明你的猜想；
(3)试在坐标轴上找一点 ，使 ，请直接写出满足条件的点 的坐标．
【答案】(1)18(2) ，证明见解析
(3)点P的坐标为 或 或 或 ．
【分析】本题考查了点的坐标和三角形的面积，分类讨论是解决本题的关键思想．
（1）由A、B、C三点的坐标求出线段 和线段 的长度，然后求 的面积；
（2）设点 ，然后求 的面积，即可得到结论；
（3）分情况讨论，点P在x轴上；点P在y轴上，设点P的坐标，然后求出对应的底和高列出与面积有关
的方程求点P．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：猜想： ．证明如下：
∵过点 作直线 平行于 轴，点 为直线 上任意一点，
∴设点 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图1，当点P在x轴上时，设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点 坐标为 或 ；
如图2，当点P在y轴上时，设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点 坐标为 或 ；
综上所述，使得 的点P的坐标为 或 或 或 ．
题型三：利用补形法或分割法求图形的面积
11.如图，已知点 ， ， ，求三角形 的面积．
【答案】18
【分析】方法一：如图，作长方形 ，由 可得答案；
方法二：如图，过点B作 轴，并分别过点A和点C作 的垂线，垂足分别为点E，F，由
可得答案；
方法三：如图，过点A作 轴，并分别过点C和点B作 的垂线，垂足分别为点D，E，由可得答案．
【详解】解：方法一：如图，作长方形 ，
则
．
方法二：如图，过点B作 轴，并分别过点A和点C作 的垂线，垂足分别为点E，F．
∴ ， ， ， ， ，
∴
．
方法三：如图，过点A作 轴，并分别过点C和点B作 的垂线，垂足分别为点D，E．
∴ ， ， ， ， ，
∴
．
【点睛】本题考查的是网格三角形的面积，坐标与图形，熟练的构建与网格三角形面积相关的长方形与梯
形是解本题的关键．
12．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点
、 如图所示，连接 ，求三角形 的面积．【答案】
【知识点】坐标与图形
【分析】本题主要考查坐标与图形，平面直角坐标系的特点，图形结合分析，是解题的关键．
如图所示，作 轴，作 轴，由此可得 的值，根据
，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ 的面积为 ．
13．如图，已知 ， ， ， ．
(1)求四边形 的面积；
(2)在y轴上存在一点P，使三角形 的面积等于四边形 面积的一半，求P点的坐标．【答案】(1)20
(2)P点的坐标 或 ．
【知识点】坐标与图形
【分析】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式．
（1）观察图形，用分割法求解，分别过 、 两点作 轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直
角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可；
（2） 点的纵坐标到原点的距离就是 的 边上的高，根据（1） 点到原点的距离，再根据 点分
别在 轴正负半轴，写出 点的坐标即可．
【详解】（1）解：分别过 、 两点作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，如下图：
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
则
；
（2）解：设 的 边上的高为 ，由 ，
得： ，
解得 ，
又∵ 点在 轴上，
∴P点的坐标 或 ．
14．如图，在平面直角坐标系内有四个点： ， ， ， ．(1)求三角形 的面积；
(2)求四边形 的面积；
(3)若点P在x轴上，直线 将四边形 的面积分成 两部分，求点P的坐标．
【答案】(1)3
(2)9
(3) 或
【知识点】坐标与图形
【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图
形的面积，再进行计算是解本题的关键．
（1）根据 ， ，得出 ， ，利用三角形面积公式求出结果即可；
（2）作 轴于点E，利用割补法求出四边形 的面积即可；
（3）先求出 的面积，分两种情况：当 时， ，当
， ，求出 的值，进而可得 的值，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：作 轴于点E，如图所示：
∵ ， ．
∴ ， ， ， ，∴ ，
，
∴ ；
（3）解： ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴点 的坐标为(1,0)；
当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为(1,0)或 ．
题型四：与图形面积相关的点的存在性问题
15．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，b满足 ．
(1)求a，b的值；
(2)如果在第二象限内有一点 ，请用含m的式子表示四边形 的面积；
(3)在（2）条件下，当 时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形 的面积与
的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由．
【答案】(1)a的值是2，b的值是3
(2)(3) 或
【分析】考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，关键是求得a，b的值，其中（3）中注
意分类思想和数形结合思想的应用．
（1）根据非负数的性质得到 ，解方程即可得到a，b的值；
（2）过点M作 轴于点D．根据四边形 面积 求解即可；
（3）当 时，四边形 的面积 ，可得 ，再分两种情况：①当N在x轴负半轴上
时，②当N在y轴负半轴上时，进行讨论得到点N的坐标．
【详解】（1）解：∵a，b满足 ，
∴ ，
解得 ．
故a的值是2，b的值是3；
（2）解：过点M作 轴于点D．
四边形 面积
；
（3）解：当 时，四边形 的面积 ．
∴ ，
①当N在x轴的负半轴上时，
设 ，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；
②当N在y轴负半轴上时，设 ，则 ，
∴ ，
解得 ．
∴点 的坐标为 ．
综上，点 的坐标为 或 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， 三点，且 满足关系式
， ．
(1) ______， ______， ______；
(2)四边形 的面积为______；
(3)是否存在点 ，使得 的面积为四边形 面积的2倍？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)2，3，4
(2)9
(3)存在．点 的坐标为 或 ．
【分析】本题考查了非负数的性质，平面直角坐标系中两点间的距离公式，图形面积的计算，本题的关键
是求出点的坐标以及根据点的坐标求解直角坐标系中的图形面积．
（1）根据非负数的性质，可求解a与b的值，再由 这一条件可求解c的值；
（2）根据直角梯形的面积公式代入边长求解即可；
（3）先表示出 的面积，再由面积关系列式可求解m的值，即可得点 的坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2，3，4；（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为：9；
（3）解：存在，
∵ ， ，
∴ 以 为底，点P的横坐标的绝对值为 ，
∴ ，
∵ 的面积为四边形 面积的2倍，
∴ ，
即 ，解得 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上，点 的坐标为 或 ．
17．如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 ， ，其中a，b满足
(1)填空： ， ；
(2)若存在一点 ，点M到x轴的距离是 ， 到y轴的距离是 ，求三角形 的面积； (用
含m的式子表示)．
(3)在（2）条件下，当 时，在x轴上存在一点P，使得三角形 的面积与三角形 的面积相等，
请求出点P的坐标．
【答案】(1)1，
(2)5，m，(3)点P的坐标是 或
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，一元一次方程的应用，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．
（1）根据 ，得 ，则 ，即可作答．
（2）因为点 ，则点M到x轴的距离是5，到y轴的距离是 ，则 ， ，再把
数值代入 进行计算，即可作答．
（3）先得 ，依题意，设点P的坐标是 ，根据三角形 的面积与三角形 的面积相等，
得 ，即可作答．
【详解】（1）解：∵a，b满足
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：∵点 ，
∴点M到x轴的距离是5，到y轴的距离是 ，
如图，分别过点M，B向y轴作垂线 ， ，垂足分别是N，C，
∵ ，且 ， ，
∴ ， ，
；（3）解：当 时， ，
即 ，
∵点P在x轴上
∴设点P的坐标是 ，
∵三角形 的面积与三角形 的面积相等，
∴ ，
解得 ．
∴点P的坐标是 或 ．
18．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知 ， ，且a，b满足关系式：
，其中 ，连接 ， ．
(1)填空： _______， _______，三角形 的面积是_______；
(2)点C是x轴上一点，连接 ，延长 与x轴相交于点D．
①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形 的面积与三角形 的面积相等时，求点C的坐标；
②若三角形 的面积等于三角形 面积的一半，三角形 的面积等于 ，求点B，C，D的坐标．
【答案】(1)3，2，3
(2)① ② ， 或 ，
【知识点】乘方的应用、利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形综合
【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键：
（1）非负性求出 的值，面积公式求出三角形 的面积即可；
（2）①根据面积公式求出 的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形 的面积等于三角形 面
积的一半，求出 的面积，再根据面积公式求出 的长，进而求出 点坐标，再根据三角形
的面积等于三角形 面积的一半，求出 点坐标，然后根据三角形 的面积等于 ，求出 的长，
进而求出 点坐标．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴三角形 的面积是 ；
（2）①由（1）知：三角形 的面积是3， ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
②∵三角形 的面积等于三角形 面积的一半，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
19．如图1，平面直角坐标系中， 为长方形，其中点B、D坐标分别为 ，且a、b满足
，点C在x轴的正半轴上，且 ，连接 ．(1)求A、C两点坐标；
(2)若一动点P从A出发，以1个单位/秒的速度沿 向D点运动．
①如图2，连接 ，是否存在某一时刻t，使三角形 的面积等于四边形 面积的 ？若存在，
求t的值并求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②如图3，当点P运动到 上时，点P到x轴、y轴的距离分别为 ，若在线段 上存在无数个点
P，使 （k为常数），求k的值．
【答案】(1) ，
(2)①存在， 或 ；②
【分析】本题考查了坐标与图形，涉及算术平方根的非负性，解一元一次方程，三角形的面积问题，熟练
掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据算术平方根的平方的非负性求出 ，继而得到点 坐标，再根据长方形的性质求解即可；
（2）①分两种情况讨论，用 的代数式表示出图形的面积，再建立方程求解；
②连接 ，利用面积法得到 ，化简得到 ，则当点 在线段
上的任何位置时，均有 成立，那么若在线段 上存在无数个点P，使 （k为常数）
时， ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为长方形，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
（2）解：①存在，理由如下：
四边形 的面积为： ，
当点 在 上时，
∵三角形 的面积等于四边形 面积的 ，
∴ ，
由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当点 在 上时，如图：
∵三角形 的面积等于四边形 面积的 ，
∴ ，
由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
综上所述： 或 ；②连接 ，
由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∴当点 在线段 上的任何位置时，均有 成立，
那么若在线段 上存在无数个点P，使 （k为常数）时， ．
20．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ，且a，b满足
，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到点A，B的
对应点C，D，连接 ， ，
(1)请直接写出A的坐标 ，B的坐标 ；
(2)在坐标轴上是否存在点M，使三角形 的面积与三角形 的面积相等？若存在，请求出点M的坐
标；若不存在，试说明理由．
(3)点P是直线 上的一个动点，点Q是线段 的中点，连接 ， ，
①如图2，当点P在线段 上移动时（不与A，C重合），请找出 ， ， 的数量关系，
并证明你的结论；
②若P在直线 上运动，请直接写出 、 、 的数量关系．
【答案】(1) ，
(2) 或 或 或 ．
(3) 当点P在直线 的延长线上时， ，当点P在直
① ②线 的延长线上时，
【分析】本题考查了实数的非负性，平行线的判定与性质，坐标系中平移的性质，分类思想，熟练掌握实
数的非负性，平行线的判定与性质，平移的性质是解题的关键．
（1）由绝对值和算术平方根的非负数的性质即可求解；
（2）先求出 ，分点 在 轴上与 在 轴上两种情况考虑即可．
（3）①过点 作 ，得出 ，则 ，证明 ，结合
， ，即可证明；
②分两种情况，当点P在直线 的延长线上时，当点P在直线 的延长线上时，利用平线的性质和角的
和差关系即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
（2）解：存在，理由如下：
由平移知， ， ， ，
∴ ， ，
；
①当点 在 轴上时，
设点 坐标为 ，则 ，
，
解得： 或 ，
故 或 ；
②当点 在 轴上时，设 ，
则 ， ，
，
解得： 或 ，
即 或 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．（3）解：① ，
证明如下：
如图，过点 作 ，
，
点 、 分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到其对应点 ， ，
，
，
；
，
而 ， ，
，
；
②如下图，当点P在直线 的延长线上时，过点P作 ，
则 ，
由平移的性质可知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
当点P在直线 的延长线上时，过点P作 ，同上，可知 ，
∴ ， ，
∵
∴ ．
综上：当点P在 的延长线上时， ，点P在 的延长线上时，
．
