文档内容
2021-2022 学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编
专题 03 二次函数的应用
一．选择题
1．（2020秋•肥城市期末）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：
元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝200﹣10x B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x） D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
2．（2020秋•东阳市期末）向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝
ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是
（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
3．（2020秋•垦利区期末）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80
元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1元，
每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为
（ ）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
4．（2020秋•宜昌期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均 1人会传染x个人，若最初2个人感染
该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2
5．（2020秋•南召县期末）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛
物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）
之间的关系如表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ ；③点（9，
0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④6．（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形
的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系
分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
7．（2021•河南模拟）对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h＝vt﹣
gt2，其中h是上升高度，v是初始速度，g为重力加速度（g≈10m/s2），t为抛出后的时间．若v＝
20m/s，则下列说法正确的是（ ）
A．当h＝20m时，对应两个不同的时刻点
B．当h＝25 m时，对应一个时刻点
C．当h＝15m时，对应两个不同的时刻点
D．h取任意值，均对应两个不同的时刻点
8．（2021•铁岭模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2
和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y）、点N（ ，y）、点P（2，y）在该函数图象上，则y＜y＜y；
1 2 3 1 2 3
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的
最小值为 ．
其中正确的判断有 （ ）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
二．填空题
9．（2021•沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．
经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为
元时，才能使每天所获销售利润最大．
10．（2020秋•黄岛区期末）为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是 50元，
为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销
售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．则该工艺厂将每件的销售价定
为 元时，可使每天所获销售利润最大．
11．（2020秋•张店区期末）如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在
正常水位时，水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．则抛物线的解析式为
．
12．（2021春•天心区期末）为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅
球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度 y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y
＝﹣ （x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 ．
13．（2021春•崇川区月考）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，
单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为 ．
14．（2021春•北碚区校级期末）某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；
售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 元时，网店该
商品每天盈利最多．
15．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的
高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地
面竖直向上抛出，初速度为v ，经过时间t 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h （如图1）；小
1 1 1
球落地后，竖直向上弹起，初速度为v ，经过时间t 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h （如图
2 2 2
2）．若h＝2h，则t：t＝ ．
1 2 1 2
16．（2021•连云港模拟）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t，汽车从
刹车到停下来所用时间是 秒．
17．（2020秋•郯城县期末）如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3
米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持
续 小时水位才能到拱桥顶．
18．（2020•朝阳区校级二模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，
把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网
与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，
又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是 ．三．解答题
19．（2021•锦州）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为 6.2万元/t，加工过程中原料
的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x，销售价y（万
元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收
入﹣总支出）．
20．（2020秋•安庆期末）如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边
用27m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？
21．（2020秋•浑源县期末）2021元旦前夕，某花店购进一批单价为4元/枝的玫瑰，按每枝10元的价格
销售，每天能售出80枝．经市场调查发现这种玫瑰的销售单价每降低1元，平均每天就能多售出40枝．
（1）店家在每枝 10 元的基础上，将这种玫瑰的销售单价降低 x 元，则平均每天的销售量为
枝（用含x的代数式表示）；
（2）为了吸引顾客前来购买这种玫瑰需要采用更低的价格，并使得销售玫瑰每天的利润达到 600元，
则店家应将其销售单价降低多少元？
（3）当这种玫瑰的销售单价降低多少元时，才能使该花店销售玫瑰每天所获利润最大？最大利润是多
少？
22．（2020秋•奉化区期末）某网店销售一批商品，平均每天可售出 50件，每件盈利40元．为了迎接
“双十一”，尽快减少库存，网点决定采取降价促销活动．经调查发现，如果每件商品每降价1元，平
均每天可多售出2件．设每件降价x元时，该网店一天可获利润y元．（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若网店每天平均盈利2100元，则每件商品降价多少元？
（3）当每件商品降价多少元时，网店盈利最大？最大盈利多少元？
23．（2021•梁园区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交
于点C，顶点为D．
（1）求出抛物线解析式；
（2）如图1，在x轴存在一个动点E，当CE+DE的长有最小值时，求点E的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线上一个动点，直线AC上的有一动点F，点M为坐标平面上一个动点，若
A，P，F，M四点构成的四边形为正方形时，请直接写出点P的坐标．
24．（2021春•瓯海区期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20件，每件盈利50元，为了扩大销
售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25元的前提下，经过一段时间销售，发现销
售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1600元？
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？25．（2020秋•江城区期末）如图，已知一次函数 y＝ x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交
于y轴上的一点B，另一交点为D，二次函数图象的顶点C在x轴的正半轴上，且OC＝2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）设P为x轴上的一个动点，当△PBD为直角三角形，且Rt△PBD面积最小时，求点P的坐标；
（3）当0≤x≤2时，抛物线的一段BC上是否存在一点Q，使点Q到直线AD的距离等于 ？若存在，
请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2020秋•富平县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两
点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求
出M点的坐标．若不存在，请说明理由．27．（2020秋•八步区期末）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个
交点为B，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求直线BC对应的函数表达式；
（3）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最
大值．
28．（2021•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右
侧），与y轴交于点C．
（1）求直线CA的解析式；
（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，
若E为GA的中点，求m的值．
（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x ，y ），N（x ，y ）两点，其中x ＜x ．若x﹣x ＞3且y﹣y ＞
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1
0，结合函数图象，探究n的取值范围．
