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专题 05 二次函数 y=ax ²+bx+c 的图像和性质
考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式 考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图像
考点三 二次函数y=ax²+bx+c的性质 考点四 已知二次函数上对称的两点求对称
轴
考点五 二次函数的平移
考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式
例题：（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知二次函数y=x2+2x-3配成顶点式________．
【答案】
【解析】
【分析】
由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】
解： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式，能够正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·辽宁沈阳·一模）抛物线y＝3x2﹣6x+5的顶点坐标为_______．
【答案】(1，2)
【解析】
【分析】
将抛物线的解析式化为顶点式，然后即可写出抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线y＝3x2﹣6x+5＝3（x﹣1）2+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线解析式化为顶点式．
2．（2022·宁夏吴忠·二模）已知二次函数 ，用配方法化为 的形式是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】
解：y=-x2+2x-5=-（x2-2x+1）+1-5=-（x-1）2-4，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点
式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x）（x-x）．
1 2
考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图像
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线
(1)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴．
(2)直接画出函数的图像．
【答案】(1)顶点坐标是 ，对称轴是(2)图像见解析
【解析】
【分析】
（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为 ，由此即可得出抛物线的顶点坐标及抛物线的对
称轴；
（2）画图是要把握抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标，开口方向等，利用列表、描点、连线即可画出这
条抛物线．
(1)
解：∵ ，
∴顶点坐标是 ，对称轴是 ；
(2)
列表：
0 1 2 3 4
3 0 ﹣1 0 3
作图如下：
【点睛】
本题考查了二次函数图像的画法，二次函数的两种形式．利用配方法将二次函数解析式的一般式换算成顶
点式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·福建·厦门外国语学校瑞景分校一模）（1）已知二次函数
①求出函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向②列表，并在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象
（2）物线 过 ， 两点，与 轴的交点为 ，求抛物线的解析式．
【答案】（1）①函数图象顶点坐标 、对称轴直线 ，开口向上；②见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）①把函数表示为顶点式即可解答；②列表、描点、连线即可；
（2）把函数与 轴交点代入交点式表达式，再将与 轴的交点为 代入即可求解．
【详解】
解： ，
函数图象顶点坐标 、对称轴直线 ，开口向上；过 ， 两点，与 轴的交点为 ，
用交点式，则表达式为： ，
把 代入得： ，
解得 ，
故函数解析式为： ．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象问题，解题的关键是灵活运用函数的 种表达式，交点式和顶点式用得比较多．
2．（2022·天津北辰·九年级期末）已知二次函数
(1)填写表中空格处的数值
x … 1 2 …
… 3 0 …
(2)根据上表，画出这个二次函数的图象；(3)根据表格、图象，当 时，y的取值范围__________．
【答案】(1)表格中的数值从左到右依次为：0，0，4，3，3；
(2)图象见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）将表格中的x值和y值分别代入二次函数 中，求值即可填表；
（2）根据表格，利用描点法即可画出图象；
（3）计算出 时，y的值，再结合图象即可解答．
(1)
将 代入 ，得： ；
将 代入 ，得： ，
解得： ， ；
将 代入 ，得： ；
将 代入 ，得： ；
将 代入 ，得： ，解得： ， ；
故表格中的数值从左到右依次为：0，0，4，3，3；
(2)
根据表格可画出图象如下：
(3)
当 时，
结合图象可知y的取值范围是 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质．利用数形结合的思想是解题关键．
考点三 二次函数y=ax²+bx+c的性质
例题：（2022·全国·九年级）二次函数 的图象和性质描述正确的是( )
A．函数图象开口朝下 B．当 时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值大于零 D．函数图象与y轴的交点位于 轴负半轴
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的解析式结合二次函数的性质逐一分析即可作答．【详解】
解：二次函数y= x2+2x+3= （x+2）2+1，对称轴为直线x=-2．
A、a= ＞0，开口向上，本选项不符合题意；
B、当 时，y随x的增大而减小，本选项不符合题意；
C、该函数的最小值为1，大于零，本选项符合题意；
D、该函数图象与y轴的交点为（0，3），位于y轴的正半轴，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的增减性．
【变式训练】
1．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）二次函数 的 与 的部分对应值如下表，则下
列判断中正确的是（ ）
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 -2 …
A．抛物线开口向上 B．当 时， 随 的增大而减小
C．当 时， D． 的最大值为
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断．
【详解】
解：将点 ， ， 代入二次函数的解析式，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴A选项不符合题意；
∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为 ，这时抛物线取得最大值 ，
∴当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，
∴当 时， 随 的增大先增大，到达最大值 后， 随 的增大而减小，
∴B选项不符合题意；
∵当 时， ；当 时， ，
又∵抛物线的对称轴为 ，
当 时， ，
又∵ ，
∴当 时， ，
∴C选项符合题意；
∵抛物线的解析式为 ，
∴当 时，抛物线取得最大值 ，
∴D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质．关键是能根据表中的数据确定抛物线的解析式．2．（江西省景德镇市2020-2021学年下学期九年级期中（质检）数学试题）关于抛物线
，下列说法错误的是（ ）
A．当 时，对称轴是 轴 B．当 时，经过坐标原点
C．不论 为何值，都过定点 D． 时，对称轴在 轴的左侧
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：A、 抛物线 ，
当 时，对称轴是直线 ，即 轴，故选项A正确，不符合题意，
B、当 时， 过点 ，故选项B正确，不符合题意，
C、当 时， ，此时解析式中的 正好可以消掉，故选项C正确，不符合题意，
D、抛物线的对称轴是直线 ，当 时，对称轴 在 轴右侧，故选项D错误，符合
题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
考点四 已知二次函数上对称的两点求对称轴
例题：（2022·全国·九年级课时练习）若函数图像 与x轴的两个交点坐标为 和 ，
则 __________．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据二次函数图象对称轴所在的直线与x轴的交点的坐标，即为它的图象与x轴两交点之间线段中点的横坐标，即可求得．
【详解】
解： 函数图像 与x轴的两个交点坐标为 和
由对称轴所在的直线为：
解得
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及中点坐标的求法，熟练掌握和运用二次函数的性质及中点坐标的求法是解决
本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）已知抛物线 经过 和 两点，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据（﹣1，n）和（2，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝﹣ ＝ ，即可求解．
【详解】
解：抛物线y＝x2+mx﹣1经过（﹣1，n）和（2，n）两点，
可知函数的对称轴x＝ ＝ ，
∴﹣ ＝ ，
∴m＝﹣1；
∴y＝x2﹣x﹣1，
将点（﹣1，n）代入函数解析式，可得n＝1；
∴m＋n＝﹣1＋1＝0．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．2．（2022·山东菏泽·九年级期末）抛物线 经过点 ， ， ，则该抛物
线上纵坐标为5的另一个点 的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据 坐标求二次函数对称轴，然后求出 关于对称轴对称的点坐标即可．
【详解】
解：由 ， 得抛物线的对称轴为直线
∴
设
由题意知 关于对称轴对称
则
解得
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称性．解题的关键在于求出二次函数的对称轴．
考点五 二次函数的平移
例题：（2022·浙江宁波·八年级期末）将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单
位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】
【分析】
由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出
新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
解：y=x2−6x+5=(x−3)2−4，即抛物线的顶点坐标为(3，−4)，
把点(3，−4)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到点的坐标为(4，−2)，
所以平移后得到的抛物线解析式为y=(x−4)2−2．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线
解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；
二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【变式训练】
1．（2021·西藏·柳梧初级中学九年级期中）把抛物线y＝5x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得
到的抛物线是（ ）
A．y＝5（x＋2）2＋3 B．y＝5（x＋2）2－3
C．y＝5（x－2）2＋3 D．y＝5（x＋－2）2－3
【答案】A
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．
【详解】
解：将抛物线y=5x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到函数解析式是：
y=5（x+2）2+3．
故选：A．
【点睛】
此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减．2．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）将抛物线 向右平移3个单位长
度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的平移可进行求解．
【详解】
解：由抛物线 向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可知平移后的抛物线解
析式为 ；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握图象平移的方法“左加右减，上加下减”是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·浙江·舟山市第一初级中学九年级阶段练习）二次函数 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵∴顶点坐标为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查的二次函数的性质，掌握“把二次函数的一般式化为顶点式”是解本题的关键.
2．（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级阶段练习）已知二次函数 ，下列结论不正确的是
（ ）
A．开口向上 B．关于直线 对称
C．当 时， 随 的增大而增大 D．有最大值3
【答案】D
【分析】将二次函数化为顶点式，进而逐项判断即可求解．
【详解】解：
，开口向上，故A正确，
关于直线 对称，故B正确，
当 时， 随 的增大而增大，故C正确，
有最小值3，故D不正确，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2022·新疆·哈密市第八中学九年级期中）把抛物线 向左平移2个单位，再向下平移7
个单位，得到的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化为顶点式，然后根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．
【详解】解：把抛物线 向左平移2个单位，再向下平移7个单位，
得到的抛物线为 ,即
故选C【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．
4．（2022·福建·漳州三中九年级期中）若点 ， ， ，三点在抛物线
的图象上，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出函数的对称轴，再根据三个点与对称轴的距离，结合开口方向确定三点纵坐标的大小．
【详解】解： 抛物线的解析式为 ，
抛物线的对称轴为 ，且开口向上，
， ， ，
点A到对称轴的距离为： ，点B到对称轴的距离为： ，点C到对称轴的距离为：
，
到对称轴距离最近的点是点A，其次是点C，最远的是点B，
∴ ，
故选C．
【点睛】此题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是能够根据点到对称轴的距离比较点的纵坐标的大
小，即当抛物线开口向上时，距离对称轴越近则点的纵坐标越小；当开口向下时，距离对称轴越近则点的
纵坐标越大．
5．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）关于x的二次函数 ，当 时，y随x
的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．【详解】将二次函数 化成顶点式为： ，
二次函数 的开口向上，对称轴是 ，
∵当 时，y随x的增大而增大，
∴ ，
即 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·广西·柳州二十五中九年级期中）二次函数 的顶点坐标为____．
【答案】
【分析】把二次函数配方即可求得顶点坐标．
【详解】∵ ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，把一般式配方为顶点式是关键．
7．（2022·山西·大同一中九年级阶段练习）点 ， ， 均在二次函数
的图像上，则 ， ， 的大小关系是________．（用“>”连接）
【答案】
【分析】将二次函数化为顶点式得图像开口向下，对称轴为 ，即可得点 ， ，
均在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，根据 ，即可得．
【详解】解：在二次函数 中,
∴图像开口向下，对称轴为 ，
∴点 在对称轴上，为抛物线的最高点， ， 均在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
8．（2022·北京市第一六一中学九年级期中）已知抛物线 与直线 相交于A，B两点，若
点A的横坐标 ，则点 的横坐标 的值为_____________．
【答案】5
【分析】根据题意A、B关于抛物线的对称轴对称，先求得抛物线的对称轴，据此求解即可．
【详解】解：抛物线 的对称轴为直线x= ，
根据题意A、B关于抛物线的对称轴对称，
∵ ，
∴ ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，明确A、B关于抛物线的对称轴对
称是解题的关键．
9．（2022·北京市陈经纶中学九年级期中）已知二次函数 的图像如图所示．将此函数图像向
右平移3个单位得抛物线 的图像，则阴影部分的面积为____________．
【答案】15【分析】根据题意知阴影部分面积等于平行四边形面积，由平行四边形的面积公式可得到阴影部分的面积．
【详解】解：由题意知， ，则顶点坐标是 ．
所以，阴影部分的面积为：3×5=15．
故答案是：15．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加
下减．
10．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级期中）如图， 是等边三角形， ，点 为
边 上的动点， ， 交 于点 ，线段 的最大值为______．
【答案】 ##0.75
【分析】设 根据等边三角形的性质得到 ，于是得到 ，
根据已知条件得到 ，等量代换得到 ，推出 ，由相似
三角形的性质得到 ，从而得出 ，再求y的最大值即可得到结论．
【详解】设
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∴ ，
∴ ,
即
∵ ，且 ，
∴当 时，y有最大值为 ，
∴ 的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，求二次函数的解析式及求其最值，证
得 是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·北京市顺义区仁和中学九年级期中）已知二次函数 ．
(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)画出此函数的图象．
【答案】(1)对称轴为直线 ，顶点 ；
(2)见解析
【分析】（1）将解析式化为顶点式即可；
（2）令 ，即 ，求出两个根即可得出与 轴的交点坐标，再结合顶点坐标，画出函数图
象．
【详解】（1）解： ，
对称轴为直线 ，顶点 ；
（2）解：令 ，
即 ，解得： ，
即与 轴的交点坐标为 ，
结合顶点 ，画图如图：
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、画二次函数图象、求解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图
象及性质，数形结合解题是关键．
12．（2022·浙江·慈溪育才中学九年级阶段练习）已知二次函数 ．
(1)求该函数图象的顶点坐标， 并写出当 在什么范围内时 随 的增大而增大；
(2)求该函数图象与 轴的交点坐标， 并写出当 在什么范围内时， ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）将函数表达式化为顶点式，再根据函数的开口方向和对称轴即可进行解答；
（2）求出当函数值为0时的x的值，再结合函数的开口方向即可进行解答．
【详解】（1）解： ，
∴函数图像的顶点坐标为： ，对称轴为： ，
∵ ，
∴函数开口向下，
∴当 时，y随x的增大而增大．
（2）解：当 时， ，
解得： ， ，∵函数开口向下，
∴当 时， ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，能够将
二次函数的表达式化为顶点式，进而得出函数的顶点坐标和对称轴．
13．（2022·北京市第十三中学分校九年级期中）已知二次函数
(1)将其化成 的形式___________；
(2)顶点坐标___________对称轴方程___________；
(3)用五点法画出二次函数的图象；
(4)当 时，写出y的取值范围___________．
【答案】(1)
(2) ，
(3)见解析
(4)
【分析】（1）用配方法即可求解；
（2）根据顶点式直接写出顶点坐标与对称轴；
（3）先求出该函数图像上五个点的坐标，再用描点法画出图象即可；
（4）根据函数图象，找出函数图象在x轴下方的时， 的取值范围即可
【详解】（1）解：（2）∵
∴顶点坐标为： ，对称轴方程：
（3）由（2）可知： ，
∴函数的顶点坐标为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴该函数经过 ，
如图：
（4）由（2）中函数图象可知，当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了画二次函数的图象，把二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法把二
次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的画法是解题的关键．
14．（2022·天津·河北工业大学附属红桥中学九年级期中）已知二次函数 的图象为抛物线
C．
(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当 时，求该二次函数的函数值y的取值范围；(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为 ．请直接写出抛物
线 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
(2)y的取值范围为 ；
(3)
【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可得出答案；
（3）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式．
（1）
解：∵ ，
∴抛物线C的开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（2）
解：∵ ，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
当 时， ；
当 时， ；
∴当 时，二次函数的函数值y的取值范围为 ；
（3）
解：∵抛物线C： 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线 ．
∴ ： ，即 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移的规律，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（2022·湖南·长沙市明德天心中学九年级期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的
点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数” ，其“明德点”为
（1，2）．
(1)①判断：函数 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；②函数 的图像上的明德点是 ___________；
(2)若抛物线 上有两个“明德点”，求m的取值范围；
(3)若函数 的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当 时， 的最小
值为 ，求 的值．
【答案】(1)①不是；②（2，4）
(2) 或 ，且
(3) 或
【分析】（1）根据定义，即可得到结果；
（2）根据抛物线 上有两个“明德点”，可知 ，得到 ，求解一元
二次不等式方程即可；
（3）若函数 的图像上存在唯一的一个“明德点”，可知 ，得到方程
，再进行分类讨论即可求出 值．
【详解】（1）① 时无解，
不是“明德函数”；
②根据定义 ，
解得： ， （舍去），
明德点是（2，4）；
（2） 抛物线 是“明德函数”，
，
整理得： ，
抛物线 上有两个“明德点”，，
即 ，
解得： 或 ，
，
，
的取值范围为 或 且 ；
（3） 函数 的图像上存在唯一的一个“明德点”，
，且 ，
，
即 ，
，
是关于 的二次函数，对称轴为 ，
①若 ，则当 ，时， 有最小值 ，
，即 ，
解得： 或 （舍去）；
②若 ，则当 时， 有最小值 ，
，即 ，
，
方程没有实数根；
③若 ，则当 时， 有最小值 ，
，
解得 ，综上可知： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，将新定义与所学二次函数，一元二次方程的知识相
结合，熟练掌握跟与系数关系是解题关键．
