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专题 05 二次函数 y=ax ²+bx+c 的图像和性质
考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式 考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图像
考点三 二次函数y=ax²+bx+c的性质 考点四 已知二次函数上对称的两点求对称
轴
考点五 二次函数的平移
考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式
例题：（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知二次函数y=x2+2x-3配成顶点式________．
【变式训练】
1．（2021·辽宁沈阳·一模）抛物线y＝3x2﹣6x+5的顶点坐标为_______．
2．（2022·宁夏吴忠·二模）已知二次函数 ，用配方法化为 的形式是______．
考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图像
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线
(1)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴．
(2)直接画出函数的图像．
【变式训练】1．（2021·福建·厦门外国语学校瑞景分校一模）（1）已知二次函数
①求出函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向
②列表，并在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象
（2）物线 过 ， 两点，与 轴的交点为 ，求抛物线的解析式．
2．（2022·天津北辰·九年级期末）已知二次函数
(1)填写表中空格处的数值
x … 1 2 …
… 3 0 …
(2)根据上表，画出这个二次函数的图象；(3)根据表格、图象，当 时，y的取值范围__________．
考点三 二次函数y=ax²+bx+c的性质
例题：（2022·全国·九年级）二次函数 的图象和性质描述正确的是( )
A．函数图象开口朝下 B．当 时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值大于零 D．函数图象与y轴的交点位于 轴负半轴
【变式训练】
1．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）二次函数 的 与 的部分对应值如下表，则下
列判断中正确的是（ ）
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 -2 …
A．抛物线开口向上 B．当 时， 随 的增大而减小
C．当 时， D． 的最大值为
2．（江西省景德镇市2020-2021学年下学期九年级期中（质检）数学试题）关于抛物线
，下列说法错误的是（ ）
A．当 时，对称轴是 轴 B．当 时，经过坐标原点
C．不论 为何值，都过定点 D． 时，对称轴在 轴的左侧
考点四 已知二次函数上对称的两点求对称轴
例题：（2022·全国·九年级课时练习）若函数图像 与x轴的两个交点坐标为 和 ，
则 __________．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）已知抛物线 经过 和 两点，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．22．（2022·山东菏泽·九年级期末）抛物线 经过点 ， ， ，则该抛物
线上纵坐标为5的另一个点 的坐标是______．
考点五 二次函数的平移
例题：（2022·浙江宁波·八年级期末）将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单
位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2021·西藏·柳梧初级中学九年级期中）把抛物线y＝5x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得
到的抛物线是（ ）
A．y＝5（x＋2）2＋3 B．y＝5（x＋2）2－3
C．y＝5（x－2）2＋3 D．y＝5（x＋－2）2－3
2．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）将抛物线 向右平移3个单位长
度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
一、选择题
1．（2022·浙江·舟山市第一初级中学九年级阶段练习）二次函数 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．2．（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级阶段练习）已知二次函数 ，下列结论不正确的是
（ ）
A．开口向上 B．关于直线 对称
C．当 时， 随 的增大而增大 D．有最大值3
3．（2022·新疆·哈密市第八中学九年级期中）把抛物线 向左平移2个单位，再向下平移7
个单位，得到的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建·漳州三中九年级期中）若点 ， ， ，三点在抛物线
的图象上，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）关于x的二次函数 ，当 时，y随x
的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022·广西·柳州二十五中九年级期中）二次函数 的顶点坐标为____．
7．（2022·山西·大同一中九年级阶段练习）点 ， ， 均在二次函数
的图像上，则 ， ， 的大小关系是________．（用“>”连接）
8．（2022·北京市第一六一中学九年级期中）已知抛物线 与直线 相交于A，B两点，若
点A的横坐标 ，则点 的横坐标 的值为_____________．
9．（2022·北京市陈经纶中学九年级期中）已知二次函数 的图像如图所示．将此函数图像向右平移3个单位得抛物线 的图像，则阴影部分的面积为____________．
10．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级期中）如图， 是等边三角形， ，点 为
边 上的动点， ， 交 于点 ，线段 的最大值为______．
三、解答题
11．（2022·北京市顺义区仁和中学九年级期中）已知二次函数 ．
(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)画出此函数的图象．
12．（2022·浙江·慈溪育才中学九年级阶段练习）已知二次函数 ．
(1)求该函数图象的顶点坐标， 并写出当 在什么范围内时 随 的增大而增大；
(2)求该函数图象与 轴的交点坐标， 并写出当 在什么范围内时， ．
13．（2022·北京市第十三中学分校九年级期中）已知二次函数(1)将其化成 的形式___________；
(2)顶点坐标___________对称轴方程___________；
(3)用五点法画出二次函数的图象；
(4)当 时，写出y的取值范围___________．
14．（2022·天津·河北工业大学附属红桥中学九年级期中）已知二次函数 的图象为抛物线
C．
(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当 时，求该二次函数的函数值y的取值范围；
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为 ．请直接写出抛物
线 的函数解析式．
15．（2022·湖南·长沙市明德天心中学九年级期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的
点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数” ，其“明德点”为
（1，2）．
(1)①判断：函数 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数 的图像上的明德点是 ___________；(2)若抛物线 上有两个“明德点”，求m的取值范围；
(3)若函数 的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当 时， 的最小
值为 ，求 的值．
