文档内容
专题 03 勾股定理与几何最值的三类综合题型
目录
典例详解
类型一、数形结合求最值
类型二、平移图形解决最值问题
类型三、将军饮马最值问题
压轴专练
类型一、数形结合求最值
例1．（1）课堂上，老师提问：求 的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知
识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图1，作一条长为16的线段 ；
②过点 在线段 上方作 ，使 ；过点 在线段 下方作 ，使 ；
③在线段 上任取一点 ，设 ；
④根据勾股定理计算可得， __________， __________（请用含 的代数式表示，不需要化简）；
⑤如图2，过点 作 交 的延长线于 ，则 ， ，连接 交 于点
，当 、 、 三点共线时（即 在 处）， 取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求 的最小值．
（2）请结合第（1）问，直接写出 的最小值．
变式1-1．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，
其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ， ．
（1）请用a、b、c分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间的
关系，可得到勾股定理，请验证；
知识运用：
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为 千米（直接
填空）；
（3）在（2）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站P，使
得 ，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出 的距离．
知识迁移：
（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ．变式1-2．阅读并回答下列问题
【几何模型】
如图①， 、 是直线 同侧的两个定点，问题：在直线 上找一点 ，使 值最小．
方法：如图②，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 点，则 为所求作的点．
【模型应用】
如图③，若 、 两点在直线 同侧，分别过点 、 作 ， ， 为线段 上一动点，
连接 、 ．已知 ， ， ，设 ．
（1）用含 的代数式表示 的长为______．
（2）①请问点 满足什么条件时， 的值最小，并求出最小值；
②根据①中的规律和结论，直接写出代数式 的最小值为______．
类型二、平移图形解决最值问题
例2．如图，在 中， ， 点D、E分别是 上动点，且
， 连接 ， 则 的最小值是 ．变式2-1．如图，在 中，点 ， 分别是边 、 上的两点，连接 ， ， ．若
， ，则 的最小值是 ．
变式2-2如图，在 中， ， 点D、E分别是 上动点，且
， 连接 ， 则 的最小值是 ．
变式2-3如图，在 中，点 ， 分别是边 、 上的两点，连接 ， ， ．若
， ，则 的最小值是 ．
类型三、将军饮马最值问题
例3 如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点 ，点 ， 分
别是 ， 上的动点，则 的最小值为（ ）A． B．5 C． D．4
变式3-1 如图，已知正方形 边长为 ，点 在 边上，且 ，点 ， 分别是边 ， 上
的动点（均不与顶点重合），则四边形 的周长的最小值是 ．
变式3-2 如图，在 中， ， ， ，点E为线段 上的动点，点D在 上，
且 ，连接 ，则 的最小值为 ．
变式3-3 如图， ，点 、 分别在边 、 上，且 ， ，点 、 分别在边
、 上，则 的最小值是 ．
变式3-4 如图，在 中， ， ， ，点 为射线 上的一个动点，在 的
左侧作 ，其中 ， ，连接 ，求 的最小值为 ．1．如图，等腰直角 中， 为 中点， 为 上一个动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．如图，在 中， ， ， ，射线 与边 交于点 ， 分别为 、
的中点，设点 到射线 的距离分别为 ，则线段 的最小值为 ， 的最大值为
．
3．如图，在 中， ， ， ， 、 为 边的点， ，点
为 上一动点，连接 、 ，则 的最小值为 ．
4．如图，在 中， ， ，点 在 上， ， ，以 为一边作
，使 ， ．若 是 上一个动点，则线段 长的最小值为 ．5．如图，在 中， ， ， ，AD是 的平分线，若M，N分别是
和 上的动点，则 的最小值是 ．
6．如图，在四边形 中， ， ， ， ，点E在线段 上运
动，点F在线段 上， ，则 °，线段 的最小值为 ．
7．如图，在 中， ， ， ，动点P在 内，且使得 的面积为
12，点Q为 上的动点，则 的最小值为 ．
8．如图，在等腰 中， ， ， 、 两点分别是边 、 上的动点，且
，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，若 ，则线段 长度的最
小值为 ．9．如图，在 中， ， ， ， 、 分别是 、 边上的动点，
连接 、 ，则 的最小值是 ．
10．如图，在 中， ，点D在 边上，连接 ，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，
连接 ， ．
(1)求证： ≌ ；
(2)若 时，求 的长；
(3)点D在 上运动时，试探究 的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存
在，请说明理由．
11．已知，在 中， ， 是 上的一点，连接 ，在直线 右侧作等腰 ，
．(1)如图1， ， ，连接 ，求证： ；
(2)如图2， ， ， ，取 边中点 ，连接 ．当 点从 点运动到 点过程
中，求线段 长度的最小值．
12．【综合与实践】
【问题情景】
（1）如图1，点 为线段 上一动点．分别过点 ， 作 ，连接 ， ．已知
．设 ，用含 的代数式表示 的长；
【数学思考】
（2）如图.2．在某河道 一侧有 ， 两家工厂，它们到河道的距离 ， 分别是 ． ，两工
厂之间的距离 是 ．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点 ，且使得抽水点 到
两家工厂的距离之和最短．求 的最小值；
【深入探究】
（3）请结合上述思路，求代数式 的最小值．
