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2021-2022 学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编
专题 03 二次函数的应用
一．选择题
1．（2020秋•肥城市期末）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：
元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝200﹣10x B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x） D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
【思路引导】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣
10x），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．
【完整解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）．
故选：D．
2．（2020秋•东阳市期末）向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝
ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是
（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【思路引导】先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时
x的值．
【完整解答】解：∵此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴直线是：x＝ ＝10.5，
∵10.5﹣8＝2.5，10.5﹣10＝0.5，12﹣10.5＝1.5，15﹣10.5＝4.5，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大，
∴x＝10时，函数值最大，
即第10秒炮弹所在高度最高，
故选：B．3．（2020秋•垦利区期末）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80
元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1元，
每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为
（ ）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
【思路引导】根据题意，可以先设出每顶头盔降价x元，利润为w元，然后根据题意可以得到w与x的
函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w取得最大值，从而可以得到该商
店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价．
【完整解答】解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故选：C．
4．（2020秋•宜昌期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均 1人会传染x个人，若最初2个人感染
该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2
【思路引导】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有y人患了这种传染病，即
可得出y与x的函数关系式．
【完整解答】解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y＝2+2x+（2+2x）x＝2（1+x）2．
故选：A．
5．（2020秋•南召县期末）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛
物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）
之间的关系如表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ ；③点（9，
0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【思路引导】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣
9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【完整解答】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，
∴抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，
∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，
∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确．
∴正确的有①②③④，
故选：C．
6．（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形
的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系
分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【思路引导】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的
函数关系式．
【完整解答】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
即y与x是一次函数关系．
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+5x，∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
7．（2021•河南模拟）对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h＝vt﹣
gt2，其中h是上升高度，v是初始速度，g为重力加速度（g≈10m/s2），t为抛出后的时间．若v＝
20m/s，则下列说法正确的是（ ）
A．当h＝20m时，对应两个不同的时刻点
B．当h＝25 m时，对应一个时刻点
C．当h＝15m时，对应两个不同的时刻点
D．h取任意值，均对应两个不同的时刻点
【思路引导】把v＝20m/s，g≈10m/s2代入h＝vt﹣ gt2，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得函
数的最大值，则问题得解．
【完整解答】解：∵h＝vt﹣ gt2，v＝20m/s，g≈10m/s2，
∴h＝20t﹣5t2
＝﹣5（t2﹣4t）
＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴当t＝2s时，h有最大值为20m，即物体能达到的最大高度为20m，且h＝20m时，只有一个时刻，
∴A、B、D均不正确．
∵h＝20t﹣5t2为开口向下的二次函数，h有最大值为20m，
∴当h＝15m时，对应两个不同的时刻点．
∴C正确．
故选：C．
8．（2021•铁岭模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2
和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y）、点N（ ，y）、点P（2，y）在该函数图象上，则y＜y＜y；
1 2 3 1 2 3
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为 ．
其中正确的判断有 （ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
【思路引导】①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确；
②根据二次函数的性质进行判断；
③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；
④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点
C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值．
【完整解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正
确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴点P（2，y）关于x＝1的对称点为P′（0，y），
3 3
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
又∵﹣2＜0＜ ，点M（﹣2，y）、点N（ ，y）、点P′（0，y）在该函数图象上，
1 2 3
∴y＞y＞y，故②结论错误；
2 3 1
③将该抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2
（x+2）+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的
对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而
BC的长度一定，
∴此时，四边形 BCDE 周长＝B′C′+BC 最小，为： + ＝ +
＝ ，故④结论正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
二．填空题
9．（2021•沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．
经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 11
元时，才能使每天所获销售利润最大．
【思路引导】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【完整解答】解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元，
则y＝[20﹣4（x﹣9）]•（x﹣8）
＝﹣4x2+88x﹣448
＝﹣4（x﹣11）2+36，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
10．（2020秋•黄岛区期末）为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是 50元，
为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销
售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．则该工艺厂将每件的销售价定为 8 0 元时，可使每天所获销售利润最大．
【思路引导】设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元，由题意得：y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5
（x﹣80）2+4500，即可求解．
【完整解答】解：设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元，
由题意得：y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣
80）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，
∵x≥50，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80时，y ＝4500（元），
最大值
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，
故答案为：80．
11．（2020秋•张店区期末）如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在
正常水位时，水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．则抛物线的解析式为 y
＝﹣ （ x ﹣ 6 ） 2 + 6 ．
【思路引导】根据题意得B（6，6），A（0，12），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，解方程即
可得到结论．
【完整解答】解：∵水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．
∴B（6，6），A（0，12），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
∴y＝a（12﹣6）2+6，
∴0＝a•62+6，
解得a＝﹣ ，∴抛物线的解析式为y＝﹣ （x﹣6）2+6；
故答案为：y＝﹣ （x﹣6）2+6．
12．（2021春•天心区期末）为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅
球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度 y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y
＝﹣ （x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 7 ．
【思路引导】当y＝0时代入解析式y＝﹣ （x﹣2）2+2，求出x的值就可以求出结论．
【完整解答】解：由题意，得
当y＝0时，﹣ （x﹣2）2+2＝0，
化简，得：（x﹣2）2＝25，
解得：x＝7，x＝﹣3（舍去），
1 2
故答案为：7．
13．（2021春•崇川区月考）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面
刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，
单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为 5 米 ．
【思路引导】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为
A的小孔所在抛物线的解析式，将x＝﹣10代入可求解．
【完整解答】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，
DO＝ ，设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+ ，
∵BC＝10，
∴点B（﹣5，0），
∴0＝a×（﹣5）2+ ，
∴a＝﹣ ，
∴大孔所在抛物线解析式为y＝﹣ x2+ ，
设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，
∵EF＝14，
∴点E的横坐标为﹣7，
∴点E坐标为（﹣7，﹣ ），
∴﹣ ＝m（x﹣b）2，
∴x＝ +b，x＝﹣ +b，
1 2
∵MN＝4，
∴| +b﹣（﹣ +b）|＝4，
∴m＝﹣ ，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝﹣ （x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，∴当x＝﹣10时，y＝﹣ ，
∴﹣ ＝﹣ （x﹣b）2，
∴x＝ +b，x＝﹣ +b，
1 2
∴单个小孔的水面宽度＝|（ +b）﹣（﹣ +b）|＝5 （米），
故答案为：5 米．
14．（2021春•北碚区校级期末）某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；
售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 8 0 元时，网店该
商品每天盈利最多．
【思路引导】设销售单价为x元，则每天可销售（220﹣2x）件，根据商场每天销售该种商品的盈利＝
每件的利润×日销售量列出函数关系式，根据函数的性质求最值．
【完整解答】解：设销售单价为x元，则每天可销售100﹣2（x﹣60）＝（220﹣2x）件，每天盈利w元，
依题意得：w＝（x﹣50）（220﹣2x）＝﹣2x2+320x﹣11000＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝80时，w有最大值，最大值为1800元，
故答案为：80．
15．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的
高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地
面竖直向上抛出，初速度为v ，经过时间t 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h （如图1）；小
1 1 1
球落地后，竖直向上弹起，初速度为v ，经过时间t 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h （如图
2 2 2
2）．若h＝2h，则t：t＝ ： 1 ．
1 2 1 2
【思路引导】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t，t，再根据h＝2h，求出v＝ v，可得结论．
1 2 1 2 1 2【完整解答】解：由题意，t ＝ ，t ＝ ，h ＝ ＝ ，h ＝ ＝
1 2 1 2
，
∵h＝2h，
1 2
∴v＝ v，
1 2
∴t：t＝v：v＝ ：1，
1 2 1 2
故答案为： ：1．
16．（2021•连云港模拟）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t，汽车从
刹车到停下来所用时间是 秒．
【思路引导】当汽车停下来时，s最大，故将s＝﹣3t2+8t写成顶点式，则顶点横坐标值即为所求．
【完整解答】解：∵s＝﹣3t2+8t，
＝﹣3（t﹣ ）2+ ，
∴当t＝ 秒时，s取得最大值，即汽车停下来．
故答案为： ．
17．（2020秋•郯城县期末）如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3
米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持
续 5 小时水位才能到拱桥顶．
【思路引导】先设抛物线的解析式为y＝ax2，设出点D坐标（5，b），继而得出B（10，b﹣3），代入
解析式后可求解得出抛物线的解析式，由b的值可得水面CD到拱顶的距离，进而求出时间
【完整解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：，
解得 ，
∴y＝﹣ x2；
∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，
1÷0.2＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
故答案为：5．
18．（2020•朝阳区校级二模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，
把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网
与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，
又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是 h ≥ ．
【思路引导】抛物线的表达式为y＝ （x﹣6）2+h，由题意得：当x＝9时，y＞2.24，当x＝18时，y
＜0，即可求解．
【完整解答】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，解得：a＝
，
故抛物线的表达式为y＝ （x﹣6）2+h，
由题意得：当x＝9时，y＝ （x﹣6）2+h＝ （9﹣6）2+h＞2.24，解得：h＞2.32；当x＝18时，y＝ （x﹣6）2+h＝ （18﹣6）2+h≤0，解得：h≥ ，
故h的取值范围是为h≥ ，
故答案为h≥ ．
三．解答题
19．（2021•锦州）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为 6.2万元/t，加工过程中原料
的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x，销售价y（万
元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收
入﹣总支出）．
【思路引导】（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；
（3）设销售总利润为W，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二
次函数的性质分析其最值．
【完整解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣ x+20；（2）设销售收入为P（万元），
∴P＝（1﹣20%）xy＝ （﹣ x+20）x＝﹣ x2+16x，
∴P与x之间的函数关系式为P＝﹣ x2+16x；
（3）设销售总利润为W（万元），
∴W＝P﹣6.2x﹣m＝﹣ x2+16x﹣6.2x﹣（50+0.2x），
整理，可得：W＝﹣ x2+ x﹣50，
W＝﹣ （x﹣24）2+65.2，
∵﹣ ＜0，
∴当x＝24时，W有最大值为65.2，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．
20．（2020秋•安庆期末）如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边
用27m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围成矩形猪舍
的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？
【思路引导】设猪舍的面积为ym2，矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长
为（27﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立函数解析式求出其最值即可．
【完整解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm，可以得出平行于墙的一边的长为（27﹣
2x+1）m，
由题意得y＝x（27﹣2x+1）＝﹣2（x﹣7）2+98，对称轴为x＝7，
∵27﹣2x+1≤12，27﹣2x+1＞0，
∴8≤x＜14，
在y＝﹣2（x﹣7）2+98中，﹣2＜0，在对称轴右侧y随着x的增大而减小，
所以当x＝8m时，矩形猪舍的长为27﹣2x+1＝12（m），宽为8m时，猪舍的面积最大，最大面积是96
平方米．答：矩形猪舍的长、宽分别为12m、8m时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．
21．（2020秋•浑源县期末）2021元旦前夕，某花店购进一批单价为4元/枝的玫瑰，按每枝10元的价格
销售，每天能售出80枝．经市场调查发现这种玫瑰的销售单价每降低1元，平均每天就能多售出40枝．
（1）店家在每枝 10 元的基础上，将这种玫瑰的销售单价降低 x 元，则平均每天的销售量为
（ 80+4 0 x ） 枝（用含x的代数式表示）；
（2）为了吸引顾客前来购买这种玫瑰需要采用更低的价格，并使得销售玫瑰每天的利润达到 600元，
则店家应将其销售单价降低多少元？
（3）当这种玫瑰的销售单价降低多少元时，才能使该花店销售玫瑰每天所获利润最大？最大利润是多
少？
【思路引导】（1）根据“销售单价每降低1元，平均每天就能多售出40枝”列式即可；
（2）根据“总利润＝每枝利润×销售量”列方程求解可得；
（3）由以上相等关系列出函数解析式，配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得．
【完整解答】解：（1）由题意得：店家在每枝10元的基础上，将这种玫瑰的销售单价降低x元，则平
均每天的销售量为：（80+40x）枝，
故答案为：（80+40x）；
（2）根据题意，得（10﹣4﹣x）（80+40x）＝600，
解，得x＝1，x＝3，
1 2
为了吸引顾客x＝1舍去，
∴店家应将其销售单价降低3元可使得该玫瑰每天的利润达到600元；
（3）设销售玫瑰每天所获利润为w元，
则w＝（10﹣4﹣x）（80+40x）＝﹣40x2+160x+480＝﹣40（x﹣2）2+640，
∵a＝﹣40＜0，
∴抛物线开口向下，y有最大值．
当x＝2时，y ＝640．
最大
∴当这种玫瑰的销售单价降低2元时，才能使该花店销售玫瑰每天所获利润最大，最大利润是640元．
22．（2020秋•奉化区期末）某网店销售一批商品，平均每天可售出 50件，每件盈利40元．为了迎接
“双十一”，尽快减少库存，网点决定采取降价促销活动．经调查发现，如果每件商品每降价1元，平
均每天可多售出2件．设每件降价x元时，该网店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若网店每天平均盈利2100元，则每件商品降价多少元？
（3）当每件商品降价多少元时，网店盈利最大？最大盈利多少元？【思路引导】（1）每件降价x元时，每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（50+2x）件，由此可得y＝
（40﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+30x+2000；
（2）令y＝2100，解方程﹣2x2+30x+2000＝2100，得x＝10，x＝5，由于要减少库存，故x＝10；
1 2
（3）对y＝2x2+30x+2000配方可得y＝ ，由二次函数性质可知当x＝7.5，y ＝
max
2112.5元．
【完整解答】解：（1）每件降价x元时，每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（50+2x）件，则该网店
一天可获利润为
y＝（40﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+30x+2000；
（2）当y＝2100时，﹣2x2+30x+2000＝2100，
解得：x＝10，x＝5，
1 2
∵尽快减少库存，降价越多越好，
∴x＝10，
答：每天盈利2100元，需降价10元．
（3）y＝﹣2x2+30x+2000＝ ，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝7.5，y ＝2112.5（元）．
max
答：每件商品降价7.5元时，可获得最大利润2112.5元．
23．（2021•梁园区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交
于点C，顶点为D．
（1）求出抛物线解析式；
（2）如图1，在x轴存在一个动点E，当CE+DE的长有最小值时，求点E的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线上一个动点，直线AC上的有一动点F，点M为坐标平面上一个动点，若
A，P，F，M四点构成的四边形为正方形时，请直接写出点P的坐标．【思路引导】（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入抛物线解析式即可；
（2）作点D关于x轴的对称点D'（﹣1，﹣4），则CE+DE的最小值为D'C的长，根据两点之间，线段
最短得：连接CD'交x轴即为点E；
（3）由题意知∠OAC＝45°，若A，P，F，M四点构成的四边形为正方形时，则△APF为等腰直角三角
形，分AF为正方形的对角线和边两种情况，分别画图计算．
【完整解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，顶点D的坐标为（﹣1，4），点C的坐标为（0，3），
作点D关于x轴的对称点D'（﹣1，﹣4），
∴CE+DE的最小值为D'C的长，根据两点之间，线段最短得：连接CD'交x轴即为点E，设CD'的解析式为：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝7x+3，
当y＝0时，x＝﹣ ，
∴E（﹣ ，0）；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
若A，P，F，M四点构成的四边形为正方形时，则△APF为等腰直角三角形，
当AF为正方形对角线时，即AF为等腰直角三角形的斜边时，如图，此时点P'与B重合，P'（1，0）；当AF为正方形的边时，即AF为等腰直角三角形的直角边时，如图，
∴∠FAP＝90°，
∴∠OAC'＝45°，
∴OA＝OC'，
∴C'（0，﹣3），
∴直线AC'的函数解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴﹣x﹣3＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝2，x＝﹣3（舍），
1 2
∴P（2，﹣5），综上：点P（1，0）或（2，﹣5）．
24．（2021春•瓯海区期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20件，每件盈利50元，为了扩大销
售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销
售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1600元？
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？
【思路引导】（1）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可；
（2）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元，根据题意列出二次函数，从而求得其最大
值．
【完整解答】解：（1）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为1600元，
由题意得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，
整理得：x2﹣40x+300＝0，
∴（x﹣10）（x﹣30）＝0，
∴x＝10，x＝30，
1 2
∵每件盈利不少于25元，
∴x＝30应舍去．
2
答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元；
（2）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元，
则：y＝（50﹣n）（20+2n）＝﹣2（n﹣20）2+1800，
∵a＝﹣2＜0，
∴y有最大值，
当n＝20时，y有最大值＝1800元，
即当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润最大值为1800元．
25．（2020秋•江城区期末）如图，已知一次函数 y＝ x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交
于y轴上的一点B，另一交点为D，二次函数图象的顶点C在x轴的正半轴上，且OC＝2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）设P为x轴上的一个动点，当△PBD为直角三角形，且Rt△PBD面积最小时，求点P的坐标；
（3）当0≤x≤2时，抛物线的一段BC上是否存在一点Q，使点Q到直线AD的距离等于 ？若存在，
请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路引导】（1）根据坐标系中点的坐标特点得B点坐标，然后由待定系数法可得二次函数解析式；
（2）分三种情况：当点 B 为直角顶点，过 B 作 BP⊥AD 交 x 轴于 P 点；当 D 为直角顶点，作
1 1
PD⊥BD，连接BP ；当P为直角顶点．通过比较得点P 到BD的距离最短．最后根据相似三角形的性
2 2 1
质可得答案；
（3）过Q作x轴的垂线交直线AB于点N．设Q点的坐标为（x，y ），N点的坐标为（x，y ），利用
1 2
数形结合思想可得答案．
【完整解答】解：（1）∵ 交x轴于点A，
∴ ，
∴x＝﹣4，
∵ 与y轴交于点B，
∵x＝0，
∴y＝2，
∴B点坐标为（0，2），
∴A（﹣4，0），B（0，2）．
∵二次函数图像的顶点C在x轴的正半轴上，且OC＝2，
∴可设二次函数解析式为：y＝a（x﹣2）2，把B（0，2）代入得 ，
∴二次函数的解析式为： ；
（2）分三种情况：
当点B为直角顶点，过B作BP⊥AD交x轴于P 点；
1 1当D为直角顶点，作PD⊥BD，连接BP；
2 2
当P为直角顶点．
以上三种情况中，和比较，从△ABP∽△ADP 可知点P 到BD的距离最短．和比较，点P 只能在P 的
1 2 1 3 1
右边，否则∠PBD将为钝角，故点P 到BD的距离最短．
3 1
由Rt△AOB∽Rt△BOP ，得 ，
1
∴ ，得OP＝1，
1
∴点P的坐标为P（1，0）．
（3）存在．
过Q作x轴的垂线交直线AB于点N．设Q点的坐标为（x，y），N点的坐标为（x，y），
1 2
则NQ＝y﹣y＝（ x+3）﹣（ x2﹣2x+2）＝ x﹣ x2，
2 1
∴ ，
∵ ，
∴当S ＝5时，Q到直线AD的距离等于 ．
△ABQ
由5x﹣x2＝5解得 ， （舍去），
∴Q（ ， ）．
26．（2020秋•富平县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两
点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求
出M点的坐标．若不存在，请说明理由．
【思路引导】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式；
（2）根据抛物线解析得对称轴，然后分三种情况：当AM是斜边时，当AN是斜边时，当MN是斜边时，
由勾股定理得方程式，求解可得答案．【完整解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得 ，
解得 ，
故抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
设直线AC的函数表达式为y＝kx+n，将A（﹣1，0）、C（2，3）分别代入y＝kx+n中可得
解得 或 ，
故直线AC的函数表达式为y＝x+1．
（2）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，设点M（1，m），
∵A（﹣1，0），M（1，m），N（0，3），
∴AM2＝（1+1）2+m2＝4+m2，同理AN2＝10，MN2＝1+（m﹣3）2．
当AM是斜边时，则4+m2＝10+1+（m﹣3）2，
解得 ；
当AN是斜边时，4+m2+1+（m﹣3）2＝10，
解得：m＝1或2；
当MN是斜边时，4+m2+10＝1+（m﹣3）2，
解得： ．故点M的坐标为 或（1，1）或（1，2）或 ．
27．（2020秋•八步区期末）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个
交点为B，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求直线BC对应的函数表达式；
（3）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最
大值．
【思路引导】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）由点B和C的坐标即可确定直线BC的解析式；
（3）先设出点M的坐标，再求出N的坐标，表示出MN的长度，利用二次函数的性质即可确定MN的
最大值．
【完整解答】解：（1）由题可得，抛物线过点A（1，0），C（0，5），
把点A和C代入抛物线的解析式，得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）当y＝0，则x2﹣6x+5＝0，
解得x＝1，x＝5，
1 2
所以点B（5，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把点B和C代入解析式得：
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5；
（3）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），
∵MN∥y轴，
∴N（x，﹣x+5），
∴MN＝﹣x+5﹣x2+6x﹣5＝ ，
∴MN在 处取得最大值，最大值为 ．
28．（2021•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右
侧），与y轴交于点C．
（1）求直线CA的解析式；
（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，
若E为GA的中点，求m的值．
（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x ，y ），N（x ，y ）两点，其中x ＜x ．若x﹣x ＞3且y﹣y ＞
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1
0，结合函数图象，探究n的取值范围．【思路引导】（1）由y＝﹣（x﹣1）2+4中，得A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），利用待定系数
法即可得，直线CA的解析式为y＝﹣x+3；
（2）根据直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，可得D（m，﹣（m
﹣1）2+4），且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F（m，0），从而AF＝3﹣m，DE＝﹣m2+3m，而△EAF
是等腰直角三角形，可得AE＝ AF＝3 ﹣ m，△DEG是等腰直角三角形，即可列﹣m2+3m＝
（3 ﹣ m），解得m＝2或m＝3（舍去）；
（3）由 得 或 ，①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，根据x﹣x ＞3且y﹣y
2 1 2 1
＞0，可得3﹣n﹣（﹣1）＞3，且﹣n2+4n﹣0＞0，即解得0＜n＜1；②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，可得：
﹣1﹣（3﹣n）＞3且0﹣（﹣n2+4n）＞0，即解得n＞7．
【完整解答】解：（1）在y＝﹣（x﹣1）2+4中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1或3，
∴A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
设直线CA的解析式为y＝kx+b，则 ，
解得 ，
∴直线CA的解析式为y＝﹣x+3；
（2）∵直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，
∴D（m，﹣（m﹣1）2+4），且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F（m，0），
∴AF＝3﹣m，DE＝﹣（m﹣1）2+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵A（3，0），C（0，3），
∴∠EAF＝45°，△EAF是等腰直角三角形，
∴AE＝ AF＝3 ﹣ m，∠DEG＝∠AEF＝45°，∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE＝ GE，
∵E为GA的中点，
∴GE＝AE＝3 ﹣ m，
∴﹣m2+3m＝ （3 ﹣ m），
解得m＝2或m＝3，
∵m＝3时，D与A重合，舍去，
∴m＝2；
（3）由 得 或 ，
①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，如图：
∵x﹣x＞3且y﹣y＞0，
2 1 2 1
∴3﹣n﹣（﹣1）＞3，且﹣n2+4n﹣0＞0，
解得0＜n＜1；
②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，同理可得：
﹣1﹣（3﹣n）＞3且0﹣（﹣n2+4n）＞0，
解得n＞7，
综上所述，n的取值范围是0＜n＜1或n＞7．
