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专题 03 二次函数的定义
考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数
项
考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 列二次函数关系式
考点一 二次函数的识别
例题：（2022·浙江·义乌市苏溪镇初级中学九年级阶段练习）下列各式中表示二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的的定义，即可求解．
【详解】解：A、是二次函数，故本选项符合题意；
B、是一次函数，故本选项不符合题意；
C、不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如 （a，b，c是常数， ）的函数，
叫做二次函数是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ．这六个式子中二次函数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【分析】
根据二次函数的定义判断即可．
【详解】
① 是二次函数；
② 是二次函数；
③ 是二次函数；
④ 不是二次函数；
⑤ 不是二次函数；
⑥ 不是二次函数；
这六个式子中二次函数有①②③
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，即一般地，形如 （a，b，c是常数， ）的函数，叫做二次函
数．
2．（2022·山东·宁津县时集中学九年级阶段练习）下列函数是关于x的二次函数的有（ ）
① ② ；③ ；④ （a为任意实数）； ⑤ ； ⑥
．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次
函数进行分析可得答案．
【详解】解：① ，是二次函数，故该选项正确，符合题意；② ，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；
③ ，是二次函数，故该选项正确，符合题意；
④ （a为任意实数），当 时，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
⑤ ，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
⑥ ，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；
∴是关于x的二次函数的有①③，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若
是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个
关键条件．
3．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中是二次函数的是____________．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．
【详解】
解：①y=5x-5为一次函数；
②y=3x2-1为二次函数；
③y=4x3-3x2自变量次数为3，不是二次函数；
④y=2x2-2x+1为二次函数；
⑤y= 函数式为分式，不是二次函数．
故答案为②④．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0”是解题关键．
考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数 的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中
x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．
【详解】
解：二次函数y=x2－2x+3的一次项系数是－2；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则
（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的一般形式可得答案．
【详解】
解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符
号．2．（2022·全国·九年级课时练习）在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（ ）
A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2
C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2
【答案】C
【分析】根据二次函数的相关定义进行辨别即可．
【详解】解：∵y＝﹣x2+5x﹣2，
∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的相关定义，理解二次函数的定义是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数
项c＝___．
【答案】 3 -5 1
【解析】
【分析】
形如： 这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为
根据定义逐一作答即可．
【详解】
解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．
考点三 根据二次函数的定义求参数
例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y＝ +2x﹣3是二次函数式，则m的值为 _____．
【答案】-1
【解析】
【分析】
若y＝ +2x﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；
【详解】解：由题意得： ，
解得：m=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知 是 关于 的二次函数，那么
的值____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义， 中，未知数x的指数为2，系数不为0，列式计算即可．
【详解】
解：∵ 是 关于 的二次函数，
∴ 且 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函
数是解题的关键．
2．（2021·广东广州·九年级期中）关于 的函数 是二次函数，则 的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，求出m
的值即可解决问题．【详解】
解：∵ 是关于x的二次函数，
∴m2-m=2，m+1≠0，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键．
3．（2022·吉林市第五中学九年级阶段练习）若 是关于x的二次函数，则a的值是
_______．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义可得 ，且 ，求解即可得．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的一般形式的结构特征：（1）函数的
关系式是整式；（2）自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不等于零．
考点四 列二次函数关系式
例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月
平均增长率为 ，第一季度的总产值为 （亿元），则 关于 的函数解析式为________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解．
【详解】
解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为 ，
∴二月份的为三月份的为
第一季度的总产值为 （亿元），则
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，
若每件商品的售价为 元，则可卖出 件，那么卖出商品所赚钱 元与售价 元之间的函数关系
为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分析出每件商品的盈利为： 元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化
简即可.
【详解】
解：由题意得：每件商品的盈利为： 元，
所以：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键.
2．（2022·上海市格致初级中学九年级阶段练习）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙
的长度不小于 ）和总长为 的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为 米，花圃总面积为 平方米，求 关于 的函数解析式__________．（用二次函数一般式表
示）
【答案】
【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
关于 的函数解析式为 ．
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形 中， ， ，点 ， 从 点出
发，点 沿线段 运动，点 沿线段 运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设
，阴影部分的面积为 ，则 与 之间的关系式为______．
【答案】y=- +48
【解析】
【分析】
先求出 ，进而即可得到答案．
【详解】
由题意得： ，∴阴影部分的面积=6×8- ，即：y=- +48．
故答案是：y=- +48．
【点睛】
本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积．
一、选择题
1．（2022·全国·九年级单元测试）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二次函数定义进行分析即可．
【详解】解：A、当 时，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、自变量在分母上，不是二次函数，故此选项不合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、化简后，二次项系数为0，不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否
为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数
不为0这个关键条件．
2．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）二次函数 的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如 （a、b、c是常数， ）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可．
【详解】解：二次函数 的一次项系数是 ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏
掉符号．
3．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）若函数 是关于 的二次
函数，则 的值是（ ）
A． B．0 C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义进行计算即可；
【详解】解：由题意得： ，解得： 或 ，
又∵ ， ，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的定义．解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，注意二次项系数不能为0．
4．（2022·江西·瑞金市第三中学九年级阶段练习）已知函数：① ；② ；③
；④ ；⑤ ，⑥ 其中二次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据二次函数的基本形式判断即可．
【详解】解：① 最高项是一次，不是二次函数，故①错误；
② 是二次函数，故②正确；
③ 最高项是三次，不是二次函数，故③错误；
④ 最高项是一次，不是二次函数，故④错误；
⑤ ，没有告知 ，不一定是二次函数，故⑤错误；⑥ ，x不能在分式里，故⑥错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的基本形式为 ，准确判断是解题的关键．
5．（2022·山东·日照市北京路中学九年级阶段练习）对于关于x的函数 ，下列说法错
误的是( )
A．当 时，该函数为正比例函数 B．当 时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时， 或 D．当该函数为二次函数时，
【答案】C
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】 、当 时，该函数 为正比例函数，故不符合题意；
、当 时， ，即 ，该函数为一次函数，故不符合题意；
、当 时，该函数 为正比例函数，故符合题意；
、当该函数为二次函数时， ，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
6．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为3或－
4时，输出的y值互为相反数，则b等于（ ）
A．－30 B．－23 C．23 D．30
【答案】D
【分析】先分别求解当 时， 当 时， 再利用相反数的含义列方程，再解方
程可得答案．
【详解】解：当 时，当 时，
结合题意可得：
故选：
【点睛】本题考查的是求解一次函数值与二次函数值，相反数的含义，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·河南商丘·九年级阶段练习）若y关于x的函数 是二次函数，则m的值是
_____．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：∵ 是二次函数，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如 a、b、c是常数的函数叫做
二次函数．
8．（2022·四川· 九年级期中）己知函数 ．若这个函数是二次函数，求 的取
值范围__________________
【答案】 且
【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式 ，解不等式即可求得．
【详解】解： 函数 是二次函数，
，解得 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．
9．（2023·山东·临沂沂州实验学校九年级阶段练习）若函数 是关于 的二次函数，则 的值为
______．
【答案】1
【分析】根据二次函数的定义可得 且 ，求解即可．
【详解】解： 函数 是关于 的二次函数，
且 ，
解得 ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义及绝对值的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
10．（2022·广东· 三模）二次函数y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为_____．
【答案】-1
【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m即可．
【详解】解：∵点（0，0）在抛物线y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1上，
∴m2﹣1＝0，
解得m＝1或m＝﹣1，
1 2
∵m＝1不合题意，
∴m＝1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查利用待定系数法求解二次函数解析式，能够熟练掌握待定系数法是解决本题的关键．
11．（2021·全国·八年级课时练习）如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为 、
，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为 、 ，三条通道的总面积 ；则s与
x之间的关系表达式为__________．【答案】
【分析】用两条长为120m,宽为2xm长方形面积与一条长为（200-2个道宽2x）m,宽为3xm长方形面积和来
求三条通道的总面积即可．
【详解】解： ，
则s与x之间的关系表达式为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查列三条通道的总面积的二次函数，掌握长方形面积公式是解题关键．
12．（2022·全国·九年级课时练习）给出下列函数：① ；② ；③ ；④
.其中是二次函数的有______，若把它写成 的形式，则 ______， ______，
______.
【答案】 ④ 1 0
【分析】根据二次函数的概念： 逐一进行判断即可.①②③都不满足二次函数的形
式，④是二次函数
【详解】①不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；
② ，是一次函数，也不满足要求；
③不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；
④ 是二次函数
所以二次函数只有④
其中
故答案为 ④ 1 0
【点睛】本题主要考查二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键.三、解答题
13．（2022·陕西· 九年级阶段练习）已知 ，当m为何值时，它是y关于x的二次
函数．
【答案】 或
【分析】一般地，把形如 的函数叫做二次函数，据此可得到 ，求解即可．
【详解】由题意得， ，
，
解得 或 ，
所以，当 或 时， 是y关于x的二次函数．
【点睛】本题考查了二次函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．（2022·山东·庆云县尚堂镇大靳初级中学九年级阶段练习）已知 ．
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
【答案】（1） ；（2）4或 或 或0或1
【分析】（1）根据形如y=kx+b （k≠0）是一次函数，可得答案；
（2）根据形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
【详解】（1）由 是关于x的一次函数，
得 解得 ．
所以当 时，它是y关于x的一次函数．
（2）由 是关于x的二次函数，得
① ，解得 ；② ，解得 ；
③ 解得 ；
④ ，解得 或 ．
综上所述，当m的值为4或 或 或0或1时，它是y关于x的二次函数．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式 中，二次项系
数 ，解此类题易出现只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误．
15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点
A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如
果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，请求出△PBQ的面积S与出发时间t的函数解析式及t的取值范
围．
【答案】 ，
【分析】由题意知BP=12-2t，BQ=4t，根据S= BP×BQ可得答案；
【详解】解：由题意得可知：AP＝2t，BQ＝4t，
∵AB＝12mm，
∴BP＝12－2t，
∵∠B＝90°，
（0
